Topología Zariski

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Topología en ideales primos y variedades algebraicas

En la topología Zariski en el plano affine, este gráfico de un polinomio está cerrado.

En geometría algebraica y álgebra conmutativa, la topología de Zariski es una topología que se define principalmente por sus conjuntos cerrados. Es muy diferente de las topologías que se usan comúnmente en análisis reales o complejos; en particular, no es Hausdorff. Esta topología fue introducida principalmente por Oscar Zariski y luego generalizada para convertir el conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo (llamado espectro del anillo) en un espacio topológico.

La topología de Zariski permite utilizar herramientas de topología para estudiar variedades algebraicas, incluso cuando el campo subyacente no es un campo topológico. Esta es una de las ideas básicas de la teoría de esquemas, que permite construir variedades algebraicas generales pegando variedades afines de una manera similar a la de la teoría de variedades, donde las variedades se construyen pegando gráficos, que son subconjuntos abiertos de variedades afines reales. espacios.

La topología de Zariski de una variedad algebraica es la topología cuyos conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. En el caso de una variedad algebraica sobre los números complejos, la topología de Zariski es más gruesa que la topología habitual, ya que todo conjunto algebraico es cerrado para la topología habitual.

La generalización de la topología de Zariski al conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo se deriva de la Nullstellensatz de Hilbert, que establece una correspondencia biyectiva entre los puntos de una variedad afín definida sobre un campo algebraicamente cerrado y los ideales maximales del anillo de sus funciones regulares. Esto sugiere definir la topología de Zariski sobre el conjunto de ideales maximales de un anillo conmutativo como la topología tal que un conjunto de ideales maximales es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales maximales que contienen un ideal dado. Otra idea básica de la teoría de esquemas de Grothendieck es considerar como puntos, no sólo los puntos habituales correspondientes a ideales maximales, sino también todas las variedades algebraicas (irreducibles), que corresponden a ideales primos. Así, la topología de Zariski sobre el conjunto de ideales primos (espectro) de un anillo conmutativo es la topología tal que un conjunto de ideales primos es cerrado si y sólo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo.

Topología de variedades de Zariski

En la geometría algebraica clásica (es decir, la parte de la geometría algebraica en la que no se utilizan esquemas, que fueron introducidos por Grothendieck alrededor de 1960), la topología de Zariski se define sobre variedades algebraicas. La topología de Zariski, definida sobre los puntos de la variedad, es la topología tal que los conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. Como las variedades algebraicas más elementales son variedades afines y proyectivas, es útil hacer más explícita esta definición en ambos casos. Suponemos que estamos trabajando sobre un campo fijo algebraicamente cerrado k (en la geometría algebraica clásica, k suele ser el campo de los números complejos).

Variedades afines

Primero, definimos la topología en el espacio de afinidad $mathbb {A} ^{n},$ formado por los n-tuples de elementos de $k$ . La topología se define especificando sus conjuntos cerrados, en lugar de sus conjuntos abiertos, y estos se toman simplemente para ser todos los conjuntos algebraicos en $mathbb {A} ^{n}.$ Es decir, los conjuntos cerrados son los de la forma

{displaystyle V(S)={xin mathbb {A} ^{n}mid f(x)=0,forall fin S}}

Snk

V()S) V()S), donde (S) es el ideal generado por los elementos de S;
Para cualquier dos ideales de polinomios I, J, tenemos
1. $V(I)cup V(J),=,V(IJ);$
2. $V(I)cap V(J),=,V(I+J).$

Se sigue que los sindicatos finitos y las intersecciones arbitrarias de los conjuntos V()S) son también de esta forma, de modo que estos conjuntos forman los conjuntos cerrados de una topología (equivalentemente, sus complementos, denotado D()S) y llamado principales juegos abiertos, formar la topología misma). Esta es la topología de Zariski $mathbb {A} ^{n}.$

