Transformación polinómica

En matemáticas, una transformación polinómica consiste en calcular el polinomio cuyas raíces son una función dada de las raíces de un polinomio. Las transformaciones polinómicas, como las transformaciones de Tschirnhaus, se utilizan a menudo para simplificar la solución de ecuaciones algebraicas.

Traduciendo las raíces

Deja

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots #$

sea un polinomio, y

${\displaystyle \alpha _{1},\ldots\alpha ¿Qué?$

serán sus raíces complejas (no necesariamente distintas).

Para cualquier constante c, el polinomio cuyas raíces son

${\displaystyle \alpha _{1}+c,\ldots\alpha ¿Qué?$

es

${\displaystyle Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}$

Si los coeficientes de P son enteros y la constante ${\displaystyle c={\frac {} {}}}$ es un número racional, los coeficientes de Q puede no ser entero, pero el polinomio cⁿ Q tiene coeficientes enteros y tiene las mismas raíces Q.

Un caso especial es cuando ${\displaystyle c={\frac {a_{1}{na_}}}}$ El polinomio resultante Q no tiene ningún término en Sí.^{n − 1}.

Recíprocas de las raíces

Deja

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots #$

sea un polinomio. El polinomio cuyas raíces son las recíprocas de las raíces de P como raíces es su polinomio recíproco

${\displaystyle Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots - Sí.$

Escalando las raíces

Deja

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots #$

sea un polinomio y c sea una constante distinta de cero. Un polinomio cuyas raíces son el producto por c de las raíces de P es

${\displaystyle Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots - Sí.$

El factor cⁿ aparece aquí porque, si c y los coeficientes de P son números enteros o pertenecen a algún dominio integral, lo mismo es cierto para los coeficientes de Q.

En el caso especial ${\displaystyle c=a_{0}$, todos los coeficientes Q son múltiples c, y ${\displaystyle {\frac {}{c}}}$ es un polinomio monico, cuyos coeficientes pertenecen a cualquier dominio integral que contenga c y los coeficientes de P. Esta transformación polinomio se utiliza a menudo para reducir las preguntas sobre los números algebraicos a las preguntas sobre los enteros algebraicos.

Combinando esto con una traducción de las raíces ${\fnMicroc} {a_{1}{na_{0}}}}$, permite reducir cualquier pregunta sobre las raíces de un polinomio, como la determinación de raíces, a una pregunta similar sobre un polinomio más simple, que es monico y no tiene un término de grado n − 1. Para ejemplos de ello, véase Función cúbica § Reducción a una función cúbica o cuártica deprimida § Convertirse en una cuártica deprimida.

Transformación por una función racional

Todos los ejemplos anteriores son transformaciones polinómicas por una función racional, también llamadas transformaciones de Tschirnhaus. Sea

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

sea una función racional, donde g y h son polinomios coprimos. La transformación polinómica de un polinomio P por f es el polinomio Q (definido hasta el producto por una constante no nula) cuyas raíces son las imágenes por f de las raíces de P.

Esta transformación polinómica puede calcularse como una resultante. De hecho, las raíces del polinomio deseado Q son exactamente los números complejos y tales que existe un número complejo x tal que se tiene simultáneamente (si los coeficientes de P, g y h no son números reales o complejos, "número complejo" tiene que ser reemplazado por "elemento de un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de los polinomios de entrada")

${\fnMicrosoftware {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Ésta es exactamente la propiedad definitoria de la resultante

${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)). }$

Por lo general, esto es difícil de calcular a mano. Sin embargo, como la mayoría de los sistemas de álgebra computacional tienen una función incorporada para calcular las resultantes, es sencillo calcularlo con una computadora.

Propiedades

Si el polinomio P es irreducible, entonces ya sea el polinomio resultante Q es irreducible, o es un poder de un polinomio irreducible. Vamos. ${\displaystyle \alpha }$ ser una raíz de P y considerar L, la extensión de campo generada por ${\displaystyle \alpha }$. El caso anterior significa que ${\displaystyle f(\alpha)}$ es un elemento primitivo L, que tiene Q como mínimo polinomio. En este último caso, ${\displaystyle f(\alpha)}$ pertenece a un subcampo L y su mínimo polinomio es el polinomio irreducible que tiene Q como poder.

Transformación para la resolución de ecuaciones

Las transformaciones polinómicas se han aplicado a la simplificación de ecuaciones polinómicas para su solución, cuando es posible, por radicales. Descartes introdujo la transformación de un polinomio de grado d que elimina el término de grado d − 1 mediante una traslación de las raíces. Un polinomio de este tipo se denomina deprimido. Esto ya es suficiente para resolver la ecuación cuadrática por raíces cuadradas. En el caso de la cúbica, las transformaciones de Tschirnhaus sustituyen la variable por una función cuadrática, lo que permite eliminar dos términos, y por lo tanto se pueden utilizar para eliminar el término lineal en una cúbica deprimida para lograr la solución de la cúbica por una combinación de raíces cuadradas y cúbicas. La transformación de Bring-Jerrard, que es cuártica en la variable, convierte una quintica en una forma normal de Bring-Jerrard con términos de grado 5, 1 y 0.