Transformada Z

En matemáticas y procesamiento de señales, la transformada Z convierte una señal de tiempo discreto, que es una secuencia de números reales o complejos, en un dominio de frecuencia complejo (dominio z o plano z).

Se puede considerar como un equivalente en tiempo discreto de la transformada de Laplace (dominio s). Esta similitud se explora en la teoría del cálculo de la escala de tiempo.

Mientras que la transformada de Fourier en tiempo continuo se evalúa en la línea imaginaria del dominio s de Laplace, la transformada de Fourier en tiempo discreto se evalúa en el círculo unitario del dominio z. Lo que es aproximadamente el semiplano izquierdo del dominio s, ahora es el interior del círculo unitario complejo; lo que es el dominio z fuera del círculo unitario, corresponde aproximadamente al semiplano derecho del dominio s.

Uno de los medios para diseñar filtros digitales es tomar diseños analógicos, someterlos a una transformación bilineal que los asigna desde el dominio s al dominio z, y luego producir el filtro digital mediante inspección, manipulación o análisis numérico. aproximación. Dichos métodos tienden a no ser precisos excepto en las proximidades de la unidad compleja, es decir, a bajas frecuencias.

Historia

Laplace conocía la idea básica que ahora se conoce como transformada Z, y W. Hurewicz y otros la reintrodujeron en 1947 como una forma de tratar los sistemas de control de datos muestreados utilizados con radar. Brinda una forma manejable de resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante. Más tarde se denominó "la transformación z" por Ragazzini y Zadeh en el grupo de control de datos muestreados en la Universidad de Columbia en 1952.

La transformada Z modificada o avanzada fue desarrollada y popularizada posteriormente por E. I. Jury.

La idea contenida en la transformada Z también se conoce en la literatura matemática como el método de generación de funciones que se remonta a 1730 cuando fue presentado por de Moivre junto con la teoría de la probabilidad. Desde un punto de vista matemático, la transformada Z también se puede ver como una serie de Laurent donde uno ve la secuencia de números bajo consideración como la expansión (de Laurent) de una función analítica.

Definición

La transformación Z se puede definir como una transformación de un solo lado o de dos lados. (Al igual que tenemos la transformada de Laplace de un lado y la transformada de Laplace de dos lados).

Transformada Z bilateral

El bilaterales bilaterales o dos caras Z-transforme de una señal discreta-time x[n]{displaystyle x[n]} es la serie de poder formal X()z){displaystyle X(z)} definidas

Donde n{displaystyle n} es un entero y z{displaystyle z} es, en general, un número complejo:

z=Aejφ φ =A⋅ ⋅ ()#⁡ ⁡ φ φ +jpecado⁡ ⁡ φ φ ){displaystyle z=Ae^{jphi }=Acdot (cos {phi }+jsin {phi }}}

Donde A{displaystyle A} es la magnitud de z{displaystyle z}, j{displaystyle j} es la unidad imaginaria, y φ φ {displaystyle phi } es argumento complejo (también denominado ángulo o faseEn radios.

Transformada Z unilateral

Alternativamente, en los casos en que x[n]{displaystyle x[n]} se define sólo para n≥ ≥ 0{displaystyle ngeq 0}, el unilateral o unilateral unilateral unilateral Z-transform se define como

En el procesamiento de señales, esta definición se puede utilizar para evaluar la transformada Z de la respuesta de impulso unitario de un sistema causal de tiempo discreto.

Un ejemplo importante del Z-transform unilateral es la función generadora de probabilidad, donde el componente x[n]{displaystyle x[n]} es la probabilidad de que una variable discreta aleatoria tome el valor n{displaystyle n}, y la función X()z){displaystyle X(z)} generalmente escrito como X()s){displaystyle X(s)} en términos de s=z− − 1{displaystyle s=z^{-1}. Las propiedades de Z-transforms (bajo) tienen interpretaciones útiles en el contexto de la teoría de probabilidad.

Transformada Z inversa

La transformada Z inversa es

Donde C es un camino cerrado en sentido contrario que rodea el origen y completamente en la región de convergencia (ROC). En el caso en que el ROC es causal (ver Ejemplo 2), esto significa el camino C debe rodear todos los polos de X()z){displaystyle X(z)}.

Un caso especial de este contorno integral ocurre cuando C es el círculo de la unidad. Este contorno se puede utilizar cuando el ROC incluye el círculo de unidad, que siempre está garantizado cuando X()z){displaystyle X(z)} es estable, es decir, cuando todos los polos están dentro del círculo de la unidad. Con este contorno, la inversa Z-transform simplifica la inversa transformación discreta Fourier, o serie Fourier, de los valores periódicos de la Z-transform alrededor del círculo unitario:

La transformada Z con un rango finito de n y un número finito de valores z espaciados uniformemente se puede calcular de manera eficiente a través del algoritmo FFT de Bluestein. La transformada de Fourier discreta (DTFT), que no debe confundirse con la transformada discreta de Fourier (DFT), es un caso especial de tal transformada Z obtenida al restringir z para que se encuentre en el círculo unitario.

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) es el conjunto de puntos en el plano complejo para el cual converge la suma de la transformada Z.

