Transformación de Lorentz

En física, las transformaciones de Lorentz son una familia de transformaciones lineales de seis parámetros desde un marco de coordenadas en el espacio-tiempo a otro marco que se mueve a una velocidad constante en relación con el primero. La respectiva transformación inversa es entonces parametrizada por el negativo de esta velocidad. Las transformaciones llevan el nombre del físico holandés Hendrik Lorentz.

La forma más común de la transformación, parametrizada por la constante real v,{displaystyle v,} representando una velocidad confinada al x-dirección, se expresa como

t.=γ γ ()t− − vxc2)x.=γ γ ()x− − vt)Sí..=Sí.z.=z{displaystyle {begin{aligned}t' limit=gamma left(t-{frac {vx}{c^{2}}}}right)x'ciente=gamma left(x-vtright)y'ciendo=y'az'cerd {aligned}}}}}}}}}

γ γ =()1− − v2c2)− − 1{textstyle gamma =left({sqrt {1-{frac {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}

γ γ {displaystyle gamma }

Expresando la velocidad β β =vc,{textstyle beta ={frac {C}},} una forma equivalente de la transformación es

ct.=γ γ ()ct− − β β x)x.=γ γ ()x− − β β ct)Sí..=Sí.z.=z.{displaystyle {begin{aligned}ct' limit=gammaleft(ct-beta xright)\x' implica=gamma left(x-beta ctright)\y' limit=yz' compit.

Los marcos de referencia se pueden dividir en dos grupos: inerciales (movimiento relativo con velocidad constante) y no inerciales (aceleración, movimiento en trayectorias curvas, movimiento de rotación con velocidad angular constante, etc.). El término "Transformaciones de Lorentz" solo se refiere a transformaciones entre marcos inerciales, generalmente en el contexto de la relatividad especial.

En cada marco de referencia, un observador puede usar un sistema de coordenadas local (generalmente coordenadas cartesianas en este contexto) para medir longitudes y un reloj para medir intervalos de tiempo. Un evento es algo que sucede en un punto del espacio en un instante de tiempo, o más formalmente, un punto en el espacio-tiempo. Las transformaciones conectan las coordenadas de espacio y tiempo de un evento medido por un observador en cada cuadro.

Reemplazan la transformación galileana de la física newtoniana, que asume un espacio y tiempo absolutos (ver relatividad galileana). La transformación de Galileo es una buena aproximación solo a velocidades relativas mucho menores que la velocidad de la luz. Las transformaciones de Lorentz tienen una serie de características poco intuitivas que no aparecen en las transformaciones de Galileo. Por ejemplo, reflejan el hecho de que los observadores que se mueven a diferentes velocidades pueden medir diferentes distancias, tiempos transcurridos e incluso diferentes ordenaciones de eventos, pero siempre de manera tal que la velocidad de la luz sea la misma en todos los marcos de referencia inerciales. La invariancia de la velocidad de la luz es uno de los postulados de la relatividad especial.

Históricamente, las transformaciones fueron el resultado de los intentos de Lorentz y otros de explicar cómo se observó que la velocidad de la luz era independiente del marco de referencia y de comprender las simetrías de las leyes del electromagnetismo. La transformación de Lorentz está de acuerdo con la relatividad especial de Albert Einstein, pero se derivó primero.

La transformación de Lorentz es una transformación lineal. Puede incluir una rotación del espacio; una transformación de Lorentz sin rotación se denomina impulso de Lorentz. En el espacio de Minkowski, el modelo matemático del espacio-tiempo en la relatividad especial, las transformaciones de Lorentz conservan el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos cualesquiera. Esta propiedad es la propiedad definitoria de una transformación de Lorentz. Describen solo las transformaciones en las que el evento del espacio-tiempo en el origen se deja fijo. Se pueden considerar como una rotación hiperbólica del espacio de Minkowski. El conjunto más general de transformaciones que también incluye traslaciones se conoce como el grupo de Poincaré.

Historia

Muchos físicos, incluidos Woldemar Voigt, George FitzGerald, Joseph Larmor y el mismo Hendrik Lorentz, habían estado discutiendo la física implícita en estas ecuaciones desde 1887. A principios de 1889, Oliver Heaviside había demostrado a partir de las ecuaciones de Maxwell que la El campo eléctrico que rodea una distribución esférica de carga debería dejar de tener simetría esférica una vez que la carga está en movimiento en relación con el éter luminífero. FitzGerald luego conjeturó que el resultado de la distorsión de Heaviside podría aplicarse a una teoría de fuerzas intermoleculares. Algunos meses después, FitzGerald publicó la conjetura de que los cuerpos en movimiento se están contrayendo, para explicar el desconcertante resultado del experimento de éter-viento de 1887 de Michelson y Morley. En 1892, Lorentz presentó de forma independiente la misma idea de una manera más detallada, que posteriormente se denominó hipótesis de contracción de FitzGerald-Lorentz. Su explicación era ampliamente conocida antes de 1905.

Lorentz (1892–1904) y Larmor (1897–1900), quienes creían en la hipótesis del éter luminífero, también buscaron la transformación bajo la cual las ecuaciones de Maxwell son invariantes cuando se transforman del éter a un marco móvil. Extendieron la hipótesis de la contracción de FitzGerald-Lorentz y descubrieron que la coordenada de tiempo también debe modificarse ("hora local"). Henri Poincaré dio una interpretación física a la hora local (a primer orden en v/c, la velocidad relativa de los dos marcos de referencia normalizada a la velocidad de la luz) como consecuencia de sincronización del reloj, bajo el supuesto de que la velocidad de la luz es constante en marcos móviles. A Larmor se le atribuye haber sido el primero en comprender la crucial propiedad de dilatación del tiempo inherente a sus ecuaciones.

En 1905, Poincaré fue el primero en reconocer que la transformación tiene las propiedades de un grupo matemático, y le puso el nombre de Lorentz. Más tarde, en el mismo año, Albert Einstein publicó lo que ahora se llama relatividad especial, al derivar la transformación de Lorentz bajo los supuestos del principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz en cualquier marco de referencia inercial, y al abandonar el éter mecanicista como innecesario..

Derivación del grupo de transformaciones de Lorentz

Un evento es algo que sucede en un cierto punto en el espacio-tiempo, o más generalmente, en el mismo punto en el espacio-tiempo. En cualquier marco inercial, un evento se especifica mediante una coordenada de tiempo ct y un conjunto de coordenadas cartesianas x, y, z para especificar la posición en el espacio en ese cuadro. Los subíndices etiquetan eventos individuales.

Del segundo postulado de la relatividad de Einstein (invariancia de c) se sigue que:

c2()t2− − t1)2− − ()x2− − x1)2− − ()Sí.2− − Sí.1)2− − ()z2− − z1)2=0(como eventos separados 1, 2)[displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0}=0quad {text{(lightlike separated events 1, 2)}}

()D1)

en todos los marcos inerciales para eventos conectados por señales luminosas. La cantidad de la izquierda se denomina intervalo de espacio-tiempo entre eventos a₁ = (t₁, x₁, y₁, z ₁) y a₂ = (t₂, x₂, y₂, z₂). El intervalo entre dos eventos, no necesariamente separados por señales luminosas, es de hecho invariante, es decir, independiente del estado de movimiento relativo de los observadores en diferentes marcos inerciales, como se muestra utilizando la homogeneidad y la isotropía de espacio. La transformación buscada debe poseer la propiedad de que:

c2()t2− − t1)2− − ()x2− − x1)2− − ()Sí.2− − Sí.1)2− − ()z2− − z1)2=c2()t2.− − t1.)2− − ()x2.− − x1.)2− − ()Sí.2.− − Sí.1.)2− − ()z2.− − z1.)2(todos los eventos 1, 2).## {2} {2}- {2}- {2} {2} {2}} {2}} {2}} {2}} {2}} {2}}} {2}} {2}}} {2}}}} {2}}}} {2}}}}} {2}}}}}} {2}}}} {2}}}} {2}}}}}} {}} {}}}}} {2}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {c}}}}} {c}}} {c} {c}}}}}}}}}}}}}} {c} {c} {c} {c}} {c} {c} {c} {c} {c}} {} {c}}}}} {c}} {c} {c} {c}}}}}}}}}}}}}}}

()D2)

donde (ct, x, y, z) son las coordenadas de espacio-tiempo utilizadas para definir eventos en un marco, y (ct′, x′, y′, z′) son las coordenadas en otro cuadro. Primero se observa que (D2) se satisface si una 4-tupla arbitraria b de números se agregan a los eventos a₁ y un₂. Tales transformaciones se denominan traducciones del espacio-tiempo y no se tratan más aquí. Luego se observa que una solución lineal que preserva el origen del problema más simple también resuelve el problema general:

c2t2− − x2− − Sí.2− − z2=c2t.2− − x.2− − Sí..2− − z.2oc2t1t2− − x1x2− − Sí.1Sí.2− − z1z2=c2t1.t2.− − x1.x2.− − Sí.1.Sí.2.− − z1.z2.{displaystyle {begin{aligned} {2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}[6pt]{if}}quad} {2}-y_{1}-s_{2}=c}_{2}t'_{2}-x'_{1}_ {2}-s_{2}=c} {2}t'_{2}t'_{2}-x'_{1}x'_{2}-y'_ {2}-y' {2} {2}

()D3)

(una solución que satisface la primera fórmula también satisface automáticamente la segunda; ver identidad de polarización). Encontrar la solución al problema más simple es solo una cuestión de buscar en la teoría de los grupos clásicos que conserva formas bilineales de varias firmas. La primera ecuación en (D3) se puede escribir de manera más compacta como:

