Transformada de Laplace

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Transformación integral útil en teoría de probabilidad, física e ingeniería

En matemáticas, la Laplace transform, nombrado por su descubridor Pierre-Simon Laplace (), es un transformado integral que convierte una función de una variable real (generalmente $t$ , en el tiempo dominio) a una función de una variable compleja $s$ (en el dominio de frecuencia compleja, también conocido como s-dominio, o s-plane). La transformación tiene muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería porque es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. En particular, transforma las ecuaciones diferenciales ordinarias en ecuaciones algebraicas y convolución en multiplicación. Para funciones adecuadas f, la transformación de Laplace es el integral

{displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}(s)=int _{0}^{infty }f(t)e^{-st},dt.}

Historia

Pierre-Simon, marqués de Laplace

La transformada de Laplace lleva el nombre del matemático y astrónomo Pierre-Simon, marqués de Laplace, quien usó una transformada similar en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad. Laplace escribió extensamente sobre el uso de funciones generatrices en Essai philosophique sur les probabilités (1814), y como resultado, la forma integral de la transformada de Laplace evolucionó naturalmente.

El uso que hizo Laplace de las funciones generadoras fue similar a lo que ahora se conoce como la transformada z, y prestó poca atención al caso de la variable continua que fue discutido por Niels Henrik Abel. La teoría fue desarrollada aún más en el siglo XIX y principios del XX por Mathias Lerch, Oliver Heaviside y Thomas Bromwich.

El uso generalizado actual de la transformada (principalmente en ingeniería) se produjo durante y poco después de la Segunda Guerra Mundial, reemplazando el cálculo operativo anterior de Heaviside. Las ventajas de la transformada de Laplace han sido enfatizadas por Gustav Doetsch, a quien aparentemente se le debe el nombre de transformada de Laplace.

Desde 1744, Leonhard Euler investigó integrales de la forma

{displaystyle z=int X(x)e^{ax},dxquad {text{ and }}quad z=int X(x)x^{A},dx}

{displaystyle int X(x)e^{-ax}a^{x},dx,}

Parece que estos tipos de integrales atrajeron la atención de Laplace por primera vez en 1782, cuando seguía el espíritu de Euler al usar las propias integrales como soluciones de ecuaciones. Sin embargo, en 1785, Laplace dio un paso decisivo cuando, en lugar de simplemente buscar una solución en forma de integral, comenzó a aplicar las transformadas en el sentido que más tarde se volvería popular. Usó una integral de la forma

{displaystyle int x^{s}varphi (x),dx,}

Laplace también reconoció que el método de las series de Fourier de Joseph Fourier para resolver la ecuación de difusión solo podía aplicarse a una región limitada del espacio, porque esas soluciones eran periódicas. En 1809, Laplace aplicó su transformada para encontrar soluciones que se difundieran indefinidamente en el espacio.

Definición formal

La transformada de Laplace de una función $f (t)$ , definida para todos los números reales $t \geq 0$ , es la función $F (s)$ , que es una transformada unilateral definida por

{displaystyle F(s)=int _{0}^{infty }f(t)e^{-st},dt}

()Eq.1)

donde s es un parámetro de frecuencia de número complejo

{displaystyle s=sigma +iomega}

σ

\cdot

Una notación alternativa para la transformación de Laplace es ${mathcal {L}}{f}$ en lugar de $F$ .

El significado de la integral depende de tipos de funciones de interés. Una condición necesaria para la existencia de la integral es que $f$ debe ser localmente integrado en $[0, \infty]$ . Para funciones localmente integradoras que se descomponen en el infinito o son de tipo exponencial ( ${displaystyle |f(t)|leq Ae^{B|t|}}$ ), la integral se puede entender como una (proper) Lebesgue integral. Sin embargo, para muchas aplicaciones es necesario considerarlo como una integral impropia convergente condicionalmente en $JUEGO$ . Aún más generalmente, la integral se puede entender en un sentido débil, y esto se trata a continuación.

Se puede definir la transformada de Laplace de una medida de Borel finita $μ$ mediante la integral de Lebesgue

{displaystyle {mathcal {L}}{mu }(s)=int _{[0,infty)}e^{-st},dmu (t).}

Un caso especial importante es donde $μ$ es una medida de probabilidad, por ejemplo, la función delta de Dirac. En cálculo operativo, la transformada de Laplace de una medida a menudo se trata como si la medida proviniera de una función de densidad de probabilidad $f$ . En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe

{displaystyle {mathcal {L}}{f}(s)=int _{0^{-}}^{infty }f(t)e^{-st},dt,}

0 -

{displaystyle lim _{varepsilon rightarrow 0^{+}}int _{-varepsilon }^{infty }.}

Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en $0$ es capturada por completo por la transformada de Laplace. Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar dicho límite, aparece de manera más natural en relación con la transformada de Laplace-Stieltjes.

Transformada bilateral de Laplace

Cuando se dice "la transformada de Laplace" sin calificación, generalmente se pretende la transformación unilateral o de un solo lado. La transformada de Laplace se puede definir alternativamente como la transformada de Laplace bilateral, o la transformada de Laplace de dos caras, extendiendo los límites de integración para que sean todo el eje real. Si se hace eso, la transformada unilateral común simplemente se convierte en un caso especial de transformada bilateral, donde la definición de la función que se transforma se multiplica por la función escalón de Heaviside.

La transformada bilateral de Laplace $F (s)$ se define de la siguiente manera:

{displaystyle F(s)=int _{-infty }^{infty }e^{-st}f(t),dt}

()Eq.2)

Una notación alternativa para la transformación bilateral de Laplace es ${displaystyle {mathcal {B}}{f}}$ , en lugar de $F$ .

Transformada inversa de Laplace

Dos funciones integrables tienen la misma transformada de Laplace solo si difieren en un conjunto de medida cero de Lebesgue. Esto significa que, en el rango de la transformada, hay una transformada inversa. De hecho, además de las funciones integrables, la transformada de Laplace es un mapeo uno a uno de un espacio de funciones a otro también en muchos otros espacios de funciones, aunque generalmente no hay una caracterización fácil del rango.

Los espacios de funciones típicos en los que esto es cierto incluyen los espacios de funciones continuas acotadas, el espacio $L\infty(0, \infty)$ , o más generalmente distribuciones temperadas en (0, ∞). La transformada de Laplace también es definida e inyectiva para espacios adecuados de distribuciones temperadas.

En estos casos, la imagen de la transformada de Laplace vive en un espacio de funciones analíticas en la región de convergencia. La transformada inversa de Laplace viene dada por la siguiente integral compleja, que se conoce con varios nombres (la integral de Bromwich, la integral de Fourier-Mellin y Mellin's fórmula inversa):

{displaystyle f(t)={mathcal {L}}^{-1}{F}(t)={frac {1}{2pi i}}lim _{Tto infty }int _{gamma -iT}^{gamma +iT}e^{st}F(s),ds}

()Eq.3)

donde $γ$ es un número real, de modo que el contorno de la ruta de integración está en la región de convergencia de $F (s)$ . En la mayoría de las aplicaciones, el contorno se puede cerrar, lo que permite el uso del teorema del residuo. La fórmula de inversión de Post proporciona una fórmula alternativa para la transformada inversa de Laplace. El límite aquí se interpreta en la topología débil-*.

En la práctica, normalmente es más conveniente descomponer una transformada de Laplace en transformadas conocidas de funciones obtenidas de una tabla y construir la inversa mediante inspección.

Teoría de la probabilidad

En probabilidad pura y aplicada, la transformada de Laplace se define como un valor esperado. Si $X$ es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad $f$ , entonces la transformada de Laplace de $f$ está dada por la expectativa

{displaystyle {mathcal {L}}{f}(s)=operatorname {E} !left[e^{-sX}right]!.}

Por convención, esto se conoce como la transformada de Laplace de la propia variable aleatoria $X$ . Aquí, reemplazando $s$ por $- t$ da la función de generación de momentos de $X$ . La transformada de Laplace tiene aplicaciones en toda la teoría de la probabilidad, incluidos los primeros tiempos de paso de los procesos estocásticos, como las cadenas de Markov, y la teoría de la renovación.

De particular uso es la capacidad de recuperar la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua $X$ , por medio de la transformada de Laplace de la siguiente manera:

{displaystyle F_{X}(x)={mathcal {L}}^{-1}!left{{frac {1}{s}}operatorname {E} left[e^{-sX}right]right}!(x)={mathcal {L}}^{-1}!left{{frac {1}{s}}{mathcal {L}}{f}(s)right}!(x).}

Región de convergencia

Si $f$ es una función localmente integrable (o más generalmente una medida de Borel localmente de variación acotada), entonces la transformada de Laplace $F (s)$ de $f$ converge siempre que el límite

{displaystyle lim _{Rto infty }int _{0}^{R}f(t)e^{-st},dt}

La transformada de Laplace converge absolutamente si la integral

{displaystyle int _{0}^{infty }left|f(t)e^{-st}right|,dt}

El conjunto de valores para los cuales $F (s)$ converge absolutamente es cualquiera de la forma Re(s) > a o $Re(s) \geq a$ , donde $a$ es una constante real extendida con $-\infty \leq a \leq \infty$ (a consecuencia del teorema de la convergencia dominada). La constante $a$ se conoce como abscisa de convergencia absoluta y depende del comportamiento de crecimiento de $f (t)$ . Análogamente, la transformada de dos caras converge absolutamente en una franja de la forma $a < Re(s) < b$ , y posiblemente incluyendo las líneas $Re(s) = a$ o $Re(s) = b$ . El subconjunto de valores de $s$ para los que la transformada de Laplace converge absolutamente se denomina región de convergencia absoluta o dominio de convergencia absoluta. En el caso de dos lados, a veces se le llama franja de convergencia absoluta. La transformada de Laplace es analítica en la región de convergencia absoluta: esto es una consecuencia del teorema de Fubini y el teorema de Morera.

Del mismo modo, el conjunto de valores para los que converge $F (s)$ (condicional o absolutamente) se conoce como la región de convergencia condicional, o simplemente la región de convergencia (ROC). Si la transformada de Laplace converge (condicionalmente) en $s = s 0$ , automáticamente converge para todos los $s$ con $Re(s) > Re(s 0)$ . Por lo tanto, la región de convergencia es un semiplano de la forma $Re(s) > a$ , posiblemente incluyendo algunos puntos de la línea límite $Re(s) = a .$

En la región de convergencia $Re(s) > Re(s 0)$ , la transformada de Laplace de $f$ puede ser expresada integrando por partes como la integral

{displaystyle F(s)=(s-s_{0})int _{0}^{infty }e^{-(s-s_{0})t}beta (t),dt,quad beta (u)=int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t),dt.}

Es decir, $F (s)$ puede expresarse efectivamente, en la región de convergencia, como el valor absoluto transformada convergente de Laplace de alguna otra función. En particular, es analítico.

Hay varios teoremas de Paley-Wiener sobre la relación entre las propiedades de descomposición de $f$ y las propiedades de la transformada de Laplace dentro de la región de convergencia.

En aplicaciones de ingeniería, una función correspondiente a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) es estable si cada entrada limitada produce una salida limitada. Esto es equivalente a la convergencia absoluta de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso en la región $Re(s) \geq 0$ . Como resultado, los sistemas LTI son estables, siempre que los polos de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso tengan parte real negativa.

