Transformada de radón

En matemáticas, la transformada de radón es la transformada integral que lleva una función f definida en el plano a una función Rf definida en el plano. Espacio (bidimensional) de líneas en el plano, cuyo valor en una línea particular es igual a la integral de línea de la función sobre esa línea. La transformada fue introducida en 1917 por Johann Radon, quien también proporcionó una fórmula para la transformada inversa. Radon también incluyó fórmulas para la transformada en tres dimensiones, en las que la integral se toma en planos (la integración en líneas se conoce como transformada de rayos X). Posteriormente se generalizó a espacios euclidianos de dimensiones superiores y, más ampliamente, en el contexto de la geometría integral. El análogo complejo de la transformada de radón se conoce como transformada de Penrose. La transformada de radón es ampliamente aplicable a la tomografía, la creación de una imagen a partir de los datos de proyección asociados con escaneos transversales de un objeto.

Explicación

Si una función${displaystyle f}$ representa una densidad desconocida, entonces la transformación Radon representa los datos de proyección obtenidos como la salida de un escaneo tomográfica. Por lo tanto, el inverso de la transformación Radon se puede utilizar para reconstruir la densidad original de los datos de proyección, y por lo tanto forma el soporte matemático para la reconstrucción tomográfica, también conocido como reconstrucción iterativa.

Los datos de la transformada de radón a menudo se denominan sinograma porque la transformada de radón de una fuente puntual descentrada es una sinusoide. En consecuencia, la transformada de radón de varios objetos pequeños aparece gráficamente como una serie de ondas sinusoidales borrosas con diferentes amplitudes y fases.

La transformada de radón es útil en tomografía axial computarizada (TAC), escáneres de códigos de barras, microscopía electrónica de conjuntos macromoleculares como virus y complejos de proteínas, sismología de reflexión y en la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas.

Definición

Vamos ${displaystyle f({textbf {x})=f(x,y)}$ ser una función que satisface las tres condiciones de regularidad:

1. ${displaystyle f({textbf {x})}$ es continuo;
2. doble integral ${displaystyle iint {dfrac {vert f({textbf {x})vert }{sqrt {x^{2}+y^{2}},dx,dy}$, que se extiende sobre todo el plano, converge;
3. para cualquier punto arbitrario ${displaystyle (x,y)}$ en el avión sostiene que ${displaystyle lim _{rto infty }int _{0}{2pi }f(x+rcos varphiy+rsin varphi),dvarphi =0}$

El Radon se transforma, ${displaystyle Rf.$, es una función definida en el espacio de líneas rectas ${displaystyle Lsubset mathbb {R} ^{2}$ por la línea integral a lo largo de cada línea tal como:

$${displaystyle Rf(L)=int _{L}f(mathbf {x})vert dmathbf {x} vert.}$$

${displaystyle L.$

${displaystyle z}$

$${displaystyle (x(z),y(z)={Big (}(zsin alpha +scos alpha),(-zcos alpha +ssin alpha){Big)},}$$

${displaystyle s}$

${displaystyle L.$

${displaystyle alpha }$

${displaystyle L.$

${displaystyle X}$

${displaystyle (alphas)}$

${displaystyle mathbb {R} {2}}$

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {nMicrosoft Sans Serif} {nMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f}f}ffnMicrosoft Sans Ser]$$

${displaystyle n}$

${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$

${displaystyle f}$

${displaystyle Rf.$

${displaystyle Sigma _{n}$

${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$

Shepp Logan fantasma

Transformación de Radon

Transformación de Radón Inverso

$${displaystyle Rf(xi)=int _{xi }f(mathbf {x}),dsigma (mathbf {x}),quad forall xi in Sigma _{n}$$

${displaystyle dsigma}$

${displaystyle vert dmathbf {x} vert }$

${displaystyle 2}$

${displaystyle Sigma _{n}$

${displaystyle mathbf {x} cdot alpha #$

${displaystyle alpha in S^{n-1}$

${displaystyle sin mathbb {R}$

${displaystyle n}$

${displaystyle S^{n-1}times mathbb {R}$

$${displaystyle Rf(alphas)=int _{mathbf {x} cdot alpha =s}f(mathbf {x}),dsigma (mathbf {x}). }$$

${displaystyle k}$

${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$

Relación con la transformada de Fourier

La transformada de radón está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier. Aquí definimos la transformada de Fourier univariada como:

$${displaystyle {hat {f}(omega)=int _{-infty }{infty }f(x)e^{-2pi ixomega },dx.}$$

