Transformada bilineal

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La transformada bilineal (también conocida como método de Tustin, en honor a Arnold Tustin) se utiliza en el procesamiento de señales digitales y en la teoría del control en tiempo discreto para transformar -Representaciones de sistemas de tiempo a tiempo discreto y viceversa.

La transformación bilineal es un caso especial de un mapeo conformado (nombre, una transformación Möbius), a menudo utilizado para convertir una función de transferencia ${displaystyle H_{a}(s)}$ de un filtro lineal, invariante (LTI) en el dominio continuo (a menudo llamado filtro analógico) a una función de transferencia ${displaystyle H_{d}(z)}$ de un filtro lineal e invariante en el dominio discreto (a menudo llamado filtro digital aunque hay filtros analógicos construidos con condensadores conmutados que son filtros discretos). Mapa de posiciones en ${displaystyle jomega }$ Axis, ${displaystyle mathrm {Re} [s]=0}$ , en el plano del círculo de unidad, ${displaystyle |z|=1}$ En el plan z. Otras transformaciones bilineales se pueden utilizar para evitar la respuesta de frecuencia de cualquier sistema lineal discreto (por ejemplo, para aproximar la resolución de frecuencia no lineal del sistema auditivo humano) y son implementables en el dominio discreto reemplazando los retrasos de unidad de un sistema ${displaystyle left(z^{-1}right)}$ con filtros de paso completo de primer orden.

El transformado preserva la estabilidad y mapas cada punto de la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo, ${displaystyle H_{a}(jomega _{a})}$ a un punto correspondiente en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo discreto, ${displaystyle H_{d}(e^{jomega _{d}T})}$ aunque a una frecuencia algo diferente, como se muestra en la sección de almacenamiento de frecuencias a continuación. Esto significa que para cada característica que uno ve en la respuesta de frecuencia del filtro analógico, hay una característica correspondiente, con ganancia idéntica y cambio de fase, en la respuesta de frecuencia del filtro digital pero, quizás, en una frecuencia algo diferente. Esto es apenas perceptible en frecuencias bajas pero es bastante evidente en frecuencias cercanas a la frecuencia Nyquist.

Aproximación en tiempo discreto

La transformada bilineal es una aproximación de Padé de primer orden de la función de logaritmo natural que es un mapeo exacto del plano z al plano s. Cuando la transformada de Laplace se realiza en una señal de tiempo discreto (con cada elemento de la secuencia de tiempo discreto unido a un impulso unitario retardado correspondiente), el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia de tiempo discreto con la sustitución de

{begin{aligned}z&=e^{{sT}}\&={frac {e^{{sT/2}}}{e^{{-sT/2}}}}\&approx {frac {1+sT/2}{1-sT/2}}end{aligned}}

Donde $T$ es la integración numérica tamaño del paso de la regla trapezoidal utilizada en la derivación de la transformación bilineal; o, en otras palabras, el período de muestreo. La aproximación bilineal anterior se puede resolver para $s$ o una aproximación similar para ${displaystyle s=(1/T)ln(z)}$ se puede realizar.

El inverso de este mapeo (y su aproximación bilineal de primer orden) es

{begin{aligned}s&={frac {1}{T}}ln(z)\&={frac {2}{T}}left[{frac {z-1}{z+1}}+{frac {1}{3}}left({frac {z-1}{z+1}}right)^{3}+{frac {1}{5}}left({frac {z-1}{z+1}}right)^{5}+{frac {1}{7}}left({frac {z-1}{z+1}}right)^{7}+cdots right]\&approx {frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}\&={frac {2}{T}}{frac {1-z^{{-1}}}{1+z^{{-1}}}}end{aligned}}

La transformación bilineal utiliza esencialmente esta aproximación de primer orden y sustituye a la función de transferencia de tiempo continuo, ${displaystyle H_{a}(s)}$

sleftarrow {frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}.

Eso es

H_{d}(z)=H_{a}(s){bigg |}_{{s={frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}}}=H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}right).

Estabilidad y propiedades de fase mínima preservadas

Un filtro causal de tiempo continuo es estable si los polos de su función de transferencia caen en la mitad izquierda del plano s complejo. Un filtro causal de tiempo discreto es estable si los polos de su función de transferencia caen dentro del círculo unitario en el plano z complejo. La transformada bilineal asigna la mitad izquierda del plano s complejo al interior del círculo unitario en el plano z. Por lo tanto, los filtros diseñados en el dominio de tiempo continuo que son estables se convierten en filtros en el dominio de tiempo discreto que conservan esa estabilidad.