<math alttext="{displaystyle mathrm {ROC} =left{z:left|sum _{n=-infty }^{infty }x[n]z^{-n}right|ROC={}z:Silencio.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]z− − nSilencio.JUEGO JUEGO }{displaystyle mathrm {ROC} =left{z:left foreversum _{n=-infty }^{infty }x[n]z^{-n}right obedecidoinftyright}}<img alt="{displaystyle mathrm {ROC} =left{z:left|sum _{n=-infty }^{infty }x[n]z^{-n}right|

Ejemplo 1 (sin ROC)

Vamos x[n]=0.5n{displaystyle x[n]=0.5^{n}. Ampliación x[n] en el intervalo (—∞, ∞) se convierte

x[n]={}...... ,0.5− − 3,0.5− − 2,0.5− − 1,1,0.5,0.52,0.53,...... }={}...... ,23,22,2,1,0.5,0.52,0.53,...... }.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Mirando la suma

.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]z− − n→ → JUEGO JUEGO .{displaystyle sum _{n=-infty }x[n]z^{-n}to infty.}

Por lo tanto, no hay valores de z que satisfagan esta condición.

Ejemplo 2 (ROC causal)

ROC se muestra en azul, el círculo de la unidad como un círculo gris punteado y el círculo TENzTEN = 0,5 se muestra como un círculo negro destrozado

Vamos x[n]=0.5nu[n]{displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n] (donde) u es la función paso Heaviside). Ampliación x[n] en el intervalo (—∞, ∞) se convierte

x[n]={}...... ,0,0,0,1,0.5,0.52,0.53,...... }.{displaystyle x[n]=left{dots0,0,0,1,0.5^{2},0.5^{3},dots right}.

Mirando la suma

.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]z− − n=.. n=0JUEGO JUEGO 0.5nz− − n=.. n=0JUEGO JUEGO ()0.5z)n=11− − 0.5z− − 1.{displaystyle sum _{n=-infty }x[n]z^{-n}=sum ¿Qué? ¿Por qué? {1}{1-0.5z^{-1}}}

La última igualdad surge de la serie geométrica infinita y la igualdad solo se cumple si |0.5z⁻¹| < 1, que se puede reescribir en términos de z como |z| > 0.5. Por lo tanto, la República de China es |z| > 0.5. En este caso, la ROC es el plano complejo con un disco de radio 0,5 en el origen "perforado".

Ejemplo 3 (ROC anti causal)

ROC se muestra en azul, el círculo de la unidad como un círculo gris punteado y el círculo TENzTEN = 0,5 se muestra como un círculo negro destrozado

Vamos x[n]=− − ()0.5)nu[− − n− − 1]{displaystyle x[n]=-(0.5)}U[n-1] (donde) u es la función paso Heaviside). Ampliación x[n] en el intervalo (—∞, ∞) se convierte

x[n]={}...... ,− − ()0.5)− − 3,− − ()0.5)− − 2,− − ()0.5)− − 1,0,0,0,0,...... }.[displaystyle x[n]=left{dots-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,dots right}.

Mirando la suma

.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]z− − n=− − .. n=− − JUEGO JUEGO − − 10.5nz− − n=− − .. m=1JUEGO JUEGO ()z0.5)m=− − 0.5− − 1z1− − 0.5− − 1z=− − 10.5z− − 1− − 1=11− − 0.5z− − 1.{displaystyle sum _{n=-infty }x[n]z^{-n}=-sum - No. }{-1}0.5^{n}z^{-n}=-sum ¿Por qué? {0.5}{-1}z}{1-0.5^{-1}z}=-{frac {1}{0.5z^{-1}}={frac {1}{1-0.5z^{-1}}}

Usando la serie geométrica infinita, nuevamente, la igualdad solo se mantiene si |0.5⁻¹z| < 1 que se puede reescribir en términos de z como |z| < 0.5. Por lo tanto, la República de China es |z| < 0.5. En este caso la ROC es un disco centrado en el origen y de radio 0,5.

Lo que diferencia este ejemplo del ejemplo anterior es solo el ROC. Esto es intencional para demostrar que el resultado de la transformación por sí solo es insuficiente.

Ejemplos de conclusión

Ejemplos 2 y amp; 3 muestran claramente que la transformada Z X(z) de x[n] es única cuando y solo al especificar la ROC. La creación de la gráfica de polo-cero para el caso causal y anticausal muestra que la ROC para cualquiera de los casos no incluye el polo que está en 0.5. Esto se extiende a casos con múltiples polos: el ROC nunca contendrá polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal genera una ROC que incluye |z | = ∞ mientras que el sistema anticausal del ejemplo 3 produce una ROC que incluye |z| = 0.

ROC se muestra como un anillo azul 0,5zTENIDAS

En sistemas con múltiples polos, es posible tener un ROC que no incluya ni |z| = ∞ ni |z| = 0. La República de China crea una banda circular. Por ejemplo,

x[n]=0.5nu[n]− − 0,75nu[− − n− − 1]{displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[n-1]}

tiene polos en 0,5 y 0,75. La ROC será 0,5 < |z| < 0,75, que no incluye ni el origen ni el infinito. Tal sistema se llama sistema de causalidad mixta ya que contiene un término causal (0.5)ⁿu[n] y un término anticausal −(0.75)ⁿu[−n−1].

La estabilidad de un sistema también se puede determinar conociendo solo la ROC. Si la ROC contiene el círculo unitario (es decir, |z| = 1) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal (Ejemplo 2) es estable porque |z| > 0,5 contiene el círculo unitario.

