Trabajo virtual (mecánica)

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En mecánica, el trabajo virtual surge de la aplicación del principio de mínima acción al estudio de las fuerzas y el movimiento de un sistema mecánico. El trabajo de una fuerza que actúa sobre una partícula mientras se mueve a lo largo de un desplazamiento es diferente para diferentes desplazamientos. Entre todos los posibles desplazamientos que puede seguir una partícula, llamados desplazamientos virtuales, uno minimizará la acción. Este desplazamiento es, por tanto, el desplazamiento seguido por la partícula según el principio de mínima acción. El trabajo de una fuerza sobre una partícula a lo largo de un desplazamiento virtual se conoce como trabajo virtual.

Históricamente, el trabajo virtual y el cálculo de variaciones asociado se formularon para analizar sistemas de cuerpos rígidos, pero también se han desarrollado para el estudio de la mecánica de cuerpos deformables.

Historia

El principio del trabajo virtual siempre se había utilizado de alguna forma desde la antigüedad en el estudio de la estática. Fue utilizado por los griegos, los árabes y latinos medievales y los italianos del Renacimiento como "la ley de la palanca". La idea del trabajo virtual fue invocada por muchos físicos notables del siglo XVII, como Galileo, Descartes, Torricelli, Wallis y Huygens, en diversos grados de generalidad, al resolver problemas de estática. Trabajando con conceptos leibnizianos, Johann Bernoulli sistematizó el principio del trabajo virtual e hizo explícito el concepto de desplazamiento infinitesimal. Pudo resolver problemas tanto para cuerpos rígidos como para fluidos. La versión de Bernoulli de la ley del trabajo virtual apareció en su carta a Pierre Varignon en 1715, que luego se publicó en Varignon.Nouvelle mécanique ou Statique en 1725. Esta formulación del principio se conoce hoy como el principio de las velocidades virtuales y se considera comúnmente como el prototipo de los principios contemporáneos del trabajo virtual. En 1743 D'Alembert publicó su Traité de Dynamique donde aplicó el principio del trabajo virtual, basado en el trabajo de Bernoulli, para resolver varios problemas de dinámica. Su idea era convertir un problema dinámico en un problema estático introduciendo la fuerza de inercia.En 1768, Lagrange presentó el principio del trabajo virtual de una forma más eficiente al introducir coordenadas generalizadas y lo presentó como un principio alternativo de la mecánica mediante el cual se podían resolver todos los problemas de equilibrio. En su Mécanique Analytique de 1788 se dio una exposición sistemática del programa de Lagrange de aplicar este enfoque a toda la mecánica, tanto estática como dinámica, esencialmente el principio de D'Alembert, en su Mécanique Analytique de 1788. Aunque Lagrange había presentado su versión del principio de acción mínima antes de este trabajo, reconoció que el principio del trabajo virtual es más fundamental principalmente porque podría asumirse solo como la base de toda la mecánica, a diferencia de la comprensión moderna de que la acción mínima no tiene en cuenta las fuerzas no conservativas.

Visión general

Si una fuerza actúa sobre una partícula cuando se mueve de un punto $A$ a otro $B$ , entonces, para cada posible trayectoria que pueda tomar la partícula, es posible calcular el trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de la trayectoria. El principio del trabajo virtual, que es la forma del principio de mínima acción aplicado a estos sistemas, establece que el camino realmente seguido por la partícula es aquel para el cual la diferencia entre el trabajo a lo largo de este camino y otros caminos cercanos es cero (al primer orden). El procedimiento formal para calcular la diferencia de funciones evaluadas en caminos cercanos es una generalización de la derivada conocida del cálculo diferencial y se denomina cálculo de variaciones.

Considere una partícula puntual que se mueve a lo largo de una trayectoria descrita por una función ${ matemáticas {r}} (t)$ desde el punto $A$ , donde ${ estilo de visualización mathbf {r} (t = t_ {0})}$ , hasta el punto $B$ , donde ${ estilo de visualización mathbf {r} (t = t_ {1})}$ . Es posible que la partícula se mueva de $A$ a a $B$ lo largo de un camino cercano descrito por ${displaystyle mathbf {r} (t)+delta mathbf {r} (t)}$ , donde ${ estilo de visualización delta mathbf {r} (t)}$ se llama la variación de ${ matemáticas {r}} (t)$ . La variación ${ estilo de visualización delta mathbf {r} (t)}$ satisface el requisito ${displaystyle delta mathbf {r} (t_{0})=delta mathbf {r} (t_{1})=0}$ . Las componentes escalares de la variación ${ estilo de visualización delta r_ {1} (t)}$ , ${ estilo de visualización delta r_ {2} (t)}$ y ${ estilo de visualización delta r_ {3} (t)}$ se denominan desplazamientos virtuales. Esto se puede generalizar a un sistema mecánico arbitrario definido por las coordenadas generalizadas $q_{yo}$ , ${ estilo de visualización i = 1,2,...,n}$ . En cuyo caso, la variación de la trayectoria ${ Displaystyle q_ {i} (t)}$ está definida por los desplazamientos virtuales ${ estilo de visualización delta q_ {i}}$ , ${ estilo de visualización i = 1,2,...,n}$ .

