Trace (álgebra lineal)

En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A, denominada tr(A), se define como la suma de los elementos en la diagonal principal (desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha) de A. La traza solo se define para una matriz cuadrada (n × n).

Se puede demostrar que la traza de una matriz es la suma de sus valores propios (complejos) (contados con multiplicidades). También se puede probar que tr(AB) = tr(BA) para dos matrices cualesquiera A y B. Esto implica que matrices similares tienen la misma traza. Como consecuencia, se puede definir la traza de un operador lineal que mapea un espacio vectorial de dimensión finita en sí mismo, ya que todas las matrices que describen dicho operador con respecto a una base son similares.

La traza está relacionada con la derivada del determinante (ver la fórmula de Jacobi).

Definición

La traza de una matriz cuadrada n × n A se define como

$${displaystyle operatorname {tr} (mathbf {A})=sum ##{i=1} {n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+dots #$$

Expresiones como tr(exp(A)), donde A< /span> es una matriz cuadrada, ocurre con tanta frecuencia en algunos campos (por ejemplo, la teoría estadística multivariante), que una notación abreviada se ha vuelto común:

$${displaystyle operatorname {tre} (A):=operatorname {tr} (exp(A)). }$$

tre a veces se conoce como la función rastreo exponencial; se utiliza en la desigualdad de Golden-Thompson.

Ejemplo

Sea A una matriz, con

$${fn} {fn} {f}} {fn}} {fn}} {cH}}} {c}}} {c}}}} {c}c}c}cH}cH}cH}cH}cH0} {cH}}}} {cH0}}} {cH}}}}}}}}}}} {cH}}}}}}} {cH}}}}} {c}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {c} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}$$

Entonces

$${displaystyle operatorname {tr} (mathbf {A})=sum ##{i=1}{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1}$$

Propiedades

Propiedades básicas

La traza es un mapeo lineal. Es decir,

$${fnMitbf} {fnMitbf} {fnMitbf} {fnMitbf {f})\fnMitbf {cH0}fnMitbf} {fnMicrosoft} {fnuncio}f}\fnMitH0}fnMicrosoft}$$

Una matriz y su transpuesta tienen la misma traza:

$${displaystyle operatorname {tr} (mathbf {A})=operatorname {tr} left(mathbf {A} ^{mathsf {T}right). }$$

Esto se deriva inmediatamente del hecho de que la transposición de una matriz cuadrada no afecta a los elementos a lo largo de la diagonal principal.

Traza de un producto

La traza de una matriz cuadrada que es el producto de dos matrices reales se puede reescribir como la suma de los productos de entrada de sus elementos, es decir, como la suma de todos los elementos de su producto de Hadamard. Expresado directamente, si A y B son dos m × n matrices reales, entonces:

$${displaystyle operatorname {tr} left(mathbf {A} ^{mathsf {T}mathbf {B}right)=operatorname {tr} left(mathbf {A} mathbf {B} ^{mathsf {T}right)=operatorname {tr} left(mathbf) {B} ^{mathsf {T}mathbf {A}right)=operatorname {tr} left(mathbf {B} mathbf [A] ^{mathsf {T}right)=sum ##{i=1} {m}sum ¿Qué?$$

Si uno ve cualquier matriz real m × n como un vector de longitud mn (una operación llamada vectorización), luego la operación anterior en A y < span class="texhtml">B coincide con el producto escalar estándar. De acuerdo con la expresión anterior, tr(A^⊤A) es una suma de cuadrados y por lo tanto es no negativo, igual a cero si y solo si A es cero. Además, como se indica en la fórmula anterior, tr(A^⊤B) = tr( B^⊤A). Estos demuestran la definición positiva y la simetría requeridas de un producto interno; es común llamar tr(A^⊤B) el producto interno de Frobenius de < abarcan class="texhtml">A y B. Este es un producto interno natural en el espacio vectorial de todas las matrices reales de dimensiones fijas. La norma derivada de este producto interior se denomina norma de Frobenius y satisface una propiedad submultiplicativa, como se puede demostrar con la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$${displaystyle 0leq left[operatorname {tr} (mathbf {A} mathbf {B})right]^{2}leq operatorname {tr} left(mathbffff) {A} ^{2}right)leq left [mathbf {B} ^{2}right)leq left[operatorname {tr} (mathbf {A})right] ^{2}left[operatorname {tr} (mathbf {B})right]}{2}}}}} {}} {}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

El producto interno de Frobenius puede extenderse a un producto interno hermitiano en el espacio vectorial complejo de todas las matrices complejas de un tamaño fijo, reemplazando B por su complejo conjugado.

