Transformación integral

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Mapping con integración entre espacios de función

En matemáticas, una transformación integral asigna una función de su espacio funcional original a otro espacio funcional mediante integración, donde algunas de las propiedades de la función original podrían caracterizarse y manipularse más fácilmente que en el espacio funcional original. La función transformada generalmente se puede mapear nuevamente al espacio funcional original usando la transformación inversa.

Forma general

Una transformación integral es cualquier transformación $T$ de la siguiente forma:

{displaystyle (Tf)(u)=int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t),K(t,u),dt}

La entrada de este transformado es una función $f$ , y la salida es otra función ${displaystyle Tf}$ . Una transformación integral es un tipo particular de operador matemático.

Hay numerosas transformaciones integrales útiles. Cada uno es especificado por una elección de la función $K$ de dos variables, Función del núcleo, integral kernel o núcleo de la transformación.

Algunos kernels tienen un asociado núcleo inverso ${displaystyle K^{-1}(u,t)}$ que (aproximadamente hablando) produce una transformación inversa:

{displaystyle f(t)=int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u),K^{-1}(u,t),du}

A núcleo simétrico es uno que no cambia cuando las dos variables son permutadas; es una función del núcleo $K$ tales que ${displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$ . En la teoría de las ecuaciones integrales, los núcleos simétricos corresponden a operadores autónomos.

Motivación

Hay muchas clases de problemas que son difíciles de resolver (o al menos bastante difíciles de manejar algebraicamente) en sus representaciones originales. Una transformación integral "mapas" una ecuación de su "dominio" a otro dominio, en el que manipular y resolver la ecuación puede ser mucho más fácil que en el dominio original. Luego, la solución se puede trasladar al dominio original con la inversa de la transformada integral.

Existen muchas aplicaciones de probabilidad que se basan en transformaciones integrales, como el "núcleo de fijación de precios" o factor de descuento estocástico, o el suavizado de datos recuperados de estadísticas sólidas; ver núcleo (estadísticas).

Historia

Las precursoras de las transformadas fueron las series de Fourier para expresar funciones en intervalos finitos. Posteriormente se desarrolló la transformada de Fourier para eliminar el requisito de intervalos finitos.

Usando la serie de Fourier, casi cualquier función práctica del tiempo (el voltaje entre los terminales de un dispositivo electrónico, por ejemplo) se puede representar como una suma de senos y cosenos, cada uno de ellos adecuadamente escalado (multiplicado por un factor constante), desplazado (avanzado o retrasado en el tiempo) y "exprimido" o "estirado" (aumentando o disminuyendo la frecuencia). Los senos y cosenos de la serie de Fourier son un ejemplo de base ortonormal.

Ejemplo de uso

Como ejemplo de una aplicación de transformadas integrales, considere la transformada de Laplace. Esta es una técnica que mapea ecuaciones diferenciales o integrodiferenciales en el "tiempo" dominio en ecuaciones polinómicas en lo que se denomina "frecuencia compleja" dominio. (La frecuencia compleja es similar a la frecuencia física real, pero bastante más general. Específicamente, el componente imaginario ω de la frecuencia compleja s = −σ + iω corresponde al concepto habitual de frecuencia, es decir., la velocidad a la que circula una sinusoide, mientras que el componente real σ del complejo (la frecuencia corresponde al grado de "amortiguación", es decir, una disminución exponencial de la amplitud). La ecuación formulada en términos de frecuencia compleja se resuelve fácilmente en el dominio de frecuencia compleja (raíces de las ecuaciones polinómicas en el dominio de frecuencia compleja dominio corresponden a valores propios en el dominio del tiempo), lo que lleva a una "solución" formulado en el dominio de la frecuencia. Empleando la transformada inversa, es decir,, el procedimiento inverso de la transformada de Laplace original, se obtiene una solución en el dominio del tiempo. En este ejemplo, los polinomios en el dominio de frecuencia complejo (que normalmente ocurren en el denominador) corresponden a series de potencias en el dominio del tiempo, mientras que los desplazamientos axiales en el dominio de frecuencia complejo corresponden a la amortiguación por exponenciales decrecientes en el dominio del tiempo.

La transformada de Laplace encuentra una amplia aplicación en física y particularmente en ingeniería eléctrica, donde las ecuaciones características que describen el comportamiento de un circuito eléctrico en el dominio de frecuencia complejo corresponden a combinaciones lineales de sinusoides amortiguadas con escala exponencial y desplazadas en el tiempo. dominio. Otras transformaciones integrales encuentran una aplicabilidad especial dentro de otras disciplinas científicas y matemáticas.

Otro ejemplo de uso es el kernel en la integral de ruta:

psi (x,t)=int _{-infty }^{infty }psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.

Esto indica que la amplitud total $psi (x,t)$ para llegar $(x,t)$ es la suma (la integral) sobre todos los valores posibles $x'$ de la amplitud total ${displaystyle psi (x',t')}$ para llegar al punto $(x',t')$ multiplicado por la amplitud para ir de $x'$ a $x$ [i.e. $K(x,t;x',t')$ ]. A menudo se denomina propagador de un sistema determinado. Este núcleo (física) es el núcleo de la transformación integral. Sin embargo, para cada sistema cuántico, hay un núcleo diferente.

