Transformadas de seno y coseno

En matemáticas, las transformadas seno y coseno de Fourier son formas de la transformada de Fourier que no utilizan números complejos ni requieren frecuencia negativa. Son las formas utilizadas originalmente por Joseph Fourier y todavía se prefieren en algunas aplicaciones, como el procesamiento de señales o la estadística.

Definición

El Fourier sine transform de f()t), a veces denotado por f^ ^ s{displaystyle {hat {f}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}} o Fs()f){fnMicrosoft Sans Serif}, es

f^ ^ s(). . )=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()t)pecado⁡ ⁡ ()2π π . . t)dt.{displaystyle {hat {f} {xi)=int _{-infty }{infty }f(t)sin(2pixi t),dt.}

Si t significa tiempo, entonces ξ es la frecuencia en ciclos por unidad de tiempo, pero en abstracto, pueden ser cualquier par de variables que sean duales entre sí.

Esta transformación es necesariamente una función impar de frecuencia, es decir, para todos los ξ:

f^ ^ s()− − . . )=− − f^ ^ s(). . ).{displaystyle {hat {f}} {xi)=-{hat {f} {xi}} {xi}}}

Los factores numéricos en las transformaciones de Fourier se definen únicamente por su producto. Aquí, para que la fórmula de inversión Fourier no tenga ningún factor numérico, el factor de 2 aparece porque la función sine tiene L² norma de 12.{displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2}}}}

El Fourier cosine transform de f()t), a veces denotado por f^ ^ c{displaystyle {hat {f}} {c}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} o Fc()f){fnMicrosoft Sans Serif}, es

f^ ^ c(). . )=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()t)#⁡ ⁡ ()2π π . . t)dt.{displaystyle {hat {f}{c}(xi)=int _{-infty }^{infty }f(t)cos(2pixi t),dt.}

Es necesariamente una función par de la frecuencia, es decir, para todos los ξ:

f^ ^ c(). . )=f^ ^ c()− − . . ).{displaystyle {hat {f}} {xi)={hat {f} {c}(-xi).}

Simplificación para evitar t negativos

Algunos autores solo definen la transformada coseno para funciones pares de t, en cuyo caso su transformada seno es cero. Como el coseno también es par, se puede utilizar una fórmula más sencilla,

f^ ^ c(). . )=2∫ ∫ 0JUEGO JUEGO f()t)#⁡ ⁡ ()2π π . . t)dt.{displaystyle {hat {f}{c}(xi)=2int _{0}{infty }f(t)cos(2pixi t),dt.}

De manera similar, si f es una función impar, entonces la transformada del coseno es cero y la transformada del seno se puede simplificar a

f^ ^ s(). . )=2∫ ∫ 0JUEGO JUEGO f()t)pecado⁡ ⁡ ()2π π . . t)dt.{displaystyle {hat {f} {xi)=2int _{0}{infty }f(t)sin(2pixi t)dt.}

Otras convenciones

Así como la transformada de Fourier toma la forma de diferentes ecuaciones con diferentes factores constantes (ver Transformada de Fourier § Otras convenciones), otros autores también definen la transformada del coseno como

f^ ^ c(). . )=2π π ∫ ∫ 0JUEGO JUEGO f()t)#⁡ ⁡ ()2π π . . t)dt.{displaystyle {hat {f} {xi)={sqrt {frac {2}{pi}}int _{0}infty }f(t)cos(2pixi t),dt.}

f^ ^ s(). . )=2π π ∫ ∫ 0JUEGO JUEGO f()t)pecado⁡ ⁡ ()2π π . . t)dt,{fnMicrosoft {f} {f} {fnMicroc {f}}}int _{0}infty }f(t)sin(2pixi t),dt,}

Fc()α α )=2π π ∫ ∫ 0JUEGO JUEGO f()x)#⁡ ⁡ ()α α x)dx{displaystyle F_{c}(alpha)={frac {2}{pi}int _{0}{infty }f(x)cos(alpha x),dx}

Fs()α α )=2π π ∫ ∫ 0JUEGO JUEGO f()x)pecado⁡ ⁡ ()α α x)dx{displaystyle F_{s}(alpha)={frac {2}{pi}int _{0}{infty }f(x)sin(alpha x),dx}

α α {displaystyle alpha }

Inversión de Fourier

La función original f se puede recuperar de su transformación bajo las hipótesis habituales, que f y ambos de sus transformaciones deben ser absolutamente integrados. Para más detalles sobre las diferentes hipótesis, vea Fourier inversion theorem.

La fórmula de inversión es

f()t)=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f^ ^ c(). . )#⁡ ⁡ ()2π π . . t)d. . +∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f^ ^ s(). . )pecado⁡ ⁡ ()2π π . . t)d. . ,{fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f}f} {c}xi)cos(2pixi t),dxi +int _{-infty }{f}{hat {f}}} {f}}f}s}xi)ss0s0cs0s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s00s0s00s00s00s00s00s00s00s00s00s

que tiene la ventaja de que todas las cantidades son reales. Usando la fórmula de suma del coseno, esto se puede reescribir como

f()t)=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()τ τ )#⁡ ⁡ ()2π π . . ()τ τ − − t))dτ τ d. . .{displaystyle f(t)=int _{-infty }{infty }int _{-infty }^{infty }f(tau)cos(2pi xi (tau -t),dtau ,dxi.}

Si la función original f es una función par, entonces la transformación seno es cero; si f es una función impar, entonces la transformada del coseno es cero. En cualquier caso, la fórmula de inversión se simplifica.

Relación con exponenciales complejas

La forma de la transformada de Fourier que se utiliza con más frecuencia hoy en día es

f^ ^ (). . )=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()t)e− − 2π π i. . tdt=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()t)()#⁡ ⁡ ()2π π . . t)− − ipecado⁡ ⁡ ()2π π . . t))dtFórmula de Euler=()∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()t)#⁡ ⁡ ()2π π . . t)dt)− − i()∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()t)pecado⁡ ⁡ ()2π π . . t)dt)=f^ ^ c(). . )− − if^ ^ s(). . )################################################################################################################################################################################################################################################################

Evaluación numérica

Es probable que el uso de métodos estándar de evaluación numérica para integrales de Fourier, como la cuadratura gaussiana o tanh-sinh, conduzca a resultados completamente incorrectos, ya que la suma de la cuadratura está (para la mayoría de los integrandos de interés) muy mal condicionada. Se requieren métodos numéricos especiales que exploten la estructura de la oscilación, un ejemplo de lo cual es el método de Ooura para integrales de Fourier. Este método intenta evaluar el integrando en ubicaciones que se acercan asintóticamente a los ceros de la oscilación (ya sea el seno o el coseno). ), reduciendo rápidamente la magnitud de los términos positivos y negativos que se suman.