El trabajo virtual es el trabajo total realizado por las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia de un sistema mecánico a medida que se mueve a través de un conjunto de desplazamientos virtuales. Al considerar las fuerzas aplicadas a un cuerpo en equilibrio estático, el principio de mínima acción requiere que el trabajo virtual de estas fuerzas sea cero.

Tratamiento matemático

Considere una partícula P que se mueve desde un punto A hasta un punto B a lo largo de una trayectoria r (t), mientras se le aplica una fuerza F (r (t)). El trabajo realizado por la fuerza F viene dado por la integral

{displaystyle W=int_{mathbf {r} (t_{0})=A}^{mathbf {r} (t_{1})=B}mathbf {F} cdot dmathbf { r} =int _{t_{0}}^{t_{1}}mathbf {F} cdot {frac {dmathbf {r} }{dt}}~dt=int_{t_{ 0}}^{t_{1}}mathbf {F} cdot mathbf {v} ~dt,}

donde d r es el elemento diferencial a lo largo de la curva que es la trayectoria de P, y v es su velocidad. Es importante notar que el valor del trabajo W depende de la trayectoria r (t).

Ahora considere la partícula P que se mueve del punto A al punto B nuevamente, pero esta vez se mueve a lo largo de la trayectoria cercana que difiere de r (t) por la variación δ r (t) = ε h (t), donde ε es una escala constante que se puede hacer tan pequeña como se desee y h (t) es una función arbitraria que satisface h (t ₀) = h (t ₁) = 0. Supongamos que la fuerza F (r (t) + ε h (t)) es lo mismo que F (r (t)). El trabajo realizado por la fuerza está dado por la integral

{displaystyle {bar {W}}=int_{mathbf {r} (t_{0})=A}^{mathbf {r} (t_{1})=B}mathbf {F} cdot d(mathbf {r} +epsilon mathbf {h})=int _{t_{0}}^{t_{1}}mathbf {F} cdot {frac {d(mathbf {r} (t)+epsilon mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=int _{t_{0}}^{t_{1}}mathbf {F} cdot (mathbf {v} +epsilon {dot {mathbf {h} }})~dt.}

La variación del trabajo δW asociado con este camino cercano, conocido como trabajo virtual, puede calcularse como

{displaystyle delta W={bar {W}}-W=int _{t_{0}}^{t_{1}}(mathbf {F} cdot epsilon {dot {mathbf { h} }})~dt.}

Si no hay restricciones en el movimiento de P, entonces se necesitan 3 parámetros para describir completamente la posición de P en cualquier momento t. Si hay k (k ≤ 3) fuerzas de restricción, entonces se necesitan n = (3 − k) parámetros. Por lo tanto, podemos definir n coordenadas generalizadas q _i (t) (i = 1,..., n), y expresar r (t) y δ r = ε h (t)en términos de las coordenadas generalizadas. Eso es,

{displaystyle mathbf {r} (t)=mathbf {r} (q_{1},q_{2},dots,q_{n};t),}

{displaystyle mathbf {h} (t)=mathbf {h} (q_{1},q_{2},dots,q_{n};t).}

Entonces, la derivada de la variación δ r = ε h (t) está dada por

{displaystyle {frac {d}{dt}}delta mathbf {r} ={frac {d}{dt}}epsilon mathbf {h} =sum _{i=1}^{n }{frac {parcial mathbf {h} }{parcial q_{i}}}epsilon {dot {q}}_{i},}

entonces tenemos

{displaystyle delta W=int _{t_{0}}^{t_{1}}left(sum _{i=1}^{n}mathbf {F} cdot {frac { parcial mathbf {h} }{parcial q_{i}}}epsilon {dot {q}}_{i}right)dt=sum _{i=1}^{n}left( int _{t_{0}}^{t_{1}}mathbf {F} cdot {frac {parcial mathbf {h} }{parcial q_{i}}}epsilon {dot {q }}_{i}~dtderecho).}

El requisito de que el trabajo virtual sea cero para una variación arbitraria δ r (t) = ε h (t) es equivalente al conjunto de requisitos

{displaystyle Q_{i}=mathbf {F} cdot {frac {parcial mathbf {h} }{parcial q_{i}}}=0,quad i=1,ldots,n. }

Los términos Q _i se denominan fuerzas generalizadas asociadas con el desplazamiento virtual δ r.