Esta ROC se utiliza para conocer la causalidad y la estabilidad de un sistema.

Propiedades y teoremas

La transformada de Laplace tiene una serie de propiedades que la hacen útil para analizar sistemas dinámicos lineales. La ventaja más significativa es que la diferenciación se convierte en multiplicación, y la integración se convierte en división, por $s$ (que recuerda la forma en que los logaritmos cambian la multiplicación por la suma de logaritmos).

Debido a esta propiedad, la variable de Laplace $s$ también se conoce como variable de operador en la $L$ dominio: ya sea operador derivado o (para $s -1)$ operador de integración. La transformada convierte las ecuaciones integrales y las ecuaciones diferenciales en ecuaciones polinómicas, que son mucho más fáciles de resolver. Una vez resuelto, el uso de la transformada inversa de Laplace vuelve al dominio original.

Dadas las funciones $f (t)$ y $g (t)$ , y sus respectivas transformadas de Laplace $F (s)$ y $G (s)$ ,

{displaystyle {begin{aligned}f(t)&={mathcal {L}}^{-1}{F}(s),\g(t)&={mathcal {L}}^{-1}{G}(s),end{aligned}}}

La siguiente tabla es una lista de propiedades de la transformada de Laplace unilateral:

Propiedades de la transformación unilateral de Laplace
Propiedad	Dominio de tiempo	$s$ dominio	Comentario
Linearity	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$	Se puede probar utilizando reglas básicas de integración.
Derivados de dominio de frecuencia	$tf(t)$	$-F'(s)$	$F .$ es el primer derivado de $F$ con respecto a $s$ .
Derivación general de dominio de frecuencia	$t^{n}f(t)$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)$	Forma más general, $n$ th derivative of $F () s)$ .
Derivative	$f'(t)$	${displaystyle sF(s)-f(0^{+}) }$	$f$ se supone que es una función diferenciable, y su derivado se supone que es de tipo exponencial. Esto se puede obtener mediante la integración por partes
Segundo derivado	$f''(t)$	${textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{+})-f'(0^{+}) }$	$f$ se asume dos veces diferenciable y el segundo derivado a ser de tipo exponencial. Segui aplicando la propiedad Diferenciación a $f . t)$ .
Derivación general	$f^{(n)}(t)$	${displaystyle s^{n}F(s)-sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{+}) }$	$f$ se supone que $n$ - tiempos diferentes, con $n$ de tipo exponencial. Sigue por inducción matemática.
Integración de dominio de frecuencia	${frac {1}{t}}f(t)$	$int _{s}^{infty }F(sigma),dsigma$	Esto se deduce utilizando la naturaleza de diferenciación de frecuencia y convergencia condicional.
Integración del tiempo-dominio	$int _{0}^{t}f(tau),dtau =(u*f)(t)$	${1 over s}F(s)$	$u () t)$ es la función paso Heaviside y $() u Alternativa f) t)$ es la revolución $u () t)$ y $f () t)$ .
Cambio de frecuencia	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
Cambio de tiempo	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$	$0 }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confiado0}0 " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3f3ccbdac160f605cdba8106219036f4b425af" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.071ex; height:2.176ex;"/>$ , $u () t)$ es la función paso Heaviside
Escalada del tiempo	$f(at)$	${displaystyle {frac {1}{a}}Fleft({s over a}right)}$	$0 }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confiado0}0 " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3f3ccbdac160f605cdba8106219036f4b425af" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.071ex; height:2.176ex;"/>$
Multiplicación	$f(t)g(t)$	${frac {1}{2pi i}}lim _{Tto infty }int _{c-iT}^{c+iT}F(sigma)G(s-sigma),dsigma$	La integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(σ) c que se encuentra enteramente dentro de la región de convergencia $F$ .
Convolution	$(f*g)(t)=int _{0}^{t}f(tau)g(t-tau),dtau$	$F(s)cdot G(s)$
Circular convolution	${displaystyle (f*g)(t)=int _{0}^{T}f(tau)g(t-tau),dtau }$	$F(s)cdot G(s)$	Para funciones periódicas con el período T.
Conjugación compleja	$f^{*}(t)$	$F^{}(s^{})$
Cruz-correlación	${displaystyle (fstar g)(t)=int _{0}^{infty }f(tau)^{*},g(t+tau),dtau }$	$F^{}(-s^{})cdot G(s)$
Función periódica	$f(t)$	${1 over 1-e^{-Ts}}int _{0}^{T}e^{-st}f(t),dt$	$f () t)$ es una función periódica del período $T$ así $f () t) f () t + T)$ , para todos $t \geq 0$ . Este es el resultado de la propiedad de cambio de tiempo y la serie geométrica.
Sumación periódica	${displaystyle sum _{n=0}^{infty }f(t-Tn)u(t-Tn)}$ ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}f(t-Tn)u(t-Tn)}$	${displaystyle {frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)}$ ${displaystyle {frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)}$

Valor inicial: $f(0^{+})=lim _{sto infty }{sF(s)}.$
Valor final teorema: $f(infty)=lim _{sto 0}{sF(s)}$ , si todos los polos de ${displaystyle sF(s)}$ están en el medio plano izquierdo.; El valor final teorema es útil porque da el comportamiento a largo plazo sin tener que realizar descomposiciones parciales de fracciones (o otro álgebra difícil). Si $F () s)$ tiene un polo en el plano de la mano derecha o postes en el eje imaginario (por ejemplo, si $f(t)=e^{t}$ o $f(t)=sin(t)$ ), entonces el comportamiento de esta fórmula es indefinido.