()a,a)=()a.,a.)oa⋅ ⋅ a=a.⋅ ⋅ a.,{displaystyle (a,a)=(a',a')quad {text{or}quad acdot a=a'cdot a',}

()D4)

donde (·, ·) hace referencia a la forma bilineal de la firma (1, 3) en R⁴ expuesto por la fórmula del lado derecho en (D3). La notación alternativa definida a la derecha se denomina producto escalar relativista. El espacio-tiempo visto matemáticamente como R⁴ dotado de esta forma bilineal se conoce como espacio de Minkowski M. La transformación de Lorentz es, por tanto, un elemento del grupo O(1, 3), el grupo de Lorentz o, para aquellos que prefieren la otra firma métrica, O(3, 1) (también llamado grupo de Lorentz). Uno tiene:

()a,a)=()▪ ▪ a,▪ ▪ a)=()a.,a.),▪ ▪ ▪ ▪ O()1,3),a,a.▪ ▪ M,{displaystyle (a,a)=(Lambda a,Lambda a)=(a',a'),quad Lambda in mathrm {O} (1,3),quad a,a'in M,}

()D5)

que es precisamente la preservación de la forma bilineal (D3) lo que implica (por la linealidad de Λ y la bilinealidad de la forma) que (D2) está satisfecho. Los elementos del grupo Lorentz son rotaciones y impulsos y mezclas de los mismos. Si se incluyen las traslaciones del espacio-tiempo, entonces se obtiene el grupo no homogéneo de Lorentz o el grupo de Poincaré.

Generalidades

Las relaciones entre las coordenadas del espacio-tiempo primadas y no primadas son las transformaciones de Lorentz, cada coordenada en un marco es una función lineal de todas las coordenadas en el otro marco, y las funciones inversas son la transformación inversa. Dependiendo de cómo se muevan los marcos entre sí y cómo estén orientados en el espacio entre sí, otros parámetros que describen la dirección, la velocidad y la orientación entran en las ecuaciones de transformación.

Las transformaciones que describen el movimiento relativo con velocidad constante (uniforme) y sin rotación de los ejes de coordenadas espaciales se llaman impulsos, y la velocidad relativa entre los marcos es el parámetro de la transformación. El otro tipo básico de transformación de Lorentz es la rotación solo en las coordenadas espaciales, estos aumentos similares son transformaciones inerciales ya que no hay movimiento relativo, los marcos simplemente están inclinados (y no giran continuamente), y en este caso las cantidades que definen la rotación son las parámetros de la transformación (por ejemplo, representación eje-ángulo, o ángulos de Euler, etc.). Una combinación de una rotación y un impulso es una transformación homogénea, que transforma el origen de nuevo en el origen.

El grupo completo de Lorentz O(3, 1) también contiene transformaciones especiales que no son ni rotaciones ni impulsos, sino reflejos en un plano a través del origen. Se pueden destacar dos de ellos; inversión espacial en la que se invierte el signo de las coordenadas espaciales de todos los eventos e inversión temporal en la que se invierte el signo de la coordenada temporal de cada evento.

Los impulsos no deben confundirse con meros desplazamientos en el espacio-tiempo; en este caso, los sistemas de coordenadas simplemente se desplazan y no hay movimiento relativo. Sin embargo, estos también cuentan como simetrías forzadas por la relatividad especial ya que dejan invariante el intervalo de espacio-tiempo. Una combinación de una rotación con un impulso, seguida de un cambio en el espacio-tiempo, es una transformación de Lorentz no homogénea, un elemento del grupo de Poincaré, también llamado grupo de Lorentz no homogéneo.

Formulación física de Lorentz boosts

Transformación de coordenadas

Las coordenadas de espacio de un evento, medida por cada observador en su marco de referencia inercial (en la configuración estándar) se muestran en las burbujas del discurso.
Top: marco F. se mueve a velocidad v a lo largo de la x-eje del marco F.
Tema: marco F se mueve a velocidad -v a lo largo de la x.-eje del marco F..

Un "estacionario" observador en el cuadro F define eventos con coordenadas t, x, y, z. Otro cuadro F′ se mueve con una velocidad v relativa a F, y un observador en este "movimiento" frame F′ define eventos usando las coordenadas t′, x′, y′, z′.

Los ejes de coordenadas en cada cuadro son paralelos (la x y x ′ los ejes son paralelos, y y y′ son paralelos, y los ejes z y z′ los ejes son paralelos), permanecen mutuamente perpendiculares y el movimiento relativo es a lo largo de los ejes xx′ coincidentes. En t = t′ = 0, los orígenes de ambos sistemas de coordenadas son los mismos, (x, y, z) = (x′, y′, z′) = (0, 0, 0). En otras palabras, los tiempos y posiciones son coincidentes en este evento. Si todo esto se cumple, se dice que los sistemas de coordenadas están en configuración estándar o sincronizados.

Si un observador en F registra un evento t, x, y, z, luego un observador en F′ registra el mismo evento con coordenadas

donde v es la velocidad relativa entre fotogramas en x-dirección, c es la velocidad de la luz, y

γ γ =11− − v2c2{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{frac} {fn}}}}}}

Aquí, v es el parámetro de la transformación, para un impulso dado es un número constante, pero puede tomar un rango continuo de valores. En la configuración utilizada aquí, la velocidad relativa positiva v > 0 es el movimiento a lo largo de las direcciones positivas de los ejes xx′, velocidad relativa cero v = 0 no es movimiento relativo, mientras que la velocidad relativa negativa v < 0 es el movimiento relativo a lo largo de las direcciones negativas de los ejes xx′. La magnitud de la velocidad relativa v no puede ser igual o superior a c, por lo tanto, solo las velocidades subluminales −c < v < c están permitidos. El rango correspondiente de γ es 1 ≤ γ < ∞.

Las transformaciones no están definidas si v está fuera de estos límites. A la velocidad de la luz (v = c) γ es infinito y más rápido que la luz (v > c) γ es un número complejo, cada uno de los cuales hace que las transformaciones no sean físicas. Las coordenadas de espacio y tiempo son cantidades medibles y numéricamente deben ser números reales.

Como una transformación activa, un observador en F′ nota que las coordenadas del evento se "impulsan" en las direcciones negativas de los ejes xx′, debido a la −v en las transformaciones. Esto tiene el efecto equivalente del sistema de coordenadas F′ potenciado en las direcciones positivas de los ejes xx′, mientras que el evento no cambia y simplemente se representa en otro sistema de coordenadas, una transformación pasiva.

Las relaciones inversas (t, x, y, z en términos de t′, x′, y′, z′) se puede encontrar resolviendo algebraicamente el conjunto original de ecuaciones. Una forma más eficiente es usar principios físicos. Aquí F′ es el "estacionario" mientras que F es el "movimiento" marco. Según el principio de la relatividad, no existe un marco de referencia privilegiado, por lo que las transformaciones de F′ a F debe tomar exactamente la misma forma que las transformaciones de F a F''. La única diferencia es que F se mueve con una velocidad −v relativa a F′ (es decir, la velocidad relativa tiene la misma magnitud pero tiene direcciones opuestas). Por lo tanto, si un observador en F′ observa un evento t′, x′, y′, z′, luego un observador en F anota el mismo evento con coordenadas

y el valor de γ permanece sin cambios. Este "truco" de simplemente invertir la dirección de la velocidad relativa conservando su magnitud, e intercambiando variables primadas y no primadas, siempre se aplica para encontrar la transformación inversa de cada impulso en cualquier dirección.

A veces es más conveniente usar β = v/c (minúsculas beta) en lugar de v, de modo que

ct.=γ γ ()ct− − β β x),x.=γ γ ()x− − β β ct),{displaystyle {begin{aligned}ct' limit=gammaleft(ct-beta xright),x' limit=gamma left(x-beta ctright),\end{aligned}}}}}}}}}}

Las transformaciones de Lorentz también se pueden derivar de una manera que se asemeje a las rotaciones circulares en el espacio 3D usando las funciones hiperbólicas. Para el impulso en la dirección x, los resultados son

donde ζ (zeta minúscula) es un parámetro llamado rapidez (se usan muchos otros símbolos, incluido θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ). Dada la gran similitud con las rotaciones de las coordenadas espaciales en el espacio 3D en los planos cartesianos xy, yz y zx, un impulso de Lorentz se puede considerar como una rotación hiperbólica de las coordenadas espaciotemporales en los planos cartesianos de tiempo xt, yt y zt. Espacio de Minkowski 4d. El parámetro ζ es el ángulo hiperbólico de rotación, análogo al ángulo ordinario para rotaciones circulares. Esta transformación se puede ilustrar con un diagrama de Minkowski.

