Transformación de Legendre

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Transformación matemática

En matemáticas, la transformación de Legendre (o transformación de Legendre), que lleva el nombre de Adrien-Marie Legendre, es una transformación involutiva de funciones convexas de valor real de una variable real.. En problemas físicos, se utiliza para convertir funciones de una cantidad (como velocidad, presión o temperatura) en funciones de la cantidad conjugada (momento, volumen y entropía, respectivamente). De este modo, se utiliza habitualmente en mecánica clásica para derivar el formalismo hamiltoniano a partir del formalismo lagrangiano (o viceversa) y en termodinámica para derivar los potenciales termodinámicos, así como en la solución de ecuaciones diferenciales de varias variables.

Para funciones suficientemente suaves en la línea real, la transformación Legendre $f^{*}$ de una función $f$ se puede especificar, hasta una constante aditiva, por la condición de que los primeros derivados de las funciones son funciones inversas entre sí. Esto se puede expresar en la notación derivada de Euler como

{displaystyle Df(cdot)=left(Df^{*}right)^{-1}(cdot)~,}

D

cdot

{displaystyle (phi)^{-1}(cdot)}

{displaystyle (phi)^{-1}(phi (x))=x}

o equivalente, como ${displaystyle f'(f^{*prime }(x^{*}))=x^{*}}$ y ${displaystyle f^{*prime }(f'(x))=x}$ en la notación de Lagrange.

La generalización de la transformación de Legendre a espacios afines y funciones no convexas se conoce como conjugada convexa (también llamada transformación de Legendre-Fenchel), que se puede utilizar para construir el casco convexo de una función.

Definición

Vamos ${displaystyle Isubset mathbb {R} }$ ser un intervalo, y ${displaystyle f:Ito mathbb {R} }$ una función convexa; luego la Transformación legendaria de $f$ es la función ${displaystyle f^{*}:I^{*}to mathbb {R} }$ definidas por

{displaystyle f^{*}(x^{*})=sup _{xin I}(x^{*}x-f(x)), x^{*}in I^{*}}

sup

I

x

I

{displaystyle x^{*}x-f(x)}

I^{*}

<math alttext="{displaystyle I^{*}=left{x^{*}in mathbb {R}:f^{*}(x^{*})IAlternativa Alternativa ={}xAlternativa Alternativa ▪ ▪ R:fAlternativa Alternativa ()xAlternativa Alternativa ).JUEGO JUEGO }.{displaystyle I^{*}=left{*}in mathbb {R}:f^{*}(x^{*})traducidoinfty right}~}<img alt="{displaystyle I^{*}=left{x^{*}in mathbb {R}:f^{*}(x^{*})

La transformación siempre está bien definida cuando $f(x)$ es convex. Esta definición requiere ${displaystyle x^{*}x-f(x)}$ a ser obligados desde arriba $X$ para que exista el supremum.

La generalización para funciones convexas ${displaystyle f:Xto mathbb {R} }$ on a convex set ${displaystyle Xsubset mathbb {R} ^{n}}$ es directo: ${displaystyle f^{*}:X^{*}to mathbb {R} }$ tiene dominio

<math alttext="{displaystyle X^{*}=left{x^{*}in mathbb {R} ^{n}:sup _{xin X}(langle x^{*},xrangle -f(x))XAlternativa Alternativa ={}xAlternativa Alternativa ▪ ▪ Rn:Supx▪ ▪ X().. xAlternativa Alternativa ,x.. − − f()x)).JUEGO JUEGO }{displaystyle X^{*}=left{*}in mathbb {R} ^{n}:sup _{xin X}(langle x^{*},xrangle -f(x) meantinfty right}<img alt="{displaystyle X^{*}=left{x^{*}in mathbb {R} ^{n}:sup _{xin X}(langle x^{*},xrangle -f(x))

{displaystyle f^{*}(x^{*})=sup _{xin X}(langle x^{*},xrangle -f(x)),quad x^{*}in X^{*}~,}

langle x^{*},xrangle

x^{*}

x

La función $f^{*}$ se llama la función convexa conjugada de $f$ . Por razones históricas (arraigadas en mecánica analítica), la variable conjugada es a menudo denotada $p$ , en lugar de $x^{*}$ . Si la función convexa $f$ se define en toda la línea y es en todas partes diferente, entonces

{displaystyle f^{*}(p)=sup _{xin I}(px-f(x))=left(px-f(x)right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}

y

- interceptación

f

p

La transformación Legendre es una aplicación de la relación de dualidad entre puntos y líneas. La relación funcional especificada por $f$ puede ser representado igualmente así como un conjunto de $(x,y)$ puntos, o como un conjunto de líneas tangentes especificados por sus valores de pendiente e interceptación.

Comprender la transformada de Legendre en términos de derivadas

Para una función convexa diferente $f$ en la línea real con el primer derivado $f'$ y su inverso ${displaystyle (f')^{-1}}$ , la transformación Legendre de $f$ , ${displaystyle f^{*}}$ , puede ser especificado, hasta una constante aditiva, por la condición de que los primeros derivados de las funciones son funciones inversas entre sí, es decir, ${displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}}$ y ${displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}$ .

Para ver esto, primera nota que si $f$ como una función convexa en la línea real es diferente y ${displaystyle {overline {x}}}$ es un punto crítico de la función de ${displaystyle xmapsto pcdot x-f(x)}$ , entonces el supremum se consigue en ${displaystyle {overline {x}}}$ (por convexidad, vea la primera figura en esta página de Wikipedia). Por lo tanto, la transformación Legendre de $f$ es ${displaystyle f^{*}(p)=pcdot {overline {x}}-f({overline {x}})}$ .

Entonces, supongamos que el primer derivado $f'$ es invertible y dejar que el inverso sea ${displaystyle g=(f')^{-1}}$ . Entonces para cada uno $p$ , el punto ${displaystyle g(p)}$ es el punto crítico único ${displaystyle {overline {x}}}$ de la función ${displaystyle xmapsto px-f(x)}$ (es decir, ${displaystyle {overline {x}}=g(p)}$ Porque... ${displaystyle f'(g(p))=p}$ y el primer derivado de la función con respecto a $x$ a ${displaystyle g(p)}$ es ${displaystyle p-f'(g(p))=0}$ . Por lo tanto tenemos ${displaystyle f^{*}(p)=pcdot g(p)-f(g(p))}$ para cada uno $p$ . Al diferenciar con respecto a $p$ , encontramos

{displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+pcdot g'(p)-f'(g(p))cdot g'(p).}

{displaystyle f'(g(p))=p}

{displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)}

${displaystyle (f^{*})'}$ y $f'$ son inversos entre sí

En general, si ${displaystyle h'=(f')^{-1}}$ como el inverso de $f'$ , entonces ${displaystyle h'=(f^{*})'}$ así que la integración ${displaystyle f^{*}=h+c}$ . con una constante $c$ .

En términos prácticos, dados $f(x)$ , la trama paramétrica de ${displaystyle xf'(x)-f(x)}$ versus $f'(x)$ sumas al gráfico ${displaystyle f^{*}(p)}$ versus $p$ .

En algunos casos (por ejemplo, potenciales termodinámicos, a continuación), se utiliza un requisito no estándar, lo que equivale a una definición alternativa de $f *$ con un signo menos,

{displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}

Propiedades

La transformación Legendre de una función convexa, de la cual los valores derivados dobles son positivos, es también una función convexa de la cual los valores derivados dobles son todos positivos.
Mostremos esto con una función doblemente diferenciable $f(x)$ con todos los valores derivados dobles positivos y con un derivado bijetivo (invertible).
Para un fijo $p$ , vamos ${bar {x}}$ maximizar la función ${displaystyle px-f(x)}$ sobre $x$ . Luego la transformación Legendre de $f$ es ${displaystyle f^{*}(p)=p{bar {x}}-f({bar {x}})}$ , por lo tanto, ${displaystyle f'({bar {x}})=p}$ por la máxima condición ${displaystyle {frac {d}{dx}}(px-f(x))=p-f'(x)=0}$ . Note que ${bar {x}}$ depende de $p$ . (Esto se puede mostrar visualmente en la primera figura de esta página anterior.)
Así ${displaystyle {bar {x}}=g(p)}$ Donde ${displaystyle gequiv (f')^{-1}}$ , significa que $g$ es el inverso de $f'$ que es el derivado de $f$ (so $f'(g(p))=p$ ).
Note que $g$ es también diferenciable con el siguiente derivado (regla de función inversa), ${displaystyle {frac {dg(p)}{dp}}={frac {1}{f''(g(p))}}~.}$ Así, la transformación Legendre ${displaystyle f^{*}(p)=pg(p)-f(g(p))}$ es la composición de funciones diferenciables, por lo tanto es diferente.
Aplicar la regla del producto y la regla de la cadena con la igualdad encontrada ${displaystyle {bar {x}}=g(p)}$ rendimientos ${displaystyle {frac {d(f^{*})}{dp}}=g(p)+left(p-f'(g(p))right)cdot {frac {dg(p)}{dp}}=g(p),}$ dar $0,}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d2()fAlternativa Alternativa )dp2=dg()p)dp=1f.()g()p))■0,{displaystyle {frac {d^{2} {f}}{dp}}={frac {dg {dg}{dp}}={frac {1}{f'''(g(p)}}}}} {0}}}} {f}}} {f}}}}} {f} {f} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87d9784266fd5b97736437451a127264b202d70" style="vertical-align: -2.671ex; width:33.742ex; height:6.676ex;"/>$ Así que... $f^{*}$ es convex con sus dobles derivados son todos positivos.
Sigue que la transformación Legendre es una involución, es decir, ${displaystyle f^{**}=f~}$ :
Utilizando las identidades anteriores como ${displaystyle f'({bar {x}})=p}$ , ${displaystyle {bar {x}}=g(p)}$ , ${displaystyle f^{*}(p)=p{bar {x}}-f({bar {x}})}$ y su derivados ${displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}$ , ${displaystyle {begin{aligned}f^{**}(y)&{}=left(ycdot {bar {p}}-f^{*}({bar {p}})right)|_{(f^{*})'({bar {p}})=y}\[5pt]&{}=g({bar {p}})cdot {bar {p}}-f^{*}({bar {p}})\[5pt]&{}=g({bar {p}})cdot {bar {p}}-({bar {p}}g({bar {p}})-f(g({bar {p}})))\[5pt]&{}=f(g({bar {p}}))\[5pt]&{}=f(y)~.end{aligned}}}$ Tenga en cuenta que esta derivación no requiere que la condición tenga todos los valores positivos en doble derivado de la función original $f$ .

Identidades

Como se muestra anteriormente, para una función convexa $f(x)$ , con ${displaystyle x={bar {x}}}$ maximización ${displaystyle px-f(x)}$ a cada uno $p$ para definir la transformación Legendre ${displaystyle f^{*}(p)=p{bar {x}}-f({bar {x}})}$ y con ${displaystyle gequiv (f')^{-1}}$ , las siguientes identidades sostienen.

${displaystyle f'({bar {x}})=p}$ ,
${displaystyle {bar {x}}=g(p)}$ ,
${displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}$ .

Ejemplos

Ejemplo 1

${displaystyle f(x)=e^{x}}$ sobre el dominio ${displaystyle I=mathbb {R} }$ está trazado en rojo y su Transformación legendaria ${displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}(ln(x^{*})-1)}$ sobre el dominio ${displaystyle I^{*}=(0,infty)}$ en azul destrozado. Tenga en cuenta que la transformación Legendre aparece convex.

Considere la función exponencial ${displaystyle f(x)=e^{x},}$ que tiene el dominio ${displaystyle I=mathbb {R} }$ . De la definición, la transformación Legendre es

{displaystyle f^{*}(x^{*})=sup _{xin mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),quad x^{*}in I^{*}}

I^{*}

{displaystyle x^{*}x-e^{x}}

x

{displaystyle {frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.}

{displaystyle -e^{x}}

{displaystyle x=ln(x^{*})}

{displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}ln(x^{*})-e^{ln(x^{*})}=x^{*}(ln(x^{*})-1)}

{displaystyle I^{*}=(0,infty).}

Para encontrar la transformación Legendre de la transformación Legendre $f$ ,

{displaystyle f^{**}(x)=sup _{x^{*}in mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(ln(x^{*})-1)),quad xin I,}

{displaystyle x}

{displaystyle f^{**}}

{displaystyle f^{**}=f}

{displaystyle {begin{aligned}0&={frac {d}{dx^{*}}}{big (}xx^{*}-x^{*}(ln(x^{*})-1){big)}=x-ln(x^{*})end{aligned}}}

{displaystyle x^{*}=e^{x}}

<math alttext="{displaystyle {frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{frac {1}{x^{*}}}d2dxAlternativa Alternativa 2fAlternativa Alternativa Alternativa Alternativa ()x)=− − 1xAlternativa Alternativa .0[displaystyle {frac {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}} {f} {f}}f}f}f}f} {1}{x^{*}} {0}}}<img alt="{displaystyle {frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{frac {1}{x^{*}}}

{displaystyle f^{**}}

{displaystyle I^{*}=(0,infty).}

{displaystyle f^{**}}

{displaystyle {begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(ln(e^{x})-1)=e^{x},end{aligned}}}

{displaystyle f=f^{**},}

Ejemplo 2

Sea $f (x) = cx 2$ definido en $R$ , donde $c > 0$ es una constante fija.

Para $x *$ fijo, la función de $x$ , $x * x - f (x) = x * x - cx 2$ tiene la primera derivada $x * - 2 cx$ y segunda derivada $-2 c$ ; hay un punto estacionario en $x = x */2 c$ , que siempre es un máximo.

Por lo tanto, $I * = R$ y

{displaystyle f^{*}(x^{*})={frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}

Las primeras derivadas de $f$ , 2 $cx$ , y de $f *$ , $x */(2 c)$ , son funciones inversas entre sí. Claramente, además,

{displaystyle f^{**}(x)={frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}

f ** f

Ejemplo 3

Did you mean:

Let <if(x) = x² for x ∈ (I = [2, 3]).

Para $x *$ fijo, $x * x - f () x)$ continuo $I$ compacto, por lo tanto siempre toma un máximo finito en él; sigue que el dominio de la transformación Legendre de $f$ es $I * R$ .

El punto estacionario $x = x */2$ (fundada por establecer que el primer derivado de $x * x - f () x)$ con respecto a $x$ igual a cero) está en el dominio $[2, 3]$ si $4 \leq x * \leq 6$ . De lo contrario el máximo se toma en $x = 2$ o $x = 3$ porque el segundo derivado de $x * x - f () x)$ con respecto a $x$ es negativo $-2$ ; para una parte del dominio $<math alttext="{displaystyle x^{*}xAlternativa Alternativa .4{displaystyle x^{*}traducido4}<img alt="{displaystyle x^{*}$ el máximo que $x * x - f () x)$ puede tomar con respecto a ${displaystyle xin [2,3]}$ se obtiene en $x = 2$ mientras $6}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">xAlternativa Alternativa ■6{displaystyle x^{*}}}conocidos}6}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a6d1d2efa8e71b139275d09224b555a8d1fef6" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.645ex; height:2.343ex;"/>$ se convierte en el máximo $x = 3$ . Así pues, sigue que

<math alttext="{displaystyle f^{*}(x^{*})={begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}6.end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">fAlternativa Alternativa ()xAlternativa Alternativa )={}2xAlternativa Alternativa − − 4,xAlternativa Alternativa .4xAlternativa Alternativa 24,4≤ ≤ xAlternativa Alternativa ≤ ≤ 6,3xAlternativa Alternativa − − 9,xAlternativa Alternativa ■6.{displaystyle f^{*}(x^{*})={begin{cases}2x^{*}-4, limitx^{*}se hizo4\\{fnMicroc} {{x^{*}}{2}}{4}}}}, tarde4leq x^{*}leq 6,3x^{*}-9, limitadax^{*}}}}}}}}}}} {fnuncio de que se trata de un problema.<img alt="{displaystyle f^{*}(x^{*})={begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}6.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8f30dced31ead0a05b5cab5dae7bd56d035f21" style="vertical-align: -4.338ex; width:34.555ex; height:9.843ex;"/>

Ejemplo 4

La función $f (x) = cx$ es convexa, para cada $x$ (no se requiere una convexidad estricta para que la transformación de Legendre esté bien definida). Claramente $x * x - f (x) = (x * - c) x$ nunca está acotado desde arriba como una función de $x$ , a menos que $x * - c = 0$ . Por lo tanto, $f *$ se define en $I * = {c}$ y $f *(c) = 0$ . (La definición de la transformada de Legendre requiere la existencia del supremo, que requiere límites superiores).

Se puede comprobar la involutividad: por supuesto, $x * x - f *(x *)$ siempre está acotado como una función de $x *\in{c}$ , por lo tanto $I ** = R$ . Entonces, para todo $x$ uno tiene

{displaystyle sup _{x^{*}in {c}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}

f ** x) cx = f () x)

Ejemplo 5: varias variables

Dejar

{displaystyle f(x)=langle x,Axrangle +c}

X = R n

A

Entonces $f$ es convexo y

{displaystyle langle p,xrangle -f(x)=langle p,xrangle -langle x,Axrangle -c,}

p - 2 Ax

-2 A

x = A -1 p /2

Tenemos $X * = R n$ , y

{displaystyle f^{*}(p)={frac {1}{4}}langle p,A^{-1}prangle -c.}

Comportamiento de los diferenciales bajo transformadas de Legendre

Did you mean:

The Legendre transform is linked to integration by parts, p dx = d(px) − x dp.

Sea $f (x, y)$ una función de dos variables independientes $x$ y $y$ , con el diferencial

{displaystyle df={frac {partial f}{partial x}},dx+{frac {partial f}{partial y}},dy=p,dx+v,dy.}

Supongamos que la función $f$ es convexo en $x$ para todos $Sí.$ , para que uno pueda realizar la transformación Legendre en $f$ dentro $x$ , con $p$ la variable conjugada $x$ (para información, hay una relación ${displaystyle {frac {partial f}{partial x}}|_{bar {x}}=p}$ Donde ${bar {x}}$ es un punto en $x$ maximización ${displaystyle px-f(x,y)}$ para dar $p$ y $Sí.$ ). Desde la nueva variable independiente de la transformación con respecto a $f$ es $p$ , las diferencias $dx$ y $dy$ dentro $df$ devolve to $♪$ y $dy$ en el diferencial de la transformación, es decir, construimos otra función con su diferencial expresado en términos de la nueva base $♪$ y $dy$ .

Consideramos así la función $g (p, y) = f - px$ para que

{displaystyle dg=df-p,dx-x,dp=-x,dp+v,dy}

{displaystyle x=-{frac {partial g}{partial p}}}

{displaystyle v={frac {partial g}{partial y}}.}

La función $- g (p, y)$ es la transformada de Legendre de $f (x, y)$ , donde solo la variable independiente $x$ ha sido reemplazado por $p$ . Esto se usa ampliamente en termodinámica, como se ilustra a continuación.

Aplicaciones

Mecánica analítica

En la mecánica clásica se utiliza una transformada de Legendre para derivar la formulación hamiltoniana de la formulación lagrangiana, y viceversa. Un lagrangiano típico tiene la forma

{displaystyle L(v,q)={tfrac {1}{2}}langle v,Mvrangle -V(q),}

(v,q)

R n \times R n

M

{displaystyle langle x,yrangle =sum _{j}x_{j}y_{j}.}

Por todos $q$ fijo, $L(v,q)$ es una función convexa de $v$ , mientras $V(q)$ juega el papel de una constante.

De ahí la transformación Legendre de $L(v,q)$ como función de $v$ es la función Hamiltonian,

{displaystyle H(p,q)={tfrac {1}{2}}langle p,M^{-1}prangle +V(q).}

En un entorno más general, $(v,q)$ son coordenadas locales en el paquete tangente $T{mathcal {M}}$ de un múltiple ${mathcal {M}}$ . Para cada uno $q$ , $L(v,q)$ es una función convexa del espacio tangente $V q$ . La transformación Legendre da el Hamiltonian $H(p,q)$ como función de las coordenadas $() p, q)$ del paquete cotangente $T^{*}{mathcal {M}}$ ; el producto interno utilizado para definir la transformación Legendre se hereda de la estructura simpléctica canónica pertinente. En este escenario abstracto, la transformación Legendre corresponde a la forma tautológica.

Termodinámica

La estrategia detrás del uso de las transformadas de Legendre en termodinámica es pasar de una función que depende de una variable a una nueva función (conjugada) que depende de una nueva variable, la conjugada de la original. La nueva variable es la derivada parcial de la función original con respecto a la variable original. La nueva función es la diferencia entre la función original y el producto de las variables antiguas y nuevas. Normalmente, esta transformación es útil porque cambia la dependencia de, por ejemplo, la energía de una variable extensiva a su variable intensiva conjugada, que a menudo puede controlarse más fácilmente en un experimento físico.

Por ejemplo, la energía interna $U$ es una función explícita de la variables extensas entropía $S$ , volumen $V$ , y composición química $N i$ (por ejemplo, ${displaystyle i=1,2,3,ldots }$ )

{displaystyle U=Uleft(S,V,{N_{i}}right),}

{displaystyle dU=T,dS-P,dV+sum mu _{i},dN_{i}}

Donde ${displaystyle T=left.{frac {partial U}{partial S}}rightvert _{V,N_{i for all i values}},P=left.-{frac {partial U}{partial V}}rightvert _{S,N_{i for all i values}},mu _{i}=left.{frac {partial U}{partial N_{i}}}rightvert _{S,V,N_{j for all jneq i}}}$ .

(Los subscriptos no son necesarios por la definición de derivados parciales, sino que quedan aquí para aclarar variables.) Estipular algún estado de referencia común, utilizando el (no estándar) Transformación legendaria de la energía interna $U$ con respecto al volumen $V$ , el enthalpy $H$ puede obtenerse como el siguiente. Para conseguir la transformación Legendre ${textstyle U^{*}}$ de la energía interna $U$ con respecto al volumen $V$ , la función ${textstyle uleft(p,S,V,{{{N}_{i}}}right)=pV-U}$ se define primero, entonces será maximizado por $V$ . Para hacer esto, la condición ${textstyle {frac {partial u}{partial V}}=p-{frac {partial U}{partial V}}=0to p={frac {partial U}{partial V}}}$ necesita estar satisfecho, así que ${textstyle U^{*}={frac {partial U}{partial V}}V-U}$ se obtiene. La transformación de Legendre no estándar aquí se obtiene negando la versión estándar, así que ${textstyle -U^{*}=H=U-{frac {partial U}{partial V}}V=U+PV}$ .

$H$ es definitivamente una función estatal como se obtiene añadiendo $PV$ () $P$ y $V$ como variables estatales) a una función estatal ${textstyle U=Uleft(S,V,{N_{i}}right)}$ , por lo que su diferencial es una diferencia exacta. Debido a ${textstyle dH=T,dS+V,dP+sum mu _{i},dN_{i}}$ y el hecho de que debe ser una diferencia exacta, ${displaystyle H=H(S,P,{N_{i}})}$ .

La entalpía es adecuada para la descripción de procesos en los que la presión se controla desde el entorno.

También es posible cambiar la dependencia de la energía de la variable extensiva de entropía, $S$ , a la (a menudo más conveniente) variable intensiva $T$ , lo que da como resultado las energías libres de Helmholtz y Gibbs. La energía libre de Helmholtz $A$ y la energía de Gibbs $G$ , se obtienen realizando transformadas de Legendre de la energía interna y la entalpía, respectivamente,

{displaystyle A=U-TS~,}

{displaystyle G=H-TS=U+PV-TS~.}

La energía libre de Helmholtz suele ser el potencial termodinámico más útil cuando la temperatura y el volumen se controlan desde el entorno, mientras que la energía de Gibbs suele ser la más útil cuando la temperatura y la presión se controlan desde el entorno.

Un ejemplo: condensador variable

Como otro ejemplo de la física, considere un condensador de placas paralelas, en el que las placas se pueden mover unas respecto a otras. Un condensador de este tipo permitiría la transferencia de la energía eléctrica almacenada en el condensador en trabajo mecánico externo, realizado por la fuerza que actúa sobre las placas. Se puede pensar que la carga eléctrica es análoga a la "carga" de un gas en un cilindro, con la fuerza mecánica resultante ejercida sobre un pistón.

Calcule la fuerza sobre las placas en función de $x$ , la distancia que las separa. Para encontrar la fuerza, calcule la energía potencial y luego aplique la definición de fuerza como el gradiente de la función de energía potencial.

Did you mean:

The energy stored in a capacitor of capacitance C(x) and charge Q is

{displaystyle U(Q,mathbf {x})={frac {1}{2}}QV={frac {1}{2}}{frac {Q^{2}}{C(mathbf {x})}},~}

donde la dependencia del área de las placas, la constante dieléctrica del material entre las placas y la separación $x$ se abstraen como la capacitancia $C (x)$ . (Para un capacitor de placas paralelas, esto es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la separación).

Did you mean:

The force between the plates due to the electric field is then

{displaystyle mathbf {F} (mathbf {x})=-{frac {dU}{dmathbf {x} }}~.}

Si el condensador no está conectado a ningún circuito, entonces las cargas en las placas permanecen constantes a medida que se mueven, y la fuerza es el gradiente negativo de la energía electrostática.

{displaystyle mathbf {F} (mathbf {x})={frac {1}{2}}{frac {dC}{dmathbf {x} }}{frac {Q^{2}}{C^{2}}}.}

Sin embargo, supongamos, en cambio, que el voltaje entre las placas $V$ se mantiene constante mediante la conexión a una batería., que es un depósito de carga a diferencia de potencial constante; ahora la carga es variable en lugar del voltaje, su conjugado de Legendre. Para encontrar la fuerza, primero calcule la transformada de Legendre no estándar,

{displaystyle U^{*}=U-left.{frac {partial U}{partial Q}}right|_{mathbf {x} }cdot Q=U-{frac {1}{2C(mathbf {x})}}left.{frac {partial Q^{2}}{partial Q}}right|_{mathbf {x} }cdot Q=U-QV={frac {1}{2}}QV-QV=-{frac {1}{2}}QV=-{frac {1}{2}}V^{2}C(mathbf {x}).}

La fuerza ahora se convierte en el gradiente negativo de esta transformación de Legendre, que sigue apuntando en la misma dirección.

{displaystyle mathbf {F} (mathbf {x})=-{frac {dU^{*}}{dmathbf {x} }}~.}

Resulta que las dos energías conjugadas están opuestas entre sí, sólo debido a la linealidad de la capacitancia, excepto que ahora $Q$ ya no es una constante. Reflejan las dos vías diferentes de almacenamiento de energía en el condensador, lo que da como resultado, por ejemplo, el mismo "tirón" de energía. entre las placas de un condensador.

Teoría de la probabilidad

En la teoría de las grandes desviaciones, la función de tasa se define como la transformación de Legendre del logaritmo de la función generadora de momento de una variable aleatoria. Una aplicación importante de la función de tasa es el cálculo de probabilidades de cola de sumas de i.i.d. variables aleatorias.

Microeconomía

La transformación legendaria surge naturalmente en la microeconomía en el proceso de encontrar la oferta $S (P)$ de algún producto dado un precio fijo $P$ en el mercado conociendo la función de costo $C (Q)$ , es decir, el costo para el productor de fabricar/extraer/etc. $Q$ unidades del producto determinado.

Una teoría simple explica la forma de la curva de oferta basándose únicamente en la función de costos. Supongamos que el precio de mercado de una unidad de nuestro producto es $P$ . Para una empresa que vende este bien, la mejor estrategia es ajustar la $Q$ de producción para maximizar sus ganancias. Podemos maximizar el beneficio

{displaystyle {text{profit}}={text{revenue}}-{text{costs}}=PQ-C(Q)}

Q

{displaystyle P-C'(Q_{text{opt}})=0.}

$Q opt$ representa la cantidad óptima $Q</i$ de bienes que el productor está dispuesto a ofrecer, que de hecho es la oferta misma:

{displaystyle S(P)=Q_{text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}

Si consideramos el beneficio máximo como función del precio, ${displaystyle {text{profit}}_{text{max}}(P)}$ , vemos que es la transformación Legendre de la función de coste ${displaystyle C(Q)}$ .

Interpretación geométrica

Para una función estrictamente convexa, la transformación de Legendre se puede interpretar como un mapeo entre la gráfica de la función y la familia de tangentes de la gráfica. (Para una función de una variable, las tangentes están bien definidas en todos los puntos, excepto en un número contable, ya que una función convexa es diferenciable en todos los puntos, excepto en un número contable).

