Transformación infinitesimal

En matemáticas, una transformación infinitesimal es una forma limitante de transformación pequeña. Por ejemplo, se puede hablar de una rotación infinitesimal de un cuerpo rígido, en un espacio tridimensional. Esto se representa convencionalmente mediante una matriz simétrica sesgada A de 3 × 3. No es la matriz de una rotación real en el espacio; pero para valores reales pequeños de un parámetro ε la transformación

${displaystyle T=I+varepsilon A}$

es una pequeña rotación, hasta cantidades de orden ε².

Historia

Sophus Lie presentó por primera vez una teoría integral de las transformaciones infinitesimales. Este fue el núcleo de su trabajo, en lo que ahora se llaman grupos de Lie y las álgebras de Lie que los acompañan; y la identificación de su papel en la geometría y especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales. Las propiedades de un álgebra de Lie abstracta son exactamente las definitivas de las transformaciones infinitesimales, del mismo modo que los axiomas de la teoría de grupos encarnan la simetría. El término "álgebra de mentiras" Fue introducido en 1934 por Hermann Weyl, para lo que hasta entonces se conocía como el álgebra de transformaciones infinitesimales de un grupo de Lie.

Ejemplos

Por ejemplo, en el caso de rotaciones infinitesimales, la estructura del álgebra de Lie es la proporcionada por el producto cruzado, una vez que se ha identificado una matriz simétrica sesgada con un vector de 3. Esto equivale a elegir un vector de eje para las rotaciones; La identidad definitoria de Jacobi es una propiedad bien conocida de los productos cruzados.

El primer ejemplo de una transformación infinitesimal que pudo haber sido reconocida como tal fue el teorema de Euler sobre funciones homogéneas. Aquí se afirma que una función F de n variables x₁,..., x _n que es homogénea de grado r, satisface

${displaystyle Theta F=rF,}$

con

${displaystyle Theta =sum {}x_{i}{partial over partial #$

el operador Theta. Es decir, de la propiedad

${displaystyle F(lambda x_{1},dotslambda x_{n}=lambda ^{r}F(x_{1},dotsx_{n}),}$

es posible diferenciar con respecto a λ y luego establecer λ igual a 1. Esto se convierte en una condición necesaria para que una función suave F tenga la propiedad de homogeneidad; también es suficiente (al utilizar distribuciones de Schwartz se pueden reducir aquí las consideraciones del análisis matemático). Esta configuración es típica porque hay un grupo de escalas de un parámetro en funcionamiento; y la información se codifica en una transformación infinitesimal que es un operador diferencial de primer orden.

Versión del operador del teorema de Taylor

La ecuación del operador

${displaystyle e^{tD}f(x)=f(x+t),}$

Donde

${displaystyle D={d over dx}$

es una versión de operador del teorema de Taylor y, por lo tanto, solo es válida bajo advertencias acerca de que f es una función analítica. Centrándose en la parte del operador, muestra que D es una transformación infinitesimal, que genera traslaciones de la línea real a través de la exponencial. En la teoría de Lie, esto está muy generalizado. Cualquier grupo de Lie conectado se puede construir mediante sus generadores infinitesimales (una base para el álgebra de Lie del grupo); con información explícita, aunque no siempre útil, proporcionada en la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff.