Transporte paralelo

Transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle cerrado (de A a N a B y de vuelta a A) en la esfera. El ángulo por el que gira, α α {displaystyle alpha }, es proporcional al área dentro del bucle.

En geometría, transporte paralelo (o traslación paralela) es una forma de transportar datos geométricos a lo largo de curvas suaves en una variedad. Si la variedad está equipada con una conexión afín (una derivada covariante o conexión en el paquete tangente), entonces esta conexión permite transportar vectores de la variedad a lo largo de curvas para que permanezcan paralelos con respecto a la conexión.

El transporte paralelo para una conexión proporciona una forma de, en cierto sentido, mover la geometría local de una variedad a lo largo de una curva: es decir, de conectar las geometrías de puntos cercanos. Puede haber muchas nociones de transporte paralelo disponibles, pero la especificación de una, una forma de conectar las geometrías de los puntos en una curva, equivale a proporcionar una conexión. De hecho, la noción habitual de conexión es el análogo infinitesimal del transporte paralelo. O, viceversa, el transporte paralelo es la realización local de una conexión.

Como el transporte paralelo proporciona una realización local de la conexión, también proporciona una realización local de la curvatura conocida como holonomía. El teorema de Ambrose-Singer hace explícita esta relación entre la curvatura y la holonomía.

Otras nociones de conexión también vienen equipadas con sus propios sistemas de transporte paralelo. Por ejemplo, una conexión Koszul en un paquete vectorial también permite el transporte paralelo de vectores de la misma manera que con una derivada covariante. Una conexión Ehresmann o Cartan proporciona un levantamiento de curvas desde la variedad hasta el espacio total de un haz principal. Este levantamiento de curvas a veces se puede considerar como el transporte paralelo de marcos de referencia.

Transporte paralelo en un paquete vectorial

Vamos M Sé un andamio suave. Vamos E→M ser un paquete vectorial con derivación covariante γ: I→M una curva suave parametrizada por un intervalo abierto I. A section X{displaystyle X} de E{displaystyle E} y γ se llama paralelo si

Silencio Silencio γ γ Í Í ()t)X=0parat▪ ▪ I.{displaystyle nabla _{dot {gamma }(t)}X=0{text{ for }tin I.,}

Por ejemplo, si X{displaystyle X} es un espacio tangente en un manojo tangente de un manifold, esta expresión significa que, por cada t{displaystyle t} en el intervalo, vectores tangentes en X{displaystyle X} son "constante" (las desvaneces derivadas) cuando un desplazamiento infinitesimal de γ γ ()t){displaystyle gamma (t)} en la dirección del vector tangente γ γ Í Í ()t){displaystyle {dot {gamma}(t)} está hecho.

Supongamos que nos dan un elemento e₀ ∈ E_P en P = γ(0) ∈ M, en lugar de una sección. El transporte paralelo de e₀ a lo largo de γ es la extensión de e₀ a una sección X paralela en γ. Más precisamente, X es la única parte de E a lo largo de γ tal que

1. Silencio Silencio γ γ Í Í X=0{displaystyle nabla _{dot {gamma}X=0}
2. Xγ γ ()0)=e0.{displaystyle X_{gamma (0)}=e_{0}

Tenga en cuenta que en cualquier parche de coordenadas dado, (1) define una ecuación diferencial ordinaria, con la condición inicial dada por (2). Así, el teorema de Picard-Lindelöf garantiza la existencia y unicidad de la solución.

Así, la conexión ∇ define una forma de mover elementos de las fibras a lo largo de una curva, y esto proporciona isomorfismos lineales entre las fibras en puntos a lo largo de la curva:

.. ()γ γ )st:Eγ γ ()s)→ → Eγ γ ()t){displaystyle Gamma (gamma)_{t}:E_{gamma (s)}rightarrow E_{gamma (t)}

desde el espacio vectorial sobre γ(s) hasta el sobre γ(t). Este isomorfismo se conoce como mapa de transporte paralelo asociado a la curva. Los isomorfismos entre las fibras obtenidas de esta manera dependerán, en general, de la elección de la curva: si no lo hacen, entonces se puede usar el transporte paralelo a lo largo de cada curva para definir secciones paralelas de E sobre todo. de M. Esto solo es posible si la curvatura de ∇ es cero.

