Transformada de Fourier en tiempo discreto

Cuando la DTFT es continua, una práctica común es calcular un número arbitrario de muestras (N) de un ciclo de la función periódica X_1/T:

X1/T()kNT)⏟ ⏟ Xk=.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]⋅ ⋅ e− − i2π π kNnk=0,......,N− − 1=.. NxN[n]⋅ ⋅ e− − i2π π kNn,⏟ ⏟ DFT(sumo sobre cualquiern- secuencia de longitudN){displaystyle {begin{aligned}underbrace {X_{1/T}left({frac {k}{NT}}right)} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicroc {fn}n}quad quad k=0,dotsN-1\\cH00cH00cH00\cH009cH009cH00\cH009cH009}cH009cH009cH009}cH009cH009cH009cH3cH009cH009cH3cH00cH00cH00cH00cH00cH009cH3cH00cH00cH00cH00cH00}cH3cH00cH00cH3cH00cH00cH00cH00cH00}cH009cH3cH00cH3\cH00cH00cH ¿Por qué? {fnMicroc {K} {}n},} _{text{DFT}quad scriptstyle {{text{(sum over any }n{text{-sequence of length }N)}end{aligned}}}}

Donde xN{displaystyle # es un resumen periódico:

xN[n]≜ ≜.. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n− − mN].{displaystyle x_{_{N}[n]triangleqsum _{m=-infty }^{infty }x[n-mN].} (ver la serie Discreta Fourier)

El xN{displaystyle # secuencia es el DFT inverso. Así, nuestro muestreo del DTFT hace que la transformación inversa sea periódica. El array de SilencioX_kSilencio² valores se conoce como periodograma, y el parámetro N se llama NFFT en la función Matlab del mismo nombre.

Para evaluar un ciclo de xN{displaystyle # numéricamente, necesitamos una longitud finita x[n] secuencia. Por ejemplo, una larga secuencia puede ser truncada por una función de ventana de longitud L resultando en tres casos dignos de mención especial. Para la simplicidad notacional, considere x[n] valores a continuación para representar los valores modificados por la función ventana.

Caso: Diezmación de frecuencia. L = N ⋅ I, para algún número entero I (normalmente 6 u 8)

Un ciclo de xN{displaystyle # reduce a una suma de I segmentos de longitud N. El DFT entonces va por varios nombres, como:

• ventana-presum FFT
• Peso, solapa, añadir (WOLA)

• polifase DFT
• banco de filtros de polifase
• ventana de múltiples bloques y time-aliasing.

Recordemos que la decimación de datos muestreados en un dominio (tiempo o frecuencia) produce superposición (a veces conocido como aliado) en el otro, y viceversa. Comparado con un L- longitud DFT, el xN{displaystyle # summation/overlap causes decimation in frequency, leaving only DTFT samples least affected by spectral escapeage. Esto es generalmente una prioridad al implementar un banco filtrante FFT (canalizador). Con una función de ventana convencional de longitud L, la pérdida de escalado sería inaceptable. Así que se crean ventanas multibloque usando herramientas de diseño de filtros FIR. Su perfil de frecuencia es plano en el punto más alto y se baja rápidamente en el punto medio entre las muestras DTFT restantes. Cuanto mayor sea el valor del parámetro ICuanto mejor sea el rendimiento potencial.

Caso: L = N +1.

Cuando un simétrico, L- función de ventana de longitud (x{displaystyle x}) es truncado por 1 coeficiente que se llama periódico o DFT-even. La truncación afecta al DTFT. Un DFT de la secuencia truncada muestra el DTFT a intervalos de frecuencia de 1/N. A la muestra x{displaystyle x} en las mismas frecuencias, para comparación, el DFT se calcula para un ciclo de la suma periódica, xN.{displaystyle x_{_{N}}

Caso: Interpolación de frecuencias. L ≤ N

En este caso, la DFT se simplifica a una forma más familiar:

Xk=.. n=0N− − 1x[n]⋅ ⋅ e− − i2π π kNn.{displaystyle X_{k}=sum _{n=0}{N-1}x[n]cdot e^{-i2pi {fnMicroc {K}n}n}.}

Para aprovechar un algoritmo rápido de transformada de Fourier para calcular la DFT, la suma generalmente se realiza sobre todos los N términos, aunque N − L de ellos sean ceros. Por lo tanto, el caso L < N a menudo se denomina relleno de ceros.