Relación con la serie de potencias

La transformada de Laplace se puede ver como un análogo continuo de una serie de potencias. Si $a (n)$ es una función discreta de un entero positivo $n$ , entonces la serie de potencias asociada a $a (n)$ es la serie

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a(n)x^{n}}

x

n

t

{displaystyle int _{0}^{infty }f(t)x^{t},dt}

a () n)

f () t)

Cambiando la base de la potencia de $x$ a $e$ da

{displaystyle int _{0}^{infty }f(t)left(e^{ln {x}}right)^{t},dt}

Para que esto converja para, digamos, todas las funciones acotadas $f$ , es necesario requerir que $ln x < 0$ . Haciendo la sustitución $- s = ln x$ da solo la transformada de Laplace:

{displaystyle int _{0}^{infty }f(t)e^{-st},dt}

En otras palabras, la transformada de Laplace es un análogo continuo de una serie de potencias, en la que el parámetro discreto $n$ se reemplaza por el parámetro continuo $t$ , y $x$ se reemplaza por $e - s$ .

Relación con momentos

Las cantidades

{displaystyle mu _{n}=int _{0}^{infty }t^{n}f(t),dt}

son los momentos de la función $f$ . Si los primeros $n$ momentos de $f$ convergen absolutamente, entonces por diferenciación repetida bajo la integral,

{displaystyle (-1)^{n}({mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=mu _{n}.}

X

{displaystyle mu _{n}=operatorname {E} [X^{n}]}

{displaystyle mu _{n}=(-1)^{n}{frac {d^{n}}{ds^{n}}}operatorname {E} left[e^{-sX}right](0).}

Cálculo de la transformada de Laplace de la derivada de una función

A menudo es conveniente usar la propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace para encontrar la transformada de la derivada de una función. Esto se puede derivar de la expresión básica para una transformada de Laplace de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {L}}left{f(t)right}&=int _{0^{-}}^{infty }e^{-st}f(t),dt\[6pt]&=left[{frac {f(t)e^{-st}}{-s}}right]_{0^{-}}^{infty }-int _{0^{-}}^{infty }{frac {e^{-st}}{-s}}f'(t),dtquad {text{(by parts)}}\[6pt]&=left[-{frac {f(0^{-})}{-s}}right]+{frac {1}{s}}{mathcal {L}}left{f'(t)right},end{aligned}}}

rendir

{displaystyle {mathcal {L}}{f'(t)}=scdot {mathcal {L}}{f(t)}-f(0^{-}),}

y en el caso bilateral,

{displaystyle {mathcal {L}}{f'(t)}=sint _{-infty }^{infty }e^{-st}f(t),dt=scdot {mathcal {L}}{f(t)}.}

El resultado general

{displaystyle {mathcal {L}}left{f^{(n)}(t)right}=s^{n}cdot {mathcal {L}}{f(t)}-s^{n-1}f(0^{-})-cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}

Donde $f^{(n)}$ denota los $n$ ^T derivado de $f$ , entonces se puede establecer con un argumento inductivo.

Evaluación de integrales sobre el eje real positivo

Una propiedad útil de la transformada de Laplace es la siguiente:

{displaystyle int _{0}^{infty }f(x)g(x),dx=int _{0}^{infty }({mathcal {L}}f)(s)cdot ({mathcal {L}}^{-1}g)(s),ds}

bajo hipótesis adecuadas sobre el comportamiento de $f,g$ en un barrio adecuado ${displaystyle 0}$ y sobre la tasa de desintegración $f,g$ en un barrio izquierdo $infty$ . La fórmula anterior es una variación de la integración por partes, con los operadores ${frac {d}{dx}}$ y ${displaystyle int ,dx}$ ser reemplazado por ${mathcal {L}}$ y ${displaystyle {mathcal {L}}^{-1}}$ . Demostramos la formulación equivalente:

{displaystyle int _{0}^{infty }({mathcal {L}}f)(x)g(x),dx=int _{0}^{infty }f(s)({mathcal {L}}g)(s),ds.}

Al conectarse ${displaystyle ({mathcal {L}}f)(x)=int _{0}^{infty }f(s)e^{-sx},ds}$ el lado izquierdo se convierte en:

{displaystyle int _{0}^{infty }int _{0}^{infty }f(s)g(x)e^{-sx},ds,dx,}

pero suponiendo que se cumple el teorema de Fubini, al invertir el orden de integración obtenemos el lado derecho deseado.

Este método se puede usar para calcular integrales que, de otro modo, serían difíciles de calcular con métodos elementales de cálculo real. Por ejemplo,

{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {sin x}{x}}dx=int _{0}^{infty }{mathcal {L}}(1)(x)sin xdx=int _{0}^{infty }1cdot {mathcal {L}}(sin)(x)dx=int _{0}^{infty }{frac {dx}{x^{2}+1}}={frac {pi }{2}}.}

Relación con otras transformaciones

Transformada de Laplace-Stieltjes

La transformada (unilateral) de Laplace-Stieltjes de una función $g : ℝ \to ℝ$ se define mediante la integral de Lebesgue-Stieltjes

{displaystyle {{mathcal {L}}^{*}g}(s)=int _{0}^{infty }e^{-st},d,g(t)~.}

Se supone que la función $g$ es de variación acotada. Si $g$ es la antiderivada de $f$ :

{displaystyle g(x)=int _{0}^{x}f(t),d,t}

luego la transformada de Laplace–Stieltjes de $g$ y la transformada de Laplace de $f$ coinciden. En general, la transformada de Laplace-Stieltjes es la transformada de Laplace de la medida de Stieltjes asociada a $g$ . Entonces, en la práctica, la única distinción entre las dos transformadas es que se piensa que la transformada de Laplace opera en la función de densidad de la medida, mientras que se piensa que la transformada de Laplace-Stieltjes opera en su función de distribución acumulativa.