En particular, el transporte paralelo alrededor de una curva cerrada que comienza en un punto x define un automorfismo del espacio tangente en x que no es necesariamente trivial. Los automorfismos de transporte paralelo definidos por todas las curvas cerradas basadas en x forman un grupo de transformación denominado grupo de holonomía de ∇ en x. Existe una estrecha relación entre este grupo y el valor de la curvatura de ∇ en x; este es el contenido del teorema de holonomía de Ambrose-Singer.

Recuperando la conexión del transporte paralelo

Dado un derivativo covariante aviso, el transporte paralelo a lo largo de una curva γ se obtiene mediante la integración de la condición Silencio Silencio γ γ Í Í =0{displaystyle scriptstyle {nabla _{dot {gamma }=0}. Por el contrario, si se dispone de una noción adecuada de transporte paralelo, se puede obtener una conexión correspondiente por diferenciación. Este enfoque se debe, esencialmente, a Knebelman (1951); véase Guggenheimer (1977). Lumiste (2001) también adopta este enfoque.

Considere una asignación a cada curva γ en la variedad como una colección de asignaciones

.. ()γ γ )st:Eγ γ ()s)→ → Eγ γ ()t){displaystyle Gamma (gamma)_{t}:E_{gamma (s)}rightarrow E_{gamma (t)}

tal que

1. .. ()γ γ )ss=Id{displaystyle Gamma (gamma)_{s}= Id., la transformación de la identidad E_γ(s).
2. .. ()γ γ )ut∘ ∘ .. ()γ γ )su=.. ()γ γ )st.{displaystyle Gamma (gamma)_{u}{t}circ "Gamma" Gamma.
3. La dependencia de la luminaria en γ, s, y t es "smooth".

La noción de suavidad en la condición 3 es algo difícil de precisar (consulte la discusión a continuación sobre el transporte paralelo en haces de fibras). En particular, autores modernos como Kobayashi y Nomizu generalmente ven el transporte paralelo de la conexión como proveniente de una conexión en algún otro sentido, donde la suavidad se expresa más fácilmente.

Sin embargo, dada tal regla para el transporte paralelo, es posible recuperar la conexión infinitesimal asociada en E de la siguiente manera. Sea γ una curva diferenciable en M con punto inicial γ(0) y vector tangente inicial X = γ′(0). Si V es una sección de E sobre γ, entonces sea

Silencio Silencio XV=limh→ → 0.. ()γ γ )h0Vγ γ ()h)− − Vγ γ ()0)h=ddt.. ()γ γ )t0Vγ γ ()t)Silenciot=0.{displaystyle nabla V=lim _{hto 0}{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}}}}}}f}}}fnMicrob} {fnMicrob} {fnMicrob}fnMicrob}f}}f}fnMicrob}}}}fnMicrosoft Sans}}}}}fnMicrob. {d}{dt} Gamma (gamma)_{t}V_{gamma (t)}right habit_{t=0}

Esto define la conexión infinitesimal asociada ∇ en E. Se recupera el mismo transporte paralelo Γ de esta conexión infinitesimal.

Caso especial: la fibra tangente

Vamos M Sé un andamio suave. Luego una conexión en el paquete tangente M, llamada conexión afinada, distingue una clase de curvas llamadas (affine) geodésica. Una curva suave γ: I → M es un affine geodesic si γ γ Í Í {fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } se transporta paralelamente γ γ {displaystyle gamma }, eso es

.. ()γ γ )stγ γ Í Í ()s)=γ γ Í Í ()t).{displaystyle Gamma (gamma)_{t}{dot {gamma }(s)={dot {gamma }(t)},}

Tomando la derivada con respecto al tiempo, esto toma la forma más familiar

Silencio Silencio γ γ Í Í ()t)γ γ Í Í =0.{displaystyle nabla _{dot {gamma}(t)}{dot {gamma }=0.

Transporte paralelo en geometría de Riemann

En la (pseudo) geometría de Riemann, una conexión métrica es cualquier conexión cuyas asignaciones de transporte paralelas conservan el tensor métrico. Así, una conexión métrica es cualquier conexión Γ tal que, para dos vectores cualesquiera X, Y ∈ T_γ(s)

.. .. ()γ γ )stX,.. ()γ γ )stY.. γ γ ()t)=.. X,Y.. γ γ ()s).{displaystyle langle Gamma (gamma)_{s}^{t}X,Gamma (gamma)_{s}^{t} Yrangle _{gamma (t)}=langle X,Yrangle _{gamma (s)}.

