Traslación (geometría)

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Movimiento plano dentro de un espacio euclidiano sin rotación

Una traducción mueve cada punto de una figura o un espacio por la misma cantidad en una dirección dada.

El reflejo de una forma roja contra un eje seguido de un reflejo de la forma verde resultante contra un segundo eje paralelo al primero resulta en un movimiento total que es una traducción de la forma roja a la posición de la forma azul.

En geometría euclidiana, una traslación es una transformación geométrica que mueve cada punto de una figura, forma o espacio la misma distancia en una dirección dada. Una traslación también se puede interpretar como la adición de un vector constante a cada punto, o como el desplazamiento del origen del sistema de coordenadas. En un espacio euclidiano, cualquier traslación es una isometría.

Como una función

Si ${displaystyle mathbf {v} }$ es un vector fijo, conocido como traducción de vectores, y $mathbf {p}$ es la posición inicial de algún objeto, luego la función de traducción ${displaystyle T_{mathbf {v} }}$ funcionará como ${displaystyle T_{mathbf {v} }(mathbf {p})=mathbf {p} +mathbf {v} }$ .

Si $T$ es una traducción, entonces la imagen de un subconjunto $A$ bajo la función $T$ es traducción de $A$ por $T$ . La traducción de $A$ por ${displaystyle T_{mathbf {v} }}$ a menudo escrito ${displaystyle A+mathbf {v} }$ .

Traducciones horizontales y verticales

En geometría, una traslación vertical (también conocida como desplazamiento vertical) es una traslación de un objeto geométrico en una dirección paralela al eje vertical del sistema de coordenadas cartesianas..

Los gráficos de diferentes antiderivados de la función f()x) = 3x²2.- Todos son traducciones verticales entre sí.

A menudo, las traslaciones verticales se consideran para el gráfico de una función. Si f es cualquier función de x, entonces la gráfica de la función f(x) + c (cuyos valores se obtienen sumando una constante c a los valores de f) puede obtenerse mediante una traslación vertical de la gráfica de f (x) por la distancia c. Por esta razón, la función f(x) + c a veces se denomina traducción vertical de f (x). Por ejemplo, todas las antiderivadas de una función difieren entre sí por una constante de integración y, por lo tanto, son traslados verticales entre sí.

En la representación gráfica de funciones, una traslación horizontal es una transformación que da como resultado un gráfico equivalente a desplazar el gráfico base hacia la izquierda o hacia la derecha en la dirección de la x- eje. Un gráfico se traslada k unidades horizontalmente moviendo cada punto del gráfico k unidades horizontalmente.

Para la función base f(x) y una constante k, la función dada por g(x) = f(x − k), se puede dibujar f(x) desplazado k unidades horizontalmente.

Si se habló de la transformación de funciones en términos de transformaciones geométricas, puede ser más claro por qué las funciones se traducen horizontalmente de la forma en que lo hacen. Al abordar traslaciones en el plano cartesiano es natural introducir traslaciones en este tipo de notación:

{displaystyle (x,y)rightarrow (x+a,y+b)}

{displaystyle T(x,y)=(x+a,y+b)}

Donde $a$ y $b$ son cambios horizontales y verticales respectivamente.

Ejemplo

Tomando la parábola y = x² una traslación horizontal 5 unidades a la derecha estaría representada por T(x, y) = (x + 5, y). Ahora debemos conectar esta notación de transformación a una notación algebraica. Considere el punto (a, b) en la parábola original que se mueve al punto (c, d) en la parábola trasladada. Según nuestra traducción, c = a + 5 y d = b. El punto de la parábola original era b = a². Nuestro nuevo punto se puede describir relacionando d y c en la misma ecuación. b = d y a = c − 5. Entonces d = b = a² = (c − 5)². Dado que esto es cierto para todos los puntos de nuestra nueva parábola, la nueva ecuación es y = (x − 5)².

Aplicación en física clásica

En la física clásica, el movimiento de traslación es el movimiento que cambia la posición de un objeto, a diferencia de la rotación. Por ejemplo, según Whittaker:

Si un cuerpo se mueve de una posición a otra, y si las líneas que unen los puntos iniciales y finales de cada uno de los puntos del cuerpo son un conjunto de líneas rectas paralelas de longitud l, para que la orientación del cuerpo en el espacio no esté alterada, el desplazamiento se llama un traducción paralela a la dirección de las líneas, a través de una distancia l.
—E. T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, pág. 1

Una traducción es la operación que cambia las posiciones de todos los puntos $(x,y,z)$ de un objeto según la fórmula

(x,y,z) to (x+Delta x,y+Delta y, z+Delta z)

Donde $(Delta x, Delta y, Delta z)$ es el mismo vector para cada punto del objeto. El vector de la traducción $(Delta x, Delta y, Delta z)$ común a todos los puntos del objeto describe un tipo particular de desplazamiento del objeto, generalmente llamado un lineal desplazamiento para distinguirlo de desplazamientos que implican rotación, llamado angular angular desplazamientos.