La simetría del producto interno de Frobenius se puede expresar de manera más directa de la siguiente manera: las matrices en la traza de un producto se pueden cambiar sin cambiar el resultado. Si A y B son m × n y n × m matrices reales o complejas, respectivamente, entonces

Esto es notable tanto por el hecho de que AB no suele ser igual a BA, y también dado que el rastro de cualquiera de los dos no suele ser igual a tr(A)tr(B). La similitud-invariancia de la traza, lo que significa que tr(A) = tr(P⁻¹< b>AP) para cualquier matriz cuadrada A y cualquier matriz invertible P de las mismas dimensiones, es una consecuencia fundamental. Esto es probado por

$${displaystyle operatorname {tr} left(mathbf {P} ^{-1}(mathbf {A} mathbf {P})right)=operatorname {tr} left(mathbf {A} mathbf {P}mathbf {P} ^{-1}right)=operatorname {tr} (mathbf {A}). }$$

Adicionalmente, para vectores de columna real ${displaystyle mathbf {a} in mathbb {R} ^{n}$ y ${displaystyle mathbf {b} in mathbb {R} ^{n}$, el rastro del producto exterior es equivalente al producto interior:

Propiedad cíclica

Más generalmente, la traza es invariante bajo permutaciones cíclicas, es decir,

Esto se conoce como la propiedad cíclica.

No se permiten permutaciones arbitrarias: en general,

$${displaystyle operatorname {tr} (mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C})neq operatorname {tr} (mathbf {A} mathbf {C} mathbf {B}). }$$

Sin embargo, si se consideran productos de tres matrices simétricas, se permite cualquier permutación, ya que:

$${displaystyle operatorname {tr} (mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C})=operatorname {tr} left(mathbf) {A} mathbf {B} mathbf {C} right)} {mathsf {T}right)=operatorname {tr} (mathbf {C} mathbf {B} mathbf {A})=operatorname {tr} (mathbf {A} mathbf {C} mathbf {B}}})}Mathbf {} {}}}}} {}}}}} {B} {}}} {}} {} {} {}}}}}} {} {} {}}Mathbf {}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}Mathbf {} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}Mathbf}}}}}}} {} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}$$

Rastro de un producto Kronecker

La traza del producto de Kronecker de dos matrices es el producto de sus trazas:

$${displaystyle operatorname {tr} (mathbf {A} otimes mathbf {B}=operatorname {tr} (mathbf {A})operatorname {tr} (mathbf {B}). }$$

Caracterización de la traza

Las siguientes tres propiedades:

$${fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {cHFF} {f}}fnMicrosoft} {f}fnMicrosoft} {cH0} {cH0}cH00}cH0}cH00}$$

${displaystyle f}$

${displaystyle f(xy)=f(yx),}$

${displaystyle f}$

${displaystyle operatorname {tr}$

Para ${displaystyle ntimes n}$ matrices, imponiendo la normalización ${displaystyle f {}n}$ # ${displaystyle f}$ igual al rastro.

Traza como la suma de valores propios

Dada cualquier n × n matriz real o compleja A , hay

donde λ₁,..., λ_n son los valores propios de A contados con multiplicidad. Esto es cierto incluso si A es una matriz real y algunos (o todos) de los valores propios son números complejos. Esto puede considerarse como una consecuencia de la existencia de la forma canónica de Jordan, junto con la similitud-invariancia de la traza discutida anteriormente.

Traza del conmutador

Cuando tanto A como B son n × n matrices, la traza del conmutador (teórico del anillo) de A y B desaparecen: tr([A, B]) = 0, porque tr(AB) = tr(BA) y tr es lineal. Se puede afirmar esto como "la traza es un mapa de álgebras de Lie gl_n → k de operadores a escalares", ya que el conmutador de escalares es trivial (es un álgebra de Lie abeliana). En particular, usando la invariancia de similitud, se deduce que la matriz identidad nunca es similar al conmutador de ningún par de matrices.