Si X es un conjunto algebraico (irreducible o no) entonces la topología Zariski en ella se define simplemente para ser la topología subespacial inducida por su inclusión en algunos $mathbb {A} ^{n}.$ Equivalentemente, se puede comprobar que:

Los elementos del anillo de coordenadas affine ${displaystyle A(X),=,k[x_{1},dotsx_{n}]/I(X)}$ actuar como funciones X como elementos $k[x_{1},dotsx_{n}]$ actuar como funciones ${mathbb {A}}^{n}$ ; aquí, I()X) es el ideal de todos los polinomios desaparecidos en X.
Para cualquier conjunto de polinomios S, vamos T ser el conjunto de sus imágenes en A()X). Luego el subconjunto X ${displaystyle V'(T)={xin Xmid f(x)=0,forall fin T}}$ (estas notaciones no son estándar) es igual a la intersección con X de V(S).

Esto establece que la ecuación anterior, claramente una generalización de la definición de los conjuntos cerrados en ${mathbb {A}}^{n}$ arriba, define la topología Zariski en cualquier variedad affine.

Variedades proyectivas

Recordad que n-espacio proyectivo dimensionado $mathbb {P} ^{n}$ se define como el conjunto de clases de equivalencia de puntos no cero en $mathbb {A} ^{n+1}$ identificando dos puntos que difieren por un escalar múltiple en k. Los elementos del anillo polinomio $k[x_{0},dotsx_{n}]$ no son funciones $mathbb {P} ^{n}$ porque cualquier punto tiene muchos representantes que producen valores diferentes en un polinomio; sin embargo, para los polinomios homogéneos la condición de tener valor cero o no cero en cualquier punto proyectivo dado es bien definida ya que el escalar múltiples factores fuera del polinomio. Por lo tanto, si S es cualquier conjunto de polinomios homogéneos de los que podamos hablar razonablemente

V(S)={xin mathbb {P} ^{n}mid f(x)=0,forall fin S}.

Los mismos hechos que arriba se pueden establecer para estos conjuntos, excepto que la palabra "ideal" debe ser reemplazada por la frase "ideal homogéneo", de modo que el V()S), para juegos S de polinomios homogéneos, definir una topología en $mathbb {P} ^{n}.$ Como por encima de los complementos de estos conjuntos se denotan D()S), o, si la confusión es probable que resulte, D′()S).

La topología proyectiva de Zariski se define para conjuntos algebraicos proyectivos tal como se define la afín para conjuntos algebraicos afines, tomando la topología del subespacio. De manera similar, se puede demostrar que esta topología está definida intrínsecamente por conjuntos de elementos del anillo de coordenadas proyectivas, por la misma fórmula anterior.

Propiedades

Una propiedad importante de las topologías de Zariski es que tienen una base que consta de elementos simples, a saber, la $D (f)$ para polinomios individuales (o para variedades proyectivas, polinomios homogéneos) $f$ . Que estos forman una base se deduce de la fórmula para la intersección de dos conjuntos cerrados de Zariski dada anteriormente (aplíquela repetidamente a los ideales principales generados por los generadores de $(S)$ ). Los conjuntos abiertos en esta base se denominan conjuntos abiertos distinguidos o básicos. La importancia de esta propiedad resulta en particular de su uso en la definición de un esquema afín.

Según el teorema de la base de Hilbert y algunas propiedades elementales de los anillos noetherianos, todo anillo de coordenadas afín o proyectivo es noetheriano. Como consecuencia, los espacios afines o proyectivos con la topología de Zariski son espacios topológicos noetherianos, lo que implica que cualquier subconjunto cerrado de estos espacios es compacto.