Las funciones hiperbólicas surgen de la diferencia entre los cuadrados del tiempo y las coordenadas espaciales en el intervalo de espacio-tiempo, en lugar de una suma. El significado geométrico de las funciones hiperbólicas se puede visualizar tomando x = 0 o ct = 0 en las transformaciones. Al elevar al cuadrado y restar los resultados, se pueden derivar curvas hiperbólicas de valores de coordenadas constantes pero variando ζ, lo que parametriza las curvas según la identidad

cosh2⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones − − pecado2⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones =1.{displaystyle cosh ^{2}zeta -sinh ^{2}zeta =1,}

Por el contrario, se pueden construir los ejes ct y x para coordenadas variables pero constante ζ. La definición

Tanh⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones =pecado⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones cosh⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones ,{displaystyle tanh zeta ={frac {sinh zeta }{cosh zeta },}

cosh⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones =11− − Tanh2⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones .{displaystyle cosh zeta ={frac {1}{sqrt {1-tanh ^{2}zeta },}

Comparando las transformaciones de Lorentz en términos de velocidad y rapidez relativas, o utilizando las fórmulas anteriores, las conexiones entre β, γ y ζ son

β β =Tanh⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones ,γ γ =cosh⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones ,β β γ γ =pecado⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones .{displaystyle {begin{aligned}beta &=tanh zeta ,\gamma >cosh zeta ,\beta gamma &=sinh zeta ,end{aligned}}

Tomando la tangente hiperbólica inversa da la rapidez

Especificaciones Especificaciones =Tanh− − 1⁡ ⁡ β β .{displaystyle zeta =tanh ^{-1}beta ,}

Desde −1 < β < 1, sigue −∞ < ζ < ∞. De la relación entre ζ y β, la rapidez positiva ζ > 0 es el movimiento a lo largo de las direcciones positivas de los ejes xx′, velocidad cero ζ = 0 no es un movimiento relativo, mientras que la rapidez negativa ζ < 0 es el movimiento relativo a lo largo de las direcciones negativas de los ejes xx′.

Las transformaciones inversas se obtienen intercambiando cantidades primadas y no primadas para cambiar los marcos de coordenadas y negando la rapidez ζ → −ζ ya que esto es equivalente a negar la velocidad relativa. Por lo tanto,

Las transformaciones inversas se pueden visualizar de manera similar considerando los casos en que x′ = 0 y ct′ = 0.

Hasta ahora, las transformaciones de Lorentz se han aplicado a un evento. Si hay dos eventos, hay una separación espacial y un intervalo de tiempo entre ellos. De la linealidad de las transformaciones de Lorentz se deduce que se pueden elegir dos valores de coordenadas de espacio y tiempo, se pueden aplicar las transformaciones de Lorentz a cada uno y luego restar para obtener las transformaciones de Lorentz de las diferencias;

Δ Δ t.=γ γ ()Δ Δ t− − vΔ Δ xc2),Δ Δ x.=γ γ ()Δ Δ x− − vΔ Δ t),{displaystyle {begin{aligned}Delta t' limit=gammaleft(Delta t-{frac {v,Delta x}{c^{2}}right),\\Delta x'щ=gammaleft(Delta x-vend}{Delta tright),al

Δ Δ t=γ γ ()Δ Δ t.+vΔ Δ x.c2),Δ Δ x=γ γ ()Δ Δ x.+vΔ Δ t.).{displaystyle {begin{aligned} Delta t=gamma left(Delta t'+{frac {v,Delta x'}{c^{2}}right), \Delta x implica=gamma left(Delta x'+v,Delta t'right),.end{aligned}}}

donde Δ (delta mayúscula) indica una diferencia de cantidades; por ejemplo, Δx = x₂ − x₁ para dos valores de coordenadas x, y así sucesivamente.

Estas transformaciones en diferencias en lugar de puntos espaciales o instantes de tiempo son útiles por varias razones:

• en cálculos y experimentos, es longitudes entre dos puntos o intervalos de tiempo que se miden o de interés (por ejemplo, la longitud de un vehículo en movimiento, o la duración del tiempo que se necesita para viajar de un lugar a otro),
• las transformaciones de velocidad se pueden derivar fácilmente haciendo la diferencia infinitamente pequeña y dividiendo las ecuaciones, y el proceso repetido para la transformación de la aceleración,
• si los sistemas de coordenadas nunca son coincidentes (es decir, no en configuración estándar), y si ambos observadores pueden acordar un evento t₀, x₀, Sí.₀, z₀ dentro F y t₀′, x₀′, Sí.₀′, z₀. dentro F., entonces pueden utilizar ese evento como el origen, y las diferencias de coordinación espacio-tiempo son las diferencias entre sus coordenadas y este origen, por ejemplo, Δx = x − x₀, Δx′ = x♫ − x₀., etc.

Implicaciones físicas

Un requisito crítico de las transformaciones de Lorentz es la invariancia de la velocidad de la luz, un hecho utilizado en su derivación y contenido en las propias transformaciones. Si en F la ecuación para un pulso de luz a lo largo de x la dirección es x = ct, luego en F′ las transformaciones de Lorentz dan x′ = ct′, y viceversa, para cualquier −c < v < c.

Para velocidades relativas mucho menores que la velocidad de la luz, las transformaciones de Lorentz se reducen a la transformación de Galileo

t... tx... x− − vt{displaystyle {begin{aligned}t' limitapprox t\x' limitapprox x-vtend{aligned}}

Tres predicciones contrarias a la intuición, pero correctas, de las transformaciones son:

Relatividad de la simultaneidad

Supongamos que dos eventos ocurren a lo largo del eje x simultáneamente (Δt = 0En F, pero separado por un desplazamiento no cero Δx. Entonces entra F., encontramos que Δ Δ t.=γ γ − − vΔ Δ xc2{displaystyle Delta t'=gamma {frac {-v,Delta x}{c^{2}}}, por lo que los eventos ya no son simultáneos según un observador en movimiento.

Dilatación del tiempo

Supongamos que hay un reloj en reposo F. Si un intervalo de tiempo se mide en el mismo punto de ese marco, de modo que Δx = 0, entonces las transformaciones dan este intervalo en F. por Δt′ = γΔt. Por el contrario, supongamos que hay un reloj en reposo F.. Si se mide un intervalo en el mismo punto de ese marco, de modo que Δx′ = 0, entonces las transformaciones dan este intervalo en F por Δt = γΔt.. De cualquier manera, cada observador mide el intervalo de tiempo entre las garrapatas de un reloj en movimiento para ser más largo por un factor γ que el intervalo de tiempo entre garrapatas de su propio reloj.

Contracción de longitud

Supongamos que hay una vara en reposo F alineado a lo largo del eje x, con longitud Δx. In F., la barra se mueve con velocidad -v, por lo que su longitud debe medirse tomando dos simultáneos (Δt′ = 0) medidas en extremos opuestos. En estas condiciones, la inversa transformación de Lorentz muestra que Δx = γΔx.. In F las dos medidas ya no son simultáneas, pero esto no importa porque la varilla está en reposo en F. Así que cada observador mide la distancia entre los puntos finales de una varilla en movimiento para ser más corto por un factor 1/γ que los puntos finales de una vara idéntica en reposo en su propio marco. La contracción de longitud afecta a cualquier cantidad geométrica relacionada con longitudes, por lo que desde la perspectiva de un observador en movimiento, las áreas y los volúmenes también aparecerán para reducir a lo largo de la dirección del movimiento.

Transformaciones vectoriales

Un observador en el marco F observaciones F. para moverse con velocidad v, mientras F. observaciones F para moverse con velocidad −v. Los ejes de coordenadas de cada marco siguen siendo paralelos y ortogonal. El vector de posición medido en cada marco se divide en componentes paralelos y perpendiculares al vector de velocidad relativa v.
Izquierda: Configuración estándar. Bien. Configuración inversa.

El uso de vectores permite expresar posiciones y velocidades en direcciones arbitrarias de forma compacta. Un solo impulso en cualquier dirección depende del vector de velocidad relativa total v con una magnitud |v| = v que no puede igualar ni exceder c, de modo que 0 ≤ v < c.

Solo cambian el tiempo y las coordenadas paralelas a la dirección del movimiento relativo, mientras que las coordenadas perpendiculares no. Con esto en mente, divida el vector de posición espacial r medido en F y r′ medidos en F′, cada uno en componentes perpendiculares (⊥) y paralelas (‖) a v,

r=r⊥ ⊥ +r.. ,r.=r⊥ ⊥ .+r.. .,{displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} ¿Qué? ¿Por qué? '=mathbf {r} ¿Qué? ¿Qué?

t.=γ γ ()t− − r∥ ∥ ⋅ ⋅ vc2)r.. .=γ γ ()r.. − − vt)r⊥ ⊥ .=r⊥ ⊥ {displaystyle {begin{aligned}t' limit=gamma left(t-{frac {fnMitbf} ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?

Presentamos un vector unitario n = v/v = β /β en la dirección del movimiento relativo, la velocidad relativa es v = vn con magnitud v y dirección n, y la proyección y el rechazo de vectores dan respectivamente

r∥ ∥ =()r⋅ ⋅ n)n,r⊥ ⊥ =r− − ()r⋅ ⋅ n)n{displaystyle mathbf {r} _{parallel }=(mathbf {r} cdot mathbf {n})mathbf {n} ,quad mathbf {r} ¿Qué?

La acumulación de los resultados da las transformaciones completas,

La proyección y el rechazo también se aplican a r′. Para las transformaciones inversas, intercambie r y r′ para cambiar coordenadas observadas, y negar la velocidad relativa v → −v (o simplemente el vector unitario n → −n ya que la magnitud v siempre es positiva) para obtener

El vector unitario tiene la ventaja de simplificar las ecuaciones para un solo impulso, permite v o β para ser reinstalado cuando sea conveniente, y la parametrización de rapidez se obtiene inmediatamente reemplazando β y βγ. No es conveniente para múltiples impulsos.

