Topología sin sentido

En matemáticas, topología sin sentido, también llamada topología sin puntos (o topología sin puntos) y teoría local, es un enfoque de la topología que evita mencionar puntos, y en el que las redes de conjuntos abiertos son las nociones primitivas. En este enfoque, es posible construir espacios topológicamente interesantes a partir de datos puramente algebraicos.

Historia

Los primeros enfoques de la topología fueron geométricos, donde se partía del espacio euclidiano y se unían las cosas. Pero el trabajo de Marshall Stone sobre la dualidad de Stone en la década de 1930 mostró que la topología se puede ver desde un punto de vista algebraico (teórico de celosía). Aparte de Stone, Henry Wallman fue la primera persona en explotar esta idea. Otros continuaron este camino hasta que Charles Ehresmann y su alumno Jean Bénabou (y simultáneamente otros), dieron el siguiente paso fundamental a finales de los años cincuenta. Sus ideas surgieron del estudio de "topológico" y "diferenciable" categorías.

El enfoque de Ehresmann implicaba el uso de una categoría cuyos objetos eran redes completas que satisfacían una ley distributiva y cuyos morfismos eran mapas que conservaban encuentros finitos y uniones arbitrarias. Llamó a tales retículas "retículas locales"; hoy se llaman "marcos" para evitar la ambigüedad con otras nociones en la teoría de celosía.

La teoría de marcos y locales en el sentido contemporáneo se desarrolló a lo largo de las siguientes décadas (John Isbell, Peter Johnstone, Harold Simmons, Bernhard Banaschewski, Aleš Pultr, Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers) en una rama activa de la topología, con aplicación en diversos campos, en particular también en la informática teórica. Para obtener más información sobre la historia de la teoría local, consulte la descripción general de Johnstone.

Intuición

Tradicionalmente, un espacio topológico consiste en un conjunto de puntos junto con un topología, un sistema de subconjuntos llamados conjuntos abiertos que con las operaciones de unión (como unirse) y la intersección (como reunirse) forma una celo con ciertas propiedades. Específicamente, la unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es de nuevo un conjunto abierto, y la intersección de finitos muchos conjuntos abiertos está de nuevo abierto. En topología inútil tomamos estas propiedades de la celosía como fundamentales, sin exigir que los elementos de la celo sean conjuntos de puntos de algún espacio subyacente y que la operación de la celosía sea intersección y unión. Más bien, la topología sin puntos se basa en el concepto de un "punto realista" en lugar de un punto sin alcance. Estos "spots" se pueden unir (symbol Alternativa Alternativa {displaystyle vee }), similar a un sindicato, y también tenemos una operación de encuentro para puntos (símbolo ∧ ∧ {displaystyle land }), similar a una intersección. Usando estas dos operaciones, los puntos forman una celosía completa. Si un lugar se reúne con una unión de otros tiene que encontrar a algunos de los constituyentes, lo que, aproximadamente, conduce a la ley distributiva

b∧ ∧ ()⋁ ⋁ i▪ ▪ Iai)=⋁ ⋁ i▪ ▪ I()b∧ ∧ ai){displaystyle bwedge left(bigvee _{iin I}a_{i}right)=bigvee _{iin I}left(bwedge a_{i}right)}

Donde ai{displaystyle A_{i} y b{displaystyle b} son manchas y la familia índice I{displaystyle Yo... puede ser arbitrariamente grande. Esta ley distributiva también está satisfecha por la celosía de conjuntos abiertos de un espacio topológico.

Si X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son espacios topológicos con celosías de conjuntos abiertos denotados por Ω Ω ()X){displaystyle Omega (X)} y Ω Ω ()Y){displaystyle Omega (Y)}, respectivamente, y f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} es un mapa continuo, entonces, ya que la pre-imagen de un conjunto abierto bajo un mapa continuo está abierta, obtenemos un mapa de latijas en la dirección opuesta: fAlternativa Alternativa :: Ω Ω ()Y)→ → Ω Ω ()X){displaystyle f^{*}colon Omega (Y)to Omega (X)}. Tales mapas de lattice "opposite-direction" sirven así como la generalización adecuada de mapas continuos en el entorno sin puntos.

Definiciones formales

El concepto básico es el de un marco, una red completa que satisface la ley distributiva general anterior; Los homomorfismos de marcos son mapas entre marcos que respetan todas las uniones (en particular, el elemento más pequeño de la red) y los encuentros finitos (en particular, el elemento más grande de la red). Los marcos, junto con los homomorfismos de marcos, forman una categoría.