Sin embargo, a excepción de los conjuntos algebraicos finitos, ningún conjunto algebraico es un espacio de Hausdorff. En la antigua literatura topológica "compacto" se tomó para incluir la propiedad de Hausdorff, y esta convención todavía se respeta en la geometría algebraica; por lo tanto, la compacidad en el sentido moderno se llama "cuasicompacidad" en geometría algebraica. Sin embargo, dado que todo punto (a₁,..., a_n) es el conjunto cero del polinomios x₁ - a₁,..., x_n - a_n, los puntos son cerrados, por lo que todas las variedades satisfacen el axioma T1.

Cada mapa regular de variedades es continuo en la topología de Zariski. De hecho, la topología de Zariski es la topología más débil (con los pocos conjuntos abiertos) en los que esto es cierto y en los que se cierran los puntos. Esto se verifica fácilmente notando que los conjuntos cerrados de Zariski son simplemente las intersecciones de las imágenes inversas de 0 por las funciones polinómicas, consideradas como mapas regulares en $mathbb {A} ^{1}.$

Espectro de un anillo

En la geometría algebraica moderna, una variedad algebraica a menudo se representa por su esquema asociado, que es un espacio topológico (equipado con estructuras adicionales) que es localmente homeomorfo al espectro de un anillo. El espectro de un anillo conmutativo A, denotado $Spec A$ , es el conjunto de ideales primos de A, equipados con la topología de Zariski, para la cual los conjuntos cerrados son los conjuntos

{displaystyle V(I)={Pin operatorname {Spec} Amid Psupset I}}

donde yo es un ideal.

Para ver la conexión con la imagen clásica, tenga en cuenta que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un campo algebraicamente cerrado), se deduce de la Nullstellensatz de Hilbert que los puntos de V(S) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas (a₁,..., a_n) tal que el ideal generado por los polinomios x₁ − a₁,..., x_n − a_n contiene S; además, estos son ideales máximos y por los "débiles" Nullstellensatz, un ideal de cualquier anillo de coordenadas afines es máximo si y solo si tiene esta forma. Por lo tanto, V(S) es "lo mismo que" los ideales maximales que contienen S. La innovación de Grothendieck al definir Spec fue reemplazar los ideales máximos con todos los ideales primos; en esta formulación es natural generalizar simplemente esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.

Otra forma, tal vez más similar a la original, de interpretar la definición moderna es darse cuenta de que los elementos de A en realidad se pueden considerar como funciones en los ideales principales de A; es decir, como funciones en Spec A. Simplemente, cualquier ideal primo P tiene un campo residual correspondiente, que es el campo de fracciones del cociente A/P, y cualquier elemento de A tiene un reflejo en este campo de residuos. Además, los elementos que están realmente en P son precisamente aquellos cuyo reflejo se desvanece en P. Entonces, si pensamos en el mapa, asociado a cualquier elemento a de A:

{displaystyle e_{a}colon {bigl (}Pin operatorname {Spec} A{bigr)}mapsto left({frac {a;{bmod {P}}}{1}}in operatorname {Frac} (A/P)right)}

("evaluación de a"), que asigna a cada punto su reflejo en el campo de residuos allí, como una función en Spec A (cuyos valores, sin duda, se encuentran en diferentes campos en diferentes puntos), entonces tenemos

{displaystyle e_{a}(P)=0Leftrightarrow Pin V(a)}

Más generalmente, V(I) para cualquier I ideal es el conjunto común en el que se encuentran todas las "funciones&#34.; en I desaparezco, que es formalmente similar a la definición clásica. De hecho, concuerdan en el sentido de que cuando A es el anillo de polinomios sobre algún campo algebraicamente cerrado k, los ideales maximales de A son (como se discutió en el párrafo anterior) identificado con n-tuplas de elementos de k, sus campos residuales son solo k, y el &# 34;evaluación" los mapas son en realidad una evaluación de polinomios en las n-tuplas correspondientes. Dado que, como se muestra arriba, la definición clásica es esencialmente la definición moderna con solo los ideales máximos considerados, esto muestra que la interpretación de la definición moderna como "conjuntos de funciones cero" concuerda con la definición clásica donde ambos tienen sentido.