Supongamos que se nos proporciona una transformación Z de un sistema sin ROC (es decir, una x[n] ambigua). Podemos determinar un único x[n] siempre que deseemos lo siguiente:

• Estabilidad
• Causality

Para la estabilidad, la ROC debe contener el círculo unitario. Si necesitamos un sistema causal, la ROC debe contener infinito y la función del sistema será una secuencia del lado derecho. Si necesitamos un sistema anticausal entonces la ROC debe contener el origen y la función del sistema será una secuencia del lado izquierdo. Si necesitamos tanto estabilidad como causalidad, todos los polos de la función del sistema deben estar dentro del círculo unitario.

Entonces se puede encontrar el x[n] único.

Propiedades

Properties of the z-transform

	Time domain	Z-domain	Proof	ROC
Notation	x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } {displaystyle x[n]={mathcal {Z}}^{-1}{X(z)}}	X ( z ) = Z { x [ n ] } {displaystyle X(z)={mathcal {Z}}{x[n]}}		r 2 < | z | < r 1 {displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}
Linearity	a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] {displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}	a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) {displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}	X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 x 1 ( n ) + a 2 x 2 ( n ) ) z − n = a 1 ∑ n = − ∞ ∞ x 1 ( n ) z − n + a 2 ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n ) z − n = a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) {displaystyle {begin{aligned}X(z)&=sum _{n=-infty }^{infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\&=a_{1}sum _{n=-infty }^{infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}sum _{n=-infty }^{infty }x_{2}(n)z^{-n}\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)end{aligned}}}	Contains ROC1 ∩ ROC2
Time expansion	x K [ n ] = { x [ r ] , n = K r 0 , n ∉ K Z {displaystyle x_{K}[n]={begin{cases}x[r],&n=Kr\0,&nnotin Kmathbb {Z} end{cases}}} with K Z := { K r : r ∈ Z } {displaystyle Kmathbb {Z}:={Kr:rin mathbb {Z} }}	X ( z K ) {displaystyle X(z^{K})}	X K ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x K ( n ) z − n = ∑ r = − ∞ ∞ x ( r ) z − r K = ∑ r = − ∞ ∞ x ( r ) ( z K ) − r = X ( z K ) {displaystyle {begin{aligned}X_{K}(z)&=sum _{n=-infty }^{infty }x_{K}(n)z^{-n}\&=sum _{r=-infty }^{infty }x(r)z^{-rK}\&=sum _{r=-infty }^{infty }x(r)(z^{K})^{-r}\&=X(z^{K})end{aligned}}}	R 1 K {displaystyle R^{frac {1}{K}}}
Decimation	x [ K n ] {displaystyle x[Kn]}	1 K ∑ p = 0 K − 1 X ( z 1 K ⋅ e − i 2 π K p ) {displaystyle {frac {1}{K}}sum _{p=0}^{K-1}Xleft(z^{tfrac {1}{K}}cdot e^{-i{tfrac {2pi }{K}}p}right)}	ohio-state.edu or ee.ic.ac.uk
Time delay	x [ n − k ] {displaystyle x[n-k]} with k > 0 {displaystyle k>0} and x : x [ n ] = 0 ∀ n < 0 {displaystyle x:x[n]=0 forall n<0}	z − k X ( z ) {displaystyle z^{-k}X(z)}	Z { x [ n − k ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n − k ] z − n = ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − ( j + k ) j = n − k = ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − j z − k = z − k ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − j = z − k ∑ j = 0 ∞ x [ j ] z − j x [ β ] = 0 , β < 0 = z − k X ( z ) {displaystyle {begin{aligned}Z{x[n-k]}&=sum _{n=0}^{infty }x[n-k]z^{-n}\&=sum _{j=-k}^{infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\&=sum _{j=-k}^{infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\&=z^{-k}sum _{j=-k}^{infty }x[j]z^{-j}\&=z^{-k}sum _{j=0}^{infty }x[j]z^{-j}&&x[beta ]=0,beta <0\&=z^{-k}X(z)end{aligned}}}	ROC, except z = 0 if k > 0 and z = ∞ if k < 0
Time advance	x [ n + k ] {displaystyle x[n+k]} with k > 0 {displaystyle k>0}	Bilateral Z-transform: z k X ( z ) {displaystyle z^{k}X(z)} Unilateral Z-transform: z k X ( z ) − z k ∑ n = 0 k − 1 x [ n ] z − n {displaystyle z^{k}X(z)-z^{k}sum _{n=0}^{k-1}x[n]z^{-n}}
First difference backward	x [ n ] − x [ n − 1 ] {displaystyle x[n]-x[n-1]} with x[n] = 0 for n < 0	( 1 − z − 1 ) X ( z ) {displaystyle (1-z^{-1})X(z)}		Contains the intersection of ROC of X1(z) and z ≠ 0
First difference forward	x [ n + 1 ] − x [ n ] {displaystyle x[n+1]-x[n]}	( z − 1 ) X ( z ) − z x [ 0 ] {displaystyle (z-1)X(z)-zx[0]}
Time reversal	x [ − n ] {displaystyle x[-n]}	X ( z − 1 ) {displaystyle X(z^{-1})}	Z { x ( − n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ x ( − n ) z − n = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) z m = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) ( z − 1 ) − m = X ( z − 1 ) {displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}{x(-n)}&=sum _{n=-infty }^{infty }x(-n)z^{-n}\&=sum _{m=-infty }^{infty }x(m)z^{m}\&=sum _{m=-infty }^{infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\&=X(z^{-1})\end{aligned}}}	1 r 1 < | z | < 1 r 2 {displaystyle {tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{tfrac {1}{r_{2}}}}
Scaling in the z-domain	a n x [ n ] {displaystyle a^{n}x[n]}	X ( a − 1 z ) {displaystyle X(a^{-1}z)}	Z { a n x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ a n x ( n ) z − n = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( a − 1 z ) − n = X ( a − 1 z ) {displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}left{a^{n}x[n]right}&=sum _{n=-infty }^{infty }a^{n}x(n)z^{-n}\&=sum _{n=-infty }^{infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\&=X(a^{-1}z)end{aligned}}}	| a | r 2 < | z | < | a | r 1 {displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}
Complex conjugation	x ∗ [ n ] {displaystyle x^{*}[n]}	X ∗ ( z ∗ ) {displaystyle X^{*}(z^{*})}	Z { x ∗ ( n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ x ∗ ( n ) z − n = ∑ n = − ∞ ∞ [ x ( n ) ( z ∗ ) − n ] ∗ = [ ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( z ∗ ) − n ] ∗ = X ∗ ( z ∗ ) {displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}{x^{*}(n)}&=sum _{n=-infty }^{infty }x^{*}(n)z^{-n}\&=sum _{n=-infty }^{infty }left[x(n)(z^{*})^{-n}right]^{*}\&=left[sum _{n=-infty }^{infty }x(n)(z^{*})^{-n}right]^{*}\&=X^{*}(z^{*})end{aligned}}}
Real part	Re ⁡ { x [ n ] } {displaystyle operatorname {Re} {x[n]}}	1 2 [ X ( z ) + X ∗ ( z ∗ ) ] {displaystyle {tfrac {1}{2}}left[X(z)+X^{*}(z^{*})right]}
Imaginary part	Im ⁡ { x [ n ] } {displaystyle operatorname {Im} {x[n]}}	1 2 j [ X ( z ) − X ∗ ( z ∗ ) ] {displaystyle {tfrac {1}{2j}}left[X(z)-X^{*}(z^{*})right]}
Differentiation	n x [ n ] {displaystyle nx[n]}	− z d X ( z ) d z {displaystyle -z{frac {dX(z)}{dz}}}	Z { n x ( n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ n x ( n ) z − n = z ∑ n = − ∞ ∞ n x ( n ) z − n − 1 = − z ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( − n z − n − 1 ) = − z ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) d d z ( z − n ) = − z d X ( z ) d z {displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}{nx(n)}&=sum _{n=-infty }^{infty }nx(n)z^{-n}\&=zsum _{n=-infty }^{infty }nx(n)z^{-n-1}\&=-zsum _{n=-infty }^{infty }x(n)(-nz^{-n-1})\&=-zsum _{n=-infty }^{infty }x(n){frac {d}{dz}}(z^{-n})\&=-z{frac {dX(z)}{dz}}end{aligned}}}	ROC, if X ( z ) {displaystyle X(z)} is rational; ROC possibly excluding the boundary, if X ( z ) {displaystyle X(z)} is irrational
Convolution	x 1 [ n ] ∗ x 2 [ n ] {displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}	X 1 ( z ) X 2 ( z ) {displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}	Z { x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) } = Z { ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) x 2 ( n − l ) } = ∑ n = − ∞ ∞ [ ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) x 2 ( n − l ) ] z − n = ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) [ ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n − l ) z − n ] = [ ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) z − l ] [ ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n ) z − n ] = X 1 ( z ) X 2 ( z ) {displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}{x_{1}(n)*x_{2}(n)}&={mathcal {Z}}left{sum _{l=-infty }^{infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)right}\&=sum _{n=-infty }^{infty }left[sum _{l=-infty }^{infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)right]z^{-n}\&=sum _{l=-infty }^{infty }x_{1}(l)left[sum _{n=-infty }^{infty }x_{2}(n-l)z^{-n}right]\&=left[sum _{l=-infty }^{infty }x_{1}(l)z^{-l}right]!!left[sum _{n=-infty }^{infty }x_{2}(n)z^{-n}right]\&=X_{1}(z)X_{2}(z)end{aligned}}}	Contains ROC1 ∩ ROC2
Cross-correlation	r x 1 , x 2 = x 1 ∗ [ − n ] ∗ x 2 [ n ] {displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}	R x 1 , x 2 ( z ) = X 1 ∗ ( 1 z ∗ ) X 2 ( z ) {displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}		Contains the intersection of ROC of X 1 ( 1 z ∗ ) {displaystyle X_{1}({tfrac {1}{z^{*}}})} and X 2 ( z ) {displaystyle X_{2}(z)}
Accumulation	∑ k = − ∞ n x [ k ] {displaystyle sum _{k=-infty }^{n}x[k]}	1 1 − z − 1 X ( z ) {displaystyle {frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}	∑ n = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ n x [ k ] z − n = ∑ n = − ∞ ∞ ( x [ n ] + ⋯ + x [ − ∞ ] ) z − n = X ( z ) ( 1 + z − 1 + z − 2 + ⋯ ) = X ( z ) ∑ j = 0 ∞ z − j = X ( z ) 1 1 − z − 1 {displaystyle {begin{aligned}sum _{n=-infty }^{infty }sum _{k=-infty }^{n}x[k]z^{-n}&=sum _{n=-infty }^{infty }(x[n]+cdots +x[-infty ])z^{-n}\&=X(z)left(1+z^{-1}+z^{-2}+cdots right)\&=X(z)sum _{j=0}^{infty }z^{-j}\&=X(z){frac {1}{1-z^{-1}}}end{aligned}}}
Multiplication	x 1 [ n ] x 2 [ n ] {displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}	1 j 2 π ∮ C X 1 ( v ) X 2 ( z v ) v − 1 d v {displaystyle {frac {1}{j2pi }}oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({tfrac {z}{v}})v^{-1}mathrm {d} v}		-

