Tramo lineal

El plano cruzado es el lazo lineal u y v dentro R³.

En matemáticas, el tramo lineal (también llamado casco lineal o simplemente tramo) de un conjunto S de vectores (desde un espacio vectorial), indicado como span(S), se define como el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores en S. Por ejemplo, dos vectores linealmente independientes abarcan un plano. Se puede caracterizar como la intersección de todos los subespacios lineales que contienen S, o como el subespacio más pequeño que contiene S. El tramo lineal de un conjunto de vectores es, por lo tanto, un espacio vectorial en sí mismo. Los tramos se pueden generalizar a matroides y módulos.

Para expresar que un espacio vectorial V es un tramo lineal de un subconjunto S, comúnmente se usan las siguientes frases, ya sea: S spans < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">V, S es una conjunto de expansión de V, V es generado por S, o S es un generador o conjunto de generadores de V.

Definición

Dado un espacio vectorial V sobre un campo K, el lapso de un conjunto S de vectores (no necesariamente infinito) se define como el intersección W de todos los subespacios de V< /span> que contienen S. W se conoce como el subespacio compartido por S, o por los vectores en S. Por el contrario, S se llama un conjunto de expansión de W, y decimos que S spans W.

Alternativamente, el lapso de S puede definirse como el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos (vectores) de < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S, que se deriva de la definición anterior.

$${displaystyle operatorname {span} (S)=left{left.sum ##{i=1} {k}lambda ¿Qué? ¿Por qué? {N}mathbf {v} _{i}in S,lambda _{i}in K}right}$$

En el caso de infinitas S, infinitas combinaciones lineales (es decir, donde una combinación puede implicar una suma infinita, asumiendo que tal las sumas se definen de alguna manera como en, digamos, un espacio de Banach) están excluidas por la definición; una generalización que permite estos no es equivalente.

Ejemplos

El espacio vectorial real ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$ tiene {(—1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como un conjunto de lazo. Este conjunto de azotes en particular es también una base. Si (−1, 0, 0) fueran reemplazados por (1, 0, 0), también formaría la base canónica de ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$.

Otro conjunto generador para el mismo espacio está dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1⁄2, 3), (1, 1, 1)}, pero este conjunto no es una base, porque es linealmente dependiente.

El set {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} no es un conjunto de azotes ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$, ya que su extensión es el espacio de todos los vectores en ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$ cuyo último componente es cero. Ese espacio también se extiende por el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, como (1, 1, 0) es una combinación lineal de (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Por lo tanto, el espacio abarcado no ${displaystyle mathbb {R} ^{3}$ Puede identificarse con ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ eliminando los terceros componentes iguales a cero.

El conjunto vacío es un conjunto de azotes {(0, 0, 0)}, ya que el conjunto vacío es un subconjunto de todos los espacios vectoriales posibles en ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$, y {(0, 0, 0)} es la intersección de todos estos espacios vectoriales.

El conjunto de monomios xⁿ, donde n es un número entero no negativo, abarca el espacio de los polinomios.

Teoremas

Equivalencia de definiciones

El conjunto de todas las combinaciones lineales de un subconjunto S de V, un espacio vectorial sobre K, es el subespacio lineal más pequeño de V que contiene S.

Prueba. Primero demostramos que lapso S es un subespacio V. Desde S es un subconjunto de V, sólo necesitamos probar la existencia de un vector cero 0 dentro lapso S, eso lapso S está cerrado bajo adición, y eso lapso S se cierra bajo la multiplicación del escalar. Letting ${displaystyle S={mathbf {v} _{1},mathbf {v} _{2},ldotsmathbf {v} _{n}}}$, es trivial que el vector cero de V existe en lapso S, desde ${displaystyle mathbf {0} =0mathbf {v} _{1}+0mathbf {v} ¿Qué?$. Añadiendo dos combinaciones lineales de S también produce una combinación lineal de S: ${displaystyle (lambda _{1}mathbf {v} _{1}+cdots +lambda _{n}mathbf {v})+(mu _{1}mathbf {v} _{1}+cdots +mu _{n}mathbf {v}=(lambda _{1}+mu _{1})mathbf {v} _{1}+cdots +(lambda _{n}+mu _{n})mathbf {v} ¿Qué?$, donde todo ${displaystyle lambda _{i},mu _{i}in K}$, y multiplicar una combinación lineal de S por un escalar ${displaystyle cin K}$ producirá otra combinación lineal de S: ${displaystyle c(lambda)mathbf {v} ¿Qué? Lambda. ♪♪ {v} _{1}+cdots +clambda _{n}mathbf {v} ¿Qué?$. Así lapso S es un subespacio V.

Supongamos que W es un subespacio lineal V que contiene S. De ello se desprende que ${displaystyle Ssubseteq operatorname {span} S}$, desde todos v_i es una combinación lineal de S (trivialmente). Desde W se cierra bajo adición y multiplicación escalar, entonces cada combinación lineal ${displaystyle lambda _{1}mathbf {v} ¿Qué?$ debe estar contenido en W. Así, lapso S está contenido en cada subespacio de V que contiene S, y la intersección de todos estos subespaciales, o el más pequeño de tales subespaciales, es igual al conjunto de todas las combinaciones lineales de S.