Del mismo modo, un filtro de tiempo continuo es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia se encuentran en la mitad izquierda del plano s complejo. Un filtro de tiempo discreto es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia caen dentro del círculo unitario en el plano z complejo. Luego, la misma propiedad de mapeo asegura que los filtros de tiempo continuo que son de fase mínima se conviertan en filtros de tiempo discreto que conservan esa propiedad de ser de fase mínima.

Transformación de un Sistema General LTI

Un sistema LTI general tiene la función de transferencia

{displaystyle H_{a}(s)={frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+cdots +a_{P}s^{P}}}}

N

P

Q

P

{displaystyle s=K{frac {z-1}{z+1}}}

K

2/ T

{displaystyle H_{d}(z)={frac {b_{0}+b_{1}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)+b_{2}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)^{2}+cdots +b_{Q}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)+a_{2}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)^{2}+cdots +b_{P}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)^{P}}}}

() z + 1) -1

() z + 1) -N

{displaystyle H_{d}(z)={frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}

N

Considere entonces la forma polo-cero de la función de transferencia de tiempo continuo

{displaystyle H_{a}(s)={frac {(s-xi _{1})(s-xi _{2})cdots (s-xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})cdots (s-p_{P})}}}

. i

p i

{displaystyle z={frac {K+s}{K-s}}}

. ' i

p ' i

{displaystyle {begin{aligned}xi '_{i}&={frac {K+xi _{i}}{K-xi _{i}}}quad 1leq ileq Q\p'_{i}&={frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}quad 1leq ileq Pend{aligned}}}

N

() z + 1) -N

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}xi '_{i}&=-1quad Q<ileq N\p'_{i}&=-1quad P.. i.=− − 1Q.i≤ ≤ Npi.=− − 1P.i≤ ≤ N{displaystyle {begin{aligned}xi ################################################################################################################################################################################################################################################################ Q Secundaileq Np'_{i} limit=-1quad Psecaileq Nend{aligned}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}xi '_{i}&=-1quad Q<ileq N\p'_{i}&=-1quad P

{displaystyle H_{d}(z)={frac {(z-xi '_{1})(z-xi '_{2})cdots (z-xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})cdots (z-p'_{N})}}}

Ejemplo

Como ejemplo, tome un filtro RC de paso bajo simple. Este filtro de tiempo continuo tiene una función de transferencia

{begin{aligned}H_{a}(s)&={frac {1/sC}{R+1/sC}}\&={frac {1}{1+RCs}}.end{aligned}}

Si queremos implementar este filtro como filtro digital, podemos aplicar la transformación bilineal sustituyendo para $s$ la fórmula anterior; después de algún reworking, obtenemos la siguiente representación del filtro:

$H_{d}(z)$	$=H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}right)$
	$={frac {1}{1+RCleft({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}right)}}$
	$={frac {1+z}{(1-2RC/T)+(1+2RC/T)z}}$
	$={frac {1+z^{{-1}}}{(1+2RC/T)+(1-2RC/T)z^{{-1}}}}.$

Los coeficientes del denominador son los 'feed-backward' los coeficientes y los coeficientes del numerador son los 'feed-forward' coeficientes utilizados para implementar un filtro digital en tiempo real.

Transformación para un filtro general de tiempo continuo de primer orden

Es posible relacionar los coeficientes de un filtro analógico de tiempo continuo con los de un filtro digital de tiempo discreto similar creado a través del proceso de transformación bilineal. Transformación de un filtro de tiempo continuo general de primer orden con la función de transferencia dada

{displaystyle H_{a}(s)={frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}

el uso de la transformada bilineal (sin deformar previamente ninguna especificación de frecuencia) requiere la sustitución de

sleftarrow K{frac {1-z^{{-1}}}{1+z^{{-1}}}}

dónde

Ktriangleq {frac {2}{T}}

Sin embargo, si la compensación de control de frecuencia como se describe a continuación se utiliza en la transformación bilineal, de modo que tanto la ganancia de filtro analógico y digital como la fase coincidan en frecuencia $omega _{0}$ , entonces

{displaystyle Ktriangleq {frac {omega _{0}}{tan left({frac {omega _{0}T}{2}}right)}}}