La ecuación de una línea con pendiente $p$ y $y$ - interceptación $b$ se da por ( ${displaystyle y=px+b.}$ ) Para que esta línea sea tangente al gráfico de una función $f$ en el punto ${displaystyle left(x_{0},f(x_{0})right)}$ Requisitos

{displaystyle f(x_{0})=px_{0}+b}

{displaystyle p=f'(x_{0}).}

Siendo el derivado de una función estrictamente convexa, la función $f'$ es estrictamente monotona y por lo tanto inyectable. La segunda ecuación se puede resolver para ${displaystyle x_{0}=f^{prime -1}(p),}$ la eliminación $x_{0}$ de la primera, y resolver para $y$ - interceptación $b$ del tangente como función de su pendiente $p,$

{displaystyle b=f(x_{0})-px_{0}=fleft(f^{prime -1}(p)right)-pcdot f^{prime -1}(p)=-f^{star }(p)}

${displaystyle f^{star }}$ $f.$
La familia de líneas tangentes del gráfico $f$ parametizada por la pendiente $p$ por lo tanto,
${displaystyle y=px-f^{star }(p),}$ ${displaystyle F(x,y,p)=y+f^{star }(p)-px=0~.}$
La gráfica de la función original se puede reconstruir a partir de esta familia de líneas como la envolvente de esta familia demandando
${displaystyle {frac {partial F(x,y,p)}{partial p}}=f^{star prime }(p)-x=0.}$
Eliminar $p$ de estas dos ecuaciones da
${displaystyle y=xcdot f^{star prime -1}(x)-f^{star }left(f^{star prime -1}(x)right).}$
Identificación $y$ con $f(x)$ y reconocer el lado derecho de la ecuación anterior como la transformación Legendre ${displaystyle f^{star },}$ rendimientos
${displaystyle f(x)=f^{star star }(x)~.}$
Transformación legendaria en más de una dimensión
Para una función diferenciable de valor real en un subconjunto convexo abierto $U$ de $R n$ el conjugado de Legendre del par $(U, f)$ se define como el par $(V, g)$ , donde $V$ es la imagen de $U$ bajo el mapeo de gradiente $Df$ y $g$ es la función en $V$ dada por la fórmula
${displaystyle g(y)=leftlangle y,xrightrangle -f(x),qquad x=left(Dfright)^{-1}(y)}$ ${displaystyle leftlangle u,vrightrangle =sum _{k=1}^{n}u_{k}cdot v_{k}}$
es el producto escalar en $R n$ . La transformada multidimensional puede interpretarse como una codificación de la carcasa convexa del epígrafe de la función en términos de sus hiperplanos de soporte.
Alternativamente, si $X$ es un espacio vectorial y $Y es su espacio vectorial dual, entonces para cada punto x de X y y de Y, existe una identificación natural de los espacios cotangentes T* X x con Y y T* Y y con X . Si f es una función real diferenciable sobre X, entonces su derivada exterior, df, es una sección del paquete cotangente T* X y como tal, podemos construir un mapa desde X hasta Y . De manera similar, si g es una función real diferenciable sobre Y, luego dg define un mapa desde Y hasta X . Si ambos mapas son inversos entre sí, decimos que tenemos una transformada de Legendre. La noción de forma única tautológica se utiliza comúnmente en este contexto.$
Cuando la función no es diferenciable, la transformada de Legendre aún se puede extender y se conoce como transformación de Legendre-Fenchel. En este escenario más general, se pierden algunas propiedades: por ejemplo, la transformada de Legendre ya no es su propia inversa (a menos que haya suposiciones adicionales, como la convexidad).
Transformación legendaria en variedades
Vamos ${textstyle M}$ ser un andamio suave, $E$ y ${textstyle pi:Eto M}$ ser un paquete vectorial en $M$ y su proyección del paquete asociado, respectivamente. Vamos ${textstyle L:Eto mathbb {R} }$ ser una función suave. Pensamos en ${textstyle L}$ como Lagrangiano por analogía con el caso clásico donde ${textstyle M=mathbb {R} }$ , ${textstyle E=TM=mathbb {R} times mathbb {R} }$ y ${textstyle L(x,v)={frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)}$ para un número positivo ${textstyle min mathbb {R} }$ y función ${textstyle V:Mto mathbb {R} }$ .