Equilibrio estático

El equilibrio estático es un estado en el que la fuerza neta y el par neto que actúan sobre el sistema son cero. En otras palabras, se conservan tanto el momento lineal como el momento angular del sistema. El principio del trabajo virtual establece que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde el equilibrio estático. Este principio se puede generalizar de modo que se incluyan rotaciones tridimensionales: el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas y los momentos aplicados es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde el equilibrio estático. Eso es

{displaystyle delta W=sum_{i=1}^{m}mathbf {F}_{i}cdot delta mathbf {r}_{i}+sum_{j=1} ^{n}mathbf {M} _{j}cdot delta mathbf {phi } _{j}=0,}

donde F _i, i = 1, 2,..., m y M _j, j = 1, 2,..., n son las fuerzas aplicadas y los momentos aplicados, respectivamente, y δ r _i, i = 1, 2,..., my δ φ j _, j = 1, 2,..., n son los desplazamientos virtuales y las rotaciones virtuales, respectivamente.

Suponga que el sistema consta de N partículas y tiene f (f ≤ 6 N) grados de libertad. Es suficiente usar solo coordenadas f para dar una descripción completa del movimiento del sistema, por lo que las coordenadas f generalizadas q _k, k = 1, 2,..., f se definen de tal manera que los movimientos virtuales se pueden expresar en términos de estas coordenadas generalizadas. Eso es,

{displaystyle delta mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},dots,q_{f};t),quad i=1,2,dots,m;}

{displaystyle delta phi _{j}(q_{1},q_{2},dots,q_{f};t),quad j=1,2,dots,n.}

La obra virtual puede entonces ser reparametrizada por las coordenadas generalizadas:

{displaystyle delta W=sum_{k=1}^{f}left[left(sum_{i=1}^{m}mathbf {F}_{i}cdot { frac { mathbf parcial {r} _ {i}}{ q_ parcial {k}}}+sum _ {j=1}^{n}mathbf {M} _ {j}cdot {frac {\mathbf parcial {phi }_{j}}{parcial q_{k}}}right)delta q_{k}right]=sum_{k=1}^{f}Q_{ k}delta q_{k},}

donde las fuerzas generalizadas Q _k se definen como

{displaystyle Q_{k}=sum_{i=1}^{m}mathbf {F}_{i}cdot {frac {parcial mathbf {r}_{i}}{parcial q_{k}}}+sum_{j=1}^{n}mathbf {M}_{j}cdot {frac {parcial mathbf {phi }_{j}}{parcial q_{k}}},quad k=1,2,puntos,f.}

Kane muestra que estas fuerzas generalizadas también se pueden formular en términos de la relación de las derivadas del tiempo. Eso es,

{displaystyle Q_{k}=sum_{i=1}^{m}mathbf {F}_{i}cdot {frac {parcial mathbf {v}_{i}}{parcial {dot {q}}_{k}}}+sum _{j=1}^{n}mathbf {M} _{j}cdot {frac {parcial mathbf {omega } _ {j}}{parcial {dot {q}}_{k}}},quad k=1,2,dots,f.}

El principio del trabajo virtual requiere que el trabajo virtual realizado sobre un sistema por las fuerzas F _i y los momentos M _j desaparezca si está en equilibrio. Por lo tanto, las fuerzas generalizadas Q _k son cero, es decir

{displaystyle delta W=0quad Rightarrow quad Q_{k}=0quad k=1,2,dots,f.}

Fuerzas de restricción

Un beneficio importante del principio del trabajo virtual es que solo se necesitan fuerzas que realicen trabajo cuando el sistema se mueve a través de un desplazamiento virtual para determinar la mecánica del sistema. Hay muchas fuerzas en un sistema mecánico que no realizan trabajo durante un desplazamiento virtual, lo que significa que no es necesario considerarlas en este análisis. Los dos ejemplos importantes son (i) las fuerzas internas en un cuerpo rígido y (ii) las fuerzas de restricción en una articulación ideal.