Por el contrario, cualquier matriz cuadrada con traza cero es una combinación lineal de los conmutadores de pares de matrices. Además, cualquier matriz cuadrada con traza cero es unitariamente equivalente a una matriz cuadrada con una diagonal que consta de todos ceros.

Trazas de tipos especiales de matrices

• El rastro del n × n matriz de identidad es la dimensión del espacio, es decir, n.

$${displaystyle operatorname {tr} left(mathbf {I} _{n}right)=n}$$

Esto conduce a generalizaciones de dimensión utilizando traza.

• El trazo de una matriz hermitiana es real, porque los elementos en la diagonal son reales.
• El trazo de una matriz de permutación es el número de puntos fijos de la permutación correspondiente, porque el término diagonal a_ii 1 si iel punto es fijo y 0 de lo contrario.
• El trazo de una matriz de proyección es la dimensión del espacio objetivo.

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {fnK} {X} {X} left(mathbf {X} ^{mathsf {T}mathbf {X}right)^{-1}mathbf {X} ^{mathsf {T}[3pt]Longrightarrow operatorname {tr} left(mathbf {fnK} {X}right) {rank} (mathbf {X}).$$

La matriz P_X es idempotente.

• Más generalmente, el rastro de cualquier matriz idempotente, es decir, uno con A² = A, iguala su propio rango.
• El rastro de una matriz nilpotente es cero.

Cuando la característica del campo base es cero, el contrario también sostiene: si tr(A^k) = 0 para todos k, entonces A es nilpotente.

Cuando la característica n ■ 0 es positivo, la identidad en n dimensiones es un contraexample, como ${displaystyle operatorname {tr} left(mathbf [I] _{n} {k}right)=operatorname {tr} left(mathbf {I}{n}right)=nequiv 0}$, pero la identidad no es nilpotente.

Relación con los valores propios

Si A es un operador lineal representado por una matriz cuadrada con entradas reales o complejas y si λ₁,..., λ_n son los valores propios de A (enumerados según sus multiplicidades algebraicas), luego

Esto se deriva del hecho de que A siempre es similar a su forma de Jordan, una matriz triangular superior que tiene λ₁,..., λ_n en la diagonal principal. Por el contrario, el determinante de A es el producto de sus valores propios; es decir,

$${displaystyle det(mathbf {A})=prod ¿Qué? _{i}$$

Relaciones derivadas

Si ΔA es una matriz cuadrada con entradas pequeñas y I denota la matriz identidad, entonces tenemos aproximadamente

$${displaystyle det(mathbf {I} +mathbf {Delta A})approx 1+operatorname {tr} (mathbf {Delta A}).}$$

Precisamente esto significa que la traza es la derivada de la función determinante en la matriz identidad. fórmula de jacobi

$${displaystyle ddet(mathbf {A})=operatorname {tr} {big (}operatorname {adj} (mathbf {A})cdot dmathbf {A} {big}}}}}}} {big}}}}}}}$$

es más general y describe el diferencial del determinante en una matriz cuadrada arbitraria, en términos de la traza y el adjunto de la matriz.

A partir de esto (o de la conexión entre la traza y los valores propios), se puede derivar una relación entre la función de traza, la función exponencial matricial y el determinante:

$${displaystyle det(exp(mathbf {A})=exp(operatorname {tr} (mathbf {A})). }$$

Una caracterización relacionada de la traza se aplica a los campos vectoriales lineales. Dada una matriz A, defina un campo vectorial F en < abarcan clase="texhtml">Rⁿ por F(x) = Hacha. Los componentes de este campo vectorial son funciones lineales (dadas por las filas de A). Su divergencia div F es una función constante, cuyo valor es igual a tr(A).

Por el teorema de la divergencia, uno puede interpretar esto en términos de flujos: si F(x) representa el velocidad de un fluido en la ubicación x y U es una región en Rⁿ, el flujo neto del fluido que sale de < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U está dada por tr(A) · vol(U), donde vol(U) es el volumen de U.

La traza es un operador lineal, por lo que conmuta con la derivada:

$${displaystyle doperatorname {tr} (mathbf {X})=operatorname {tr} (dmathbf {X}). }$$

Traza de un operador lineal

En general, dado algún mapa lineal f: V → V (donde V es un espacio vectorial de dimensión finita), podemos definir la traza de este mapa considerando la traza de una representación matricial de f, es decir, elegir una base para V y describiendo f como una matriz relativa a esta base, y tomando la traza de esta matriz cuadrada. El resultado no dependerá de la base elegida, ya que diferentes bases darán lugar a matrices similares, lo que permite la posibilidad de una definición independiente de la base para la traza de un mapa lineal.