La relación vectorial entre la velocidad relativa y la rapidez es

β β =β β n=nTanh⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones ,{displaystyle {boldsymbol {beta }=beta mathbf {n} =mathbf {n} tanh zeta ,}

Especificaciones Especificaciones =Especificaciones Especificaciones n=nTanh− − 1⁡ ⁡ β β ,{displaystyle {boldsymbol {zeta}=zeta mathbf {n} = 'mathbf {n} tanh ^{-1}beta ,}

Transformación de velocidades

La transformación de las velocidades proporciona la definición de la velocidad relativista adición ⊕, el orden de vectores es elegido para reflejar el orden de la adición de velocidades; primero v (la velocidad de F′ relativa a F) entonces u. (la velocidad de X relativa a F′) para obtener u = v ⊕ u. (la velocidad de X relativa a F).

Definiendo las velocidades coordinadas y el factor de Lorentz por

u=drdt,u.=dr.dt.,γ γ v=11− − v⋅ ⋅ vc2{displaystyle mathbf {u} {fnMicroc {dmathbf} {dt},quad mathbf {u} '={frac {dmathbf {r} ' {dt'},quad gamma _{mathbf {v} {fnMicroc {1} {1-{dfrac {mathbf} cdot mathbf {v} - Sí.

Tomar los diferenciales en las coordenadas y el tiempo de las transformaciones vectoriales y luego dividir las ecuaciones conduce a

u.=11− − v⋅ ⋅ uc2[uγ γ v− − v+1c2γ γ vγ γ v+1()u⋅ ⋅ v)v]{displaystyle mathbf {u}={frac {1}{1-{frac {mathbf {v} cdot mathbf {u} {fnMitbf}}}} {fnMitbf {fnMitbf} {f}}}} {f}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}left {fnmfnMick {frac {f {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}fnfn}fnfnfnfn\fnfnfn}fn ¿Qué? - Mathbf {fnMicroc}{2}{frac {gamma _{mthbf {v} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} }+1}left(mathbf {u} cdot mathbf {v} right)mathbf {v} right]}

Las velocidades u y u′ son la velocidad de algún objeto masivo. También pueden ser para un tercer marco inercial (digamos F''), en cuyo caso deben ser constantes. Denotar cualquier entidad por X. Entonces X se mueve con velocidad u relativa a F, o de manera equivalente con velocidad u′ con respecto a F′, a su vez F′ se mueve con velocidad v con respecto a F. Las transformaciones inversas pueden obtenerse de manera similar, o como con el intercambio de coordenadas de posición u y u ′, y cambia v a −v.

La transformación de la velocidad es útil en la aberración estelar, el experimento de Fizeau y el efecto Doppler relativista.

Las transformaciones de aceleración de Lorentz se pueden obtener de manera similar al tomar diferenciales en los vectores de velocidad y dividirlos por el diferencial de tiempo.

Transformación de otras cantidades

En general, dadas cuatro cantidades A y Z = (Z_x, Z_y, Z_z) y sus homólogos potenciados por Lorentz A′ y Z′ = (Z′_x, Z′_y, Z′_z), una relación de la forma

A2− − Z⋅ ⋅ Z=A.2− − Z.⋅ ⋅ Z.{displaystyle A^{2}-mathbf {Z} cdot mathbf {Z} ={2}-mathbf {Z} 'cdot mathbf {Z} '

A.=γ γ ()A− − vn⋅ ⋅ Zc),Z.=Z+()γ γ − − 1)()Z⋅ ⋅ n)n− − γ γ Avnc.{displaystyle {begin{aligned}A' limit=gammaleft(A-{frac {vmathbf {n} cdot mathbf {Z} {c}derecha),\\\cH00}mthbf {Z} +(gamma -1)(mathbf {Z} cdot mathbf {n})mathbf {n} - {frac {gamma} Avmathbf {n} {c},end{aligned}}

La descomposición de Z (y Z′) en componentes perpendiculares y paralelas a v es exactamente igual que para el vector de posición, al igual que el proceso de obtener las transformaciones inversas (intercambiar (A, Z) y (A′, Z′) para cambiar las cantidades observadas e invertir la dirección del movimiento relativo mediante la sustitución n ↦ −n).

Las cantidades (A, Z) forman colectivamente un cuatro vectores, donde A es el "componente temporal" y Z el "componente espacial". Ejemplos de A y Z son los siguientes:

Para un objeto determinado (p. ej., partícula, fluido, campo, material), si A o Z corresponden a propiedades específicas del objeto, como su densidad de carga, densidad de masa, giro, etc., sus propiedades se pueden fijar en el marco de reposo de ese objeto. Luego, las transformaciones de Lorentz dan las propiedades correspondientes en un marco que se mueve en relación con el objeto con velocidad constante. Esto rompe algunas nociones que se dan por sentadas en la física no relativista. Por ejemplo, la energía E de un objeto es un escalar en la mecánica no relativista, pero no en la mecánica relativista porque la energía cambia bajo las transformaciones de Lorentz; su valor es diferente para varios marcos inerciales. En el marco de reposo de un objeto, tiene una energía de reposo y un impulso cero. En un marco reforzado, su energía es diferente y parece tener un impulso. De manera similar, en la mecánica cuántica no relativista, el giro de una partícula es un vector constante, pero en la mecánica cuántica relativista, el giro s depende del movimiento relativo. En el marco de reposo de la partícula, el pseudovector de espín se puede fijar para que sea su espín no relativista ordinario con una cantidad temporal cero s_t, sin embargo, un observador potenciado percibirá un componente temporal distinto de cero y un giro alterado.

No todas las cantidades son invariantes en la forma que se muestra arriba, por ejemplo, el momento angular orbital L no tiene una cantidad similar al tiempo, y tampoco la tiene el campo eléctrico E ni el campo magnético B. La definición de momento angular es L = r × p, y en un marco aumentado el momento angular alterado es L′ = r′ × p′. La aplicación de esta definición utilizando las transformaciones de coordenadas y momento conduce a la transformación del momento angular. Resulta que L se transforma con otra cantidad vectorial N = (E /c²)r − tp relacionado con impulsos, vea momento angular relativista para más detalles. Para el caso de los campos E y B, las transformaciones no se puede obtener directamente usando álgebra vectorial. La fuerza de Lorentz es la definición de estos campos, y en F es F = q(E + v × B) mientras está en <span class="texhtml" F′ es F′ = q(E′ + v′ × B′). Un método para derivar las transformaciones del campo EM de una manera eficiente que también ilustra la unidad del campo electromagnético utiliza el álgebra tensorial, que se muestra a continuación.

Formulación matemática

En todo momento, las letras mayúsculas en cursiva sin negrita son matrices de 4 × 4, mientras que las letras en negrita sin cursiva son matrices de 3 × 3.

Grupo homogéneo de Lorentz

Escribiendo las coordenadas en vectores columna y la métrica de Minkowski η como una matriz cuadrada

X.=[ct.x.Sí..z.],.. =[− − 1000010000100001],X=[ctxSí.z]{displaystyle X'={begin{bmatrix}c,t'\x'\y'z'end{bmatrix},quad eta ={begin{bmatrix}-1 tendría0 tarde0}}},quad X={begin{bmatrix}c,t\xy\\xyddcH0}}

X⋅ ⋅ X=XT.. X=X.T.. X.{displaystyle Xcdot X=X^{mathrm # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ########### ## ## ## ## ## ## #######################################

X.=▪ ▪ X{displaystyle X'=Lambda X}

El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz ≥ en este artículo es denotado L{displaystyle {fnMithcal}}. Este conjunto con multiplicación de matriz forma un grupo, en este contexto conocido como Grupo Lorentz. Además, la expresión anterior X·X es una forma cuadrática de firma (3,1) en tiempo espacial, y el grupo de transformaciones que deja esta forma cuadrática invariante es el grupo ortogonal indefinido O(3,1), un grupo Lie. En otras palabras, el grupo Lorentz es O(3,1). Como se presenta en este artículo, cualquier grupo de Lie mencionado son grupos de matriz Lie. En este contexto, el funcionamiento de la composición equivale a multiplicación de matriz.

De la invariancia del intervalo de espacio-tiempo se sigue

.. =▪ ▪ T.. ▪ ▪ {displaystyle eta =Lambda ^{mathrm {T}eta Lambda }

[Det()▪ ▪ )]2=1⇒ ⇒ Det()▪ ▪ )=± ± 1{displaystyle left[det(Lambda)right]^{2}=1quad Rightarrow quad det(Lambda)=pm 1}

Escribiendo la métrica de Minkowski como una matriz de bloques y la transformación de Lorentz en su forma más general,

.. =[− − 100I],▪ ▪ =[.. − − aT− − bM],{displaystyle eta ={begin{bmatrix}-1 implica0 agomathbf {I} end{bmatrix}},quad Lambda ={begin{bmatrix} Gamma.

.. 2=1+bTb{displaystyle "Gamma ^{2}=1+mathbf {b} ^{mathrm {T}mathbf {b}

.. 2≥ ≥ 1⇒ ⇒ .. ≤ ≤ − − 1,.. ≥ ≥ 1{displaystyle Gamma ^{2}geq 1quad Rightarrow quad Gamma leq -1,quad Gamma geq 1}

La desigualdad negativa puede ser inesperada, porque Γ multiplica la coordenada del tiempo y esto tiene un efecto en la simetría del tiempo. Si se mantiene la igualdad positiva, entonces Γ es el factor de Lorentz.