La categoría opuesta de la categoría de marcos es conocida como categoría de locales. Un local X{displaystyle X} por lo tanto no es más que un marco; si lo consideramos como un marco, lo escribiremos como O()X){displaystyle O(X)}. A morfismo local X→ → Y{displaystyle Xto Y} de la localidad X{displaystyle X} a la localidad Y{displaystyle Sí. es dado por un homomorfismo marco O()Y)→ → O()X){displaystyle O(Y)to O(X)}.

Cada espacio topológico T{displaystyle T} da lugar a un marco Ω Ω ()T){displaystyle Omega (T)} de conjuntos abiertos y así a un local. Un local se llama espacial si es isomorfo (en la categoría de locales) a un lugar que surge de un espacio topológico de esta manera.

Ejemplos de locales

• Como se mencionó anteriormente, cada espacio topológico T{displaystyle T} da lugar a un marco Ω Ω ()T){displaystyle Omega (T)} de conjuntos abiertos y así a un local, por definición un espacio.
• Dado un espacio topológico T{displaystyle T}, también podemos considerar la colección de sus conjuntos abiertos regulares. Se trata de un marco que se une al interior del cierre del sindicato, y que se reúne con la intersección. Así obtenemos otro local asociado a T{displaystyle T}. Este lugar normalmente no será espacial.
• Para cada uno n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N} y cada uno a▪ ▪ R{displaystyle ain mathbb {R}, utilizar un símbolo Un,a{displaystyle U_{n,a} y construir el marco libre en estos símbolos, modulo las relaciones

⋁ ⋁ a▪ ▪ RUn,a=⊤ ⊤ para todosn▪ ▪ N{displaystyle bigvee _{ain mathbb {R} }U_{n,a}=top {text{ for every }nin mathbb {N}

Un,a∧ ∧ Un,b=⊥ ⊥ para todosn▪ ▪ Ny todosa,b▪ ▪ Rconaل ل b{displaystyle U_{n,a}land U_{n,b}=bot {text{ for every }nin mathbb {N} {text{ and all }a,bin mathbb {R} {text{ with }aneq b}

⋁ ⋁ n▪ ▪ NUn,a=⊤ ⊤ para todosa▪ ▪ R{displaystyle bigvee _{nin mathbb {N}U_{n,a}=top {text{ for every }ain mathbb {R}

(donde) ⊤ ⊤ {displaystyle top } denota el mayor elemento y ⊥ ⊥ {displaystyle bot } el elemento más pequeño del marco.) El local resultante es conocido como "la ubicación de las funciones subjetivas N→ → R{displaystyle mathbb {N} to mathbb {R}". Las relaciones están diseñadas para sugerir la interpretación de Un,a{displaystyle U_{n,a} como conjunto de todas esas funciones subjetivas f:N→ → R{displaystyle f:mathbb {N} to mathbb {R} con f()n)=a{displaystyle f(n)=a}. Por supuesto, no hay tales funciones subjetivas N→ → R{displaystyle mathbb {N} to mathbb {R}, y esto no es un local espacial.

La teoría de los lugares

Hemos visto que tenemos un functor Ω Ω {displaystyle Omega } desde la categoría de espacios topológicos y mapas continuos a la categoría de locales. Si restringimos este functor a la subcategoría completa de los espacios sobrios, obtenemos una completa incrustación de la categoría de espacios sobrios y mapas continuos en la categoría de locales. En este sentido, los locales son generalizaciones de espacios sobrios.

Es posible traducir la mayoría de los conceptos de la topología de conjuntos de puntos al contexto de las configuraciones regionales y demostrar teoremas análogos. Algunos hechos importantes de la topología clásica que dependen de los principios de elección se vuelven libres de elección (es decir, constructivos, lo que es, en particular, atractivo para la informática). Así, por ejemplo, los productos arbitrarios de locales compactos son constructivamente compactos (este es el teorema de Tychonoff en la topología de conjuntos de puntos), o las completaciones de locales uniformes son constructivas. Esto puede ser útil si se trabaja en un topos que no tiene el axioma de elección. Otras ventajas incluyen el comportamiento mucho mejor de la paracompactidad, con productos arbitrarios de lugares paracompactos que son paracompactos, lo que no es cierto para espacios paracompactos, o el hecho de que los subgrupos de grupos locales siempre están cerrados.

Otro punto donde la topología y la teoría local se divergen fuertemente es los conceptos de subespacios versus sublocales, y densidad: dada cualquier colección de sublocales densos de un locale X{displaystyle X}, su intersección es también densa en X{displaystyle X}. Esto conduce al teorema de densidad de Isbell: cada local tiene una sublocale más pequeña densa. Estos resultados no tienen equivalente en el ámbito de los espacios topológicos.