Esto da como resultado un filtro digital de tiempo discreto con coeficientes expresados en términos de los coeficientes del filtro de tiempo continuo original:

{displaystyle H_{d}(z)={frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}

Normalmente, el término constante en el denominador debe normalizarse a 1 antes de derivar la ecuación de diferencias correspondiente. Esto resulta en

{displaystyle H_{d}(z)={frac {{frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}

La ecuación en diferencias (usando la forma directa I) es

{displaystyle y[n]={frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}cdot x[n]+{frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}cdot x[n-1]-{frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}cdot y[n-1].}

Transformación bicuadrática general de segundo orden

Se puede usar un proceso similar para un filtro general de segundo orden con la función de transferencia dada

{displaystyle H_{a}(s)={frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}.}

Esto da como resultado un filtro bicuadrático digital de tiempo discreto con coeficientes expresados en términos de los coeficientes del filtro de tiempo continuo original:

H_{d}(z)={frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{{-1}}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{{-2}}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{{-1}}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{{-2}}}}

Nuevamente, el término constante en el denominador generalmente se normaliza a 1 antes de derivar la ecuación de diferencia correspondiente. Esto resulta en

H_{d}(z)={frac {{frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{{-1}}+{frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{{-2}}}{1+{frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{{-1}}+{frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{{-2}}}}.

La ecuación en diferencias (usando la forma directa I) es

{displaystyle y[n]={frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot x[n]+{frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot x[n-1]+{frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot x[n-2]-{frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot y[n-1]-{frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot y[n-2].}

Distorsión de frecuencia

Para determinar la respuesta de frecuencia de un filtro de tiempo continuo, la función de transferencia ${displaystyle H_{a}(s)}$ se evalúa en ${displaystyle s=jomega _{a}}$ que está en ${displaystyle jomega }$ Axis. Asimismo, para determinar la respuesta de frecuencia de un filtro de tiempo discreto, la función de transferencia ${displaystyle H_{d}(z)}$ se evalúa en ${displaystyle z=e^{jomega _{d}T}}$ que está en el círculo de la unidad, ${displaystyle |z|=1}$ . El bilinear transforma los mapas ${displaystyle jomega }$ eje del s-plano (de los cuales es el dominio de ${displaystyle H_{a}(s)}$ ) al círculo de la unidad del z-plane, ${displaystyle |z|=1}$ (que es el dominio de ${displaystyle H_{d}(z)}$ ), pero es no la misma asignación ${displaystyle z=e^{sT}}$ que también mapea los ${displaystyle jomega }$ eje al círculo de la unidad. Cuando la frecuencia real ${displaystyle omega _{d}}$ es entrada al filtro discreto-time diseñado por el uso de la transformación bilineal, entonces se desea saber a qué frecuencia, ${displaystyle omega _{a}}$ , para el filtro de tiempo continuo que este ${displaystyle omega _{d}}$ está asignado.

{displaystyle H_{d}(z)=H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}right)}

${displaystyle H_{d}(e^{jomega _{d}T})}$	${displaystyle =H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {e^{jomega _{d}T}-1}{e^{jomega _{d}T}+1}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left({frac {2}{T}}cdot {frac {e^{jomega _{d}T/2}left(e^{jomega _{d}T/2}-e^{-jomega _{d}T/2}right)}{e^{jomega _{d}T/2}left(e^{jomega _{d}T/2}+e^{-jomega _{d}T/2}right)}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left({frac {2}{T}}cdot {frac {left(e^{jomega _{d}T/2}-e^{-jomega _{d}T/2}right)}{left(e^{jomega _{d}T/2}+e^{-jomega _{d}T/2}right)}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left(j{frac {2}{T}}cdot {frac {left(e^{jomega _{d}T/2}-e^{-jomega _{d}T/2}right)/(2j)}{left(e^{jomega _{d}T/2}+e^{-jomega _{d}T/2}right)/2}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left(j{frac {2}{T}}cdot {frac {sin(omega _{d}T/2)}{cos(omega _{d}T/2)}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left(j{frac {2}{T}}cdot tan left(omega _{d}T/2right)right)}$

Esto muestra que cada punto en el círculo de la unidad en el filtro de tiempo discreto z-plane, ${displaystyle z=e^{jomega _{d}T}}$ es mapeado a un punto en el $jomega$ eje en el plano de filtro de tiempo continuo, ${displaystyle s=jomega _{a}}$ . Es decir, la asignación de frecuencias discreta a tiempo continuo de la transformación bilineal es