La fuga espectral, que aumenta a medida que L disminuye, es perjudicial para ciertas métricas de rendimiento importantes, como la resolución de múltiples componentes de frecuencia. y la cantidad de ruido medida por cada muestra DTFT. Pero esas cosas no siempre importan, por ejemplo, cuando la secuencia x[n] es una sinusoide silenciosa (o una constante), formada por una función de ventana. Entonces es una práctica común utilizar relleno de ceros para mostrar y comparar gráficamente los patrones de fuga detallados de las funciones de ventana. Para ilustrar eso para una ventana rectangular, considere la secuencia:

x[n]=ei2π π 18n,{displaystyle x[n]=e^{i2pi {fnMic {1} {fn}n}n},quad} y L=64.{displaystyle L=64.}

Gráficos 2 y 3 son parcelas de la magnitud de dos tamaños diferentes DFTs, como se indica en sus etiquetas. En ambos casos, el componente dominante está en la frecuencia de señal: f = 1/8 = 0,125. También visible en Fig 2 es el patrón de fuga espectral del L = 64 ventana rectangular. La ilusión Fig 3 es un resultado de muestrear el DTFT en sólo sus cruces cero. Más que el DTFT de una secuencia de longitud finita, da la impresión de una secuencia sinusoidal infinitamente larga. Los factores que contribuyen a la ilusión son el uso de una ventana rectangular, y la elección de una frecuencia (1/8 = 8/64) con exactamente 8 ciclos (un entero) por 64 muestras. Una ventana de Hann produciría un resultado similar, excepto el pico se ampliaría a 3 muestras (véase la ventana DFT-even Hann).

Convolution

El teorema de convolución para secuencias es:

xAlternativa Alternativa Sí.=DTFT− − 1[DTFT{}x}⋅ ⋅ DTFT{}Sí.}].{displaystyle x*y =fnfnMicrosoft Sans Serif} scriptstyle {rm {TFT}displaystyle {x}cdot scriptstyle {rm {dTFT}displaystyle {x}cdot scriptstyle {rm {dTFT}displaystyle {y}right].}}

Un caso especial importante es la convolución circular de secuencias x y Sí. definidas por xNAlternativa Alternativa Sí.,{displaystyle Y... Donde xN{displaystyle # es un resumen periódico. La naturaleza discreta de la frecuencia DTFT{}xN}{displaystyle scriptstyle {rm {}displaystyle {x_{_{N}}} significa que el producto con la función continua DTFT{}Sí.}{displaystyle scriptstyle {rm {}displaystyle {y}} es también discreto, lo que resulta en considerable simplificación de la transformación inversa:

xNAlternativa Alternativa Sí.=DTFT− − 1[DTFT{}xN}⋅ ⋅ DTFT{}Sí.}]=DFT− − 1[DFT{}xN}⋅ ⋅ DFT{}Sí.N}].{displaystyle *y* scriptstyle {rm {rm {}}displaystyle left[scriptstyle {rm {rm {DTFT}displaystyle {x_{_{N}cdot scriptstyle {rm {DTFT}displaystyle {y}right] = scriptstyle {rm {}} {f}displaystyle left[scriptstyle {rm {rm}displaystyle {x_{_{N}cdot scriptstyle {rm {DFT}displaystyle Bien.

Para x y Sí. secuencias cuya duración no cero es inferior o igual a N, una simplificación final es:

xNAlternativa Alternativa Sí.=DFT− − 1[DFT{}x}⋅ ⋅ DFT{}Sí.}].{displaystyle *y* scriptstyle {rm {DFT}}displaystyle {x}cdot scriptstyle {rm {dFT}displaystyle {x}cdot scriptstyle {rm {dFT}displaystyle {y}right].}

La importancia de este resultado se explica en Algoritmos de convolución circular y convolución rápida.