Lanczos presenta esto como el postulado: "El trabajo virtual de las fuerzas de reacción es siempre cero para cualquier desplazamiento virtual que esté en armonía con las restricciones cinemáticas dadas". El argumento es el siguiente. El principio del trabajo virtual establece que en equilibrio el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas a un sistema es cero. Las leyes de Newton establecen que en el equilibrio las fuerzas aplicadas son iguales y opuestas a las fuerzas de reacción o de restricción. Esto significa que el trabajo virtual de las fuerzas de restricción también debe ser cero.

Ley de la palanca

Una palanca se modela como una barra rígida conectada a un marco de tierra por una junta articulada llamada fulcro. La palanca se opera aplicando una fuerza de entrada F _A en un punto A ubicado por el vector de coordenadas r _A en la barra. Luego, la palanca ejerce una fuerza de salida F _B en el punto B ubicado por r _B. La rotación de la palanca alrededor del fulcro P está definida por el ángulo de rotación θ.

Sea r _P el vector de coordenadas del punto P que define el fulcro, e introduzcamos las longitudes

{displaystyle a=|mathbf {r}_{A}-mathbf {r}_{P}|,quad b=|mathbf {r}_{B}-mathbf {r}_{P }|,}

que son las distancias desde el punto de apoyo al punto de entrada A y al punto de salida B, respectivamente.

Ahora introduzca los vectores unitarios e _A y e _B desde el punto de apoyo hasta el punto A y B, de modo que

{displaystyle mathbf {r}_{A}-mathbf {r}_{P}=amathbf {e}_{A},quad mathbf {r}_{B}-mathbf {r } _{P}=bmathbf {e} _{B}.}

Esta notación nos permite definir la velocidad de los puntos A y B como

{displaystyle mathbf {v} _{A}={dot {theta }}amathbf {e} _{A}^{perp},quad mathbf {v}_{B}={ dot {theta }}bmathbf {e} _{B}^{perp},}

donde e _A y e _B son vectores unitarios perpendiculares a e _A y e _B, respectivamente.

El ángulo θ es la coordenada generalizada que define la configuración de la palanca, por lo tanto, usando la fórmula anterior para fuerzas aplicadas a un mecanismo de un grado de libertad, la fuerza generalizada está dada por

{displaystyle Q=mathbf {F} _{A}cdot {frac {parcial mathbf {v} _{A}}{parcial {dot {theta }}}}-mathbf {F } _ {B} cdot { frac { parcial mathbf {v} _ {B}} { parcial { dot { theta }}}} = a ( mathbf {F} _ {A} cdot mathbf {e} _{A}^{perp})-b(mathbf {F}_{B}cdot mathbf {e}_{B}^{perp}).}

Ahora, denote como F _A y F _B las componentes de las fuerzas que son perpendiculares a los segmentos radiales PA y PB. Estas fuerzas están dadas por

{displaystyle F_{A}=mathbf {F}_{A}cdot mathbf {e}_{A}^{perp},quad F_{B}=mathbf {F}_{B} cdot mathbf {e} _{B}^{perp}.}

Esta notación y el principio del trabajo virtual producen la fórmula para la fuerza generalizada como

La relación entre la fuerza de salida F _B y la fuerza de entrada F _A es la ventaja mecánica de la palanca y se obtiene del principio del trabajo virtual como

{displaystyle MA={frac {F_{B}}{F_{A}}}={frac {a}{b}}.}

Esta ecuación muestra que si la distancia a desde el fulcro al punto A donde se aplica la fuerza de entrada es mayor que la distancia b desde el fulcro al punto B donde se aplica la fuerza de salida, entonces la palanca amplifica la fuerza de entrada. Si ocurre lo contrario, que la distancia desde el fulcro hasta el punto de entrada A es menor que desde el fulcro hasta el punto de salida B, entonces la palanca reduce la magnitud de la fuerza de entrada.

Esta es la ley de la palanca, que fue demostrada por Arquímedes mediante un razonamiento geométrico.

Tren de engranajes

Un tren de engranajes se forma montando engranajes en un marco de modo que los dientes de los engranajes engranen. Los dientes de los engranajes están diseñados para garantizar que los círculos de paso de los engranajes acoplados rueden entre sí sin deslizarse, lo que proporciona una transmisión suave de la rotación de un engranaje al siguiente. Para este análisis, consideramos un tren de engranajes que tiene un grado de libertad, lo que significa que la rotación angular de todos los engranajes en el tren de engranajes está definida por el ángulo del engranaje de entrada.

