Transformación galileana

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Concepto en física y matemáticas

En física, se usa una transformación galileana para transformar entre las coordenadas de dos marcos de referencia que difieren solo por un movimiento relativo constante dentro de las construcciones de la física newtoniana. Estas transformaciones, junto con las rotaciones espaciales y las traslaciones en el espacio y el tiempo, forman el grupo galileano no homogéneo (supuesto a lo largo de lo que sigue). Sin las traslaciones en espacio y tiempo el grupo es el grupo galileano homogéneo. El grupo galileano es el conjunto de movimientos de la relatividad galileana que actúan sobre las cuatro dimensiones del espacio y el tiempo, formando la geometría galileana. Este es el punto de vista de la transformación pasiva. En la relatividad especial, las transformaciones de Galileo homogéneas y no homogéneas son reemplazadas, respectivamente, por las transformaciones de Lorentz y las transformaciones de Poincaré; a la inversa, la contracción del grupo en el límite clásico $c \to \infty$ de las transformaciones de Poincaré produce transformaciones galileanas.

Las siguientes ecuaciones solo son físicamente válidas en un marco newtoniano y no se aplican a los sistemas de coordenadas que se mueven entre sí a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Galileo formuló estos conceptos en su descripción del movimiento uniforme. El tema fue motivado por su descripción del movimiento de una pelota rodando por una rampa, mediante la cual midió el valor numérico de la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra.

Traducción

Aunque las transformaciones llevan el nombre de Galileo, es el tiempo y el espacio absolutos tal como los concibió Isaac Newton lo que proporciona su dominio de definición. En esencia, las transformaciones de Galileo incorporan la noción intuitiva de suma y resta de velocidades como vectores.

La siguiente notación describe la relación bajo la transformación galileana entre las coordenadas $(x, y, z, t)$ y $(x', y', z', t')$ de un solo evento arbitrario, medido en dos sistemas de coordenadas $S$ y $S'$ , en movimiento relativo uniforme (velocidad $v$ ) en su común $x$ y $x'$ , con sus orígenes espaciales coincidiendo en el tiempo $t = t' = 0$ :

x'=x-vt

y'=y

z'=z

t'=t.

Tenga en cuenta que la última ecuación es válida para todas las transformaciones de Galileo hasta la suma de una constante, y expresa la suposición de un tiempo universal independiente del movimiento relativo de diferentes observadores.

En el lenguaje del álgebra lineal, esta transformación se considera un mapeo de corte y se describe con una matriz que actúa sobre un vector. Con movimiento paralelo al eje x, la transformación actúa solo en dos componentes:

{begin{pmatrix}x'\t'end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&-v\0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x\tend{pmatrix}}

Aunque las representaciones matriciales no son estrictamente necesarias para la transformación galileana, proporcionan los medios para la comparación directa con los métodos de transformación en relatividad especial.

Transformaciones de Galileo

Las simetrías galileanas se pueden escribir únicamente como la composición de una rotación, una traslación y un movimiento uniforme del espacio-tiempo. Sea $x$ un punto en el espacio tridimensional y $t$ un punto en el tiempo unidimensional. Un punto general en el espacio-tiempo viene dado por un par ordenado $(x, t)$ .

Did you mean:

A uniform motion, with velocity vb>, is given by

${displaystyle (mathbf {x}t)mapsto (mathbf {x} +tmathbf {v}t),}$

donde $v \in R 3$ . Una traducción está dada por

${displaystyle (mathbf {x}t)mapsto (mathbf {x} +mathbf {a}t+s),}$

Did you mean:
where a ∈ R³ and <is ∈ R. A rotation is given by
${displaystyle (mathbf {x}t)mapsto (Rmathbf {x}t),}$
donde $R : R 3 \to R 3$ es una transformación ortogonal.
Como grupo de Lie, el grupo de transformaciones de Galileo tiene dimensión 10.
Grupo galileo
Dos transformaciones galileanas $G (R, v, a, s)$ y $G (R', v', a', s')$ componen para formar una tercera transformación galileana,
$G () R', v', a', s') \cdot G () R, v, a, s) G () R, R . v + v', R . a + a' + v . s, s' + s)$ .
Did you mean:
The set of all Galilean transformations Gal(3) forms a group with composition as the group operation.
El grupo a veces se representa como un grupo de matriz con eventos de espacio-tiempo $(x, t, 1)$ como vectores donde $t$ es real y $x \in R 3$ es una posición en el espacio. La acción está dada por
${displaystyle {begin{pmatrix}R&v&a\0&1&s\0&0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x\t\1end{pmatrix}}={begin{pmatrix}Rx+vt+a\t+s\1end{pmatrix}},}$
donde $s$ es real y $v, x, a \in R 3$ y $R$ es una matriz de rotación. La composición de las transformaciones se logra luego a través de la multiplicación de matrices. Se debe tener cuidado en la discusión si uno se restringe al grupo de componentes conexas de las transformaciones ortogonales.
Did you mean:
Gal(3) has named subgroups. The identity component is denoted Gal(3).
Sea $m$ la matriz de transformación con los parámetros $v, R, s, a$ :
${displaystyle {m:R=I_{3}},}$ transformaciones anisotrópicas.
${displaystyle {m:s=0},}$ transformaciones isocronas.
${displaystyle {m:s=0,v=0},}$ transformaciones espaciales de Euclidean.
${displaystyle G_{1}={m:s=0,a=0},}$ transformaciones uniformemente especiales / transformaciones homogéneas, isomorfas a transformaciones euclidianas.
${displaystyle G_{2}={m:v=0,R=I_{3}}cong left(mathbf {R} ^{4},+right),}$ cambios de origen / traducción en tiempo espacial Newtoniano.
${displaystyle G_{3}={m:s=0,a=0,v=0}cong mathrm {SO} (3),}$ rotaciones (de marco de referencia) (véase SO(3)), un grupo compacto.
${displaystyle G_{4}={m:s=0,a=0,R=I_{3}}cong left(mathbf {R} ^{3},+right),}$ movimiento de marco uniforme / impulsos.
Los parámetros $s, v, R, a$ span diez dimensiones. Dado que las transformaciones dependen continuamente de $s, v, R, a$ , $Gal(3)$ es un grupo continuo, también llamado grupo topológico.
La estructura de $Gal(3)$ puede entenderse por reconstrucción de subgrupos. La combinación de productos semidirectos $A rtimes B$ ) de grupos es requerido.
$G_{2}triangleleft {mathrm {SGal}}(3)$ () $G 2$ es un subgrupo normal)
${mathrm {SGal}}(3)cong G_{2}rtimes G_{1}$
${displaystyle G_{4}trianglelefteq G_{1}}$
$G_{1}cong G_{4}rtimes G_{3}$
${mathrm {SGal}}(3)cong {mathbf {R}}^{4}rtimes ({mathbf {R}}^{3}rtimes {mathrm {SO}}(3)).$
Origen en contracción grupal
El álgebra de Lie del grupo galileano se divide en $H, P i, C i$ y $L ij$ (un tensor antisimétrico), sujeto a relaciones de conmutación, donde
$[H,P_{i}]=0$
$[P_{i},P_{j}]=0$
$[L_{{ij}},H]=0$
$[C_{i},C_{j}]=0$
$[L_{{ij}},L_{{kl}}]=i[delta _{{ik}}L_{{jl}}-delta _{{il}}L_{{jk}}-delta _{{jk}}L_{{il}}+delta _{{jl}}L_{{ik}}]$
$[L_{{ij}},P_{k}]=i[delta _{{ik}}P_{j}-delta _{{jk}}P_{i}]$
