Toro máximo

En la teoría matemática de los grupos de Lie compactos, los subgrupos de toroides desempeñan un papel especial, en particular los subgrupos de toros máximos.

Un toro en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo de Lie compacto, conexo y abeliano de G (y por lo tanto isomorfo al estándar toro Tⁿ). Un toro máximo es aquel que es máximo entre dichos subgrupos. Es decir, T es un toro máximo si para cualquier toro T′ que contenga T tenemos T = T′. Cada toro está contenido en un toro máximo simplemente por consideraciones dimensionales. Un grupo de Lie no compacto no necesita tener ningún tori no trivial (por ejemplo, Rⁿ).

La dimensión de un toro máximo en G se llama rango de G. El rango está bien definido ya que todos los tori máximos resultan ser conjugados. Para grupos semisimples, el rango es igual al número de nodos en el diagrama de Dynkin asociado.

Ejemplos

El grupo unitario U(n) tiene como toro máximo el subgrupo de todas las matrices diagonales. Eso es,

T={}diag⁡ ⁡ ()eiSilencio Silencio 1,eiSilencio Silencio 2,...... ,eiSilencio Silencio n):О О j,Silencio Silencio j▪ ▪ R}.{displaystyle T=left{e}left(e^{itheta _{1}},e^{itheta ¿Qué? para todos j,theta _{j}in mathbb {R} right}

T es claramente isomorfo al producto de n círculos, por lo que el grupo unitario U(n) tiene rango n. Un toro máximo en el grupo unitario especial SU(n) ⊂ U(n) es solo la intersección de T y SU( n) que es un toroide de dimensión n − 1.

Un toro maximal en el grupo ortogonal especial SO(2n) es dado por el conjunto de todas las rotaciones simultáneas en cualquier elección fija de n planos ortogonales pares (es decir, espacios vectoriales bidimensionales). Concretamente, un toro maximal consiste en todas las matrices diagonales de bloque con 2× × 2{displaystyle 2times 2} bloques diagonales, donde cada bloque diagonal es una matriz de rotación. Este es también un toro maximal en el grupo SO(2n+1) donde la acción fija la dirección restante. Así ambos SO(2n) y SO(2)n+1) tienen rango n. Por ejemplo, en el grupo de rotación SO(3) el tori máximo se da por rotaciones sobre un eje fijo.

El grupo simpléctico Sp(n) tiene rango n. Un toro máximo está dado por el conjunto de todas las matrices diagonales cuyas entradas se encuentran en una subálgebra compleja fija de H.

Propiedades

Vamos G ser un compacto, conectado Grupo de mentira y dejar g{displaystyle {Mathfrak {}} ser el álgebra de Lie de G. El primer resultado principal es el teorema de torus, que puede ser formulado de la siguiente manera:

Torus theoremSi T es un toro máximo fijo en G, entonces cada elemento de G es conjugado a un elemento T.

Este teorema tiene las siguientes consecuencias:

• Todos los tori maximal en G son conjugados.
• Todos los tori maximal tienen la misma dimensión, conocida como rango de G.
• Un torus maximal en G es un subgrupo abeliano maximal, pero el contrario no necesita mantener.
• El tori maximal en G son exactamente los subgrupos de Lie correspondientes a los subalgebras abelianas maximal de g{displaystyle {Mathfrak {}} (cf. Subalgebra de Cartan)
• Cada elemento G se encuentra en un torus maximal; por lo tanto, el mapa exponencial G es subjetivo.
• Si G tiene dimensión n y rango r entonces n − r es incluso.

Sistema radicular

Si T es un torus maximal en un compacto Grupo de mentiras G, se puede definir un sistema raíz como sigue. Las raíces son los pesos para la acción conjunta de T sobre el complejo Álgebra de mentira G. Para ser más explícito, t{displaystyle {s} {fnK}} denota el álgebra de Lie de T, vamos g{displaystyle {Mathfrak {}} denota el álgebra de Lie de G{displaystyle G., y dejar gC:=g⊕ ⊕ ig{displaystyle {Mathfrak {} {fnMithbb} {C}:= {fnMithfrak}oplus i{mthfrak {g} denota la complejidad de g{displaystyle {Mathfrak {}}. Entonces decimos que un elemento α α ▪ ▪ t{displaystyle alpha in {Mathfrak {t}} es un root para G relativa a T si α α ل ل 0{displaystyle alpha neq 0} y existe un no cero X▪ ▪ gC{displaystyle Xin {cHFF}_ {cHFF} {C} tales que

AdeH()X)=ei.. α α ,H.. X{displaystyle mathrm {Ad} _{e^{H}(X)=e^{ilangle alpha Hrangle }X}

para todos H▪ ▪ t{displaystyle ¿Qué?. Aquí. .. ⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ .. {displaystyle langle cdotcdot rangle } es un producto interno fijo en g{displaystyle {Mathfrak {}} que es invariante bajo la acción conjunta de grupos compactos conectados Lie.

El sistema raíz, como subconjunto del álgebra de Lie t{displaystyle {s} {fnK}} de T, tiene todas las propiedades habituales de un sistema de raíces, excepto que las raíces no pueden abarcar t{displaystyle {s} {fnK}}. El sistema raíz es una herramienta clave para entender la teoría de clasificación y representación G.

Grupo Weyl

Dado un toro T (no necesariamente máximo), el grupo Weyl de G con respecto a T puede definirse como el normalizador de T módulo el centralizador de T. Eso es,

W()T,G):=NG()T)/CG()T).{displaystyle W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).}

Fijar un torus maximal T=T0{displaystyle T=T_{0} dentro G; entonces el correspondiente Grupo Weyl se llama el grupo Weyl G (depende del isomorfismo de la elección de T).

Los dos primeros resultados importantes sobre el grupo Weyl son los siguientes.

• El centralizador de T dentro G es igual a T, por lo que el grupo Weyl es igual a N()T)/T.
• El grupo Weyl es generado por reflexiones sobre las raíces del álgebra Lie asociada. Así, el grupo Weyl de T es isomorfo al grupo Weyl del sistema raíz de la Lie álgebra de G.

A continuación enumeramos algunas consecuencias de estos resultados principales.

• Dos elementos en T son conjugados si y sólo si son conjugados por un elemento W. Es decir, cada clase de conjugación G intersects T en exactamente una órbita de Weyl. De hecho, el espacio de clases de conjugación en G es homeomorfo al espacio orbital T/W.
• El grupo Weyl actúa por automorfismos externos en T (y su álgebra Lie).
• El componente de identidad del normalizador T es igual a T. Por lo tanto, el grupo Weyl es igual al grupo de componentes N()T).
• El grupo Weyl es finito.

La teoría de la representación de G está esencialmente determinada por T y W.

Como ejemplo, considere el caso G=SU()n){displaystyle G=SU(n)} con T{displaystyle T} ser el subgrupo diagonal de G{displaystyle G.. Entonces... x▪ ▪ G{displaystyle xin G} pertenece N()T){displaystyle N(T)} si x{displaystyle x} mapas cada elemento de base estándar ei{displaystyle E_{i} a un múltiples de otros elementos de base estándar ej{displaystyle E_{j}, eso es, si y sólo si x{displaystyle x} permuta los elementos de base estándar, hasta la multiplicación por algunas constantes. El grupo Weyl en este caso es entonces el grupo de permutación n{displaystyle n} elementos.

Fórmula integral de Weyl

Supongamos que f es una función continua en G. Entonces la integral sobre G de f con respecto a la medida de Haar normalizada dg se puede calcular de la siguiente manera:

∫ ∫ Gf()g)dg=SilencioWSilencio− − 1∫ ∫ TSilencioΔ Δ ()t)Silencio2∫ ∫ G/Tf()Sí.tSí.− − 1)d[Sí.]dt,{displaystyle displaystyle {int _{G}f(g),dg= habitW habit^{-1}int - Hola. ¿Por qué?

Donde d[Sí.]{displaystyle d[y]} es la medida normalizada del volumen en el cociente G/T{displaystyle G/T} y dt{displaystyle dt} es la medida Haar normalizada T. Aquí Δ es dado por la fórmula Weyl denominator y SilencioWSilencio{displaystyle Silencioso es el orden del grupo Weyl. Un caso especial importante de este resultado ocurre cuando f es una función de clase, es decir, una función invariante bajo conjugación. En ese caso, tenemos

∫ ∫ Gf()g)dg=SilencioWSilencio− − 1∫ ∫ Tf()t)SilencioΔ Δ ()t)Silencio2dt.{displaystyle displaystyle {int _{G}f(g),dg= habitW habit^{-1}int _{T}f(t) durableDelta (t) sometida^{2},dt.}}

Considerar como ejemplo el caso G=SU()2){displaystyle G=SU(2)}, con T{displaystyle T} siendo el subgrupo diagonal. Luego la fórmula integral Weyl para las funciones de clase toma la siguiente forma explícita:

∫ ∫ SU()2)f()g)dg=12∫ ∫ 02π π f()diag()eiSilencio Silencio ,e− − iSilencio Silencio ))4sin2()Silencio Silencio )dSilencio Silencio 2π π .{fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft} {f} {f}}int}in _{0}{2pi }fleft(mathrm {}left(e^{itheta },e^{-itheta }derecha)mmm4 }}

Aquí. SilencioWSilencio=2{displaystyle SilencioW, la medida Haar normalizada T{displaystyle T} es dSilencio Silencio 2π π {displaystyle {frac {dtheta } {2pi}}, y diag()eiSilencio Silencio ,e− − iSilencio Silencio ){displaystyle mathrm {diag} left(e^{itheta },e^{-itheta }right)} denota la matriz diagonal con entradas diagonales eiSilencio Silencio {displaystyle e^{itheta } y e− − iSilencio Silencio {displaystyle e^{-itheta }.