Así como Spec reemplaza las variedades afines, la construcción Proj reemplaza las variedades proyectivas en la geometría algebraica moderna. Al igual que en el caso clásico, para pasar de la definición afín a la proyectiva solo necesitamos reemplazar "ideal" por el "ideal homogéneo", aunque existe una complicación relacionada con el "ideal máximo irrelevante" que se analiza en el artículo citado.

Ejemplos

El espectro de Z

Específico k, el espectro de un campo k es el espacio topológico con un elemento.
Específico Z, el espectro de los enteros tiene un punto cerrado para cada número primo p correspondiente al ideal máximo (p) ⊂ Z, y un punto genérico no cerrado (es decir, cuyo cierre es todo el espacio) correspondiente al cero ideal (0). Así que los subconjuntos cerrados de Spec Z son precisamente todo el espacio y los sindicatos finitos de puntos cerrados.
Específico k[t], el espectro del anillo polinomio sobre un campo k: tal anillo polinomio se sabe que es un dominio ideal principal y los polinomios irreducibles son los elementos principales de k[t]. Si k está cerrado algebraicamente, por ejemplo el campo de números complejos, un polinomio no constante es irreducible si y sólo si es lineal, de la forma t − a, para algún elemento a de k. Por lo tanto, el espectro consiste en un punto cerrado para cada elemento a de k y un punto genérico, correspondiente al cero ideal, y el conjunto de los puntos cerrados es homeomorphic con la línea de afine k equipado con su topología Zariski. Debido a este homeomorfismo, algunos autores llaman affine line el espectro k[t]. Si k no está cerrada algebraicamente, por ejemplo el campo de los números reales, la imagen se vuelve más complicada debido a la existencia de polinomios irreducibles no lineales. En este caso, el espectro consiste en un punto cerrado para cada polinomio irreducible monico, y un punto genérico correspondiente al ideal cero. Por ejemplo, el espectro de R[t] consta de los puntos cerrados (x − a), para a en R, los puntos cerrados (x² + px + qDonde p, q están en R y con discriminación negativa p² − 4q 0, y finalmente un punto genérico (0). Para cualquier campo, los subconjuntos cerrados de Especificación k[t] son uniones finitas de puntos cerrados, y todo el espacio. (Esto resulta del hecho de que k[t] es un dominio ideal principal, y, en un dominio ideal principal, los ideales principales que contienen un ideal son los factores principales de la factorización principal de un generador del ideal).

Otras propiedades

El cambio más dramático en la topología de la imagen clásica a la nueva es que los puntos ya no están necesariamente cerrados; al expandir la definición, Grothendieck introdujo puntos genéricos, que son los puntos con cierre máximo, es decir, los ideales primos mínimos. Los puntos cerrados corresponden a ideales maximales de A. Sin embargo, el espectro y el espectro proyectivo siguen siendo T₀ espacios: dados dos puntos P, Q, que son ideales primos de A, al menos uno de ellos, digamos P, no contiene al otro. Entonces D(Q) contiene P pero, por supuesto, no Q.

Al igual que en la geometría algebraica clásica, cualquier espectro o espectro proyectivo es (cuasi)compacto, y si el anillo en cuestión es noetheriano, entonces el espacio es un espacio noetheriano. Sin embargo, estos hechos son contrarios a la intuición: normalmente no esperamos que los conjuntos abiertos, aparte de los componentes conectados, sean compactos, y para las variedades afines (por ejemplo, el espacio euclidiano) ni siquiera esperamos que el espacio en sí sea compacto. Este es un ejemplo de la inadecuación geométrica de la topología de Zariski. Grothendieck resolvió este problema definiendo la noción de propiedad de un esquema (en realidad, de un morfismo de esquemas), que recupera la idea intuitiva de compacidad: Proj es propio, pero Spec no lo es.

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