Al considerar el espacio-tiempo, un cambio de coordenadas de tiempo se considera una traslación.

Como operadora

(feminine)

El operador de traducción gira una función de la posición original, $f(mathbf{v})$ , en una función de la posición final, ${displaystyle f(mathbf {v} +mathbf {delta })}$ . En otras palabras, $T_mathbf{delta}$ se define como tal $T_mathbf{delta} f(mathbf{v}) = f(mathbf{v}+mathbf{delta}).$ Este operador es más abstracto que una función, ya que $T_mathbf{delta}$ define una relación entre dos funciones, en lugar de los vectores subyacentes mismos. El operador de traducción puede actuar en muchos tipos de funciones, como cuando el operador de traducción actúa sobre una función de onda, que se estudia en el campo de la mecánica cuántica.

En grupo

El conjunto de todas las traducciones forma el grupo de traducción ${displaystyle mathbb {T} }$ , que es isomorfo para el espacio en sí, y un subgrupo normal de Euclidean grupo ${displaystyle E(n)}$ . The quotient group of ${displaystyle E(n)}$ por ${displaystyle mathbb {T} }$ es isomorfa al grupo ortogonal ${displaystyle O(n)}$ :

{displaystyle E(n)/mathbb {T} cong O(n)}

Debido a que la traducción es conmutativa, el grupo de traducción es abeliano. Hay un número infinito de posibles traducciones, por lo que el grupo de traducción es un grupo infinito.

En la teoría de la relatividad, debido al tratamiento del espacio y el tiempo como un solo espacio-tiempo, las traslaciones también pueden referirse a cambios en la coordenada del tiempo. Por ejemplo, el grupo de Galileo y el grupo de Poincaré incluyen traslaciones con respecto al tiempo.

Grupos de celosía

Un tipo de subgrupo del grupo de traducción tridimensional son los grupos de celosía, que son grupos infinitos, pero a diferencia de los grupos de traducción, se generan finitamente. Es decir, un conjunto generador finito genera todo el grupo.

Representación matricial

Una traducción es una transformación afinada no puntos fijos. Multiplicaciones de matriz siempre tienen el origen como punto fijo. Sin embargo, hay un trabajo común utilizando coordenadas homogéneas para representar una traducción de un espacio vectorial con multiplicación de matriz: Escribe el vector 3-dimensional ${displaystyle mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ usando 4 coordenadas homogéneas como ${displaystyle mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$ .

Traducir un objeto por un vector ${displaystyle mathbf {v} }$ , cada vector homogéneo ${displaystyle mathbf {p} }$ (escrito en coordenadas homogéneas) se puede multiplicar por esto matriz de traducción:

T_{mathbf{v}} = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \ 0 & 1 & 0 & v_y \ 0 & 0 & 1 & v_z \ 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

T_{mathbf{v}} mathbf{p} = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \ 0 & 1 & 0 & v_y\ 0 & 0 & 1 & v_z\ 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} p_x \ p_y \ p_z \ 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} p_x + v_x \ p_y + v_y \ p_z + v_z \ 1 end{bmatrix} = mathbf{p} + mathbf{v}

La inversa de una matriz de traslación se puede obtener invirtiendo la dirección del vector:

T^{-1}_{mathbf{v}} = T_{-mathbf{v}}. !

Del mismo modo, el producto de las matrices de traslación se obtiene sumando los vectores:

{displaystyle T_{mathbf {v} }T_{mathbf {w} }=T_{mathbf {v} +mathbf {w} }.!}

Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación también es conmutativa (a diferencia de la multiplicación de matrices arbitrarias).

Traslación de ejes

Si bien la traslación geométrica suele verse como un proceso activo que cambia la posición de un objeto geométrico, se puede lograr un resultado similar mediante una transformación pasiva que mueve el propio sistema de coordenadas pero deja el objeto fijo. La versión pasiva de una traslación geométrica activa se conoce como traslación de ejes.

Simetría traslacional

Se dice que un objeto que se ve igual antes y después de la traslación tiene simetría traslacional. Un ejemplo común es una función periódica, que es una función propia de un operador de traducción.

Aplicaciones

Dinámica del vehículo

Para describir la dinámica del vehículo (o el movimiento de cualquier cuerpo rígido), incluidas la dinámica del barco y la dinámica del avión, es común usar un modelo mecánico que consta de seis grados de libertad, que incluye traslaciones a lo largo de tres ejes de referencia, así como rotaciones. sobre esos tres ejes.

Estas traducciones a menudo se denominan:

Surge, traducción a lo largo del eje longitudinal (para adelante o hacia atrás)
Sway, traducción a lo largo del eje transversal (de lado a lado)
Heave, traducción a lo largo del eje vertical (para subir o bajar).

Las rotaciones correspondientes a menudo se denominan:

sobre el eje longitudinal
sobre el eje transversal
Yaw, sobre el eje vertical.

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