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier es un caso especial (bajo ciertas condiciones) de la transformada bilateral de Laplace. Mientras que la transformada de Fourier de una función es una función compleja de una variable real (frecuencia), la transformada de Laplace de una función es una función compleja de una variable compleja. La transformada de Laplace generalmente se restringe a la transformación de funciones de $t$ con $t \geq 0$ . Una consecuencia de esta restricción es que la transformada de Laplace de una función es una función holomorfa de la variable $s$ . A diferencia de la transformada de Fourier, la transformada de Laplace de una distribución es generalmente una función de buen comportamiento. Las técnicas de variables complejas también se pueden utilizar para estudiar directamente las transformadas de Laplace. Como función holomorfa, la transformada de Laplace tiene una representación en serie de potencias. Esta serie de potencias expresa una función como una superposición lineal de momentos de la función. Esta perspectiva tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad.

La transformada de Fourier es equivalente a evaluar la transformada bilateral de Laplace con un argumento imaginario $s = iω$ o $s = 2 πiξ$ cuando se cumple la condición explicada a continuación,

{displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}(omega)&={mathcal {F}}{f(t)}\[4pt]&={mathcal {L}}{f(t)}|_{s=iomega }=F(s)|_{s=iomega }\[4pt]&=int _{-infty }^{infty }e^{-iomega t}f(t),dt~.end{aligned}}}

Esta convención de la transformación Fourier ( ${displaystyle {hat {f}}_{3}(omega)}$ en Fourier transform § Otras convenciones) requiere un factor $1 / 2 π$ en la inversa transformación Fourier. Esta relación entre la transformación Laplace y Fourier se utiliza a menudo para determinar el espectro de frecuencias de un sistema de señal o dinámica.

La relación anterior es válida como se indica si y solo si la región de convergencia (ROC) de $F (s)$ contiene el eje imaginario, $σ = 0$ .

Por ejemplo, la función $f (t) = cos(ω 0 t)$ tiene una transformada de Laplace $F (s) = s /(s 2 + ω 02)$ cuyo ROC es $Re(s) > 0$ . Como $s = iω 0$ es un polo de $F (s)$ , sustituyendo $s = iω$ en $F (s)$ no genera la transformada de Fourier de $f (t) u (t)$ , que es proporcional a la función delta de Dirac δ(ω − ω₀).

Sin embargo, una relación de la forma

{displaystyle lim _{sigma to 0^{+}}F(sigma +iomega)={hat {f}}(omega)}

Transformada de Mellin

La transformada de Mellin y su inversa están relacionadas con la transformada bilateral de Laplace por un simple cambio de variables.

Si en la transformada de Mellin

{displaystyle G(s)={mathcal {M}}{g(theta)}=int _{0}^{infty }theta ^{s}g(theta),{frac {dtheta }{theta }}}

Silencio = e - t

Z-transformada

La transformada Z unilateral o unilateral es simplemente la transformada de Laplace de una señal idealmente muestreada con la sustitución de

{displaystyle z{stackrel {mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}

T 1/ f s

f s

Dejar

{displaystyle Delta _{T}(t) {stackrel {mathrm {def} }{=}} sum _{n=0}^{infty }delta (t-nT)}

{displaystyle {begin{aligned}x_{q}(t)&{stackrel {mathrm {def} }{{}={}}}x(t)Delta _{T}(t)=x(t)sum _{n=0}^{infty }delta (t-nT)\&=sum _{n=0}^{infty }x(nT)delta (t-nT)=sum _{n=0}^{infty }x[n]delta (t-nT)end{aligned}}}

x () t)

{displaystyle x[n]{stackrel {mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}

La transformada de Laplace de la señal muestreada $x q (t)$ es

{displaystyle {begin{aligned}X_{q}(s)&=int _{0^{-}}^{infty }x_{q}(t)e^{-st},dt\&=int _{0^{-}}^{infty }sum _{n=0}^{infty }x[n]delta (t-nT)e^{-st},dt\&=sum _{n=0}^{infty }x[n]int _{0^{-}}^{infty }delta (t-nT)e^{-st},dt\&=sum _{n=0}^{infty }x[n]e^{-nsT}~.end{aligned}}}

Esta es la definición precisa de la transformada Z unilateral de la función discreta $x [n]$

{displaystyle X(z)=sum _{n=0}^{infty }x[n]z^{-n}}

z \to e s T

Al comparar las dos últimas ecuaciones, encontramos la relación entre la transformada Z unilateral y la transformada de Laplace de la señal muestreada,

{displaystyle X_{q}(s)=X(z){Big |}_{z=e^{sT}}.}

La similitud entre la $Z$ y las transformadas de Laplace se amplía en la teoría del cálculo de la escala de tiempo.

Transformada de Borel

La forma integral de la transformada de Borel

{displaystyle F(s)=int _{0}^{infty }f(z)e^{-sz},dz}

es un caso especial de la transformada de Laplace para $f$ una función completa de tipo exponencial, lo que significa que

{displaystyle |f(z)|leq Ae^{B|z|}}

para algunas constantes $A$ y $B$ . La transformada de Borel generalizada permite utilizar una función de ponderación diferente, en lugar de la función exponencial, para transformar funciones que no son de tipo exponencial. El teorema de Nachbin da las condiciones necesarias y suficientes para que la transformada de Borel esté bien definida.

Relaciones fundamentales

Dado que una transformada ordinaria de Laplace se puede escribir como un caso especial de una transformada de dos lados, y dado que la transformada de dos lados se puede escribir como la suma de dos transformadas de un lado, la teoría de la transformada de Fourier de Laplace Las transformadas -, Mellin- y Z son en el fondo el mismo tema. Sin embargo, un punto de vista diferente y diferentes problemas característicos están asociados con cada una de estas cuatro transformadas integrales principales.