El determinante y la desigualdad brindan cuatro maneras de clasificar las Ltransformaciones Lorentz (aquí LTs por brevedad). Cualquier LT en particular tiene solo un signo determinante y solo una desigualdad. Hay cuatro conjuntos que incluyen todos los pares posibles dados por las intersecciones (símbolo en forma de "n" que significa "y") de estos conjuntos de clasificación.

donde "+" y "−" indican el signo determinante, mientras que "↑" para ≥ y "↓" para ≤ denota las desigualdades.

El grupo completo de Lorentz se divide en la unión (símbolo en forma de "u" que significa "o") de cuatro conjuntos disjuntos

L=L+↑ ↑ ∪ ∪ L− − ↑ ↑ ∪ ∪ L+↓ ↓ ∪ ∪ L− − ↓ ↓ {displaystyle {fnMitcal}={fnMitcal {fn} {fn} {fn}} {fn}}}\\fn}\\fn}\\fn}\\fn}\\fn}}\fn}\\\fn}\\fn}}}\\\\\fn}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}\\\fn}}}}}}\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## {L}_{-} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {f}}}}} {\\f}}}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Un subgrupo de un grupo debe cerrarse bajo la misma operación del grupo (aquí multiplicación matriz). En otras palabras, para dos transformaciones de Lorentz ▪ y L de un conjunto particular, las transformaciones compuestas de Lorentz ▪L y L▪ debe estar en el mismo conjunto ▪ y L. Esto no es siempre el caso: la composición de dos transformaciones de Lorentz anticrónicas es ortocrónica, y la composición de dos transformaciones de Lorentz inadecuadas es adecuada. En otras palabras, mientras que los conjuntos L+↑ ↑ {displaystyle {mathcal {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {\fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\, L+{fnK} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft} {fnK}}} {fnK}}}, L↑ ↑ {displaystyle {máthcal {cH00} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}} {fnMicrosoft}}} {fnK}}}}} {fnMicrosoft}}, y L0=L+↑ ↑ ∪ ∪ L− − ↓ ↓ {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}= {fnMitcal} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}\\fn}\\fn}\\fn}\\fn}\\fn}}\fn}\\\fn}\\fn}}}\\\\\fn}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## {L}_{-} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {f}}}}} {\\f}}}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} todos los subgrupos de forma, los conjuntos que contienen transformaciones inadecuadas y/o anticrónicas sin suficientes transformaciones ortocrónicas adecuadas (por ejemplo. L+↓ ↓ {displaystyle {mathcal {fn} {fn} {fn}}} {\fn}} {fn}} {fn}}} {\fn}}}} {fn}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\displaystyle {, L− − ↓ ↓ {displaystyle {mathcal {cHFF} {cHFF}} {cHFF}} {cHFF} {f}} {fn}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}} {f}}}}}} {\fnKf}}}}}, L− − ↑ ↑ {displaystyle {mathcal {fnh}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft Sans}} {f}} {fn}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}}}}} {f}}}) no forman subgrupos.

Transformaciones adecuadas

Si un covariante Lorentz 4-vector se mide en un marco inercial con resultado X{displaystyle X}, y la misma medida hecha en otro marco inercial (con la misma orientación y origen) da resultado X.{displaystyle X., los dos resultados estarán relacionados

X.=B()v)X{displaystyle X'=B(mathbf {v})X}

B()v){displaystyle B(mathbf {v})}

v{displaystyle mathbf {v}

B()v)=[γ γ − − γ γ vx/c− − γ γ vSí./c− − γ γ vz/c− − γ γ vx/c1+()γ γ − − 1)vx2v2()γ γ − − 1)vxvSí.v2()γ γ − − 1)vxvzv2− − γ γ vSí./c()γ γ − − 1)vSí.vxv21+()γ γ − − 1)vSí.2v2()γ γ − − 1)vSí.vzv2− − γ γ vz/c()γ γ − − 1)vzvxv2()γ γ − − 1)vzvSí.v21+()γ γ − − 1)vz2v2],{displaystyle B(mathbf {v}={begin{bmatrix}gamma " v_{x}/ciéndose-gamma v. v_{z}/c\-gamma v_{x}/c implica1+(gamma) -1){dfrac {v_{x}{2} {v^{2}} {gamma -1){dfrac} {cH00}}} {c}}} {c}}}} {ccH00}}}}}}} {ccccH00}}}}}}}}}}} {cccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {ccccccccccccccccccccccccccccccccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cccccccccccccccc {v_{x}v_{y} {v} {2} -1){dfrac {v_{x}v_{z} {v} {2} v. -1){dfrac {v_{y}v_{x} {v} {2}} {cH} {cH} {cH} {cH}} {c}}}} {c}}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}} {cc}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH00ccH00ccccccccccccccH -1){dfrac {fnK} {cH00}} {cH00}} {cH00}} {cH00}} {cH}}} {cH}}}}}} {cH}}}}} {cH}}}}}}} {cH}}}}}} {cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}} {c}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}} {ccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} -1){dfrac {V_{y}v_{z} {v_{2} v_{z}/c estaría(gamma -1){dfrac {v_{x} {v_{2} {gamma -1){dfrac} {cH00}} {cH00}} {c}}}} {c}}}}} {g_}}} {ccH00}}}}}} {ccccH00}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}} {c}}} {ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc {v_{z}v_{y} {v} {2}} {2}} {cH00} {cH} {cH}} {c}}}}} {c}}}}} {cH}}}}} {cH}}}}} {cc}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH3ccccccccccccccc -1){dfrac {v_{z} {2} {v}}}end{bmatrix}}} {cH00}}}

Donde v=vx2+vSí.2+vz2{textstyle v={sqrt {fnK} {fnK}} {fnK}}} {fn}}}}}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}} {cH}}} {cH}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {cc}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} es la magnitud de la velocidad y γ γ =11− − v2c2{textstyle gamma ={frac {2}}}} Es el factor Lorentz. Esta fórmula representa una transformación pasiva, ya que describe cómo las coordenadas de la cantidad medida cambian desde el marco desenfrenado hasta el marco primo. La transformación activa es dada por B()− − v){displaystyle B(-mathbf {v})}.

Si un cuadro F′ se aumenta con la velocidad u relativo al cuadro F, y otro cuadro F'' se impulsa con la velocidad v relativa a F′, la separada los impulsos son

X.=B()v)X.,X.=B()u)X[displaystyle X'=B(mathbf {v})X',quad X'=B(mathbf {u})X}

X.=B()v)B()u)X.[displaystyle X'=B(mathbf {v})B(mathbf {u})X,.}

Si u y v no son colineales pero están en diferentes direcciones, la situación es considerablemente más complicada. Los impulsos de Lorentz en diferentes direcciones no conmutan: B(v)B(u) y B(u)B(v) no son iguales. Además, cada una de estas composiciones no es un solo impulso, pero siguen siendo transformaciones de Lorentz, cada una de las cuales conserva el intervalo de espacio-tiempo. Resulta que la composición de cualquiera de los dos aumentos de Lorentz es equivalente a un impulso seguido o precedido por una rotación en las coordenadas espaciales, en forma de R( ρ)B(w) o B(w)R(ρ). w y w son velocidades compuestas, mientras que ρ y ρ son parámetros de rotación (por ejemplo, variables de ángulo de eje, ángulos de Euler, etc.). La rotación en forma de matriz de bloques es simplemente

R()*** *** )=[100R()*** *** )],{displaystyle quad R({boldsymbol {rho }}={begin{bmatrix}1 {0} {R} ({boldsymbol {rho })end{bmatrix},}

En este artículo, la representación del eje-ángulo se usa para ρ. La rotación es sobre un eje en la dirección de un vector unitario e, a través del ángulo θ (positivo en sentido antihorario, negativo en sentido horario, según la regla de la mano derecha). El "vector eje-ángulo"

Silencio Silencio =Silencio Silencio e{displaystyle {boldsymbol {theta}=theta mathbf {e}

Las rotaciones espaciales por sí solas también son transformaciones de Lorentz, dejan invariable el intervalo de espacio-tiempo. Al igual que los impulsos, las rotaciones sucesivas sobre diferentes ejes no conmutan. A diferencia de los impulsos, la composición de dos rotaciones cualesquiera es equivalente a una sola rotación. Algunas otras similitudes y diferencias entre las matrices de impulso y rotación incluyen:

• inversos: B()v)⁻¹ = B() -v) (Moción relativa en la dirección opuesta), y R()Silencio)⁻¹ = R() -Silencio) (rotación en el sentido opuesto sobre el mismo eje)
• transformación de la identidad para ningún movimiento o rotación relativo: B()0) R()0) I
• unitario determinante: det(B) = det(R) = +1. Esta propiedad les hace transformaciones adecuadas.
• simetría de matriz: B es simétrico (equals transpose), mientras R es no simétrico pero ortogonal (transpose igual a inverso, R^T = R⁻¹).

La transformación de Lorentz adecuada más general Λ(v, θ) incluye un impulso y una rotación juntos, y es una matriz no simétrica. Como casos especiales, Λ(0, θ) = R(θ) y Λ(v, 0) = B(v). Una forma explícita de la transformación general de Lorentz es engorrosa de escribir y no se dará aquí. Sin embargo, las expresiones de forma cerrada para las matrices de transformación se darán a continuación utilizando argumentos teóricos de grupo. Será más fácil usar la parametrización de rapidez para impulsos, en cuyo caso uno escribe Λ(ζ, θ) y B(ζ).