El tamaño de los engranajes y la secuencia en la que se engranan definen la relación entre la velocidad angular ω _A del engranaje de entrada y la velocidad angular ω _B del engranaje de salida, conocida como relación de velocidad o relación de transmisión del tren de engranajes.. Sea R la relación de velocidad, entonces

{displaystyle {frac {omega _{A}}{omega _{B}}}=R.}

El par de entrada T _A que actúa sobre el engranaje de entrada G _A es transformado por el tren de engranajes en el par de salida T _B ejercido por el engranaje de salida G _B. Si asumimos que los engranajes son rígidos y que no hay pérdidas en el acoplamiento de los dientes del engranaje, entonces se puede utilizar el principio del trabajo virtual para analizar el equilibrio estático del tren de engranajes.

Sea el ángulo θ del engranaje de entrada la coordenada generalizada del tren de engranajes, entonces la relación de velocidad R del tren de engranajes define la velocidad angular del engranaje de salida en términos del engranaje de entrada, es decir

{displaystyle omega _{A}=omega,quad omega _{B}=omega /R.}

La fórmula anterior para el principio del trabajo virtual con pares aplicados produce la fuerza generalizada

{displaystyle Q=T_{A}{frac {parcial omega _{A}}{parcial omega }}-T_{B}{frac {parcial omega _{B}}{parcial omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}

La ventaja mecánica del tren de engranajes es la relación entre el par de salida T _B y el par de entrada T _A, y la ecuación anterior produce

{displaystyle MA={frac{T_{B}}{T_{A}}}=R.}

Así, la relación de velocidad de un tren de engranajes también define su ventaja mecánica. Esto muestra que si el engranaje de entrada gira más rápido que el engranaje de salida, entonces el tren de engranajes amplifica el par de entrada. Y, si el engranaje de entrada gira más lento que el engranaje de salida, entonces el tren de engranajes reduce el par de entrada.

Equilibrio dinámico para cuerpos rígidos

Si el principio del trabajo virtual para las fuerzas aplicadas se usa en partículas individuales de un cuerpo rígido, el principio se puede generalizar para un cuerpo rígido: cuando un cuerpo rígido que está en equilibrio está sujeto a desplazamientos compatibles virtuales, el trabajo virtual total de todos fuerzas externas es cero; ya la inversa, si el trabajo virtual total de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido es cero, entonces el cuerpo está en equilibrio.

Si un sistema no está en equilibrio estático, D'Alembert demostró que al introducir los términos de aceleración de las leyes de Newton como fuerzas de inercia, este enfoque se generaliza para definir el equilibrio dinámico. El resultado es la forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual, que se utiliza para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico de cuerpos rígidos.

La expresión desplazamientos compatibles significa que las partículas permanecen en contacto y se desplazan juntas de manera que el trabajo realizado por pares de fuerzas de acción/reacción entre partículas se anula. Varias formas de este principio se han acreditado a Johann (Jean) Bernoulli (1667-1748) y Daniel Bernoulli (1700-1782).

Fuerzas de inercia generalizadas

Sea un sistema mecánico construido a partir de n cuerpos rígidos, B _i, i=1,...,n, y sea la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada cuerpo los pares fuerza-par, F _i y T _i, i = 1,..., n. Note que estas fuerzas aplicadas no incluyen las fuerzas de reacción donde los cuerpos están conectados. Finalmente, suponga que la velocidad Vi y las velocidades angulares ω _i, _i =1,..., n , para cada cuerpo rígido, están definidas por una sola coordenada generalizada q. Se dice que tal sistema de cuerpos rígidos tiene un grado de libertad.

Considere un solo cuerpo rígido que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F y un momento de torsión T, con un grado de libertad definido por la coordenada generalizada q. Suponga que el punto de referencia para la fuerza y el par resultantes es el centro de masa del cuerpo, entonces la fuerza de inercia generalizada Q* asociada con la coordenada generalizada q viene dada por

{displaystyle Q^{*}=-(Mmathbf {A})cdot {frac {parcial mathbf {V} }{parcial {dot {q}}}}-([I_{R }]alpha +omega times [I_{R}]omega)cdot {frac {partial {boldsymbol {omega }}}{partial {dot {q}}}}.}

Esta fuerza de inercia se puede calcular a partir de la energía cinética del cuerpo rígido,

{displaystyle T={frac {1}{2}}Mmathbf {V} cdot mathbf {V} +{frac {1}{2}}{boldsymbol {omega }}cdot [ I_{R}]{boldsymbol {omega}},}

mediante el uso de la fórmula

{displaystyle Q^{*}=-left({frac {d}{dt}}{frac {parcial T}{parcial {dot {q}}}}-{frac {parcial T}{q parcial}}right).}

Un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas tiene la energía cinética

{displaystyle T=sum_{i=1}^{n}left({frac {1}{2}}Mmathbf {V}_{i}cdot mathbf {V}_{i }+{frac {1}{2}}{boldsymbol {omega }}_{i}cdot [I_{R}]{boldsymbol {omega }}_{i}right),}

que se puede utilizar para calcular las m fuerzas de inercia generalizadas

{displaystyle Q_{j}^{*}=-left({frac {d}{dt}}{frac {parcial T}{parcial {dot {q}}_{j}}} -{frac {T parcial}{q_{j}}}parcialright),quad j=1,ldots,m.}

Forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Así, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que

{displaystyle delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})delta q_{1}+dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})delta q_ {m}=0,}

para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales δq _j. Esta condición produce m ecuaciones,

{displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,quad j=1,ldots,m,}

que también se puede escribir como

{displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {parcial T}{parcial {dot {q}}_{j}}}-{frac {parcial T}{parcial q_ {j}}}=Q_{j},quad j=1,ldots,m.}

El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido, conocidas como ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento generalizadas.

Si las fuerzas generalizadas Q _j son derivables de una energía potencial V(q ₁,...,q _m), entonces estas ecuaciones de movimiento toman la forma

{displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {parcial T}{parcial {dot {q}}_{j}}}-{frac {parcial T}{parcial q_ {j}}}=-{frac {V parcial}{q_ parcial{j}}},quad j=1,ldots,m.}

En este caso, introduzca el Lagrangiano, L=TV, para que estas ecuaciones de movimiento se conviertan en

{displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {parcial L}{parcial {dot {q}}_{j}}}-{frac {parcial L}{parcial q_ {j}}}=0quad j=1,ldots,m.}

Estas se conocen como ecuaciones de Euler-Lagrange para un sistema con m grados de libertad, o ecuaciones de Lagrange de segundo tipo.

Principio de trabajo virtual para un cuerpo deformable

Considere ahora el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo deformable, que se compone de un número infinito de cubos diferenciales. Definamos dos estados no relacionados para el cuerpo:

El ${ símbolo de negrita { sigma}}$ -Estado: Esto muestra las fuerzas superficiales externas T, las fuerzas del cuerpo f, y las tensiones internas ${ símbolo de negrita { sigma}}$ en equilibrio.
El ${ símbolo de negrita { épsilon}}$ -Estado: Esto muestra desplazamientos continuos $mathbf {u} ^{*}$ y deformaciones constantes ${ símbolo de negrita { épsilon}}^{*}$ .

El superíndice * enfatiza que los dos estados no están relacionados. Aparte de las condiciones establecidas anteriormente, no es necesario especificar si alguno de los estados es real o virtual.

Imagine ahora que las fuerzas y tensiones en el ${ símbolo de negrita { sigma}}$ estado - sufren los desplazamientos y deformaciones en el ${ símbolo de negrita { épsilon}}$ estado -: Podemos calcular el trabajo virtual (imaginario) total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre las caras de todos los cubos de dos maneras diferentes:

Primero, sumando el trabajo realizado por fuerzas como las $FA}$ que actúan sobre caras comunes individuales (Fig.c): dado que el material experimenta desplazamientos compatibles, dicho trabajo se cancela, dejando solo el trabajo virtual realizado por las fuerzas superficiales T (que son iguales a las tensiones en las caras de los cubos, por equilibrio).
En segundo lugar, calculando el trabajo neto realizado por tensiones o fuerzas como $FA}$ , $PENSIÓN COMPLETA}$ que actúan sobre un cubo individual, por ejemplo, para el caso unidimensional de la figura (c): ${displaystyle F_{B}left(u^{*}+{frac {parcial u^{*}}{parcial x}}dxright)-F_{A}u^{*}approx {frac {u parcial^{*}}{x parcial}}sigma dV+u^{*}{frac {\sigma parcial}{x parcial}}dV=epsilon^{*} sigma dV-u^{*}fdV}$ donde se ha utilizado la relación de equilibrio ${frac {parcial sigma}}{parcial x}}+f=0$ y se ha despreciado el término de segundo orden.

La integración sobre todo el cuerpo da:

{displaystyle int _{V}{boldsymbol {epsilon}}^{*T}{boldsymbol {sigma}},dV}

– Trabajo realizado por las fuerzas del cuerpo f.