Tal definición se puede dar usando el isomorfismo canónico entre el espacio End(V) de mapas lineales en V y V ⊗ V*, donde V* es el espacio dual de V. Sea v en V y que f esté en V*. Entonces la traza del elemento indescomponible v ⊗ f se define como f(v); la traza de un elemento general se define por la linealidad. Usando una base explícita para V y la base dual correspondiente para V*, se puede demostrar que esto da la misma definición de la traza que se dio arriba.

Algoritmos numéricos

Estimador estocástico

El rastro se puede estimar imparcialmente mediante el "truco de Hutchinson":

Dada cualquier matriz ${displaystyle Win mathbb {R} {ntimes n}$, y cualquier azar ${displaystyle uin mathbb {R} {fn}$ con ${displaystyle E[uu^{T}=I}$, tenemos ${displaystyle E[u^{T}Wu]=tr(W)}$. (Proof: expand the expectation directly.)

Por lo general, el vector aleatorio se muestra desde ${displaystyle N(0,I)}$ (distribución normal) o ${displaystyle {pm n^{-1/2} {n}} {fn} {fn} {fn}$ (Distribución Rademacher).

Se han desarrollado estimadores estocásticos de traza más sofisticados.

Aplicaciones

Si una matriz real de 2 x 2 tiene traza cero, su cuadrado es una matriz diagonal.

La traza de una matriz compleja de 2 × 2 se utiliza para clasificar las transformaciones de Möbius. Primero, la matriz se normaliza para hacer que su determinante sea igual a uno. Entonces, si el cuadrado de la traza es 4, la transformación correspondiente es parabólica. Si el cuadrado está en el intervalo [0,4), es elíptico. Finalmente, si el cuadrado es mayor que 4, la transformación es loxodrómica. Ver clasificación de las transformaciones de Möbius.

La traza se usa para definir caracteres de representaciones grupales. Dos representaciones A, B: G → GL(V ) de un grupo G son equivalentes (hasta el cambio de base en V) if tr(A(g)) = tr(B(g)) para todos los g ∈ G< /i>.

La traza también juega un papel central en la distribución de formas cuadráticas.

Álgebra de mentira

El trazo es un mapa de álgebras Lie ${displaystyle operatorname {tr}:{mathfrak {gl}_{n}to K}$ del álgebra de Lie ${displaystyle {Mathfrak {}_{n}}$ of linear operators on an n- espacio dimensional (n × n matrices con entradas ${displaystyle K}$) al álgebra de Lie K de los cuero cabelludos; K es Abelian (el soporte de Lie desaparece), el hecho de que este es un mapa de álgebras Lie es exactamente la declaración de que el trazo de un soporte desaparece:

$${displaystyle operatorname {tr} ([mathbf {A}mathbf {B})=0{text{ for each }}mathbf {A}mathbf {B}in {mathfrak {gl}_{n}}}}$$

El núcleo de este mapa, una matriz cuyo rastro es cero, se dice a menudo ser sin trazas o traza libre, y estas matrices forman el álgebra simple Lie ${fnK} {fn}}$, que es el álgebra de Lie del grupo lineal especial de matrices con determinante 1. El grupo lineal especial consiste en las matrices que no cambian el volumen, mientras que el álgebra lineal especial Lie es las matrices que no alteran el volumen de infinitesimal Sets.

De hecho, hay una descomposición de la suma directa interna ${displaystyle {Mathfrak {fn} {\fn}} {\\fnh00\\fn} {fn}}oplus K}$ de operadores/matrices en operadores/matrices sin trazas y operadores de escalares/matrices. El mapa de proyección sobre los operadores de escalar se puede expresar en términos de la traza, concretamente como:

$${displaystyle mathbf {A} mapsto {frac {1}{n}operatorname {tr} (mathbf {A})mathbf {I}.}$$

Formally, se puede componer el trazo (el mapa de la unidad) con el mapa de la unidad ${displaystyle ¿Qué?$ para obtener un mapa ${displaystyle {Mathfrak {}_{n}to} {fnK} {fn}}}$ cartografía sobre los escalares, y multiplicación n. Dividiendo por n hace de esto una proyección, dando la fórmula anterior.