El grupo de la Mentira SO+(3,1)

El conjunto de transformaciones

{}B()Especificaciones Especificaciones ),R()Silencio Silencio ),▪ ▪ ()Especificaciones Especificaciones ,Silencio Silencio )}{displaystyle {B({boldsymbol {zeta }}),R({boldsymbol {theta }}),Lambda ({boldsymbol {zeta }},{boldsymbol {theta }})}}}}}}}}}}}}}} {

Para simplificar, mire el impulso infinitesimal de Lorentz en la dirección x (examinar un impulso en cualquier otra dirección, o la rotación sobre cualquier eje, sigue un procedimiento idéntico). El impulso infinitesimal es un pequeño impulso que se aleja de la identidad, obtenido por la expansión de Taylor de la matriz de impulso a primer orden sobre ζ = 0,

Bx=I+Especificaciones Especificaciones ∂ ∂ Bx∂ ∂ Especificaciones Especificaciones SilencioEspecificaciones Especificaciones =0+⋯ ⋯ {displaystyle B_{x}=I+zeta left.{frac {partial B_{x}{partial zeta "Justo en la vida" =0}+cdots }

∂ ∂ Bx∂ ∂ Especificaciones Especificaciones SilencioEspecificaciones Especificaciones =0=− − Kx.{displaystyle left.{frac {partial B_{x}{partial zeta "Justo en la vida" =0}=-K_{x},}

Por ahora, K_x está definido por este resultado (su significado se explicará en breve). En el límite de un número infinito de pasos infinitamente pequeños, se obtiene la transformación de impulso finito en forma de matriz exponencial

Bx=limN→ → JUEGO JUEGO ()I− − Especificaciones Especificaciones NKx)N=e− − Especificaciones Especificaciones Kx{displaystyle B_{x}=lim ¿Por qué? ¿Qué? K_{x}}

B()Especificaciones Especificaciones )=e− − Especificaciones Especificaciones ⋅ ⋅ K,R()Silencio Silencio )=eSilencio Silencio ⋅ ⋅ J.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}cdot mathbf {f},quad R({boldsymbol {theta })=e^{b} {f}cdotcdo}

El vector eje-ángulo θ y el vector de rapidez ζ son en total seis variables continuas que componen los parámetros del grupo (en esta representación particular), y los generadores del grupo son K = (K_x, K_y, K_z) y J = (J_x, J_y, J_z), cada vector de matrices con las formas explícitas

Kx=[0100100000000000],KSí.=[0010000010000000],Kz=[0001000000001000]Jx=[00000000000− − 10010],JSí.=[0000000100000− − 100],Jz=[000000− − 1001000000]{displaystyle {begin{alignedat}{3}K_{x} limit={begin{bmatrix}0 limitada1 tendría01}0}1}3}}},fnunció0 {}},quad {}}}cH000},cH0}cH000}cH000}cH000},cH0} {}0}0}0}0}0}0}0}}}}}}}}0}0}0}0}0}0}}}[10mu]J_{x} {0}0}0}0} {}}cH000},cH0}cH003}cH000}cH000}cH000},cH0},cH0 {}}}}end{alignedat}}

Todos estos están definidos de manera análoga a K_x anterior, aunque los signos menos en los generadores de refuerzo son convencionales. Físicamente, los generadores del grupo de Lorentz corresponden a importantes simetrías en el espacio-tiempo: J son los generadores de rotación que corresponden a angulares impulso y K son los generadores de impulso que corresponden al movimiento del sistema en el espacio-tiempo. La derivada de cualquier curva suave C(t) con C(0) = I en el grupo dependiendo de algún parámetro de grupo t con respecto a ese parámetro de grupo, evaluado en t = 0, sirve como una definición de un generador de grupo correspondiente G , y esto refleja una transformación infinitesimal lejos de la identidad. La curva suave siempre se puede tomar como una exponencial, ya que la exponencial siempre asignará G suavemente al grupo a través de t → exp(tG) para todos los t; esta curva producirá G nuevamente cuando se diferencie en t = 0.

Expandiendo las exponenciales en su serie de Taylor se obtiene

B()Especificaciones Especificaciones )=I− − pecado⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones ()n⋅ ⋅ K)+()cosh⁡ ⁡ Especificaciones Especificaciones − − 1)()n⋅ ⋅ K)2{displaystyle B({boldsymbol {zeta })=I-sinh zeta (mathbf {n} cdot mathbf {K})+(cosh zeta -1)(mathbf {n} cdot mathbf {K}{2}

R()Silencio Silencio )=I+pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ()e⋅ ⋅ J)+()1− − #⁡ ⁡ Silencio Silencio )()e⋅ ⋅ J)2.{displaystyle R({boldsymbol {theta })=I+sin theta (mathbf {e} cdot mathbf {J})+(1-cos theta)(mathbf {e} cdot mathbf {J})^{2},}

Se ha dicho que la transformación general de Lorentz adecuada es producto de un impulso y una rotación. En el nivel infinitesimal el producto

▪ ▪ =()I− − Especificaciones Especificaciones ⋅ ⋅ K+⋯ ⋯ )()I+Silencio Silencio ⋅ ⋅ J+⋯ ⋯ )=()I+Silencio Silencio ⋅ ⋅ J+⋯ ⋯ )()I− − Especificaciones Especificaciones ⋅ ⋅ K+⋯ ⋯ )=I− − Especificaciones Especificaciones ⋅ ⋅ K+Silencio Silencio ⋅ ⋅ J+⋯ ⋯ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}cdot mathbf {K} +cdots)(I+{boldsymbol {theta }cdot mathbf {J} +cdotboldcbolds} {K} +cdots)\\fnMicrosoft Sans {zeta}cdot mathbf {K} +{boldsymbol {theta }cdot mathbf {J} +cdots end{aligned}}}

▪ ▪ ()Especificaciones Especificaciones ,Silencio Silencio )=e− − Especificaciones Especificaciones ⋅ ⋅ K+Silencio Silencio ⋅ ⋅ J.{displaystyle Lambda ({boldsymbol {zeta }},{boldsymbol {theta }})=e^{-{boldsymbol {zeta }cdot mathbf {K} +{boldsymbol {theta }cdot mathbf {J} }

Lo contrario también es cierto, pero la descomposición de una transformación de Lorentz general finita en tales factores no es trivial. En particular,

e− − Especificaciones Especificaciones ⋅ ⋅ K+Silencio Silencio ⋅ ⋅ Jل ل e− − Especificaciones Especificaciones ⋅ ⋅ KeSilencio Silencio ⋅ ⋅ J,{displaystyle e^{-{boldsymbol {zeta }cdot mathbf {K} +{boldsymbol {theta }cdot mathbf {J}neq e^{-{boldsymbol {zeta }cdot mathbf {K}e^{boldsymbol {theta}cdot mathbf {J},}

El álgebra de mentira so(3,1)

Los generadores de Lorentz se pueden sumar o multiplicar por números reales para obtener más generadores de Lorentz. En otras palabras, el conjunto de todos los generadores de Lorentz

V={}Especificaciones Especificaciones ⋅ ⋅ K+Silencio Silencio ⋅ ⋅ J}{displaystyle V={\\boldsymbol {zeta }cdot mathbf {K} +{boldsymbol {theta }cdot mathbf {J}}

Tres de las relaciones de conmutación de los generadores de Lorentz son

[Jx,JSí.]=Jz,[Kx,KSí.]=− − Jz,[Jx,KSí.]=Kz,{displaystyle [J_{x},J_{y}= J_{z},quad [K_{x},K_{y}=-J_{z},quad [J_{x},K_{y}=K_{z},}

Estas relaciones de conmutación, y el espacio vectorial de generadores, cumplen la definición del álgebra de Lie so()3,1){displaystyle {ss}(3,1)}. En resumen, un álgebra Lie se define como un espacio vectorial V sobre un campo de números, y con una operación binaria [ ] (llamado soporte de Lie en este contexto) sobre los elementos del espacio vectorial, satisfaciendo los axiomas de la bilinearidad, la alternancia y la identidad Jacobi. Aquí la operación [ ] es el conmutador que satisface todos estos axiomas, el espacio vectorial es el conjunto de generadores de Lorentz V como se dio anteriormente, y el campo es el conjunto de números reales.

Terminología de enlace utilizada en matemáticas y física: un generador de grupos es cualquier elemento del álgebra de Lie. Un parámetro de grupo es un componente de un vector de coordenadas que representa un elemento arbitrario del álgebra de Lie con respecto a alguna base. Una base, entonces, es un conjunto de generadores que son una base del álgebra de Lie en el sentido habitual del espacio vectorial.

El mapa exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie,

exp:so()3,1)→ → SO()3,1),{displaystyle exp :,{mathfrak {so}}(3,1)to mathrm {SO} (3,1),}

Transformaciones impropias

Las transformaciones de Lorentz también incluyen inversión de paridad

P=[100− − I]{displaystyle P={begin{bmatrix}1 unos pocos0 diez-mathbf {I}end{bmatrix}}}

T=[− − 100I]{displaystyle T={begin{bmatrix}-1 tendría0}}

Si Λ es una transformación de Lorentz ortocrónica propia, entonces TΛ es anticrónica impropia, PΛ es ortocrónico impropio, y TPΛ = PTΛ es anticrónico propio.