Tabla de transformadas de Laplace seleccionadas

La siguiente tabla proporciona transformadas de Laplace para muchas funciones comunes de una sola variable. Para definiciones y explicaciones, consulte las Notas explicativas al final de la tabla.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal,

El Laplace transforma de una suma es la suma de Laplace transforma de cada término. ${displaystyle {mathcal {L}}{f(t)+g(t)}={mathcal {L}}{f(t)}+{mathcal {L}}{g(t)}}$

La transformación de Laplace de múltiples funciones es que varias veces la transformación de Laplace de esa función. ${displaystyle {mathcal {L}}{af(t)}=a{mathcal {L}}{f(t)}}$

Usando esta linealidad y varias propiedades y/o identidades trigonométricas, hiperbólicas y de números complejos (etc.), algunas transformadas de Laplace se pueden obtener de otras más rápidamente que usando la definición directamente.

La transformada de Laplace unilateral toma como entrada una función cuyo dominio de tiempo son los reales no negativos, por lo que todas las funciones de dominio de tiempo en la siguiente tabla son múltiplos de la función escalón de Heaviside, <span class="texhtml" u(t).

Las entradas de la tabla que involucran un retraso de tiempo $τ$ deben ser causales (lo que significa que $τ > 0$ ). Un sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso $h (t)$ es cero para todo el tiempo $t$ antes de $t = 0$ . En general, la región de convergencia de los sistemas causales no es la misma que la de los sistemas anticausales.

Selected Laplace transforms

Function

Time domain

f(t)={mathcal {L}}^{-1}{F(s)}

Laplace

s

-domain

F(s)={mathcal {L}}{f(t)}

Region of convergence

Reference

unit impulse

delta (t)

1

all

s

inspection

delayed impulse

delta (t-tau)

e^{-tau s}

time shift of
unit impulse

unit step

u(t)

{1 over s}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

integrate unit impulse

delayed unit step

u(t-tau)

{displaystyle {frac {1}{s}}e^{-tau s}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

time shift of
unit step

rectangular impulse

{displaystyle u(t)-u(t-tau)}

{displaystyle {frac {1}{s}}(1-e^{-tau s})}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

ramp

tcdot u(t)

{displaystyle {frac {1}{s^{2}}}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

integrate unit
impulse twice

n

th power
(for integer

n

)

t^{n}cdot u(t)

{n! over s^{n+1}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

(

n > -1

)

integrate unit
step

n

times

q

th power
(for complex

q

)

t^{q}cdot u(t)

{displaystyle {operatorname {Gamma } (q+1) over s^{q+1}}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

{displaystyle operatorname {Re} (q)>-1}

n

th root

{sqrt[{n}]{t}}cdot u(t)

{displaystyle {1 over s^{{frac {1}{n}}+1}}operatorname {Gamma } left({frac {1}{n}}+1right)}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

Set

q = 1/ n

above.

n

th power with frequency shift

t^{n}e^{-alpha t}cdot u(t)

{displaystyle {frac {n!}{(s+alpha)^{n+1}}}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>-alpha }

Integrate unit step,
apply frequency shift

delayed

n

th power
with frequency shift

(t-tau)^{n}e^{-alpha (t-tau)}cdot u(t-tau)

{frac {n!cdot e^{-tau s}}{(s+alpha)^{n+1}}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>-alpha }

integrate unit step,
apply frequency shift,
apply time shift

exponential decay

e^{-alpha t}cdot u(t)

{1 over s+alpha }

{displaystyle operatorname {Re} (s)>-alpha }

Frequency shift of
unit step

two-sided exponential decay
(only for bilateral transform)

e^{-alpha |t|}

{2alpha over alpha ^{2}-s^{2}}

{displaystyle -alpha <operatorname {Re} (s)<alpha }

Frequency shift of
unit step

exponential approach

{displaystyle (1-e^{-alpha t})cdot u(t) }

{frac {alpha }{s(s+alpha)}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

unit step minus
exponential decay

sine

sin(omega t)cdot u(t)

{omega over s^{2}+omega ^{2}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

cosine

cos(omega t)cdot u(t)

{s over s^{2}+omega ^{2}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

hyperbolic sine

sinh(alpha t)cdot u(t)

{alpha over s^{2}-alpha ^{2}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>left|alpha right|}

hyperbolic cosine

cosh(alpha t)cdot u(t)

{s over s^{2}-alpha ^{2}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>left|alpha right|}

exponentially decaying
sine wave

e^{-alpha t}sin(omega t)cdot u(t)

{displaystyle {omega over (s+alpha)^{2}+omega ^{2}}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>-alpha }

exponentially decaying
cosine wave

e^{-alpha t}cos(omega t)cdot u(t)

{displaystyle {s+alpha over (s+alpha)^{2}+omega ^{2}}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>-alpha }

natural logarithm

{displaystyle ln(t)cdot u(t)}

{displaystyle -{1 over s}left[ln(s)+gamma right]}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

Bessel function
of the first kind,
of order n

{displaystyle J_{n}(omega t)cdot u(t)}

{displaystyle {frac {left({sqrt {s^{2}+omega ^{2}}}-sright)^{!n}}{omega ^{n}{sqrt {s^{2}+omega ^{2}}}}}}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

(

n > -1

)

Error function

{displaystyle operatorname {erf} (t)cdot u(t)}

{displaystyle {frac {1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}!left(1-operatorname {erf} {frac {s}{2}}right)}

{displaystyle operatorname {Re} (s)>0}

Explanatory notes:

$u (t)$ represents the Heaviside step function.
$δ$ represents the Dirac delta function.
$Γ(z)$ represents the gamma function.
$γ$ is the Euler–Mascheroni constant.