En términos de sucesiones exactas cortas, uno tiene

$${displaystyle 0to {cH00}_{n}to} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {n}n} {fn}} {\fn}}}} {fn} {fn} {\n}}n}}n}n}n}\n}n}\\\n}n}\n}\\n}\n}n}n}n}\\n}\\\\\\\n}n}n}n}\\\\\\\\\n}n}n}n}n}n}n}\\\\\\n}n}\\\\n}\n}n}\\\\\\\\n}\\$$

$${displaystyle 1to operatorname {SL} _{n}to operatorname {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}}}} {fn}}} {n}}}}}} {n}}}}} {\\n}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\n}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\n}}}}\\\\\\\\\\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. 1}$$

${displaystyle K^{*}=Ksetminus {0}$${displaystyle 1/n}$${displaystyle {Mathfrak {fn} {\fn}} {\\fnh00\\fn} {fn}}oplus K}$n

$${displaystyle operatorname {GL} _{n}neq operatorname {SL} _{n}times K^{*}$$

Formas bilineales

La forma bilineal (donde X, Y son matrices cuadradas)

$$[Mathbf {X})mathbf {f})mathbf {f}mathbf {f}mathbf {f})f}f}f} {f} {f}f}f}mf}f}f}f}cH0f} {Y}=mathbf {X} mathbf {Y}mathbf {Y} mathbf {X}$$

La traza define una forma bilineal:

$${displaystyle (mathbf {X}mathbf {Y})mapsto operatorname {tr} (mathbf {X} mathbf {Y}). }$$

La forma es simétrica, no degenerada y asociativa en el sentido de que:

$${displaystyle operatorname {tr} (mathbf {X} [mathbf {Y}mathbf {Z})=operatorname {tr} ([mathbf {X}mathbf {Y} ]mathbf {Z}). }$$

Para un álgebra simple complejo Lie (como ${\displaystyle {\\fnK}}$_n), cada forma bilineal es proporcional entre sí; en particular, a la forma de matar.

Dos matrices X y Y se dice que son traza ortogonal si

$${displaystyle operatorname {tr} (mathbf {X} mathbf {Y})=0.}$$

Hay una generalización a una representación general ${displaystyle (rho{mathfrak {g},V)}$ de un álgebra de Lie ${displaystyle {Mathfrak {}}$, tal que ${displaystyle rho }$ es un homomorfismo de álgebras Lie ${displaystyle rho:{mathfrak {g}rightarrow {text{End}(V).}$ El formulario de traza ${displaystyle {text{tr}_{V}}$ on ${displaystyle {text{End}(V)}$ se define como arriba. La forma bilineal

$${displaystyle phi (mathbf {X}mathbf {Y})={text{tr}_{V}(rho (mathbf {X})rho (mathbf {Y})})}$$

Generalizaciones

El concepto de traza de una matriz se generaliza a la clase de traza de operadores compactos en espacios de Hilbert, y el análogo de la norma de Frobenius se denomina norma de Hilbert-Schmidt.

Si K es un operador de clase traza, entonces para cualquier base ortonormal ${displaystyle (e_{n})_{n}$, el rastro es dado por

$${displaystyle operatorname {tr} (K)=sum _{n}leftlangle E_{n},Ke_{n}rightrangle}$$

La traza parcial es otra generalización de la traza que tiene valor de operador. El rastro de un operador lineal Z que vive en un espacio de producto A ⊗ B es igual a las trazas parciales sobre A y B:

$${displaystyle operatorname {tr} (Z)=operatorname {tr} _{A}left(operatorname {tr} _{B}(Z)right)=operatorname {tr} _{B}left(operatorname {tr} _{A}(Z)right). }$$

Para obtener más propiedades y una generalización de la traza parcial, consulte categorías monoidales trazadas.

Si A es un álgebra asociativa general sobre un campo k, entonces un rastro en A a menudo se define como cualquier mapa tr: A ↦ k que desaparece en los conmutadores: tr([a,b]) para todos a, b ∈ A. Tal rastro no está definido de manera única; siempre puede, al menos, modificarse mediante la multiplicación por un escalar distinto de cero.

Una supertraza es la generalización de una traza al entorno de las superálgebras.