Tomando la derivada en t = 0, el operador diferencial asociado ∇ debe satisfacer una regla del producto con respecto a la métrica:

Z.. X,Y.. =.. Silencio Silencio ZX,Y.. +.. X,Silencio Silencio ZY.. .{displaystyle Zlangle X,Yrangle =langle nabla #X,Yrangle +langle X,nabla Sí.

Geodésicas

Si just es una conexión métrica, entonces la geodésica affine son la geodésica habitual de la geometría Riemanniana y son las curvas minimizando distancia localmente. Más precisamente, primera nota que si γ: I → M, donde I es un intervalo abierto, es geodésico, entonces la norma de γ γ Í Í {fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } es constante I. De hecho,

ddt.. γ γ Í Í ()t),γ γ Í Í ()t).. =2.. Silencio Silencio γ γ Í Í ()t)γ γ Í Í ()t),γ γ Í Í ()t).. =0.{fnMicrosoft Sans Serif}(t)rangle =2langle nabla _{dot {gamma }(t)} {dot {gamma }(t)rangle =2langle nabla _{dot {gamma } { dot} {dot} { dot} {gn0}} {} {} {g}} {}}}}}}} {}}} {m}}}}} {c} {c} {c}}}}}}}}}}} {ccccccccccccccccccH00} {cH00}ccccccH00}ccccH00}cH00}ccH00}ccH00}cH00}cH00}}}}}}}

Se deriva de una aplicación de la lema de Gauss que si A es la norma γ γ Í Í ()t){displaystyle {dot {gamma}(t)} entonces la distancia, inducida por la métrica, entre dos lo suficiente puntos en la curva γ, di γ()t₁) y γ()t₂), se da por

No.()γ γ ()t1),γ γ ()t2))=ASilenciot1− − t2Silencio.{displaystyle {mbox{dist}{big (}gamma (t_{1}),gamma (t_{2}){big)}= Una vida eterna.

La fórmula anterior puede no ser cierta para los puntos que no están lo suficientemente cerca, ya que la geodésica, por ejemplo, podría envolver la variedad (por ejemplo, en una esfera).

Generalizaciones

El transporte paralelo se puede definir con mayor generalidad para otros tipos de conexiones, no solo aquellas definidas en un paquete vectorial. Una generalización es para conexiones principales (Kobayashi & Nomizu 1996, Volumen 1, Capítulo II). Sea P → M un fibrado principal sobre una variedad M de estructura Lie grupo G y conexión principal ω. Como en el caso de fibrados vectoriales, una conexión principal ω en P define, para cada curva γ en M, una aplicación

.. ()γ γ )st:Pγ γ ()s)→ → Pγ γ ()t){displaystyle Gamma (gamma)_{t}:P_{gamma (s)}rightarrow P_{gamma (t)}

de la fibra sobre γ (s) a eso sobre γ(t), que es un isomorfismo de espacios homogéneos: es decir, .. γ γ ()s)gu=g.. γ γ ()s){displaystyle Gamma _{gamma (s)}gu=g Gamma _{gamma (s)}} para cada uno g▪G.

También son posibles otras generalizaciones del transporte paralelo. En el contexto de las conexiones Ehresmann, donde la conexión depende de una noción especial de "elevación horizontal" de espacios tangentes, se puede definir el transporte paralelo a través de ascensores horizontales. Las conexiones Cartan son conexiones Ehresmann con una estructura adicional que permite pensar en el transporte paralelo como un mapa "rodante" cierto espacio modelo a lo largo de una curva en la variedad. Este balanceo se llama desarrollo.

Aproximación: escalera de Schild

Dos peldaños de la escalera de Schild. Los segmentos A₁X₁ y A₂X₂ son una aproximación a la primera orden del transporte paralelo A₀X₀ a lo largo de la curva.

El transporte paralelo se puede aproximar discretamente mediante la escalera de Schild, que toma pasos finitos a lo largo de una curva, y se aproxima Paralelogramoides de Levi-Civita por paralelogramos aproximados.