$t$ , a real number, typically represents time, although it can represent any independent dimension.
$s$ is the complex frequency domain parameter, and $Re(s)$ is its real part.
$α, β, τ, and ω$ are real numbers.
$n$ is an integer.

Impedancias y circuitos equivalentes en dominio S

La transformada de Laplace se usa a menudo en el análisis de circuitos y se pueden realizar conversiones simples al dominio $s$ de los elementos del circuito. Los elementos del circuito se pueden transformar en impedancias, muy similares a las impedancias fasoriales.

Aquí hay un resumen de equivalentes:

Tenga en cuenta que la resistencia es exactamente la misma en el dominio del tiempo y en el dominio $s$ . Las fuentes se colocan si existen condiciones iniciales en los elementos del circuito. Por ejemplo, si un capacitor tiene un voltaje inicial a través de él, o si el inductor tiene una corriente inicial a través de él, las fuentes insertadas en los $s$ - cuenta de dominio para eso.

Los equivalentes de las fuentes de corriente y tensión simplemente se derivan de las transformaciones de la tabla anterior.

Ejemplos y aplicaciones

La transformada de Laplace se usa con frecuencia en ingeniería y física; la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede calcular convolucionando su respuesta de impulso unitario con la señal de entrada. Realizar este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación; siendo este último más fácil de resolver debido a su forma algebraica. Para obtener más información, consulte la teoría de control. La transformada de Laplace es invertible en una gran clase de funciones. Dada una descripción matemática o funcional simple de una entrada o salida de un sistema, la transformada de Laplace proporciona una descripción funcional alternativa que a menudo simplifica el proceso de análisis del comportamiento del sistema o la síntesis de un nuevo sistema basado en un conjunto de especificaciones.

La transformada de Laplace también se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales y se usa mucho en ingeniería mecánica e ingeniería eléctrica. La transformada de Laplace reduce una ecuación diferencial lineal a una ecuación algebraica, que luego puede resolverse mediante las reglas formales del álgebra. La ecuación diferencial original se puede resolver aplicando la transformada inversa de Laplace. El ingeniero eléctrico inglés Oliver Heaviside propuso por primera vez un esquema similar, aunque sin utilizar la transformada de Laplace; y el cálculo operativo resultante se acredita como el cálculo de Heaviside.

Evaluación de integrales impropias

Vamos ${mathcal {L}}left{f(t)right}=F(s)$ . Entonces (ver la tabla anterior)

{displaystyle {mathcal {L}}left{{frac {f(t)}{t}}right}=int _{0}^{infty }{frac {f(t)}{t}}e^{-st},dt=int _{s}^{infty }F(p),dp.}

En el límite ${displaystyle srightarrow 0}$ , uno se pone

{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {f(t)}{t}},dt=int _{0}^{infty }F(p),dp,}

siempre que el intercambio de límites pueda justificarse. Esto es a menudo posible como consecuencia del teorema del valor final. Incluso cuando el intercambio no se puede justificar, el cálculo puede ser sugerente. Por ejemplo, con a ≠ 0 ≠ b, procediendo formalmente se tiene

{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{infty }{frac {cos(at)-cos(bt)}{t}},dt&=int _{0}^{infty }left({frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{frac {p}{p^{2}+b^{2}}}right),dp\[6pt]&=left[{frac {1}{2}}ln {frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}right]_{0}^{infty }={frac {1}{2}}ln {frac {b^{2}}{a^{2}}}=ln left|{frac {b}{a}}right|.end{aligned}}}

La validez de esta identidad puede probarse por otros medios. Es un ejemplo de una integral de Frullani.

Otro ejemplo es la integral de Dirichlet.

Impedancia compleja de un condensador

En la teoría de los circuitos eléctricos, el flujo de corriente en un capacitor es proporcional a la capacitancia y la tasa de cambio en el potencial eléctrico (en unidades SI). Simbólicamente, esto se expresa mediante la ecuación diferencial

{displaystyle i=C{dv over dt},}

donde $C$ es la capacitancia (en faradios) del capacitor, $i = i (t)$ es la corriente eléctrica (en amperios) a través del condensador en función del tiempo, y $v = v (t)$ es el voltaje (en voltios) entre los terminales del capacitor, también en función de hora.

Tomando la transformada de Laplace de esta ecuación, obtenemos

{displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}

dónde

{displaystyle {begin{aligned}I(s)&={mathcal {L}}{i(t)},\V(s)&={mathcal {L}}{v(t)},end{aligned}}}

{displaystyle V_{0}=v(0).}

Resolviendo para $V (s)$ tenemos

{displaystyle V(s)={I(s) over sC}+{V_{0} over s}.}

La definición de la impedancia compleja $Z$ (en ohmios) es la relación del voltaje complejo $V$ dividida por la corriente compleja $I$ manteniendo el estado inicial $V 0$ en cero:

{displaystyle Z(s)=left.{V(s) over I(s)}right|_{V_{0}=0}.}

Usando esta definición y la ecuación anterior, encontramos:

{displaystyle Z(s)={frac {1}{sC}},}

que es la expresión correcta para la impedancia compleja de un capacitor. Además, la transformada de Laplace tiene amplias aplicaciones en la teoría de control.

Expansión en fracciones parciales

Considere un sistema lineal invariante en el tiempo con función de transferencia

{displaystyle H(s)={frac {1}{(s+alpha)(s+beta)}}.}

La respuesta al impulso es simplemente la transformada inversa de Laplace de esta función de transferencia:

{displaystyle h(t)={mathcal {L}}^{-1}{H(s)}.}

Para evaluar esta transformada inversa, comenzamos expandiendo $H (s)$ usando el método de expansión en fracciones parciales,

{displaystyle {frac {1}{(s+alpha)(s+beta)}}={P over s+alpha }+{R over s+beta }.}

Las constantes desconocidas $P$ y $R$ son los residuos ubicados en los polos correspondientes de la función de transferencia. Cada residuo representa la contribución relativa de esa singularidad a la forma general de la función de transferencia.