$[L_{{ij}},C_{k}]=i[delta _{{ik}}C_{j}-delta _{{jk}}C_{i}]$
$[C_i,H]=i P_i ,!$
$[C_i,P_j]=0 ~.$
$H$ es el generador de traducciones de tiempo (Hamiltoniano), $P i$ es el generador de traslaciones (operador de momento), $C i$ es el generador de transformaciones galileanas sin rotación (impulsos galileanos), y $L ij$ representa un generador de rotaciones (operador de momento angular).
Este álgebra de mentira se ve como un límite clásico especial del álgebra del grupo de Poincaré, en el límite $c \to \infty$ . Técnicamente, el grupo galileano es una célebre contracción grupal del grupo de Poincaré (que, a su vez, es una contracción grupal del grupo de De Sitter $SO(1,4)$ ). Formalmente, renombrando los generadores de impulso y impulso de este último como en
$P 0 \mapsto H / c$
$K i \mapsto c \cdot C i$ ,
donde $c$ es la velocidad de la luz (o cualquier función ilimitada de la misma), las relaciones de conmutación (constantes de estructura) en el límite $c \to \infty$ asumir las relaciones del primero. Se identifican generadores de traslaciones y rotaciones de tiempo. También tenga en cuenta las invariantes de grupo $L mn L mn$ y $P i P i$ .
En forma matricial, para $d = 3$ , se puede considerar la representación regular (incrustada en $GL(5; R)$ , del cual podría derivarse mediante una contracción de un solo grupo, sin pasar por el grupo de Poincaré),
${displaystyle iH=left({begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\0&0&0&0&0\0&0&0&0&0\0&0&0&0&1\0&0&0&0&0\end{array}}right),qquad }$ ${displaystyle i{vec {a}}cdot {vec {P}}=left({begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\0&0&0&0&a_{2}\0&0&0&0&a_{3}\0&0&0&0&0\0&0&0&0&0\end{array}}right),qquad }$ ${displaystyle i{vec {v}}cdot {vec {C}}=left({begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\0&0&0&v_{2}&0\0&0&0&v_{3}&0\0&0&0&0&0\0&0&0&0&0\end{array}}right),qquad }$ ${displaystyle itheta _{i}epsilon ^{ijk}L_{jk}=left({begin{array}{ccccc}0&theta _{3}&-theta _{2}&0&0\-theta _{3}&0&theta _{1}&0&0\theta _{2}&-theta _{1}&0&0&0\0&0&0&0&0\0&0&0&0&0\end{array}}right)~.}$
El elemento del grupo infinitesimal es entonces
${displaystyle G(R,{vec {v}},{vec {a}},s)=1!!1_{5}+left({begin{array}{ccccc}0&theta _{3}&-theta _{2}&v_{1}&a_{1}\-theta _{3}&0&theta _{1}&v_{2}&a_{2}\theta _{2}&-theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\0&0&0&0&s\0&0&0&0&0\end{array}}right)+...~.}$
Extensión central del grupo galileo
Uno puede considerar una extensión central del álgebra de Lie del grupo Galileano, abarcada por $H', P . i, C . i, L . ij$ y un operador M: El llamado Álgebra Bargmann se obtiene mediante la imposición ${displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iMdelta _{ij}}$ , tal que $M$ yace en el centro, es decir, comunica con todos los demás operadores.
En su totalidad, este álgebra se da como
$[H',P'_i]=0 ,!$
$[P'_i,P'_j]=0 ,!$
$[L'_{ij},H']=0 ,!$
$[C'_i,C'_j]=0 ,!$
$[L'_{ij},L'_{kl}]=i [delta_{ik}L'_{jl}-delta_{il}L'_{jk}-delta_{jk}L'_{il}+delta_{jl}L'_{ik}] ,!$
$[L'_{ij},P'_k]=i[delta_{ik}P'_j-delta_{jk}P'_i] ,!$
$[L'_{ij},C'_k]=i[delta_{ik}C'_j-delta_{jk}C'_i] ,!$
$[C'_i,H']=i P'_i ,!$
y finalmente
$[C'_i,P'_j]=i Mdelta_{ij} ~.$
donde el nuevo parámetro $M$ aparece. Esta extensión y representaciones proyectivas que esto permite está determinada por su cohomología grupal.

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