Teorema de Parseval

.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x1[n]x2Alternativa Alternativa [n]=1j2π π ∮ ∮ CX1()v)X2Alternativa Alternativa ()1vAlternativa Alternativa )v− − 1dv{displaystyle sum _{n=-infty }{infty }x_{1}[n]x_{2}[n]quad =quad {frac] {1}{j2pi ♪ ♪♪ ¿Por qué?

Teorema del valor inicial: si x[n] es causal, entonces

x[0]=limz→ → JUEGO JUEGO X()z).{displaystyle x[0]=lim _{zto infty }X(z).}

Teorema del valor final: si los polos de (z − 1)X(z) están dentro el círculo unitario, entonces

x[JUEGO JUEGO ]=limz→ → 1()z− − 1)X()z).{displaystyle x[infty ]=lim _{zto 1}(z-1)X(z). }

Tabla de pares de transformadas Z comunes

Aquí:

<math alttext="{displaystyle u:nmapsto u[n]={begin{cases}1,&ngeq 0\0,&nu:n↦ ↦ u[n]={}1,n≥ ≥ 00,n.0{displaystyle u:nmapsto u[n]={begin{cases}1, reducidangeq 0, limitadan 0end{cases}}<img alt="u:nmapsto u[n]={begin{cases}1,&ngeq 0\0,&n

es la función de paso unitario (o Heaviside) y

δ δ :n↦ ↦ δ δ [n]={}1,n=00,nل ل 0{displaystyle delta:nmapsto delta [n]={begin{cases}1, implican=0, recurnneq 0end{cases}}

es la función de impulso unitario de tiempo discreto (véase la función delta de Dirac, que es una versión de tiempo continuo). Las dos funciones se eligen juntas para que la función de escalón unitario sea la acumulación (total acumulado) de la función de impulso unitario.