Tabla de transformaciones

Tabla de transformaciones integrales
Transformación	Signatura	K	f()t)	t₁	t₂	K⁻¹	u₁	u₂
Abel transform	F, f	$frac{2t}{sqrt{t^2-u^2}}$		$u$	$infty$	$frac{-1}{pisqrt{u^2!-!t^2}}frac{d}{du}$	t	$infty$
Associated Legendre transform	${displaystyle {mathcal {J}}_{n,m}}$	${displaystyle (1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)}$		$-1$	$1$		${displaystyle 0}$	$infty$
Transformación de Fourier	${mathcal {F}}$	$e^{-2pi iut}$	$L_{1}$	$-infty$	$infty$	$e^{2pi iut}$	$-infty$	$infty$
Fourier sine transform	$mathcal{F}_s$	$sqrt{frac{2}{pi}} sin(ut)$	on $[0,infty)$ , valor real	${displaystyle 0}$	$infty$	$sqrt{frac{2}{pi}} sin(ut)$	${displaystyle 0}$	$infty$
Fourier cosine transform	$mathcal{F}_c$	$sqrt{frac{2}{pi}} cos(ut)$	on $[0,infty)$ , valor real	${displaystyle 0}$	$infty$	$sqrt{frac{2}{pi}} cos(ut)$	${displaystyle 0}$	$infty$
Hankel transform		$t,J_nu(ut)$		${displaystyle 0}$	$infty$	$u,J_nu(ut)$	${displaystyle 0}$	$infty$
Hartley transform	${mathcal {H}}$	$frac{cos(ut)+sin(ut)}{sqrt{2 pi}}$		$-infty$	$infty$	$frac{cos(ut)+sin(ut)}{sqrt{2 pi}}$	$-infty$	$infty$
Hermite transform	$H$	${displaystyle e^{-x^{2}}H_{n}(x)}$		$-infty$	$infty$		${displaystyle 0}$	$infty$
Hilbert transforma	$mathcal{H}il$	$frac{1}{pi}frac{1}{u-t}$		$-infty$	$infty$	$frac{1}{pi}frac{1}{u-t}$	$-infty$	$infty$
Jacobi transform	$J$	${displaystyle (1-x)^{alpha } (1+x)^{beta } P_{n}^{alphabeta }(x)}$		$-1$	$1$		${displaystyle 0}$	$infty$
Laguerre transform	$L$	${displaystyle e^{-x} x^{alpha } L_{n}^{alpha }(x)}$		${displaystyle 0}$	$infty$		${displaystyle 0}$	$infty$
Laplace transform	${mathcal {L}}$	${displaystyle e^{-ut}}$		${displaystyle 0}$	$infty$	$frac{e^{ut}}{2pi i}$	$c!-!iinfty$	$c!+!iinfty$
Transformación legendaria	${mathcal {J}}$	$P_{n}(x),$		$-1$	$1$		${displaystyle 0}$	$infty$
Mellin transform	${mathcal {M}}$	${displaystyle t^{u-1}}$		${displaystyle 0}$	$infty$	$frac{t^{-u}}{2pi i},$	$c!-!iinfty$	$c!+!iinfty$
Laplacetransform de dos caras	${mathcal {B}}$	${displaystyle e^{-ut}}$		$-infty$	$infty$	$frac{e^{ut}}{2pi i}$	$c!-!iinfty$	$c!+!iinfty$
Poisson kernel		$frac{1-r^2}{1-2rcostheta +r^2}$		${displaystyle 0}$	$2pi$
Radon Transform	R°			$-infty$	$infty$
Weierstrass transform	${mathcal {W}}$	$frac{e^{-frac{(u-t)^2}{4}}}{sqrt{4pi}},$		$-infty$	$infty$	$frac{e^{frac{(u-t)^2}{4}}}{isqrt{4pi}}$	$c!-!iinfty$	$c!+!iinfty$
Transformación de rayos X	XÃ3			$-infty$	$infty$

En los límites de integración para la transformada inversa, c es una constante que depende de la naturaleza de la función de transformación. Por ejemplo, para la transformada de Laplace de una y dos caras, c debe ser mayor que la parte real más grande de los ceros de la función de transformación.

Tenga en cuenta que existen notaciones y convenciones alternativas para la transformada de Fourier.

Diferentes dominios

Aquí las transformaciones integrales se definen para funciones en números reales, pero se pueden definir de manera más general para funciones en un grupo.

Si en su lugar uno utiliza funciones en el círculo (funciones experimentales), los núcleos de integración son entonces funciones biperiodicas; la convolución por funciones en el círculo produce la convolución circular.
Si uno utiliza funciones en el grupo cíclico de orden n () $C n$ o $Z / n Z$ ), uno obtiene n × n matrices como núcleos de integración; convolution corresponde a matrices circulantes.

Teoría general

Aunque las propiedades de las transformadas integrales varían ampliamente, tienen algunas propiedades en común. Por ejemplo, cada transformada integral es un operador lineal, ya que la integral es un operador lineal y, de hecho, si se permite que el núcleo sea una función generalizada, entonces todos los operadores lineales son transformadas integrales (una versión correctamente formulada de esta afirmación es la de Schwartz). teorema del núcleo).

La teoría general de tales ecuaciones integrales se conoce como teoría de Fredholm. En esta teoría, se entiende que el núcleo es un operador compacto que actúa sobre un espacio de funciones de Banach. Dependiendo de la situación, el núcleo se denomina operador de Fredholm, operador nuclear o núcleo de Fredholm.

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