Por el teorema de los residuos, la transformada inversa de Laplace depende únicamente de los polos y sus residuos. Para encontrar el residuo $P$ , multiplicamos ambos lados de la ecuación por $s + α$ para obtener

{displaystyle {frac {1}{s+beta }}=P+{R(s+alpha) over s+beta }.}

Luego, dejando $s = - α$ , la contribución de $R$ desaparece y todo lo que queda es

{displaystyle P=left.{1 over s+beta }right|_{s=-alpha }={1 over beta -alpha }.}

Del mismo modo, el residuo $R$ viene dado por

{displaystyle R=left.{1 over s+alpha }right|_{s=-beta }={1 over alpha -beta }.}

Tenga en cuenta que

{displaystyle R={-1 over beta -alpha }=-P}

R

P

H () s)

{displaystyle H(s)=left({frac {1}{beta -alpha }}right)cdot left({1 over s+alpha }-{1 over s+beta }right).}

Finalmente, usando la propiedad de linealidad y la transformada conocida para el decaimiento exponencial (ver Item #3 en la Tabla de transformadas de Laplace, arriba), podemos tomar la transformada inversa de Laplace de $H (s)$ para obtener

{displaystyle h(t)={mathcal {L}}^{-1}{H(s)}={frac {1}{beta -alpha }}left(e^{-alpha t}-e^{-beta t}right),}

Convolution

Se puede lograr el mismo resultado usando la propiedad de convolución como si el sistema fuera una serie de filtros con funciones de transferencia de $1/(s + a)$ y $1/(s + b)$ . Es decir, el inverso de

{displaystyle H(s)={frac {1}{(s+a)(s+b)}}={frac {1}{s+a}}cdot {frac {1}{s+b}}}

{displaystyle {mathcal {L}}^{-1}!left{{frac {1}{s+a}}right}*{mathcal {L}}^{-1}!left{{frac {1}{s+b}}right}=e^{-at}*e^{-bt}=int _{0}^{t}e^{-ax}e^{-b(t-x)},dx={frac {e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}}.}

Retardo de fase

Función del tiempo	Laplace transform
${displaystyle sin {(omega t+varphi)}}$	${displaystyle {frac {ssin(varphi)+omega cos(varphi)}{s^{2}+omega ^{2}}}}$
${displaystyle cos {(omega t+varphi)}}$	${displaystyle {frac {scos(varphi)-omega sin(varphi)}{s^{2}+omega ^{2}}}.}$

A partir de la transformada de Laplace,

{displaystyle X(s)={frac {ssin(varphi)+omega cos(varphi)}{s^{2}+omega ^{2}}}}

encontramos el inverso reorganizando primero los términos en la fracción:

{displaystyle {begin{aligned}X(s)&={frac {ssin(varphi)}{s^{2}+omega ^{2}}}+{frac {omega cos(varphi)}{s^{2}+omega ^{2}}}\&=sin(varphi)left({frac {s}{s^{2}+omega ^{2}}}right)+cos(varphi)left({frac {omega }{s^{2}+omega ^{2}}}right).end{aligned}}}

Ahora podemos tomar la transformada inversa de Laplace de nuestros términos:

{displaystyle {begin{aligned}x(t)&=sin(varphi){mathcal {L}}^{-1}left{{frac {s}{s^{2}+omega ^{2}}}right}+cos(varphi){mathcal {L}}^{-1}left{{frac {omega }{s^{2}+omega ^{2}}}right}\&=sin(varphi)cos(omega t)+cos(varphi)sin(omega t).end{aligned}}}

Esto es solo el seno de la suma de los argumentos, dando como resultado:

{displaystyle x(t)=sin(omega t+varphi).}

Podemos aplicar una lógica similar para encontrar que

{displaystyle {mathcal {L}}^{-1}left{{frac {scos varphi -omega sin varphi }{s^{2}+omega ^{2}}}right}=cos {(omega t+varphi)}.}

Mecánica estadística

En la mecánica estadística, la transformación de Laplace de la densidad de estados $g(E)$ define la función de partición. Es decir, la función de partición canónica ${displaystyle Z(beta)}$ es dado por

{displaystyle Z(beta)=int _{0}^{infty }e^{-beta E}g(E),dE}

{displaystyle g(E)={frac {1}{2pi i}}int _{beta _{0}-iinfty }^{beta _{0}+iinfty }e^{beta E}Z(beta),dbeta }

Estructura espacial (no temporal) del espectro astronómico

La aplicabilidad amplia y general de la transformada de Laplace y su inversa se ilustra con una aplicación en astronomía que proporciona información sobre la distribución espacial de la materia de una fuente astronómica de radiación térmica de radiofrecuencia demasiado distante para resolver como más que un punto, dado su espectro de densidad de flujo, en lugar de relacionar el dominio del tiempo con el espectro (dominio de la frecuencia).

Suponiendo ciertas propiedades del objeto, p. forma esférica y temperatura constante, los cálculos basados en la realización de una transformada inversa de Laplace en el espectro del objeto pueden producir el único modelo posible de la distribución de la materia en él (densidad en función de la distancia al centro) coherente con el espectro. Cuando se dispone de información independiente sobre la estructura de un objeto, se ha encontrado que el método de la transformada inversa de Laplace está de acuerdo.

Galería

Una curva de ejemplo e^tPorque...t) que se añade junto con curvas similares para formar un Laplace Transform.
La animación que muestra cómo agregar curvas juntas puede aproximar una función.

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