Topología trivial

En topología, un espacio topológico con la topología trivial es aquel donde los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y el espacio completo. Estos espacios se denominan comúnmente indiscretos, antidiscretos, concretos o codiscretos. Intuitivamente, esto tiene la consecuencia de que todos los puntos del espacio están "agrupados"; y no se puede distinguir por medios topológicos. Todo espacio indiscreto es un espacio pseudométrico en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera es cero.

Detalles

La topología trivial es la topología con el menor número posible de conjuntos abiertos, es decir, el conjunto vacío y el espacio completo, ya que la definición de una topología requiere que estos dos conjuntos sean abiertos. A pesar de su simplicidad, un espacio X con más de un elemento y la topología trivial carece de una propiedad deseable clave: no es un espacio T0.

Other properties of an indiscrete space <iS—many of which are quite unusual—include:

• Los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío y X.
• La única base posible X esX}.
• Si X tiene más de un punto, entonces ya que no es T0, no satisface ninguno de los axiomas T más altos tampoco. En particular, no es un espacio Hausdorff. No ser Hausdorff, X no es una topología de orden, ni es metro.
• X es, sin embargo, regular, completamente regular, normal y completamente normal; todo de una manera bastante vacuo, sin embargo, ya que los únicos conjuntos cerrados son ∅ y X.
• X es compacto y por lo tanto paracompacto, Lindelöf, y localmente compacto.
• Cada función cuyo dominio es un espacio topológico y codomain X es continuo.
• X está conectado por el camino y tan conectado.
• X es de segunda cuenta, y por lo tanto es de primera cuenta, separable y Lindelöf.
• Todos los subespacios de X tienen la topología trivial.
• Todos los espacios cocientes de X tener la topología trivial
• Los productos arbitrarios de espacios to topológicos triviales, con la topología del producto o topología de la caja, tienen la topología trivial.
• Todas las secuencias en X converger a cada punto X. En particular, cada secuencia tiene una subsequencia convergente (la secuencia entera o cualquier otra subsequencia), por lo tanto X es secuencialmente compacto.
• El interior de cada conjunto excepto X está vacío.
• El cierre de cada subconjunto no vacío X es X. Ponga otra manera: cada subconjunto no vacío X es densa, una propiedad que caracteriza espacios triviales topológicos.
  • Como resultado de ello, el cierre de cada subconjunto abierto U de X es o bien ∅ (si U = ∅) o X (otros). En particular, el cierre de cada subconjunto abierto de X es otra vez un conjunto abierto, y por lo tanto X está extremadamente desconectado.
• Si S es cualquier subconjunto de X con más de un elemento, entonces todos los elementos X son puntos límite de S. Si S es un singleton, entonces cada punto X S sigue siendo un punto límite S.
• X es un espacio de Baire.
• Dos espacios topológicos que llevan la topología trivial son homeomorfos si tienen la misma cardenalidad.

En cierto sentido, lo opuesto a la topología trivial es la topología discreta, en la que cada subconjunto es abierto.

La topología trivial pertenece a un espacio uniforme en el que todo el producto cartesiano X × X es el único entorno.

Sea Top la categoría de espacios topológicos con mapas continuos y Set sea la categoría de conjuntos con funciones. Si G: Top → Set es el funtor que asigna a cada espacio topológico su conjunto subyacente (el llamado funtor olvidadizo), y H: Set → Top es el funtor que coloca la topología trivial en un conjunto dado, luego H (el así -llamado funtor cofree) está junto a la derecha de G. (El llamado funtor libre F: Set → Top que coloca la topología discreta en un conjunto dado se deja junto a G .)