${displaystyle 2}$

${displaystyle mathbf {x} =(x,y)}$

$${displaystyle {hat {f}(mathbf {w})=iint _{mathbb {R} }f(mathbf {x})e^{-2pi imathbf {x} cdot mathbf {w},dx,dy.}$$

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f]} {f} {f]}$

$${displaystyle {sigma}={sigma} {sigma}} {sigma)={sigma}(sigma mathbf {n} (alpha)}}} {cHFF}$$

${displaystyle mathbf {n} (alpha)=(cos alphasin alpha). }$

Así la transformación bidimensional de Fourier de la función inicial a lo largo de una línea en el ángulo de inclinación ${displaystyle alpha }$ es la única transformación de Fourier de la transformación de Radon (aprendida en ángulo ${displaystyle alpha }$) de esa función. Este hecho se puede utilizar para calcular tanto la transformación Radon como su inverso. El resultado puede ser generalizado n dimensiones:

$${displaystyle {hat {f}(ralpha)=int _{mathbb {R} {fnMitcal {}f(alfas)e^{-2pi isr},ds.}$$

Transformación dual

El doble transformado Radon es una especie de unión a la transformación Radon. Comenzando con una función g sobre el espacio ${displaystyle Sigma _{n}$, el doble transformado de Radon es la función ${fnMicrosoft Sans Serif}$ on Rⁿ definida por:

$${displaystyle {mathcal {R}{*}g(mathbf {x}=int _{mathbf {x} in xi }g(xi),dmu (xi).}$$

${displaystyle {textbf {x}in mathbb {R} {fn}$

${displaystyle dmu}$

${displaystyle {xi Нmathbf {x} in xi}$

${displaystyle mathbf {x}$

Concretamente, para la transformada bidimensional de radón, la transformada dual viene dada por:

$${displaystyle {mathcal {R}} {} {} {mbf {x}={frac {1}{2pi}}int _{alpha =0}{2pi }g(alphamathbf {n}cdot mathbf {x}),dalpha.$$

Propiedad entrelazada

Vamos ${displaystyle Delta }$ denota el Laplacian en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ definida por:

$${displaystyle Delta ={frac {partial ^{2}{partial ¿Qué? ##{frac {partial ^{2}{partial #$$

${displaystyle Sigma _{n}$

${displaystyle Lf(alphas)equiv {frac {partial ^{2}{partial s^{2}}}f(alphas)}$

$${displaystyle {mathcal {R}}(Delta f)=L({mathcal {R}f),quad {mathcal {R}} {*}(Lg)=Delta ({mathcal {R}{*}g).}$$

Enfoques de reconstrucción

El proceso de reconstrucción produce la imagen (o función ${displaystyle f}$ en la sección anterior) de sus datos de proyección. Reconstrucción es un problema inverso.

Fórmula de inversión del radón

En el caso bidimensional, la fórmula analítica más utilizada para recuperar ${displaystyle f}$ de su transformación Radon es el Proyección trasera filtrada Formula o Fórmula de inversión de radar:

$${displaystyle f(mathbf {x})=int _{0}{pi }({mathcal {R}f(cdottheta)*h)(leftlangle mathbf {x}mathbf {n} _{theta }rightrangle),dtheta }$$

${displaystyle h}$

${displaystyle {hat {h} {h} {fnMicrosoft Sans Serif}$

${displaystyle h}$

Mala postura

Intuitivamente, en proyección trasera filtrada fórmula, por analogía con diferenciación, para la cual ${textstyle left({widehat {fnMicroc {d} {dx}f}derecha)k)=ik{widehat {f}(k)}$, vemos que el filtro realiza una operación similar a un derivado. Entonces, el filtro hace objetos más singular. Una declaración cuantitativa de la inversión de Radon es la siguiente:

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMin {fnK} {fnMitcal {}g} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {fnK} {fnMicroc}}} {fnK}} {f}} {fnMicroc}}}}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}}}}} {f}}}f}f}} {f}}}}}}}}}}}f}}}}}}f}} {f} {f}}} {f} {1}{fnMitbf {k} {fnK}} {fnMitbf}}$$

${fnK} {fnMitcal}} {fnK}}} {fnMicrosoft}} {fnK}}} {fnK}}}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}}}}$