Grupo de Lorentz no homogéneo

No se han tenido en cuenta otras dos simetrías del espacio-tiempo. Para que el intervalo de espacio-tiempo sea invariante, se puede demostrar que es necesario y suficiente que la transformación de coordenadas sea de la forma

X.=▪ ▪ X+C{displaystyle X'=Lambda X+C}

Formulación tensor

Vectores contravariantes

Escribiendo la transformación matricial general de coordenadas como la ecuación matricial

[x.0x.1x.2x.3]=[▪ ▪ 00▪ ▪ 01▪ ▪ 02▪ ▪ 03▪ ▪ 10▪ ▪ 11▪ ▪ 12▪ ▪ 13▪ ▪ 20▪ ▪ 21▪ ▪ 22▪ ▪ 23▪ ▪ 30▪ ▪ 31▪ ▪ 32▪ ▪ 33][x0x1x2x3]{fnMicrosoft Sans Serif} {\fnK}\fnK}\cH33}\\cH00}\\cH00}cH33}\cH33}cH00}}\begin{bmatrix} {\cH00}}\cH00}}}\cH00}}}}}}}\\\cH00}}cH00cH00cH00cH00}}}}}}}}}cH00}}\cH00\cH00}}}}}}}}}}}}}\\cH00}}cH00\cH00\cH00cH00cH00cH00cH00}}}}}}}}}}}}}}cH00}}\cH00\\cH00}}}}}} {0}_{0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0}}} {2} {\\\\\\\\\\cH0}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Lambda. ¿Qué? Lambda ¿Qué? Lambda. Lambda. Lambda ^{2}_{2} {2} {\c}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Lambda. Lambda ^{3}_{1} {\\\\c}} {c} {c}}\\c}\\\\cH} {cH}}\cH}\c}\c}c}c}\c}c}c}c}cH3}c}cH3}c}c}c}c}c}cH3}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cH3}c}c}c}fn}cH3}cH3}c}c}c}c}c}c}c}c

x... =▪ ▪ .. μ μ xμ μ ,{displaystyle {x}{nu }={Lambda ^{nu }_{mu }x^{mu }

donde los índices inferior y superior etiquetan componentes covariantes y contravariantes respectivamente, y se aplica la convención de suma. Es una convención estándar usar índices griegos que toman el valor 0 para componentes de tiempo y 1, 2, 3 para componentes espaciales, mientras que los índices latinos simplemente toman los valores 1, 2, 3 para componentes espaciales (lo contrario para Landau y Lifshitz). Tenga en cuenta que el primer índice (que se lee de izquierda a derecha) corresponde en la notación matricial a un índice de fila. El segundo índice corresponde al índice de la columna.

La matriz de transformación es universal para todos los cuatro vectores, no solo para las coordenadas de espacio-tiempo de 4 dimensiones. Si A es cualquier vector de cuatro, entonces en notación de índice tensorial

A... =▪ ▪ .. μ μ Aμ μ .{displaystyle {A}{nu} }={Lambda ^{nu - ¿Qué?

Alternativamente, uno escribe

A.. .=▪ ▪ .. .μ μ Aμ μ .{displaystyle A^{nu "Lambda" ¿Qué?

X.α α =▪ ▪ ()▪ ▪ )α α β β Xβ β ,{displaystyle {X'} {Alpha }={Pi (Lambda)^{alpha }_{beta }X^{beta },}

Vectores covariantes

También hay cantidades vectoriales con índices covariantes. Generalmente se obtienen a partir de sus correspondientes objetos con índices contravariantes por la operación de bajar un índice; p.ej.,

x.. =.. μ μ .. xμ μ ,{displaystyle x_{nu }=eta _{munu }x^{mu }}

xμ μ =.. μ μ .. x.. ,{displaystyle x^{mu }=eta ^{munu }x_{nu }}

A... =.. *** *** .. ▪ ▪ *** *** σ σ .. μ μ σ σ Aμ μ .{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ }_{sigma }eta }A_{mu }

Pero

.. *** *** .. ▪ ▪ *** *** σ σ .. μ μ σ σ =()▪ ▪ − − 1)μ μ .. ,{displaystyle eta _{rho nu }{Lambda ^{rho }_{sigma }eta }={left(Lambda ^{-1}right) }_{nu }

Es decir, es el (μ, ν)-componente de la inversa Transformación de Lorentz. Uno define (como una cuestión de notación),

▪ ▪ .. μ μ ↑ ↑ ()▪ ▪ − − 1)μ μ .. ,{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serv {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} }_{nu }

A... =▪ ▪ .. μ μ Aμ μ .{displaystyle {A}_{nu Lambda... }A_{mu }

Ahora una sutileza. La suma implícita en el lado derecho de

A... =▪ ▪ .. μ μ Aμ μ =()▪ ▪ − − 1)μ μ .. Aμ μ {displaystyle {A}_{nu ¿Por qué? }

A.=()▪ ▪ − − 1)TA.{displaystyle A'=left(Lambda ^{-1}right)^{mathrm A.

Esto significa exactamente que los vectores covariantes (considerados como matrices de columna) se transforman según la representación dual de la representación estándar del grupo de Lorentz. Esta noción se generaliza a representaciones generales, simplemente reemplace Λ con Π(Λ).

Tensores

Si A y B son operadores lineales en espacios vectoriales U y V, entonces se puede definir un operador lineal A ⊗ B en el producto tensorial de U y V, denotado U ⊗ V según

De esto queda inmediatamente claro que si u y v son cuatro vectores en V, luego u ⊗ v ∈ T₂V ≡ V ⊗ V se transforma como

El segundo paso usa la bilinealidad del producto tensorial y el último paso define un tensor de 2 en forma de componente, o más bien, simplemente cambia el nombre del tensor u ⊗ v.

Estas observaciones se generalizan de manera obvia a más factores, y usando el hecho de que un tensor general en un espacio vectorial V se puede escribir como una suma de un coeficiente (¡componente!) por productos tensoriales de vectores base y covectores base, uno llega a la ley de transformación para cualquier cantidad tensorial T. esta dado por

donde Λ_χ′^ψ se define arriba. Esta forma generalmente se puede reducir a la forma para objetos generales de n-componentes dados anteriormente con una sola matriz (Π (Λ)) operando en vectores columna. A veces se prefiere esta última forma; por ejemplo, para el tensor de campo electromagnético.

Transformación del campo electromagnético

El impulso de Lorentz de una carga eléctrica, la carga está en reposo en un marco o el otro.

Las transformaciones de Lorentz también se pueden usar para ilustrar que el campo magnético B y el campo eléctrico E son simplemente diferentes aspectos de la misma fuerza: la fuerza electromagnética, como consecuencia del movimiento relativo entre las cargas eléctricas y los observadores. El hecho de que el campo electromagnético muestre efectos relativistas queda claro al llevar a cabo un experimento mental simple.

• Un observador mide una carga en reposo en el marco F. El observador detectará un campo eléctrico estático. Como la carga es estacionaria en este marco, no hay corriente eléctrica, por lo que el observador no observa ningún campo magnético.
• El otro observador en el marco F′ se mueve a velocidad v relativo a F y el cargo. Esto observador ve un campo eléctrico diferente porque la carga se mueve a velocidad −v en su marco de descanso. El movimiento de la carga corresponde a una corriente eléctrica, y por lo tanto el observador en el marco F′ también ve un campo magnético.

Los campos eléctricos y magnéticos se transforman de manera diferente en el espacio y el tiempo, pero exactamente de la misma manera que el momento angular relativista y el vector de impulso.

El tensor de intensidad de campo electromagnético viene dado por

Fμ μ .. =[0− − 1cEx− − 1cESí.− − 1cEz1cEx0− − BzBSí.1cESí.Bz0− − Bx1cEz− − BSí.Bx0](unidades de ISI, firma()+,− − ,− − ,− − )).{displaystyle F^{munu }={begin{bmatrix}0 limit-{frac E_{x} {1}{y}E_{y} {1} {c}}E_{z}\{fnMic} {1} {c}}E_{x} distante. {1} {c}}E_{y} {x} {c} {c}}\\\\\cH00} {1} {c}}E_{z} tarde-B_{y} tardeB_{x} {0end{bmatrix}}{text{(SI units, signature }} {+,-,-,-){text{)}}}}}} {

▪ ▪ μ μ .. =[γ γ − − γ γ β β 00− − γ γ β β γ γ 0000100001],Fμ μ .. =[0ExESí.Ez− − Ex0Bz− − BSí.− − ESí.− − Bz0Bx− − EzBSí.− − Bx0](Gaussian units, signature()− − ,+,+,+)),{displaystyle # Lambda ^{mu }_{nu }={begin{bmatrix}gamma &-gammabeta > âTMagamma beta >. ################################################################################################################################################################################################################################################################

La ley general de transformación (T3) se convierte en

Fμ μ ... .=▪ ▪ μ μ .μ μ ▪ ▪ .. ... Fμ μ .. .{displaystyle ¿Qué? Lambda ¿Qué?

