Transformada inversa de Laplace

En matemáticas, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función real restringida exponencialmente y continua por tramos f(t) que tiene la propiedad:

L{}f}()s)=L{}f()t)}()s)=F()s),{fnMitcal {fnMitcal} {f} {fnMitcal}f(s)}(s)=F(s),}

Donde L{displaystyle {fnMithcal}} denota la transformación de Laplace.

Se puede demostrar que, si una función F(s) tiene la transformada inversa de Laplace f(t), entonces f(t) se determina de forma única (considerando funciones que difieren entre sí solo en un conjunto de puntos que tienen la misma medida cero de Lebesgue). Este resultado fue probado por primera vez por Mathias Lerch en 1903 y se conoce como el teorema de Lerch.

La transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace juntas tienen una serie de propiedades que las hacen útiles para analizar sistemas dinámicos lineales.

Fórmula inversa de Mellin

Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada fórmula inversa de Mellin, integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin, viene dada por la integral de línea:

f()t)=L− − 1{}F()s)}()t)=12π π ilimT→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ γ γ − − iTγ γ +iTestF()s)ds{displaystyle f(t)={mathcal {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {1}{2pi} ¿Qué? Tto infty }int _{gamma - ¿Qué?

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que el parte real de todas las singularidades de F(s) y F(s) está acotada en la línea, por ejemplo, si la ruta de contorno está en la región de convergencia. Si todas las singularidades están en el semiplano izquierdo, o F(s) es una función completa, entonces γ se puede establecer en cero y el La fórmula integral inversa anterior se vuelve idéntica a la transformada inversa de Fourier.

En la práctica, se puede calcular la integral compleja utilizando el teorema del residuo de Cauchy.

Fórmula de inversión de la publicación

La fórmula de inversión de Post para las transformadas de Laplace, llamada así por Emil Post, es una fórmula de aspecto simple pero poco práctica para evaluar una transformada inversa de Laplace.

El enunciado de la fórmula es el siguiente: Sea f(t) una función continua en el intervalo [0, ∞) de orden exponencial, es decir,

0}{frac {f(t)}{e^{bt}}}Supt■0f()t)ebt.JUEGO JUEGO {displaystyle sup _{t confianza0}{frac {f(t)}{e^{bt}} {infty }} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}} {f}0} frac{f(t)}{e^{bt}}

para algún número real b. Entonces para todos los s > b, la transformada de Laplace para f(t) existe y es infinitamente diferenciable con respecto a s. Además, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), entonces la transformada inversa de Laplace de F(s) viene dada por

f()t)=L− − 1{}F}()t)=limk→ → JUEGO JUEGO ()− − 1)kk!()kt)k+1F()k)()kt){displaystyle f(t)={mathcal {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}left({frac} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc} {fnMicroc}}} {f}}}}}}}}}}}}}f}}}m}}m}}m}m}m}m}}}}}m} {m} {m} {m} {m} {m}}m}}}}} {m} {m} {m}}}}}}}}}}}m} {m} {m}m}}m}m} {m} {m} {m} {m} {m}}m}}}}}}}}}}}}}}}} {k} {t}right)}{k+1}F^{(k)}left({frac {k}{t}}right)}

para t > 0, donde F^(k) es la k-ésima derivada de F con respecto a s.

Como se puede ver en la fórmula, la necesidad de evaluar derivados de órdenes arbitrariamente altos hace que esta fórmula no sea práctica para la mayoría de los propósitos.

Con el advenimiento de las poderosas computadoras personales, los principales esfuerzos para usar esta fórmula provienen de tratar con aproximaciones o análisis asintóticos de la transformada inversa de Laplace, usando la integral diferente de Grunwald-Letnikov para evaluar las derivadas.

La inversión de Post ha atraído el interés debido a la mejora en la ciencia computacional y al hecho de que no es necesario saber dónde están los polos de F(s) mentira, que permiten calcular el comportamiento asintótico para grandes x utilizando transformadas de Mellin inversas para varias funciones aritméticas relacionadas con la hipótesis de Riemann.

Herramientas de software

• InverseLaplaceTransform realiza transformaciones inversas simbólicas en Mathematica
• Inversión numérica de Laplace Transform con Múltiple Precisión Usando el Dominio Complejo en Mathematica ofrece soluciones numéricas
• ilaplace realiza transformaciones inversas simbólicas en MATLAB
• Inversión numérica de transformaciones Laplace en Matlab
• Inversión numérica de Laplace Transforms basado en funciones matriz-exponencial concentradas en Matlab