Propiedades de simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares, hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y existe una correlación uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja:

Timedomainx=xRE+xRO+ixIE+ixIO⏟ ⏟ ⇕F⇕F⇕F⇕F⇕FFrequencSí.domainX=XRE+iXIO⏞ ⏞ +iXIE+XRO{displaystyle {begin{aligned}{mathsf {Time domain}quad >quad > {f}f} {f}f}f}f}f} {f}f}f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}\\\\f}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Frequency domain}quad "Xquad > 'quad > 'quad > 'overbrace {i X_{IO} quad &+quad i &X_{IE}quad >quad >

A partir de esto, varias relaciones son evidentes, por ejemplo:

• La transformación de una función de valor real (x_RE+ x_RO) es la función simétrica incluso X_RE+ i X_IO. Por el contrario, una transformación incluso simétrica implica un dominio de tiempo real.
• La transformación de una función de valor imaginario (i x_IE+ i x_IO) es la función simétrica extraña X_RO+ i X_IE, y el contrario es cierto.
• La transformación de una función incluso simétrica (x_RE+ i x_IO) es la función de valor real X_RE+ X_RO, y el contrario es cierto.
• La transformación de una función simétrica extraña (x_RO+ i x_IE) es la función de valor imaginario i X_IE+ i X_IO, y el contrario es cierto.

Relación con la transformada Z

X2π π ()⋅ ⋅){displaystyle X_{2pi}(omega)} es una serie Fourier que también se puede expresar en términos de la Z-transform bilateral. I.e.:

X2π π ()⋅ ⋅)=X^ ^ ()z)Silencioz=ei⋅ ⋅ =X^ ^ ()ei⋅ ⋅),{displaystyle X_{2pi}(omega)=left.{widehat {X}(z),right sometida_{z=e^{iomega }={widehat {X}(e^{iomega }}}

Donde X^ ^ {displaystyle {widehat {X}}} notación distingue el Z-transform de la transformación Fourier. Por lo tanto, también podemos expresar una parte de la Z-transform en términos de la transformación Fourier:

X^ ^ ()ei⋅ ⋅)=X1/T()⋅ ⋅ 2π π T)=.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO X()⋅ ⋅ 2π π T− − k/T)=.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO X()⋅ ⋅ − − 2π π k2π π T).{displaystyle {begin{aligned}{widehat {X}(e^{iomega } X_{1/T}left({tfrac {omega }{2pi T}right) = sum _{k=-infty {omega }{2pi T}-k/Tright)fnunció=sum ¿Por qué?

Tenga en cuenta que cuando parámetro T cambios, los términos X2π π ()⋅ ⋅){displaystyle X_{2pi}(omega)} permanecer una separación constante 2π π {displaystyle 2pi} aparte, y su ancho se extiende hacia arriba o hacia abajo. Los términos de X_1/T()f) permanecer un ancho constante y su separación 1/T escala arriba o abajo.

Tabla de transformadas de Fourier en tiempo discreto

En la siguiente tabla se muestran algunos pares de transformación comunes. Se aplica la siguiente notación:

• ⋅ ⋅ =2π π fT{displaystyle omega =2pi fT} es un número real que representa la frecuencia angular continua (en radians por muestra). ()f{displaystyle f} está en ciclos/seg, y T{displaystyle T} está en el segundo/sample.) En todos los casos en la tabla, el DTFT es 2π-periodic (in ⋅ ⋅ {displaystyle omega }).
• X2π π ()⋅ ⋅){displaystyle X_{2pi}(omega)} designa una función definida en <math alttext="{displaystyle -infty <omega − − JUEGO JUEGO c)⋅ ⋅ c)JUEGO JUEGO {displaystyle -infty<img alt="{displaystyle -infty <omega .
• Xo()⋅ ⋅){displaystyle X_{o}(omega)} designa una función definida en <math alttext="{displaystyle -pi − − π π c)⋅ ⋅ ≤ ≤ π π {displaystyle - 'pi' significa 'omega leq pi }<img alt="{displaystyle -pi , y cero en otro lugar. Entonces:
  X2π π ()⋅ ⋅)≜ ≜.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Xo()⋅ ⋅ − − 2π π k).{displaystyle X_{2pi}(omega)triangleqsum _{k=-infty }^{infty }X_{o}(omega -2pi k).}