${displaystyle g(mathbf {x})=e^{ileftlangle mathbf {k} _{0},mathbf {x} ¿Qué?$

$${fnh}g={fnh}g={fnh}g= {fnK} {fnK} {f} {fnK}}} {f}} {fnK}}} {fnK}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\m}}}}\\\\\\m}}}}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h} {1}{fnMitbf {0} {fnMicrosoft} ¿Qué?$$

${displaystyle e^{ileftlangle mathbf {k} _{0},mathbf {x} ¿Qué?$

${fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnK}} {fnK}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMicrosoft}} {f}}}} {f}} {fnMitcal}}}}} {f}}}}}}}}}}}} { {R}}$

${textstyle {frac {1}{fnMitbf {k} ¿Por qué?$

${displaystyle {fnMithcal}}$

${textstyle {frac {1}{sqrt {fnMitbf {k} {}}$

${displaystyle 0}$

${fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Ser} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}} {fnK}}} {fnK}}} {fnMicrosoft}}}}$

Métodos de reconstrucción iterativos

En comparación con el método de retroproyección filtrada, la reconstrucción iterativa cuesta mucho tiempo de cálculo, lo que limita su uso práctico. Sin embargo, debido a la mala posición de la inversión de radón, el método de retroproyección filtrada puede resultar inviable en presencia de discontinuidad o ruido. Los métodos de reconstrucción iterativos (p. ej. varianza mínima asintótica dispersa iterativa) podrían proporcionar una reducción de artefactos metálicos, ruido y reducción de dosis para el resultado reconstruido que atraen mucho interés de investigación en todo el mundo.

Fórmulas de inversión

Las fórmulas de inversión explícitas y eficientes computacionalmente para la transformación Radon y su doble están disponibles. El Radon se transforma en ${displaystyle n}$ las dimensiones pueden ser invertidas por la fórmula:

$${displaystyle c_{n}f=(-Delta){(n-1)/2}R^{*}Rf,}$$

${displaystyle c_{n}=4pi)}{(n-1)/2}{frac {Gamma (n/2)}{Gamma (1/2)}}}}$

${displaystyle (-Delta)}{(n-1)/2}$

$${displaystyle left[{mathcal {F}(-Delta)^{(n-1)/2}varphi right](xi)= soporte2pixi Н^{n-1}({mathcal {F}varphi)(xi).}$$

${displaystyle R^{}$

$${displaystyle c_{n}f={begin{cases}R^{*}{frac {fn1} {fn}} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnK} {fnMicroc} {fn1} {fn}} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

${fnMicrosoft Sans}$

${fnMicrosoft Sans} {d} {ds}}$

${displaystyle f}$

$${displaystyle f={frac {1} {2}R^{*}H_{}{}{frac} {d}}Rf.}$$

${displaystyle f}$

${displaystyle Rf.$

${displaystyle s}$

Explícitamente, la fórmula de inversión obtenida mediante este último método es:

$${displaystyle f(x)={begin{cases}displaystyle -imath 2pi (2pi)^{-n}(-1)^{n/2}int {fn} {fn} {fn0} {fn1}}{2partial s^{n-1}}Rf(alphaalpha cdot x),dalpha ###displaystyle (2pi)###### ######## ####################################################################################################################################################################################################################################### {R} times S^{n-1}} {frac {partial ^{n-1}{qpartial s^{n-1}}}}Rf(alphacdot x+q),dalpha ,dq mutuamenten{text{ even}\\end{cases}}}}}}$$

$${displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).,}$$

Transformada de radón en geometría algebraica

En geometría algebraica, una transformada de radón (también conocida como transformada de Brylinski-Radón) se construye de la siguiente manera.

Escribir

${displaystyle mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} },mathbf {f} {fn}$

para el hiperplano universal, es decir, H consta de pares (x, hDonde x es un punto en d-espacio proyectivo dimensionado ${displaystyle mathbf {} {} {d}}$ y h es un punto en el espacio dual proyector (en otras palabras, x es una línea a través del origen en (d+1)-dimensional espacio de afina, y h es un hiperplano en ese espacio) tal que x figura en h.

Entonces la transformada de Brylinksi-Radón es el functor entre categorías derivadas apropiadas de haces de étale

${displaystyle operatorname {Rad}:=Rp_{2,*}p_{1}{*}:D(mathbf {} ^{d})to D(mathbf {P} {veed}). }$

El principal teorema sobre esta transformada es que esta transformada induce una equivalencia de las categorías de haces perversos en el espacio proyectivo y su espacio proyectivo dual, hasta haces constantes.