Trayectoria parabólica

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Tipo de órbita

El camino verde en esta imagen es un ejemplo de trayectoria parabólica.

En astrodinámica o mecánica celestial a trayectoria parabólica es una órbita Kepler con la excentricidad igual a 1 y es una órbita sin límites que está exactamente en la frontera entre elíptico e hiperbólico. Al alejarse de la fuente se llama Órbita de escape, de lo contrario un órbita de captura. También se conoce a veces como un C₃ = 0 órbita (ver Energía característica).

Bajo los supuestos estándar, un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita de escape se desplazará a lo largo de una trayectoria parabólica hasta el infinito, con una velocidad relativa al cuerpo central que tiende a cero y, por lo tanto, nunca regresará. Las trayectorias parabólicas son trayectorias de escape de energía mínima, que separan las trayectorias hiperbólicas de energía positiva de las órbitas elípticas de energía negativa.

Velocidad

La velocidad orbital ( ${displaystyle v}$ ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una trayectoria parabólica se puede calcular como:

{displaystyle v={sqrt {2mu over r}}}

donde:

${displaystyle r}$ es la distancia radial del cuerpo orbitante del cuerpo central,
${displaystyle mu }$ es el parámetro gravitacional estándar.

En cualquier posición el cuerpo orbitante tiene la velocidad de escape para esa posición.

Si un cuerpo tiene una velocidad de escape con respecto a la Tierra, esto no es suficiente para escapar del Sistema Solar, por lo que cerca de la Tierra la órbita se asemeja a una parábola, pero más lejos se curva formando una órbita elíptica alrededor del Sol.

Esta velocidad ${displaystyle v}$ ) está estrechamente relacionado con la velocidad orbital de un cuerpo en una órbita circular del radio igual a la posición radial del cuerpo orbitante en la trayectoria parabólica:

{displaystyle v={sqrt {2}},v_{o}}

donde:

${displaystyle v_{o}}$ es la velocidad orbital de un cuerpo en órbita circular.

Ecuación de movimiento

Para un cuerpo que se mueve a lo largo de este tipo de trayectoria, la ecuación orbital es:

{displaystyle r={h^{2} over mu }{1 over {1+cos nu }}}

donde:

${displaystyle r,}$ es la distancia radial del cuerpo orbitante del cuerpo central,
${displaystyle h,}$ es el impulso angular específico del cuerpo orbitante,
${displaystyle nu ,}$ es la verdadera anomalía del cuerpo orbital,
${displaystyle mu ,}$ es el parámetro gravitacional estándar.

Energía

Bajo hipótesis estándar, la energía orbital específica ( ${displaystyle epsilon }$ ) de una trayectoria parabólica es cero, por lo que la ecuación de conservación de energía orbital para esta trayectoria toma la forma:

{displaystyle epsilon ={v^{2} over 2}-{mu over r}=0}

donde:

${displaystyle v,}$ es la velocidad orbital del cuerpo orbital,
${displaystyle r,}$ es la distancia radial del cuerpo orbitante del cuerpo central,
${displaystyle mu ,}$ es el parámetro gravitacional estándar.

Esto es totalmente equivalente a que la energía característica (el cuadrado de la velocidad en el infinito) sea 0:

{displaystyle C_{3}=0}

Ecuación de Barker

La ecuación de Barker relaciona el tiempo del vuelo ${displaystyle t}$ la verdadera anomalía ${displaystyle nu }$ de una trayectoria parabólica:

{displaystyle t-T={frac {1}{2}}{sqrt {frac {p^{3}}{mu }}}left(D+{frac {1}{3}}D^{3}right)}

donde:

${displaystyle D=tan {frac {nu }{2}}}$ es una variable auxiliar
${displaystyle T}$ es el tiempo de paso de periapsis
${displaystyle mu }$ es el parámetro gravitacional estándar
${displaystyle p}$ es el recto semi-latus de la trayectoria ( ${displaystyle p=h^{2}/mu }$ )

Más generalmente, el tiempo entre dos puntos en una órbita es

{displaystyle t_{f}-t_{0}={frac {1}{2}}{sqrt {frac {p^{3}}{mu }}}left(D_{f}+{frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{frac {1}{3}}D_{0}^{3}right)}

Suplentemente, la ecuación se puede expresar en términos de distancia periapsis, en una órbita parabólica ${displaystyle r_{p}=p/2}$ :

{displaystyle t-T={sqrt {frac {2r_{p}^{3}}{mu }}}left(D+{frac {1}{3}}D^{3}right)}

A diferencia de la ecuación de Kepler, que se utiliza para resolver verdaderas anomalías en las trayectorias elípticas e hiperbólicas, la verdadera anomalía en la ecuación de Barker se puede resolver directamente para ${displaystyle t}$ . Si se hacen las siguientes sustituciones

{displaystyle {begin{aligned}A&={frac {3}{2}}{sqrt {frac {mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\[3pt]B&={sqrt[{3}]{A+{sqrt {A^{2}+1}}}}end{aligned}}}

entonces

{displaystyle nu =2arctan left(B-{frac {1}{B}}right)}

Con funciones hiperbólicas la solución también se puede expresar como:

{displaystyle nu =2arctan left(2sinh {frac {mathrm {arcsinh} {frac {3M}{2}}}{3}}right)}

dónde

{displaystyle M={sqrt {frac {mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}

Trayectoria parabólica radial

Una trayectoria parabólica radial es una trayectoria no periódica en línea recta donde la velocidad relativa de los dos objetos es siempre la velocidad de escape. Hay dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan.

Existe una expresión bastante simple para la posición en función del tiempo:

{displaystyle r={sqrt[{3}]{{frac {9}{2}}mu t^{2}}}}

dónde

μ es el parámetro gravitacional estándar
${displaystyle t=0!,}$ corresponde al tiempo extrapolado del comienzo ficticio o final en el centro del cuerpo central.

En cualquier momento la velocidad promedio de ${displaystyle t=0!,}$ es 1,5 veces la velocidad actual, es decir, 1,5 veces la velocidad de escape local.

Tener ${displaystyle t=0!,}$ en la superficie, aplicar un cambio de tiempo; para la Tierra (y cualquier otro cuerpo esférico simétrico con la misma densidad promedio) como cuerpo central este turno de tiempo es de 6 minutos y 20 segundos; siete de estos períodos más tarde la altura sobre la superficie es tres veces el radio, etc.

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