Topología i-ádica

En álgebra conmutativa, el estudio matemático de los anillos conmutativos, las topologías ádicas son una familia de topologías sobre elementos de un módulo, generalizando las topologías p-ádicas sobre los números enteros.

Definición

Sea R un anillo conmutativo y M un módulo R. Luego, cada 𝔞 ideal de R determina una topología en M denominada topología 𝔞-ádica, caracterizada por la pseudométrica

d()x,Sí.)=2− − Sup{}n:x− − Sí.▪ ▪ anM}.{displaystyle d(x,y)=2^{-sup {n:x-yin {fnMithfrak {fn}}} {text{}}}}}

{}x+anM:x▪ ▪ M,n▪ ▪ Z+}{displaystyle {x+{mathfrak {a}{n}M:xin M,nin mathbb {Z} ^{+}}

Propiedades

Con respecto a la topología, las operaciones de suma y multiplicación del módulo son continuas, de modo que M se convierte en un módulo topológico. Sin embargo, M no necesita ser Hausdorff; es Hausdorff cuando y solo cuando

0}{{mathfrak {a}}^{n}M}=0{text{,}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">⋂ ⋂ n■0anM=0,{displaystyle bigcap _{n confianza0}{mathfrak {fn} {fn} {fnK}}}

0}{{mathfrak {a}}^{n}M}=0{text{,}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68c089870bfd820a00c057d4f94d2883ab8a255" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.205ex; height:5.509ex;"/>

El homomorfismo canónico a M/N induce una topología de cociente que coincide con la 𝔞-topología ádica. El resultado análogo no es necesariamente cierto para el submódulo N: la topología del subespacio no necesita ser 𝔞 -ádico. Sin embargo, las dos topologías coinciden cuando R es noetheriana y M generado finitamente, un resultado conocido como el lema de Artin-Rees.

Finalización

Cuando M Es Hausdorff, M puede completarse como un espacio métrico; el espacio resultante es denotado por M^ ^ {displaystyle {widehat {M}} y tiene la estructura del módulo obtenida ampliando las operaciones del módulo por continuidad. También es lo mismo que (o canónicamente isomorfo a):

M^ ^ =lim← ← ⁡ ⁡ M/anM{displaystyle {widehat {M}=varprojlim M/{mathfrak {a}} {} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}} {fn} {fn}}} {fn}}}}}}}}

Por ejemplo, sea R=k[x₁,...x_n] sea un anillo polinomial sobre un campo y 𝔞=(x₁,...x_n) el ideal maximal. Entonces R̂=k[[x₁,...x_n]] es un anillo formal de series de potencias.

Submódulos cerrados

Como consecuencia de lo anterior, a- cierre adictivo de un submodulo N⊆M es 0}{(N+{mathfrak {a}}^{n}M)}{text{.}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">N̄ ̄ =⋂ ⋂ n■0()N+anM).{textstyle {fnMicrosoft Sans Serif} {N}=bigcap _{n título0} {N+{mathfrak {} {n}M)}{text{}}}}}}0}{(N+{mathfrak {a}}^{n}M)}{text{.}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58eee013031558a868eb4d79c8d05f35f0450811" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.231ex; height:3.676ex;"/> Este cierre coincide con N siempre R es a- Completa y M se genera finitamente.

R se llama Zariski con respecto a 𝔞 si todo ideal en R es 𝔞-adicamente cerrado. Hay una caracterización:

R es Zariski con respecto a a si a está contenida en el radical Jacobson de R.

En particular, un anillo local noetheriano es Zariski con respecto al ideal máximo.