  
• δ δ ()⋅ ⋅){displaystyle delta (omega)} es la función Dirac delta
• sinc⁡ ⁡ ()t){displaystyle operatorname {sinc} (t)} es la función sinc normalizada
• L/2end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">rectificado⁡ ⁡ [nL]≜ ≜ {}1SilencionSilencio≤ ≤ L/20SilencionSilencio■L/2{displaystyle operatorname {rect} left[{n over L}right]triangleq {begin{cases}1 tendrían una vida eternaleq L/2 Temas anterioresL/2end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c667571bd82eac9350ddadb9bc4d221711789c0f" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.268ex; height:6.176ex;"/>
• t⁡ ⁡ ()t){displaystyle operatorname {tri} (t)} es la función del triángulo
• n es un entero que representa el dominio de tiempo discreto (en muestras)
• u[n]{displaystyle u[n]} es la función de paso de unidad de tiempo discreto
• δ δ [n]{displaystyle delta [n]} es el Kronecker delta δ δ n,0{displaystyle delta _{n,0}

Dominio de tiempo x[n]	dominio de frecuencia X2π()⋅)	Observaciones	Referencia
δ δ [n]{displaystyle delta [n]}	X2π π ()⋅ ⋅)=1{displaystyle X_{2pi}(omega)=1}
δ δ [n− − M]{displaystyle delta [n-M]}	X2π π ()⋅ ⋅)=e− − i⋅ ⋅ M{displaystyle X_{2pi}(omega)=e^{-iomega M}	entero M{displaystyle M}
.. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO δ δ [n− − Mm]{displaystyle sum _{m=-infty ♫ {infty }delta [n-Mm]!	X2π π ()⋅ ⋅)=.. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO e− − i⋅ ⋅ Mm=2π π M.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO δ δ ()⋅ ⋅ − − 2π π kM){displaystyle X_{2pi}(omega)=sum ¿Qué? Mm={frac {2pi } {M}sum _{k=-infty }delta left(omega -{frac {2pi k}{M}right),} Xo()⋅ ⋅)=2π π M.. k=− − ()M− − 1)/2()M− − 1)/2δ δ ()⋅ ⋅ − − 2π π kM){displaystyle X_{o}(omega)={frac {2pi }{M}}sum _{k=-(M-1)/2}{(M-1)/2}delta left(omega -{frac {2pi k}{M}right),} extraño. M Xo()⋅ ⋅)=2π π M.. k=− − M/2+1M/2δ δ ()⋅ ⋅ − − 2π π kM){displaystyle X_{o}(omega)={frac {2pi } {M}sum _{k=-M/2+1} {M/2}delta left(omega -{frac {2pi k}right),} incluso M	entero 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M■0{displaystyle M confidencial0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f423ab77b3411ec2803520a07c0dfae6ceb826" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.703ex; height:2.176ex;"/>
u[n]{displaystyle u[n]}	X2π π ()⋅ ⋅)=11− − e− − i⋅ ⋅ +π π.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO δ δ ()⋅ ⋅ − − 2π π k){displaystyle X_{2pi}(omega)={frac {1}{1-e^{-iomega }}+pi sum _{k=-infty }infty }delta (omega -2pi k)!} Xo()⋅ ⋅)=11− − e− − i⋅ ⋅ +π π ⋅ ⋅ δ δ ()⋅ ⋅){displaystyle X_{o}(omega)={frac {1}{1-e^{-iomega }}+pi cdot delta (omega)!}	El 1/()1− − e− − i⋅ ⋅){displaystyle 1/(1-e^{-iomega }} término debe ser interpretado como una distribución en el sentido de un valor principal Cauchy alrededor de sus polos en ⋅ ⋅ =2π π k{displaystyle omega =2pi k}.
anu[n]{displaystyle a^{n}u[n]	X2π π ()⋅ ⋅)=11− − ae− − i⋅ ⋅ {displaystyle X_{2pi}(omega)={frac {1}{1-ae^{-iomega }} '	<math alttext="{displaystyle 0<|a|0c)SilencioaSilencioc)1{displaystyle 0 Seguido<img alt="{displaystyle 0<|a|
e− − ian{displaystyle e^{-ian}	Xo()⋅ ⋅)=2π π ⋅ ⋅ δ δ ()⋅ ⋅ +a),{displaystyle X_{o}(omega)=2pi cdot delta (omega +a),} - Haga clic en un π X2π π ()⋅ ⋅)=2π π.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO δ δ ()⋅ ⋅ +a− − 2π π k){displaystyle X_{2pi}(omega)=2pi sum _{k=-infty }^{infty }delta (omega +a-2pi k)}	Número real a{displaystyle a}
#⁡ ⁡ ()a⋅ ⋅ n){displaystyle cos(acdot n)}	Xo()⋅ ⋅)=π π [δ δ ()⋅ ⋅ − − a)+δ δ ()⋅ ⋅ +a)],{displaystyle X_{o}(omega)=pi left[delta left(omega -aright)+delta left(omega +aright)right],} X2π π ()⋅ ⋅)≜ ≜.. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Xo()⋅ ⋅ − − 2π π k){displaystyle X_{2pi}(omega)triangleqsum _{k=-infty }^{infty }X_{o}(omega -2pi k)}	Número real a{displaystyle a} con <math alttext="{displaystyle -pi <a− − π π c)ac)π π {displaystyle -pi }<img alt="{displaystyle -pi <a