El tamaño del conjunto generador es al menos el tamaño del conjunto linealmente independiente

Todo conjunto generador S de un espacio vectorial V debe contener al menos tantos elementos como cualquier conjunto de vectores linealmente independiente de V.

Prueba. Vamos ${displaystyle S={mathbf {v} _{1},ldotsmathbf {v} ¿Qué?$ ser un juego de azotes y ${displaystyle ¿Qué? ¿Qué?$ ser un conjunto linealmente independiente de vectores de V. Queremos demostrarlo. ${displaystyle mgeq n}$.

Desde S abarcaciones V, entonces ${displaystyle Scup {mathbf {w} ¿Qué?$ debe también abarcar V, y ${displaystyle mathbf {w} ¿Qué?$ debe ser una combinación lineal de S. Así ${displaystyle Scup {mathbf {w} ¿Qué?$ es dependiente linealmente, y podemos eliminar un vector de S que es una combinación lineal de los otros elementos. Este vector no puede ser cualquiera w_i, desde W es linealmente independiente. El conjunto resultante es ${fnMicrosoft Sans Serif} _{i-1},mathbf {v} _{i+1},ldotsmathbf {v} ¿Qué?$, que es un conjunto de azotes V. Repito este paso n tiempos, donde el resultado se estableció después de pth step is the union of ${displaystyle {mathbf {w} ¿Qué? ¿Qué?$ y m - p vectores de S.

Se garantiza hasta que el nel paso que siempre habrá v_i para eliminar S para cada unión de v, y por lo tanto hay al menos tantos v_iEs como w_iEs... ${displaystyle mgeq n}$. Para verificar esto, asumimos por contradicción que ${displaystyle m won}$. Entonces, en el mt paso, tenemos el set ${displaystyle {mathbf {w} ¿Qué? ¿Qué?$ y podemos unirnos a otro vector ${displaystyle mathbf {w} ¿Qué?$. Pero, desde ${displaystyle {mathbf {w} ¿Qué? ¿Qué?$ es un juego de azotes V, ${displaystyle mathbf {w} ¿Qué?$ es una combinación lineal de ${displaystyle {mathbf {w} ¿Qué? ¿Qué?$. Esto es una contradicción, ya que W es linealmente independiente.

El conjunto de expansión se puede reducir a una base

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Cualquier conjunto de vectores que abarque V se puede reducir a una base para V, descartando vectores si es necesario (es decir, si hay vectores linealmente dependientes en el conjunto). Si se cumple el axioma de elección, esto es cierto sin la suposición de que V tiene una dimensión finita. Esto también indica que una base es un conjunto de expansión mínimo cuando V es de dimensión finita.

Generalizaciones

Generalizando la definición del lapso de puntos en el espacio, un subconjunto X del conjunto básico de un matroide se denomina conjunto de expansión si el rango de X es igual al rango de todo el conjunto básico.

La definición de espacio vectorial también se puede generalizar a módulos. Dado un R-módulo A y una colección de elementos a₁,..., a_n de A, el submódulo de A dividido por a₁,..., a_n es la suma de módulos cíclicos

$${displaystyle Ra_{1}+cdots +Ra_{n}=left{sum ¿Qué? Silencio.$$

Span lineal cerrado (análisis funcional)

En el análisis funcional, un tramo lineal cerrado de un conjunto de vectores es el conjunto cerrado mínimo que contiene el tramo lineal de ese conjunto.

Supongamos que X es un espacio vectorial normal y E ser cualquier subconjunto no vacío X. El lapso lineal cerrado de E, denotado por ${displaystyle {overline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Sp}}(E)}$ o ${displaystyle {overline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Span} {E)}$, es la intersección de todos los subespaciales lineales cerrados de X que contienen E.

Una formulación matemática de esto es

${displaystyle {overline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Sp} }(E)={uin X sometidaforall varepsilon Conf0,exists xin operatorname {Sp} (E):fnxi-ufnMicrosoft Sans Serif}.$

La amplitud lineal cerrada del conjunto de funciones xⁿ en el intervalo [0, 1], donde n es un no entero negativo, depende de la norma utilizada. Si se usa la norma L2, entonces el intervalo lineal cerrado es el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en el intervalo. Pero si se usa la norma máxima, el tramo lineal cerrado será el espacio de funciones continuas en el intervalo. En cualquier caso, el tramo lineal cerrado contiene funciones que no son polinomios y, por lo tanto, no están en el tramo lineal mismo. Sin embargo, la cardinalidad del conjunto de funciones en el tramo lineal cerrado es la cardinalidad del continuo, que es la misma cardinalidad que para el conjunto de polinomios.

Notas

El tramo lineal de un conjunto es denso en el tramo lineal cerrado. Además, como se indica en el lema a continuación, el tramo lineal cerrado es de hecho el cierre del tramo lineal.

Los tramos lineales cerrados son importantes cuando se trata de subespacios lineales cerrados (que en sí mismos son muy importantes, consulte el lema de Riesz).

Un lema útil

Sea X un espacio normado y sea E cualquier subconjunto no vacío de X. Después

(Entonces, la forma habitual de encontrar el tramo lineal cerrado es encontrar primero el tramo lineal y luego el cierre de ese tramo lineal).