La operación de contracción de tensores generaliza la traza a tensores arbitrarios.

Huellas en el lenguaje de productos tensorial

Dado un espacio vectorial V, existe un mapa bilineal natural V × V^∗ → F dado al enviar (v , φ) al escalar φ(v). La propiedad universal del producto tensorial V ⊗ V^∗ implica automáticamente que este mapa bilineal es inducida por un funcional lineal en V ⊗ V^∗.

Del mismo modo, hay un mapa bilineal natural V × V^∗ → Hom( V, V) dado al enviar (v, φ) al mapa lineal w ↦ φ(w)v. La propiedad universal del producto tensorial, tal como se usó anteriormente, dice que este mapa bilineal es inducido por un mapa lineal V ⊗ V< sup>∗ → Hom(V, V). Si V es de dimensión finita, entonces este mapa lineal es un isomorfismo lineal. Este hecho fundamental es una consecuencia directa de la existencia de una base (finita) de V, y también puede expresarse diciendo que cualquier mapa lineal V → V se puede escribir como la suma de (finitamente muchos) mapas lineales de rango uno. Componer el inverso del isomorfismo con el funcional lineal obtenido anteriormente da como resultado un funcional lineal en Hom(V, V). Este funcional lineal es exactamente igual que la traza.

Utilizando la definición de traza como la suma de los elementos diagonales, la fórmula matricial tr(AB) = tr(BA)< /span> es sencillo de probar, y se proporcionó anteriormente. En la perspectiva actual, se están considerando mapas lineales S y T, y verlos como sumas de mapas de rango uno, de modo que hay funcionales lineales φ_i y ψ_j y distinto de cero vectores v_i y w< /i>_j tal que S(u) = Σφ_i(u)v_i y T(u) = Σψ_j( u)w_j para cualquier u en V. Después

${displaystyle (Scirc T)(u)=sum _{i}varphi _{i}left(sum _{j}(u)w_{j}right)v_{i}=sum _{i}sum _{j}psi _{j}(u)varphi ¿Qué?$

para cualquier u en V . El mapa lineal de rango uno u ↦ ψ_j( u)φ_i(w_{j< /sub>)vi} tiene rastro ψ< sub>j(v_i)φ _i(w_j) y así

${displaystyle operatorname {tr} (Scirc T)=sum _{i}sum _{j}psi _{j}(v_{i})varphi _{i}(w_{j})=sum _{j}sum _{i}varphi ¿Qué?$

Siguiendo el mismo procedimiento con S y T al revés, se encuentra exactamente la misma fórmula, demostrando que tr(S ∘ T) es igual a tr(T ∘ S).

La demostración anterior puede considerarse basada en productos tensoriales, dado que la identidad fundamental de End(V) con V ⊗ V^∗ es equivalente a la expresibilidad de cualquier mapa lineal como la suma de rango uno lineal mapas Como tal, la prueba puede escribirse en notación de productos tensoriales. Entonces uno puede considerar el mapa multilineal V × V^∗ × V × V^∗ → V ⊗ V^∗ dado al enviar < abarcan clase="texhtml">(v, φ, w, ψ) a < abarcan clase="texhtml">φ(w)v ⊗ ψ. La composición adicional con el mapa de seguimiento da como resultado φ(w)ψ(v), y esto no cambia si uno hubiera comenzado con (w, ψ, v , φ) en su lugar. También se puede considerar el mapa bilineal End(V) × End(V) → End(V) dado al enviar (f, g) a la composición < i>f ∘ g, que luego es inducida por un mapa lineal End(V) ⊗ End (V) → Fin(V). Se puede ver que esto coincide con el mapa lineal V ⊗ V^∗ ⊗ V< /i> ⊗ V^∗ → V ⊗ V^∗. La simetría establecida sobre la composición con el mapa de trazas establece entonces la igualdad de las dos trazas.

Para cualquier espacio vectorial de dimensión finita V, existe un mapa lineal natural F → V ⊗ V'; en el lenguaje de los mapas lineales, asigna a un escalar c el mapa lineal c⋅id_V. A veces esto se llama mapa de coevaluación, y el estilo de seguimiento V ⊗ V' → F se llama mapa de evaluación. Estas estructuras se pueden axiomatizar para definir rastros categóricos en el marco abstracto de la teoría de categorías.