pecado⁡ ⁡ ()a⋅ ⋅ n){displaystyle sin(acdot n)}	Xo()⋅ ⋅)=π π i[δ δ ()⋅ ⋅ − − a)− − δ δ ()⋅ ⋅ +a)]{displaystyle X_{o}(omega)={frac {pi}{i}left[delta left(omega -aright)-delta left(omega +aright)right]}	Número real a{displaystyle a} con <math alttext="{displaystyle -pi <a− − π π c)ac)π π {displaystyle -pi }<img alt="{displaystyle -pi <a
rectificado⁡ ⁡ [n− − MN]↑ ↑ rectificado⁡ ⁡ [n− − MN− − 1]{displaystyle operatorname {rect} left[{n-M over N}right]equiv operatorname {rect} left[{n-M over N-1}right]}	Xo()⋅ ⋅)=pecado⁡ ⁡ ()N⋅ ⋅ /2)pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ /2)e− − i⋅ ⋅ M{displaystyle X_{o}(omega)={sin(Nomega /2) over sin(omega /2)},e^{-iomega M}!	entero M,{displaystyle M,} y extraño. entero N{displaystyle N}
sinc⁡ ⁡ ()W()n+a)){displaystyle operatorname {sinc} (W(n+a)}	Xo()⋅ ⋅)=1Wrectificado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 2π π W)eia⋅ ⋅ {displaystyle X_{o}(omega)={frac {1}{W}operatorname {rect} left({omega over 2pi W}right)e^{iaomega }	números reales W,a{displaystyle W,a} con <math alttext="{displaystyle 0<W0c)Wc)1{displaystyle 0 won1}<img alt="{displaystyle 0<W
sinc2⁡ ⁡ ()Wn){displaystyle operatorname {sinc}	Xo()⋅ ⋅)=1Wt⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 2π π W){displaystyle X_{o}(omega)={frac {1}{W}operatorname {tri} left({omega over 2pi W}right)}	Número real W{displaystyle W., <math alttext="{displaystyle 0<W0c)Wc)0.5{displaystyle 0 won0}<img alt="{displaystyle 0<W
{}0n=0()− − 1)nnen otros lugares{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn} {fn}}} {fnMicrosoft Sans Serif}	Xo()⋅ ⋅)=j⋅ ⋅ {displaystyle X_{o}(omega)=jomega }	funciona como un filtro diferenciador
1()n+a){}#⁡ ⁡ [π π W()n+a)]− − sinc⁡ ⁡ [W()n+a)]}{displaystyle {frac {1}{(n+a)}leftcos[pi W(n+a)]-operatorname {sinc} [W(n+a)]right}}	Xo()⋅ ⋅)=j⋅ ⋅ W⋅ ⋅ rectificado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ π π W)eja⋅ ⋅ {displaystyle X_{o}(omega)={frac {jomega }{W}cdot operatorname {rect} left({omega over pi W}right)e^{jaomega }	números reales W,a{displaystyle W,a} con <math alttext="{displaystyle 0<W0c)Wc)1{displaystyle 0 won1}<img alt="{displaystyle 0<W
{}π π 2n=0()− − 1)n− − 1π π n2de otra manera{displaystyle {begin{cases}{frac {pi} {fn} {fn} {fnK}} {fn} {fn}}} {fn}} {text{f}}end{cases}}}}} {fnfnK}}} {fn0}} {fnKfnK}}}}}}}}	Xo()⋅ ⋅)=Silencio⋅ ⋅ Silencio{displaystyle X_{o}(omega)= sobreviviromega
{}0;nincluso2π π n;nextraño.{displaystyle {begin{cases}0; limitn{text{ even}{frac {2}{pi n}}; Puln{text{ odd}}end{cases}}}	<math alttext="{displaystyle X_{o}(omega)={begin{cases}j&omega 0end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Xo()⋅ ⋅)={}j⋅ ⋅ c)00⋅ ⋅ =0− − j⋅ ⋅ ■0{displaystyle X_{o}(omega)={begin{cases}j sensibleomega s0 sensible =0omega =0-j pacienteomega ################################################################################################################################################################################################################################################################<img alt="{displaystyle X_{o}(omega)={begin{cases}j&omega 0end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1075abf21c7be19583155343849bc4fb99e34e0a" style="vertical-align: -3.671ex; width:22.92ex; height:8.509ex;"/>	Hilbert transforma
C()A+B)2π π ⋅ ⋅ sinc⁡ ⁡ [A− − B2π π n]⋅ ⋅ sinc⁡ ⁡ [A+B2π π n]{displaystyle {frac {C(A+B)}{2pi }cdot operatorname {sinc} left[{frac {B}{2pi }nright]cdot operatorname {sinc} left[{frac {B}{2pi}nright]	Xo()⋅ ⋅)={displaystyle X_{o}(omega)=}	números reales A,B{displaystyle A,B} complejo C{displaystyle C}