Como siempre, el doble de ${textstyle E}$ denota ${textstyle E^{*}}$ . La fibra de ${textstyle pi }$ sobre ${textstyle xin M}$ es denotado ${textstyle E_{x}}$ , y la restricción de ${textstyle L}$ a ${textstyle E_{x}}$ es denotado por ${textstyle L|_{E_{x}}:E_{x}to mathbb {R} }$ . El Transformación legendaria de ${textstyle L}$ es el morfismo suave
${displaystyle mathbf {F} L:Eto E^{*}}$ ${textstyle mathbf {F} L(v)=d(L|_{E_{x}})(v)in E_{x}^{*}}$ ${textstyle x=pi (v)}$ ${textstyle mathbf {F} L(v)in E_{x}^{*}}$ ${textstyle win E_{x}}$ ${textstyle left.{frac {d}{dt}}right|_{t=0}L(v+tw)in mathbb {R} }$
Para describir la transformación Legendre localmente, dejemos ${textstyle Usubseteq M}$ ser un gráfico de coordenadas sobre el cual ${textstyle E}$ es trivial. Escoger una trivialización de ${textstyle E}$ sobre ${textstyle U}$ , obtenemos gráficos ${textstyle E_{U}cong Utimes mathbb {R} ^{r}}$ y ${textstyle E_{U}^{*}cong Utimes mathbb {R} ^{r}}$ . En términos de estos gráficos, tenemos ${textstyle mathbf {F} L(x;v_{1},dotscv_{r})=(x;p_{1},dotscp_{r})}$ , donde
${displaystyle p_{i}={frac {partial L}{partial v_{i}}}(x;v_{1},dotscv_{r})}$ ${textstyle i=1,dotsr}$
Si, como en el caso clásico, la restricción ${textstyle L:Eto mathbb {R} }$ a cada fibra ${textstyle E_{x}}$ es estrictamente convexo y atado abajo por una forma cuadrática definida positiva menos una constante, luego la transformación Legendre ${textstyle mathbf {F} L:Eto E^{*}}$ es un diffeomorfismo. Supongamos que ${textstyle mathbf {F} L}$ es un diffeomorfismo y deja ${textstyle H:E^{*}to mathbb {R} }$ ser la función “Hamiltonian” definida por
${displaystyle H(p)=pcdot v-L(v),}$ ${textstyle v=(mathbf {F} L)^{-1}(p)}$ ${textstyle Econg E^{**}}$ ${textstyle H}$ ${textstyle mathbf {F} H:E^{*}to E}$ ${displaystyle (mathbf {F} L)^{-1}=mathbf {F} H.}$
Otras propiedades
Propiedades de escala
La transformación de Legendre tiene las siguientes propiedades de escala: Para $a > 0$ ,
${displaystyle f(x)=acdot g(x)Rightarrow f^{star }(p)=acdot g^{star }left({frac {p}{a}}right)}$ ${displaystyle f(x)=g(acdot x)Rightarrow f^{star }(p)=g^{star }left({frac {p}{a}}right).}$
Se deduce que si una función es homogénea de grado r entonces su imagen bajo la transformación de Legendre es una función homogénea de grado $s$ , donde $1/ r + 1/ s = 1$ . (Ya que $f (x) = x r / r$ , con $r > 1$ , implica $f *(p) = p s / s$ .) Por lo tanto, el único monomio cuyo El grado es invariante bajo la transformada de Legendre es la cuadrática.
Comportamiento bajo traducción
${displaystyle f(x)=g(x)+bRightarrow f^{star }(p)=g^{star }(p)-b}$ ${displaystyle f(x)=g(x+y)Rightarrow f^{star }(p)=g^{star }(p)-pcdot y}$
Comportamiento bajo inversión
${displaystyle f(x)=g^{-1}(x)Rightarrow f^{star }(p)=-pcdot g^{star }left({frac {1}{p}}right)}$
Comportamiento bajo transformaciones lineales
Sea $A : R n \to R m$ sea una transformación lineal. Para cualquier función convexa $f$ en $R n$ , uno tiene
${displaystyle (Af)^{star }=f^{star }A^{star }}$ $A *$ $A$ ${displaystyle leftlangle Ax,y^{star }rightrangle =leftlangle x,A^{star }y^{star }rightrangle}$ $Af$ empujar hacia adelante $f$ $A$ ${displaystyle (Af)(y)=inf{f(x):xin X,Ax=y}.}$
Una función convexa cerrada $f$ es simétrica con respecto a un conjunto dado $G$ de transformaciones lineales ortogonales,
${displaystyle f(Ax)=f(x),;forall x,;forall Ain G}$ $f *$ $G$
Convolución íntima
La convolución íntima de dos funciones $f$ y $g$ se define como
${displaystyle left(fstar _{inf }gright)(x)=inf left{f(x-y)+g(y),|,yin mathbf {R} ^{n}right}.}$
Did you mean:

Let <if₁,..., f_m be proper convex functions on Rⁿ. Then

{displaystyle left(f_{1}star _{inf }cdots star _{inf }f_{m}right)^{star }=f_{1}^{star }+cdots +f_{m}^{star }.}

Did you mean:

Fenchel 's inequality

Para cualquier función $f$ y su conjugado convexo $f *$ La desigualdad de Fenchel (también conocida como desigualdad de Fenchel-Young) se cumple para cada $x \in X$ y $p \in X *$ , es decir, pares independientes $x, p$ ,

{displaystyle leftlangle p,xrightrangle leq f(x)+f^{star }(p).}

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