	Signal, x[n]{displaystyle x[n]}	Z-transform, X()z){displaystyle X(z)}	ROC
1	δ δ [n]{displaystyle delta [n]}	1	Todos z
2	δ δ [n− − n0]{displaystyle delta [n-n_{0}}	z− − n0{displaystyle z^{-n_{0}}	zل ل 0{displaystyle zneq 0}
3	u[n]{displaystyle u[n],}	11− − z− − 1{displaystyle {frac}{1-z^{-1}}	1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■1{displaystyle Никованиваных}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b679aa1ea7b5c6d6d06a1210b4923aad2c017377" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.643ex; height:2.843ex;"/>
4	− − u[− − n− − 1]{displaystyle -u[-n-1]	11− − z− − 1{displaystyle {frac}{1-z^{-1}}	<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.1{displaystyle Silencioz habit1}<img alt="|z|
5	nu[n]{displaystyle nu[n]}	z− − 1()1− − z− − 1)2{displaystyle {frac {f}{1-z^{-1}}}} {f}}}} {f}}	1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■1{displaystyle Никованиваных}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b679aa1ea7b5c6d6d06a1210b4923aad2c017377" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.643ex; height:2.843ex;"/>
6	− − nu[− − n− − 1]{displaystyle -nu[-n-1],}	z− − 1()1− − z− − 1)2{displaystyle {frac {f}{1-z^{-1}}}} {f}}}} {f}}	<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.1{displaystyle Silencioz habit1}<img alt="|z|
7	n2u[n]{displaystyle n^{2}u[n]	z− − 1()1+z− − 1)()1− − z− − 1)3{displaystyle {frac {f}(1+z^{-1}}{(1-z^{-1}} {}}}}}}}}	1,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■1{displaystyle Silencioz intimidad1}1," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4eb8070ce6a0fa563ba5c9f6155a17519ab211" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.03ex; height:2.843ex;"/>
8	− − n2u[− − n− − 1]{displaystyle -n^{2}u [-n-1],}	z− − 1()1+z− − 1)()1− − z− − 1)3{displaystyle {frac {f}(1+z^{-1}}{(1-z^{-1}} {}}}}}}}}	<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.1{fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="|z|
9	n3u[n]{displaystyle n^{3}u[n]	z− − 1()1+4z− − 1+z− − 2)()1− − z− − 1)4{displaystyle {frac {f}(1+4z^{-1}+z^{-2}{(1-z^{-1})}}}}}}	1,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■1{displaystyle Silencioz intimidad1}1," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4eb8070ce6a0fa563ba5c9f6155a17519ab211" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.03ex; height:2.843ex;"/>
10	− − n3u[− − n− − 1]{displaystyle -n^{3}u [-n-1]	z− − 1()1+4z− − 1+z− − 2)()1− − z− − 1)4{displaystyle {frac {f}(1+4z^{-1}+z^{-2}{(1-z^{-1})}}}}}}	<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.1{fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="|z|
11	anu[n]{displaystyle a^{n}u[n]	11− − az− − 1{displaystyle {frac}{1-az^{-1}}	|a|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■SilencioaSilencio{displaystyle Никованиваниниваниваниный ненный неныхный неленный неный неный неленыеный неный неный неный ный ный неный ный нененый ный нененый ный ный ный ный ный ный ный нененененый неный неный ный ный неный неный неный нененый неный ный нененый нененый неный ны|a|" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc546b7341068b465e752d7cdd3298fc25333fc" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.004ex; height:2.843ex;"/>
12	− − anu[− − n− − 1]{displaystyle -a^{n}u [-n-1]	11− − az− − 1{displaystyle {frac}{1-az^{-1}}	<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.SilencioaSilencio{displaystyle Нововованиваниваниванинываныйный ненный нельный неный неный нелентеныеный неныеный ныеный ный ный ный ный ненененый ный ный нененый ный ный ный ный ный нененененененый нененый неный ный ный ный нененый неный нененый неный ный нененый нененый неный не<img alt="|z|
13	nanu[n]{displaystyle na^{n}u[n]	az− − 1()1− − az− − 1)2{fnMicroc {fnK} {fnMicroc}}}} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}} {fnK}}}}}}}}}}}	|a|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■SilencioaSilencio{displaystyle Никованиваниниваниваниный ненный неныхный неленный неный неный неленыеный неный неный неный ный ный неный ный нененый ный нененый ный ный ный ный ный ный ный нененененый неный неный ный ный неный неный неный нененый неный ный нененый нененый неный ны|a|" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc546b7341068b465e752d7cdd3298fc25333fc" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.004ex; height:2.843ex;"/>
14	− − nanu[− − n− − 1]{displaystyle -na^{n}u [-n-1]	az− − 1()1− − az− − 1)2{fnMicroc {fnK} {fnMicroc}}}} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}} {fnK}}}}}}}}}}}	<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.SilencioaSilencio{displaystyle Нововованиваниваниванинываныйный ненный нельный неный неный нелентеныеный неныеный ныеный ный ный ный ный ненененый ный ный нененый ный ный ный ный ный нененененененый нененый неный ный ный ный нененый неный нененый неный ный нененый нененый неный не<img alt="|z|
15	n2anu[n]{displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}	az− − 1()1+az− − 1)()1− − az− − 1)3{displaystyle {frac {az^{-1}(1+az^{-1}}{(1-az^{-1}}}}} {}}}}	|a|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■SilencioaSilencio{displaystyle Никованиваниниваниваниный ненный неныхный неленный неный неный неленыеный неный неный неный ный ный неный ный нененый ный нененый ный ный ный ный ный ный ный нененененый неный неный ный ный неный неный неный нененый неный ный нененый нененый неный ны|a|" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc546b7341068b465e752d7cdd3298fc25333fc" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.004ex; height:2.843ex;"/>
16	− − n2anu[− − n− − 1]{displaystyle -n^{2}a^{n}u[n-1]	az− − 1()1+az− − 1)()1− − az− − 1)3{displaystyle {frac {az^{-1}(1+az^{-1}}{(1-az^{-1}}}}} {}}}}	<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.SilencioaSilencio{displaystyle Нововованиваниваниванинываныйный ненный нельный неный неный нелентеныеный неныеный ныеный ный ный ный ный ненененый ный ный нененый ный ный ный ный ный нененененененый нененый неный ный ный ный нененый неный нененый неный ный нененый нененый неный не<img alt="|z|
17	()n+m− − 1m− − 1)anu[n]{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}	1()1− − az− − 1)m{displaystyle {frac {1}{-1}}}} {f}}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}, para entero positivo m{displaystyle m}	|a|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■SilencioaSilencio{displaystyle Никованиваниниваниваниный ненный неныхный неленный неный неный неленыеный неный неный неный ный ный неный ный нененый ный нененый ный ный ный ный ный ный ный нененененый неный неный ный ный неный неный неный нененый неный ный нененый нененый неный ны|a|" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc546b7341068b465e752d7cdd3298fc25333fc" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.004ex; height:2.843ex;"/>
18	()− − 1)m()− − n− − 1m− − 1)anu[− − n− − m]{displaystyle (-1)^{m}left({begin{array}{c}-n-1m-1end{array}}right)a^{n}u[n-m]}	1()1− − az− − 1)m{displaystyle {frac {1}{-1}}}} {f}}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}, para entero positivo m{displaystyle m}	<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.SilencioaSilencio{displaystyle Нововованиваниваниванинываныйный ненный нельный неный неный нелентеныеный неныеный ныеный ный ный ный ный ненененый ный ный нененый ный ный ный ный ный нененененененый нененый неный ный ный ный нененый неный нененый неный ный нененый нененый неный не<img alt="|z|
19	#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0n)u[n]{displaystyle cos(omega _{0}n)u[n]}	1− − z− − 1#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0)1− − 2z− − 1#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0)+z− − 2{displaystyle {frac {1-z^{-1}cos(omega _{0}}{1-2z^{-1}cos(omega _{0})+z^{-2}}}}	1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■1{displaystyle Никованиваных}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b679aa1ea7b5c6d6d06a1210b4923aad2c017377" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.643ex; height:2.843ex;"/>
20	pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0n)u[n]{displaystyle sin(omega _{0}n)u[n]}	z− − 1pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0)1− − 2z− − 1#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0)+z− − 2{displaystyle {frac {fn0}fnMiega _{0}{1-2z^{-1}cos(omega _{0})+z^{-2}}}	1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■1{displaystyle Никованиваных}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b679aa1ea7b5c6d6d06a1210b4923aad2c017377" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.643ex; height:2.843ex;"/>
21	an#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0n)u[n]{displaystyle a^{n}cos(omega _{0}n)u[n]	1− − az− − 1#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0)1− − 2az− − 1#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0)+a2z− − 2{displaystyle {frac {1-az^{-1}cos(omega _{0}}{1-2az^{-1}cos(omega _{0})+a^{2}}}}}}	|a|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■SilencioaSilencio{displaystyle Никованиваниниваниваниный ненный неныхный неленный неный неный неленыеный неный неный неный ный ный неный ный нененый ный нененый ный ный ный ный ный ный ный нененененый неный неный ный ный неный неный неный нененый неный ный нененый нененый неный ны|a|" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc546b7341068b465e752d7cdd3298fc25333fc" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.004ex; height:2.843ex;"/>
22	anpecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0n)u[n]{displaystyle a^{n}sin(omega _{0}n)u[n]	az− − 1pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0)1− − 2az− − 1#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0)+a2z− − 2{displaystyle {frac {fn0}fnMiega _{0}{1-2az^{-1}cos(omega _{0})+a^{2}}}}}}}	|a|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozSilencio■SilencioaSilencio{displaystyle Никованиваниниваниваниный ненный неныхный неленный неный неный неленыеный неный неный неный ный ный неный ный нененый ный нененый ный ный ный ный ный ный ный нененененый неный неный ный ный неный неный неный нененый неный ный нененый нененый неный ны|a|" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc546b7341068b465e752d7cdd3298fc25333fc" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.004ex; height:2.843ex;"/>