Propiedades

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y los efectos correspondientes en el dominio de la frecuencia.

• Alternativa Alternativa {displaystyle *} es la convolución discreta de dos secuencias
• x[n]Alternativa Alternativa {displaystyle x[n]^{*} es el complejo conjugado de x[n].

Propiedad	Dominio de tiempo x[n]	dominio de frecuencia X2π π ()⋅ ⋅){displaystyle X_{2pi}(omega)}	Observaciones	Referencia
Linearity	a⋅ ⋅ x[n]+b⋅ ⋅ Sí.[n]{displaystyle acdot x[n]+bcdot y[n]}	a⋅ ⋅ X2π π ()⋅ ⋅)+b⋅ ⋅ Y2π π ()⋅ ⋅){displaystyle acdot X_{2pi}(omega)+bcdot Y_{2pi }(omega)}	números complejos a,b{displaystyle a,b}
Reversión del tiempo / Reversión de frecuencia	x[− − n]{displaystyle x[-n]}	X2π π ()− − ⋅ ⋅){displaystyle X_{2pi}(-omega)}
Conjugación del tiempo	x[n]Alternativa Alternativa {displaystyle x[n]^{*}	X2π π ()− − ⋅ ⋅)Alternativa Alternativa {displaystyle X_{2pi}(-omega)}{*}!
Reversión del tiempo " conjugación	x[− − n]Alternativa Alternativa {displaystyle x[-n]^{*}	X2π π ()⋅ ⋅)Alternativa Alternativa {displaystyle X_{2pi}(omega)^{*}}
Parte real en el tiempo	R R ()x[n]){displaystyle Re {(x[n]}}	12()X2π π ()⋅ ⋅)+X2π π Alternativa Alternativa ()− − ⋅ ⋅))[displaystyle {frac {1}{2}}(X_{2pi }(omega)+X_{2pi }^{*}(-omega)}
Parte imaginaria en el tiempo	I I ()x[n]){displaystyle Im {(x[n]}	12i()X2π π ()⋅ ⋅)− − X2π π Alternativa Alternativa ()− − ⋅ ⋅)){displaystyle {frac {1}{2i}(X_{2pi }(omega)-X_{2pi }^{*}(-omega)}
Parte real en frecuencia	12()x[n]+xAlternativa Alternativa [− − n]){displaystyle {frac {1}{2}(x[n]+x^{*}[n]}}	R R ()X2π π ()⋅ ⋅)){displaystyle Re {(X_{2pi }(omega)}}
Parte imaginaria en frecuencia	12i()x[n]− − xAlternativa Alternativa [− − n]){displaystyle {frac {1}{2i}(x[n]-x^{*}[n]}}	I I ()X2π π ()⋅ ⋅)){displaystyle Im {(X_{2pi }(omega)}}
Cambio en el tiempo / Modulación en la frecuencia	x[n− − k]{displaystyle x[n-k]}	X2π π ()⋅ ⋅)⋅ ⋅ e− − i⋅ ⋅ k{displaystyle X_{2pi}(omega)cdot e^{-iomega K}	entero k
Cambio de frecuencia / Modulación en el tiempo	x[n]⋅ ⋅ eian{displaystyle x[n]cdot e^{ian}!	X2π π ()⋅ ⋅ − − a){displaystyle X_{2pi}(omega -a)!}	Número real a{displaystyle a}
