Trapecio isósceles

En geometría euclidiana, un trapecio isósceles (isosceles trapezium en inglés británico) es un cuadrilátero convexo con un eje de simetría que divide un par de lados opuestos. Es un caso especial de trapezoide. Alternativamente, se puede definir como un trapezoide en el que ambos catetos y ambos ángulos de la base tienen la misma medida, o como un trapezoide cuyas diagonales tienen la misma longitud. Tenga en cuenta que un paralelogramo no rectangular no es un trapezoide isósceles debido a la segunda condición o porque no tiene eje de simetría. En cualquier trapezoide isósceles, dos lados opuestos (las bases) son paralelos, y los otros dos lados (los catetos) tienen la misma longitud (propiedades compartidas con el paralelogramo) y las diagonales tienen la misma longitud. Los ángulos de la base de un trapezoide isósceles tienen la misma medida (de hecho, hay dos pares de ángulos de la base iguales, donde un ángulo de la base es el ángulo suplementario de un ángulo de la base en la otra base).

Casos especiales

Los rectángulos y los cuadrados generalmente se consideran casos especiales de trapecios isósceles, aunque algunas fuentes los excluirían.

Otro caso especial es un trapecio de 3 lados iguales, a veces conocido como trapecio trilateral o trapecio trisósceles. También se pueden ver disecados de polígonos regulares de 5 lados o más como un truncamiento de 4 vértices secuenciales.

Autointersecciones

Cualquier cuadrilátero que no se cruce automáticamente y que tenga exactamente un eje de simetría debe ser un trapezoide isósceles o una cometa. Sin embargo, si se permiten cruces, el conjunto de cuadriláteros simétricos debe ampliarse para incluir también los trapecios isósceles cruzados, cuadriláteros cruzados en los que los lados cruzados tienen la misma longitud y los otros lados son paralelos, y los antiparalelogramos, cuadriláteros cruzados en los que los lados opuestos los lados tienen igual longitud.

Cada antiparalelogramo tiene un trapezoide isósceles como casco convexo, y puede formarse a partir de las diagonales y los lados no paralelos (o cualquier par de lados opuestos en el caso de un rectángulo) de un trapezoide isósceles.

Convex isosceles trapezoid	isosceles cruzados trapezoid	antiparallelograma

Caracterizaciones

Si se sabe que un cuadrilátero es un trapecio, no basta con comprobar que los catetos tienen la misma longitud para saber que es un trapezoide isósceles, ya que un rombo es un Caso especial de un trapezoide con catetos de igual longitud, pero no es un trapezoide isósceles ya que carece de un eje de simetría que pase por los puntos medios de los lados opuestos.

Cualquiera de las siguientes propiedades distingue un trapecio isósceles de otros trapecios:

• Las diagonales tienen la misma longitud.
• Los ángulos base tienen la misma medida.
• El segmento que se une a los puntos intermedios de los lados paralelos es perpendicular a ellos.
• Los ángulos opuestos son complementarios, lo que a su vez implica que los isosceles trapezoides son cuadrilaterales cíclicos.
• Las diagonales se dividen entre sí en segmentos con longitudes iguales; en términos de la imagen siguiente, AE = DE, BE = CE (y) AE ل CE si uno desea excluir rectángulos).

Ángulos

En un trapezoide isósceles, los ángulos de la base tienen la misma medida en pares. En la imagen siguiente, los ángulos ∠ABC y ∠DCB son ángulos obtusos de la misma medida, mientras que los ángulos ∠BAD y ∠CDA son ángulos agudos, también de la misma medida.

Dado que las rectas AD y BC son paralelas, los ángulos adyacentes a bases opuestas son suplementarios, es decir, ángulos ∠ ABC + ∠MALO = 180°.

Diagonales y altura

Las diagonales de un trapezoide isósceles tienen la misma longitud; es decir, todo trapecio isósceles es un cuadrilátero equidiagonal. Además, las diagonales se dividen entre sí en las mismas proporciones. Como se muestra en la imagen, las diagonales AC y BD tienen la misma longitud (AC = BD) y se dividen entre sí en segmentos de la misma longitud (AE = DE y BE = CE).

La razón en la que se divide cada diagonal es igual a la razón de las longitudes de los lados paralelos que cortan, es decir,

${displaystyle {frac {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {f}}}= {fnMicroc}}} {fnMicroc}} {fnMicroc}}} {fnMicroc} {DE} {EB}={frac {} {}} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {f}} {fnMicroc}}} {f}} {fnMicroc}} {fnMicroc}}}} {f}} {fnMicroc} {f}}}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}} {f}} {f}}}} {f} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}} {f} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

La longitud de cada diagonal está, según el teorema de Ptolomeo, dada por

${displaystyle p={sqrt {ab+c^{2}}}$

donde a y b son las longitudes de los lados paralelos AD y BC, y c es la longitud de cada cateto AB y CD.

La altura, según el teorema de Pitágoras, está dada por

${displaystyle h={sqrt {p^{2}-left({frac} {a+b}{2}right)}={tfrac} {1}{2}} {4c^{2}.}}}$

La distancia desde el punto E a la base AD está dada por

${displaystyle d={frac {ah}{a+b}}$

donde a y b son las longitudes de los lados paralelos AD y BC, y h es la altura del trapezoide.

Área

El área de un trapezoide isósceles (o cualquier otro) es igual al promedio de las longitudes de la base y la parte superior (los lados paralelos) multiplicada por la altura. En el diagrama adyacente, si escribimos AD = a, y BC = b, y la altura h es la longitud de un segmento de línea entre AD y BC que es perpendicular a ellos, entonces el área K es

${displaystyle K={tfrac {2}left(a+bright)h.}$

Si en lugar de la altura del trapezoide se conoce la longitud común de los catetos AB =CD = c, entonces el área se puede calcular usando la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, que con dos lados iguales se simplifica a

${fnMicrosoft Sans Serif}}}$

Donde ${displaystyle s={tfrac {1} {2}(a+b+2c)}$ es el semiperímetro de la trapezoide. Esta fórmula es análoga a la fórmula de Heron para calcular el área de un triángulo. La fórmula anterior para el área también se puede escribir como

${displaystyle K={tfrac {1}{4}{sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}}}$

Circumradio

El radio en el círculo circunscrito está dado por

${displaystyle R=c{2}-(a-b)^{2}}}$

En un rectángulo donde a = b esto es simplificado ${displaystyle R={tfrac {1}{2} {sqrt {2}}} {c}}} {c}} {c}} {c}}} {c}}}} {c}}}} {c}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}} {c} {c} {c} {c} {c}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}} {c} {c}}}} {c}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}$.