Relación con la serie de Fourier y la transformada de Fourier

Para valores z{displaystyle z} en la región SilenciozSilencio=1{displaystyle Silencioso, conocido como el círculo de unidad, podemos expresar la transformación como una función de una sola variable real, ω, definiendo z=ej⋅ ⋅ {displaystyle z=e^{jomega }. Y la transformación bilateral se reduce a una serie Fourier:

.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]z− − n=.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]e− − j⋅ ⋅ n,{displaystyle sum _{n=-infty }{infty }x[n] z^{-n}=sum _{n=-infty }{infty }x[n] e^{-jomega n}}}

()Eq.4)

que también se conoce como la discreta transformación Fourier (DTFT) de la x[n]{displaystyle x[n]} secuencia. Este 2π- función periódica es la sumación periódica de un transformado Fourier, que lo convierte en una herramienta de análisis ampliamente utilizada. Para entender esto, vamos X()f){displaystyle X(f)} ser la transformación Fourier de cualquier función, x()t){displaystyle x(t)}, cuyas muestras a algún intervalo, T, igual a x[nsecuencia. Entonces el DTFT del x[n] secuencia se puede escribir como sigue.

.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x()nT)⏞ ⏞ x[n]e− − j2π π fnT⏟ ⏟ DTFT=1T.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO X()f− − k/T).{displaystyle underbrace {sum _{n=-infty }infty }overbrace {x(nT)} ^{x[n] ¿Qué? {1}}sum _{k=-infty }{infty }X(f-k/T). }

()Eq.5)

Cuando T tiene unidades de segundos, f{displaystyle scriptstyle f} tiene unidades de hertz. Comparación de las dos series revela que⋅ ⋅ =2π π fT{displaystyle omega =2pi fT}es una frecuencia normalizada con unidad de radiante por muestra. El valor ⋅ = 2π corresponde a f=1T{textstyle f={frac {1} {}}}. Y ahora, con la sustituciónf=⋅ ⋅ 2π π T,{textstyle f={frac {omega }{2pi} T}} Eq.4 se puede expresar en términos de la transformación Fourier, X(•):

.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]e− − j⋅ ⋅ n=1T.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO X()⋅ ⋅ 2π π T− − kT)⏟ ⏟ X()⋅ ⋅ − − 2π π k2π π T).{displaystyle sum _{n=-infty }{infty }x[n] e^{-jomega No. {1}{T}sum _{k=-infty. {Xleft({tfrac {omega }{2pi} T}-{tfrac {k} {T}right)} ¿Por qué?

()Eq.6)

Como parámetro T cambios, los términos individuales Eq.5 moverse más lejos o más juntos a lo largo de f-Eje. In Eq.6 sin embargo, los centros permanecen 2π separados, mientras sus anchos se expanden o se contraen. Cuando secuencia x()nT) representa la respuesta de impulso de un sistema LTI, estas funciones también se conocen como su respuesta de frecuencia. Cuando el x()nT){displaystyle x(nT)} secuencia es periódica, su DTFT es divergente en una o más frecuencias armónicas, y cero en todas las demás frecuencias. Esto a menudo está representado por el uso de funciones dirac delta de amplitud variable en las frecuencias armónicas. Debido a la periodicidad, sólo hay un número finito de amplitudes únicas, que son fácilmente computadas por la transformación Fourier más simple (DFT). (Véase Discreta-time Cuatroier transform § Datos periódicos.)