{displaystyle omega _{a}={frac {2}{T}}tan left(omega _{d}{frac {T}{2}}right)}

y el mapeo inverso es

{displaystyle omega _{d}={frac {2}{T}}arctan left(omega _{a}{frac {T}{2}}right).}

El filtro de tiempo discreto se comporta a frecuencia $omega _{d}$ de la misma manera que el filtro de tiempo continuo se comporta a frecuencia ${displaystyle (2/T)tan(omega _{d}T/2)}$ . Específicamente, la ganancia y el cambio de fase que el filtro de tiempo discreto tiene a frecuencia $omega _{d}$ es la misma ganancia y cambio de fase que el filtro de tiempo continuo tiene a frecuencia ${displaystyle (2/T)tan(omega _{d}T/2)}$ . Esto significa que cada característica, cada "bump" que es visible en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo también es visible en el filtro de tiempo discreto, pero a una frecuencia diferente. Para frecuencias bajas (es decir, cuando ${displaystyle omega _{d}ll 2/T}$ o $omega _{a}ll 2/T$ ), entonces las características se asignan a un ligeramente diferentes frecuencias; ${displaystyle omega _{d}approx omega _{a}}$ .

Se puede ver que todo el rango continuo de frecuencias

<math alttext="{displaystyle -infty <omega _{a}− − JUEGO JUEGO .⋅ ⋅ a.+JUEGO JUEGO {displaystyle - 'infty' significa 'omega'<img alt="{displaystyle -infty <omega _{a}

se asigna al intervalo de frecuencia fundamental

<math alttext="{displaystyle -{frac {pi }{T}}<omega _{d}− − π π T.⋅ ⋅ d.+π π T.{displaystyle - ¿Qué? ♪♪♪♪ ¿Qué? - Sí.<img alt="{displaystyle -{frac {pi }{T}}<omega _{d}

Frecuencia de filtro de tiempo continuo ${displaystyle omega _{a}=0}$ corresponde a la frecuencia de filtro de tiempo discreto ${displaystyle omega _{d}=0}$ y la frecuencia de filtro de tiempo continuo ${displaystyle omega _{a}=pm infty }$ corresponde a la frecuencia de filtro de tiempo discreto ${displaystyle omega _{d}=pm pi /T.}$

Uno también puede ver que hay una relación no lineal entre ${displaystyle omega _{a}}$ y ${displaystyle omega _{d}.}$ Este efecto de la transformación bilineal se llama frecuencia warping. El filtro de tiempo continuo se puede diseñar para compensar este almacenamiento de frecuencia mediante el ajuste ${displaystyle omega _{a}={frac {2}{T}}tan left(omega _{d}{frac {T}{2}}right)}$ para cada especificación de frecuencia que el diseñador tiene control sobre (como frecuencia de esquina o frecuencia central). Esto se llama pre-warping el diseño del filtro.

Es posible, sin embargo, compensar el control de frecuencias preencadenando una especificación de frecuencia $omega _{0}$ (generalmente una frecuencia resonante o la frecuencia de la característica más significativa de la respuesta de frecuencia) del sistema de tiempo continuo. Estas especificaciones preencadenadas pueden utilizarse en la transformación bilineal para obtener el sistema de tiempo discreto deseado. Al diseñar un filtro digital como aproximación de un filtro de tiempo continuo, se puede hacer la respuesta de frecuencia (tanto la amplitud como la fase) del filtro digital para que coincida con la respuesta de frecuencia del filtro continuo en una frecuencia especificada $omega _{0}$ , así como la combinación en DC, si la siguiente transformación se sustituye en la función de transferencia continua de filtros. Esta es una versión modificada de la transformación de Tustin mostrada arriba.

{displaystyle sleftarrow {frac {omega _{0}}{tan left({frac {omega _{0}T}{2}}right)}}{frac {z-1}{z+1}}.}

Sin embargo, tenga en cuenta que esta transformación se convierte en la transformación original

{displaystyle sleftarrow {frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}}

como $omega _{0}to 0$ .

La principal ventaja del fenómeno de deformación es la ausencia de distorsión de aliasing de la característica de respuesta de frecuencia, tal como se observa con la invariancia de impulso.

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