Igualando los dos resultados se obtiene el principio de trabajo virtual para un cuerpo deformable:

{displaystyle {text{Trabajo virtual externo total}}=int _{V}{boldsymbol {epsilon }}^{*T}{boldsymbol {sigma }}dV}

donde el trabajo virtual externo total lo realizan T y f. De este modo,

{displaystyle int _{S}mathbf {u} ^{*T}mathbf {T} dS+int _{V}mathbf {u} ^{*T}mathbf {f} dV=int _{V}{boldsymbol {epsilon}}^{*T}{boldsymbol {sigma}}dV}

El lado derecho de (d, e) a menudo se denomina trabajo virtual interno. Entonces, el principio del trabajo virtual establece: El trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno cuando las fuerzas y tensiones equilibradas experimentan deformaciones y desplazamientos no relacionados pero consistentes. Incluye el principio de trabajo virtual para cuerpos rígidos como un caso especial donde el trabajo virtual interno es cero.

Prueba de equivalencia entre el principio del trabajo virtual y la ecuación de equilibrio

Comenzamos observando el trabajo total realizado por la tracción superficial sobre el cuerpo que pasa por la deformación especificada:

{displaystyle int _{S}mathbf {u} cdot mathbf {T} dS=int _{S}mathbf {u} cdot {boldsymbol {sigma}}cdot mathbf {n } dS}

Aplicando el teorema de la divergencia al lado derecho se obtiene:

{displaystyle int _{S}mathbf {ucdot {boldsymbol {sigma}}cdot n} dS=int _{V}nabla cdot left(mathbf {u} cdot { boldsymbol {sigma}}right)dV}

Ahora cambie a la notación indicial para facilitar la derivación.

{displaystyle {begin{alineado}int_{V}nabla cdot left(mathbf {u} cdot {boldsymbol {sigma}}right)dV&=int_{V}{ frac {parcial }{parcial x_{j}}}left(u_{i}sigma _{ij}right)dV\&=int _{V}left({frac {parcial u_{i}}{parcial x_{j}}}sigma _{ij}+u_{i}{frac {parcial sigma _{ij}}{parcial x_{j}}}right) dVend{alineado}}}

Para continuar con nuestra derivación, sustituimos en la ecuación de equilibrio ${frac {parcial sigma _{ij}}{parcial x_{j}}}+f_{i}=0$ . Después

{displaystyle int _{V}left({frac {parcial u_{i}}{parcial x_{j}}}sigma _{ij}+u_{i}{frac {parcial sigma _{ij}}{parcial x_{j}}}right)dV=int _{V}left({frac {parcial u_{i}}{parcial x_{j}}} sigma _{ij}-u_{i}f_{i}right)dV}

El primer término del lado derecho debe dividirse en una parte simétrica y una parte sesgada de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{alineado}int _{V}left({frac {parcial u_{i}}{parcial x_{j}}}sigma _{ij}-u_{i}f_ {i}right)dV&=int _{V}left({frac {1}{2}}left[left({frac {parcial u_{i}}{parcial x_{j }}}+{frac {parcial u_{j}}{parcial x_{i}}}right)+left({frac {parcial u_{i}}{parcial x_{j}} }-{frac {parcial u_{j}}{parcial x_{i}}}right)right]sigma _{ij}-u_{i}f_{i}right)dV\& =int _{V}left(left[epsilon _{ij}+{frac {1}{2}}left({frac {parcial u_{i}}{parcial x_{j }}}-{frac {parcial u_{j}}{parcial x_{i}}}right)right]sigma _{ij}-u_{i}f_{i}right)dV &=int _{V}left(epsilon _{ij}sigma _{ij}-u_{i}f_{i}right)dV\&=int _{V}left({boldsymbol {epsilon}}:{boldsymbol {sigma}}-mathbf {u} cdot mathbf {f} right)dVend{alineado}}}

donde ${ símbolo de negrita { épsilon}}$ es la deformación que es consistente con el campo de desplazamiento especificado. La penúltima igualdad proviene del hecho de que la matriz de tensión es simétrica y que el producto de una matriz oblicua y una matriz simétrica es cero.

Ahora recapitula. Hemos demostrado a través de la derivación anterior que

{displaystyle int_{S}mathbf {ucdot T} dS=int_{V}{boldsymbol {epsilon}}:{boldsymbol {sigma}}dV-int_{V} mathbf {u} cdot mathbf {f} dV}

Mueve el segundo término del lado derecho de la ecuación hacia la izquierda:

{displaystyle int _{S}mathbf {ucdot T} dS+int _{V}mathbf {u} cdot mathbf {f} dV=int _{V}{boldsymbol {epsilon }}:{boldsymbol {sigma}}dV}

La interpretación física de la ecuación anterior es que el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno cuando las fuerzas y tensiones equilibradas experimentan deformaciones y desplazamientos no relacionados pero consistentes.