Relación con la transformada de Laplace

Transformada bilineal

La transformada bilineal se puede utilizar para convertir filtros de tiempo continuo (representados en el dominio de Laplace) en filtros de tiempo discreto (representados en el dominio Z) y viceversa. Se utiliza la siguiente sustitución:

s=2T()z− − 1)()z+1){displaystyle s={frac {2} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {c}} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}}} {f}} {fnK} {fnMicroc {fnMicroc}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}} {f} {f}}}} {f}}}} {f} {f}}} {f}}} {f}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

para convertir alguna función H()s){displaystyle H(s)} en el dominio Laplace a una función H()z){displaystyle H(z)} en el dominio Z (transformación tustin), o

z=esT.. 1+sT/21− − sT/2{displaystyle z=e^{sT}approx {frac {1+sT/2}{1-sT/2}}

desde el dominio Z al dominio Laplace. A través de la transformación bilineal, el complejo s-plano (de la transformación de Laplace) se mapea al complejo z-plane (del z-transform). Si bien este mapeo es (necesariamente) no lineal, es útil en que mapea todo j⋅ ⋅ {displaystyle jomega } eje del s- Avión sobre el círculo de la unidad en el plano z. Como tal, la transformación Fourier (que es la transformación de Laplace evaluada en el j⋅ ⋅ {displaystyle jomega } axis) se convierte en la transformación discreta de Fourier. Esto supone que la transformación Fourier existe; es decir, que j⋅ ⋅ {displaystyle jomega } axis está en la región de convergencia de la transformación de Laplace.

Transformación destacada

Dada una transformada Z unilateral, X(z), de una función muestreada en el tiempo, la correspondiente transformación destacada produce una transformada de Laplace y restaura la dependencia del parámetro de muestreo, T:

XAlternativa Alternativa ()s)=X()z)Silencioz=esT{displaystyle {bigg.}X^{*}(s)=X(z){bigg Silencio.

La transformada inversa de Laplace es una abstracción matemática conocida como función muestreada por impulso.

Ecuación lineal en diferencias de coeficiente constante

La ecuación de diferencia de coeficiente constante lineal (LCCD) es una representación de un sistema lineal basado en la ecuación de media móvil autorregresiva.

.. p=0NSí.[n− − p]α α p=.. q=0Mx[n− − q]β β q{displaystyle sum _{p=0}{N}y[n-p]alpha _{p}=sum ¿Qué?

Ambos lados de la ecuación anterior se pueden dividir por α₀, si no es cero, normalizando α₀ = 1 y la ecuación LCCD se puede escribir

Sí.[n]=.. q=0Mx[n− − q]β β q− − .. p=1NSí.[n− − p]α α p.{displaystyle y[n]=sum _{q=0}{M}x[n-q]beta _{q}-sum ¿Por qué?

Esta forma de la ecuación LCCD es favorable para hacer más explícito que el "actual" la salida y[n] es una función de las salidas anteriores y[n − p], entrada actual x[n] y entradas anteriores x[n − q].

Función de transferencia

Tomando la transformada Z de la ecuación anterior (usando las leyes de linealidad y cambio de tiempo) se obtiene

Y()z).. p=0Nz− − pα α p=X()z).. q=0Mz− − qβ β q{displaystyle Y(z)sum ¿Por qué? _{p}=X(z)sum ¿Qué? _{qq}

y reorganizar los resultados en

H()z)=Y()z)X()z)=.. q=0Mz− − qβ β q.. p=0Nz− − pα α p=β β 0+z− − 1β β 1+z− − 2β β 2+⋯ ⋯ +z− − Mβ β Mα α 0+z− − 1α α 1+z− − 2α α 2+⋯ ⋯ +z− − Nα α N.{displaystyle H(z)={frac {Y(z)}{X(z)}={frac {sum ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? - ¿Qué? _{2}+cdots +z^{-M}beta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué? ¿Por qué? _{2}+cdots +z^{-N}alpha.

Ceros y polos

Del teorema fundamental del álgebra, el numerador tiene raíces M (correspondientes a los ceros de H) y el denominador tiene raíces N (correspondientes a los polos). Reescribiendo la función de transferencia en términos de ceros y polos

H()z)=()1− − q1z− − 1)()1− − q2z− − 1)⋯ ⋯ ()1− − qMz− − 1)()1− − p1z− − 1)()1− − p2z− − 1)⋯ ⋯ ()1− − pNz− − 1),{displaystyle H(z)={frac {1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2})cdots (1-q_{M}z^{-1} {1-p_{1})(1-p_{2}z^{-1})cdots {-p_{N}}}}}} }

donde q_k es el késimo cero y p_k es el polo késimo. Los ceros y los polos son comúnmente complejos y cuando se grafican en el plano complejo (plano z) se denomina gráfica de polo-cero.

Además, también pueden existir ceros y polos en z = 0 y z = ∞. Si tomamos en consideración estos polos y ceros, así como los ceros y polos de orden múltiple, el número de ceros y polos es siempre igual.

Al factorizar el denominador, se puede usar la descomposición en fracciones parciales, que luego se puede transformar nuevamente al dominio del tiempo. Hacerlo daría como resultado la respuesta de impulso y la ecuación de diferencia de coeficiente constante lineal del sistema.

Respuesta de salida

Si tal sistema H()z) es impulsado por una señal X()z) entonces la salida es Y()z) H()z)X()z). Realizando la descomposición parcial de la fracción Y()z) y luego tomar el inverso Z-transforma la salida Sí.[nSe puede encontrar. En la práctica, a menudo es útil descomponer fraccionalmente Y()z)z{displaystyle textstyle {frac {}{z}}} antes de multiplicar esa cantidad z para generar una forma de Y()z) que tiene términos con fácilmente computable inverse Z-transforms.