Decimation	x[nM]{displaystyle x[nM]}	1M.. m=0M− − 1X2π π ()⋅ ⋅ − − 2π π mM){displaystyle {frac}{M}sum} ¿Por qué?	entero M{displaystyle M}
Expansión del tiempo	{}x[n/M]n=múltiples de M0de otra manera{displaystyle scriptstyle {begin{cases}x[n/M] implican={text{multiple of M} limitada{text{otherwise}}end{cases}}}	X2π π ()M⋅ ⋅){displaystyle X_{2pi}(Momega)!}	entero M{displaystyle M}
Derivativo en frecuencia	nix[n]{displaystyle {frac {fn}x[n]}	dX2π π ()⋅ ⋅)d⋅ ⋅ {displaystyle {frac {dX_{2pi}(omega)}{domega ¡Oh!
Integración en frecuencia	{displaystyle}	{displaystyle}
Diferencia en el tiempo	x[n]− − x[n− − 1]{displaystyle x[n]-x[n-1]!	()1− − e− − i⋅ ⋅)X2π π ()⋅ ⋅){displaystyle left(1-e^{-iomega }right)X_{2pi }(omega)!}
Summation in time	.. m=− − JUEGO JUEGO nx[m]{displaystyle sum _{m=-infty }{n}x[m]!	1()1− − e− − i⋅ ⋅)X2π π ()⋅ ⋅)+π π X()0).. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO δ δ ()⋅ ⋅ − − 2π π k){displaystyle {frac {1}{left(1-e^{-iomega }}X_{2pi }(omega)+pi X(0)sum _{k=-infty }infty }delta (omega -2pi k)}}
Convolución en tiempo / Multiplicación en frecuencia	x[n]Alternativa Alternativa Sí.[n]{displaystyle x[n]*y[n]!	X2π π ()⋅ ⋅)⋅ ⋅ Y2π π ()⋅ ⋅){displaystyle X_{2pi}(omega)cdot Y_{2pi}(omega)!}
Multiplicación en el tiempo / Convolución en frecuencia	x[n]⋅ ⋅ Sí.[n]{displaystyle x[n]cdot y[n]!	12π π ∫ ∫ − − π π π π X2π π ()..)⋅ ⋅ Y2π π ()⋅ ⋅ − −..)d.. {displaystyle {frac {1}{2pi}int _{-pi }{pi }X_{2pi }(nu)cdot Y_{2pi }(omega -nu)dnu !}	Conversión periódica
Correlación cruzada	*** *** xSí.[n]=x[− − n]Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa Sí.[n]{displaystyle rho _{xy}[n]=x[n]^{*}*y[n]!}	RxSí.()⋅ ⋅)=X2π π ()⋅ ⋅)Alternativa Alternativa ⋅ ⋅ Y2π π ()⋅ ⋅){displaystyle R_{xy}(omega)=X_{2pi }(omega)^{*}cdot Y_{2pi}(omega)!}
Teorema de Parseval	ExSí.=.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]⋅ ⋅ Sí.[n]Alternativa Alternativa {displaystyle ¿Qué?	ExSí.=12π π ∫ ∫ − − π π π π X2π π ()⋅ ⋅)⋅ ⋅ Y2π π ()⋅ ⋅)Alternativa Alternativa d⋅ ⋅ {displaystyle E_{xy}={frac {1}{2pi}int _{-pi. {X_{2pi}(omega)cdot Y_{2pi}(omega)^{*}domega }!}

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