Para aplicaciones prácticas:

Para imponer el equilibrio sobre las tensiones y fuerzas reales, usamos deformaciones y desplazamientos virtuales consistentes en la ecuación del trabajo virtual.
Para imponer desplazamientos y deformaciones consistentes, usamos esfuerzos y fuerzas virtuales equilibrados en la ecuación del trabajo virtual.

Estos dos escenarios generales dan lugar a dos principios variacionales a menudo enunciados. Son válidos independientemente del comportamiento material.

Principio de los desplazamientos virtuales

Dependiendo del propósito, podemos especializarnos en la ecuación del trabajo virtual. Por ejemplo, para derivar el principio de los desplazamientos virtuales en notaciones variacionales para cuerpos apoyados, especificamos:

Desplazamientos y deformaciones virtuales como variaciones de los desplazamientos y deformaciones reales usando notación variacional como $delta mathbf {u} equiv mathbf {u} ^{*}$ y $delta {boldsymbol {epsilon}}equiv {boldsymbol {epsilon}}^{*}$
Los desplazamientos virtuales serán cero en la parte de la superficie que tiene desplazamientos prescritos y, por lo tanto, el trabajo realizado por las reacciones es cero. Solo quedan fuerzas superficiales externas en la parte $S t}$ que realiza el trabajo.

La ecuación del trabajo virtual se convierte entonces en el principio de los desplazamientos virtuales:

{displaystyle int _{S_{t}}delta mathbf {u} ^{T}mathbf {T} dS+int _{V}delta mathbf {u} ^{T}mathbf {f} dV=int_{V}delta {boldsymbol {epsilon}}^{T}{boldsymbol {sigma}}dV}

Esta relación es equivalente al conjunto de ecuaciones de equilibrio escritas para un elemento diferencial en el cuerpo deformable así como de las condiciones de contorno de esfuerzos en la parte $S t}$ de la superficie. Por el contrario, (f) se puede alcanzar, aunque de una manera no trivial, comenzando con las ecuaciones de equilibrio diferencial y las condiciones de contorno de tensión en $S t}$ , y procediendo de manera similar a (a) y (b).

Dado que los desplazamientos virtuales son automáticamente compatibles cuando se expresan en términos de funciones continuas de un solo valor, a menudo mencionamos solo la necesidad de consistencia entre las deformaciones y los desplazamientos. El principio del trabajo virtual también es válido para grandes desplazamientos reales; sin embargo, la ecuación (f) se escribiría usando medidas más complejas de tensiones y deformaciones.

Principio de fuerzas virtuales

Aquí especificamos:

Fuerzas y tensiones virtuales como variaciones de las fuerzas y tensiones reales.
Las fuerzas virtuales sean cero en la parte $S t}$ de la superficie que tiene fuerzas prescritas y, por lo tanto, solo las fuerzas de superficie (reacción) en $S_{u}$ (donde se prescriben los desplazamientos) harían trabajo.

La ecuación del trabajo virtual se convierte en el principio de las fuerzas virtuales:

{displaystyle int _{S_{u}}mathbf {u} ^{T}delta mathbf {T} dS+int _{V}mathbf {u} ^{T}delta mathbf {f} dV=int _{V}{boldsymbol {epsilon }}^{T}delta {boldsymbol {sigma }}dV}

Esta relación es equivalente al conjunto de ecuaciones de compatibilidad de deformación, así como a las condiciones de contorno de desplazamiento en la pieza $S_{u}$ . Tiene otro nombre: el principio del trabajo virtual complementario.

Formas alternativas

Una especialización del principio de las fuerzas virtuales es el método de la fuerza ficticia unitaria, que es muy útil para calcular desplazamientos en sistemas estructurales. De acuerdo con el principio de D'Alembert, la inclusión de fuerzas de inercia como fuerzas de cuerpo adicionales dará la ecuación de trabajo virtual aplicable a los sistemas dinámicos. Se pueden derivar principios más generalizados mediante:

permitiendo variaciones de todas las cantidades.
utilizando multiplicadores de Lagrange para imponer condiciones de contorno y/o relajar las condiciones especificadas en los dos estados.

Estos se describen en algunas de las referencias.

Entre los muchos principios de energía en mecánica estructural, el principio del trabajo virtual merece un lugar especial debido a su generalidad que conduce a poderosas aplicaciones en análisis estructural, mecánica de sólidos y método de elementos finitos en mecánica estructural.

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