Para el campo magnético se obtiene

Bx.=F2.3.=▪ ▪ 2μ μ ▪ ▪ 3.. Fμ μ .. =▪ ▪ 22▪ ▪ 33F23=1× × 1× × Bx=Bx,BSí..=F3.1.=▪ ▪ 3μ μ ▪ ▪ 1.. Fμ μ .. =▪ ▪ 33▪ ▪ 1.. F3.. =▪ ▪ 33▪ ▪ 10F30+▪ ▪ 33▪ ▪ 11F31=1× × ()− − β β γ γ )()− − Ez)+1× × γ γ BSí.=γ γ BSí.+β β γ γ Ez=γ γ ()B− − β β × × E)Sí.Bz.=F1.2.=▪ ▪ 1μ μ ▪ ▪ 2.. Fμ μ .. =▪ ▪ 1μ μ ▪ ▪ 22Fμ μ 2=▪ ▪ 10▪ ▪ 22F02+▪ ▪ 11▪ ▪ 22F12=()− − γ γ β β )× × 1× × ESí.+γ γ × × 1× × Bz=γ γ Bz− − β β γ γ ESí.=γ γ ()B− − β β × × E)z{displaystyle {begin{aligned}B_{x' {=F^{2'3'}={ Lambda Lambda }F^{munu }={Lambda Lambda ^{3}_{3}F^{23}=1times 1times B_{x}\=B_{x},B_{y'} {3'1'}={ Lambda Lambda... ¿Qué? Lambda. }={Lambda ¿Qué? Lambda... Lambda Lambda ^{1}_{1} {31}\\\fn1times (-betagamma)(-E_{z})+1times gamma B_{y}=gamma B_{y}+beta gamma E_{z}\\gammaleft(mathbf {B} -{boldsymbol {beta}times mathbf {E} {y}B_{z'} Lambda Lambda ¿Qué? ^{1}_{mu Lambda ¿Qué? 2}={Lambda ¿Qué? Lambda ¿Qué? Lambda Lambda ^{2}_{2}F^{12}\ golpe=(-gamma beta)times 1times E_{y}+gamma times 1times B_{z}=gamma B_{z}-beta gamma E_{y}\\gammaleft(mathbf {B} -{boldsymbol {beta}times mathbf {E} right)_{z}end{aligned}}}

Para los resultados del campo eléctrico

Ex.=F0.1.=▪ ▪ 0μ μ ▪ ▪ 1.. Fμ μ .. =▪ ▪ 01▪ ▪ 10F10+▪ ▪ 00▪ ▪ 11F01=()− − γ γ β β )()− − γ γ β β )()− − Ex)+γ γ γ γ Ex=− − γ γ 2β β 2()Ex)+γ γ 2Ex=Ex()1− − β β 2)γ γ 2=Ex,ESí..=F0.2.=▪ ▪ 0μ μ ▪ ▪ 2.. Fμ μ .. =▪ ▪ 0μ μ ▪ ▪ 22Fμ μ 2=▪ ▪ 00▪ ▪ 22F02+▪ ▪ 01▪ ▪ 22F12=γ γ × × 1× × ESí.+()− − β β γ γ )× × 1× × Bz=γ γ ESí.− − β β γ γ Bz=γ γ ()E+β β × × B)Sí.Ez.=F0.3.=▪ ▪ 0μ μ ▪ ▪ 3.. Fμ μ .. =▪ ▪ 0μ μ ▪ ▪ 33Fμ μ 3=▪ ▪ 00▪ ▪ 33F03+▪ ▪ 01▪ ▪ 33F13=γ γ × × 1× × Ez− − β β γ γ × × 1× × ()− − BSí.)=γ γ Ez+β β γ γ BSí.=γ γ ()E+β β × × B)z.{displaystyle {begin{aligned}E_{x' {=F^{0'1'}={ Lambda Lambda... Lambda. Lambda. Lambda ^{1}_{1}F^{01}\bum=(-gammabeta)(-gammabeta)(-E_{x})+gammagamma E_{x}=-gamma ^{2}beta ^{2}(E_{x})+gamma ^{2}E_{x}=E_{x}(1-beta ^{2})gamma ¿Qué? Lambda Lambda ¿Qué? ^{0}_{mu Lambda ¿Qué? 2}={Lambda ¿Qué? Lambda ¿Qué? Lambda Lambda ^{2}_{2}12}\\\gammatimes 1times E_{y}+(-beta gamma)times 1times B_{z}=gamma E_{y}-beta gamma B_{z}\\gammaleft(mathbf {E} +{boldsymbol {beta}times mathbf {B} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}} {f}} {cfnK} {cHFF}}}}}}f}fnccH00}ccH00cH00}cH00}cH00cH0}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00} Lambda Lambda }F^{munu }={Lambda ^{0}_{mu Lambda ¿Qué? 3}={Lambda ¿Qué? Lambda... Lambda Lambda ¿Qué? times 1times E_{z}-beta gamma times 1times (-B_{y})=gamma E_{z}+beta gamma B_{y}\\gammaleft(mathbf {E} +{boldsymbol {beta }times mathbf Bueno...

Aquí se usa β = (β, 0, 0). Estos resultados se pueden resumir en

E∥ ∥ .=E∥ ∥ B∥ ∥ .=B∥ ∥ E⊥ ⊥ .=γ γ ()E⊥ ⊥ +β β × × B⊥ ⊥ )=γ γ ()E+β β × × B)⊥ ⊥ ,B⊥ ⊥ .=γ γ ()B⊥ ⊥ − − β β × × E⊥ ⊥ )=γ γ ()B− − β β × × E)⊥ ⊥ ,{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E}{parallel '} âTMa âTMa {E} {cHFF}\\fnMitbf {B}{parallel ' {B} _{parallel }\Mathbf {E} _{bot '} limit=gamma left(mathbf) {E} _{bot }+{boldsymbol {beta }times mathbf {B} _{bot }right)=gammaleft(mathbf {E} +boldsymbol {beta }times mathbf {B}derecha)_{b} {bethbethbeth}bethbethbethbethbethbethbethbethbet}bethbethbethbethbethbethbethbethbethbethbethbetabetabetabetabetabetabethbethbetabetabethbetabethbetabetabetabetabetabetabetabeta}betabetabetabetabetabetabetabetabeta {B} _{bot }-{boldsymbol {beta }times mathbf {E} _{bot }right)=gamma left(mathbf {B} -{boldsymbol {beta }times mathbf {E}right)_{bot },end{aligned}}}}}}}}

Fμ μ ... .=▪ ▪ μ μ .μ μ ▪ ▪ .. ... Fμ μ .. ,{displaystyle ¿Qué? Lambda ¿Qué?

Fμ μ ... .()x.)=▪ ▪ μ μ .μ μ ▪ ▪ .. ... Fμ μ .. ()▪ ▪ − − 1x.)=▪ ▪ μ μ .μ μ ▪ ▪ .. ... Fμ μ .. ()x).{displaystyle F^{mu 'nu '}left(x'right)={ Lambda ^{mu Lambda '}_{nu }F^{munu }left(Lambda ^{-1}x'right)={ Lambda ^{mu Lambda ¿Qué?

La contracción de longitud tiene un efecto sobre la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J , y la dilatación del tiempo tiene un efecto sobre la tasa de flujo de carga (corriente), por lo que las distribuciones de carga y corriente deben transformarse de manera relacionada bajo un impulso. Resulta que se transforman exactamente como los cuatro vectores espacio-tiempo y energía-momento,

j.=j− − γ γ *** *** vn+()γ γ − − 1)()j⋅ ⋅ n)n*** *** .=γ γ ()*** *** − − j⋅ ⋅ vnc2),{displaystyle {begin{aligned}mathbf {j} 'completo=mathbf {j} -gammarho vmathbf {n} +left(gamma -1right)(mathbf {j} cdot mathbf {n})mathbf {n}\\rho 'cliente=gamma left(rho -mathbf {j} cdot {frac {vmathbf {n} {fnMicrosoft Sans Serif}

o, en la vista geométrica más simple,

jμ μ .=▪ ▪ μ μ .μ μ jμ μ .{displaystyle j^{mu} "Lambda" - Sí. }

La densidad de carga se transforma como el componente de tiempo de un cuatro vector. Es un escalar rotacional. La densidad de corriente es un 3-vector.

Las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz.

Espinores

La ecuación (T1) se mantiene sin modificaciones para cualquier representación del grupo de Lorentz, incluida la representación de bispinor. En (T2) uno simplemente reemplaza todas las apariciones de Λ por la representación bispinor Π(Λ),

La ecuación anterior podría, por ejemplo, ser la transformación de un estado en el espacio de Fock que describe dos electrones libres.

Transformación de campos generales

Un estado general de múltiples partículas que no interactúan (estado del espacio de Fock) en la teoría cuántica de campos se transforma de acuerdo con la regla

U()▪ ▪ ,a)Ψ Ψ p1σ σ 1n1;p2σ σ 2n2;⋯ ⋯ =e− − iaμ μ [()▪ ▪ p1)μ μ +()▪ ▪ p2)μ μ +⋯ ⋯ ]()▪ ▪ p1)0()▪ ▪ p2)0⋯ ⋯ p10p20⋯ ⋯ ().. σ σ 1.σ σ 2.⋯ ⋯ Dσ σ 1.σ σ 1()j1)[W()▪ ▪ ,p1)]Dσ σ 2.σ σ 2()j2)[W()▪ ▪ ,p2)]⋯ ⋯ )Ψ Ψ ▪ ▪ p1σ σ 1.n1;▪ ▪ p2σ σ 2.n2;⋯ ⋯ ,{displaystyle {begin{aligned} Psi _{p_{1}sigma ## {1}n_{1};p_{2}sigma # {2}n_{2};cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}{0}{0}{0}{0} {2}}}}} {f}{0}{0}{0}{0}{0}{0}}}}}}}}}}}}}}}c}}}c}c}c}c}}c}c}\\cdot\c_cdotcdotc} {cc} {\\\cc\cdot\\ccdotcc}}ccc}ccc}cccdotc]} }{0}cdots - ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? Psi _{Lambda p_{1}sigma Lambda p_{2}sigma _{2}'n_{2};cdots,end{aligned}

()1)

donde W(Λ, p) es la rotación de Wigner y D^(j) es el (2j + 1)-dimensional de SO(3).