Topología general

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Rama de la topología

La curva sine del Topólogo, un ejemplo útil en la topología de puntos. Está conectado pero no conectado con el camino.

En matemáticas, la topología general (o topología de conjuntos de puntos) es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos utilizadas en la topología. Es la base de la mayoría de las demás ramas de la topología, incluida la topología diferencial, la topología geométrica y la topología algebraica.

Los conceptos fundamentales en la topología de conjunto de puntos son continuidad, compacidad y conectividad:

Funciones continuas, intuitivamente, tomar puntos cercanos a puntos cercanos.
Los conjuntos compactos son aquellos que pueden ser cubiertos por finitamente muchos conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño.
Los conjuntos conectados son conjuntos que no pueden dividirse en dos piezas que están muy separadas.

Los términos 'cerca de', 'arbitrariamente pequeño' y 'lejos de distancia' todos pueden precisarse utilizando el concepto de conjuntos abiertos. Si cambiamos la definición de 'conjunto abierto', cambiamos lo que son las funciones continuas, los conjuntos compactos y los conjuntos conexos. Cada opción de definición de 'conjunto abierto' se llama una topología. Un conjunto con una topología se denomina espacio topológico.

Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos en los que se puede definir una distancia real no negativa, también llamada métrica, en pares de puntos del conjunto.. Tener una métrica simplifica muchas pruebas y muchos de los espacios topológicos más comunes son espacios métricos.

Historia

La topología general surgió de una serie de áreas, las más importantes son las siguientes:

el estudio detallado de subconjuntos de la línea real (una vez conocido como topología de conjuntos de puntos; este uso es ahora obsoleto)
la introducción del concepto múltiple
el estudio de los espacios métricos, especialmente los espacios lineales, en los primeros días del análisis funcional.

La topología general asumió su forma actual alrededor de 1940. Captura, se podría decir, casi todo en la intuición de la continuidad, en una forma técnicamente adecuada que se puede aplicar en cualquier área de las matemáticas.

Una topología en un conjunto

Sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Entonces τ se denomina topología en X si:

Tanto el set vacío X son elementos de τ
Cualquier unión de elementos τ es un elemento τ
Cualquier intersección de muchos elementos finitos τ es un elemento τ

Si τ es una topología en X, entonces el par (X, τ) se llama espacio topológico. La notación X_τ puede usarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ.

Los miembros de τ se denominan conjuntos abiertos en X. Se dice que un subconjunto de X es cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento está abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos (conjunto cerrado) o ninguno. El conjunto vacío y el propio X siempre son tanto cerrados como abiertos.

Base para una topología

A base (o base) B para un espacio topológico X con topología T es una colección de conjuntos abiertos en T tal que cada conjunto abierto en T se puede escribir como una unión de elementos de B. Decimos que la base genera la topología T. Las bases son útiles porque muchas propiedades de las topologías se pueden reducir a declaraciones sobre una base que genera esa topología, y porque muchas topologías se definen más fácilmente en términos de una base que las genera.

Subespacio y cociente

A cada subconjunto de un espacio topológico se le puede dar la topología de subespacio en la que los conjuntos abiertos son las intersecciones de los conjuntos abiertos del espacio más grande con el subconjunto. Para cualquier familia indexada de espacios topológicos, al producto se le puede dar la topología del producto, que se genera mediante las imágenes inversas de conjuntos abiertos de los factores bajo las asignaciones de proyección. Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consta de todos los productos de conjuntos abiertos. Para productos infinitos, existe el requisito adicional de que en un conjunto abierto básico, todas menos una cantidad finita de sus proyecciones son el espacio completo.

Un espacio de cociente se define de la siguiente manera: si X es un espacio topológico y Y es un conjunto, y si f: X→ Y es una función sobreyectiva, entonces la topología del cociente en Y es la colección de subconjuntos de Y que tienen abierto imágenes inversas bajo f. En otras palabras, la topología del cociente es la topología más fina sobre Y para la cual f es continua. Un ejemplo común de topología de cociente es cuando se define una relación de equivalencia en el espacio topológico X. El mapa f es entonces la proyección natural sobre el conjunto de clases de equivalencia.

Ejemplos de espacios topológicos

Un conjunto dado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le da una topología diferente, se lo ve como un espacio topológico diferente.

Topologías discretas y triviales

A cualquier conjunto se le puede dar la topología discreta, en la que cada subconjunto está abierto. Las únicas sucesiones o redes convergentes en esta topología son aquellas que finalmente son constantes. Además, a cualquier conjunto se le puede dar la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que solo el conjunto vacío y el espacio completo están abiertos. Cada secuencia y red en esta topología converge en cada punto del espacio. Este ejemplo muestra que en espacios topológicos generales, los límites de secuencias no necesitan ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff donde los puntos límite son únicos.

Topologías cofinitas y cocontables

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Esta es la topología T1 más pequeña en cualquier conjunto infinito.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cocontable, en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o si su complemento es contable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.

Topologías sobre los números reales y complejos

Hay muchas formas de definir una topología sobre R, el conjunto de números reales. La topología estándar en R es generada por los intervalos abiertos. El conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de alguna colección de conjuntos desde la base. En particular, esto significa que un conjunto es abierto si existe un intervalo abierto de radio distinto de cero alrededor de cada punto del conjunto. De manera más general, a los espacios euclidianos Rⁿ se les puede dar una topología. En la topología usual en Rⁿ los conjuntos abiertos básicos son las bolas abiertas. De manera similar, C, el conjunto de números complejos, y Cⁿ tienen una topología estándar en la que el abierto básico Los juegos son bolas abiertas.

A la línea real también se le puede dar la topología de límite inferior. Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos semiabiertos [a, b). Esta topología en R es estrictamente más fina que la topología euclidiana definida anteriormente; una secuencia converge a un punto en esta topología si y solo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener muchas topologías distintas definidas.

La topología métrica

A cada espacio métrico se le puede dar una topología métrica, en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas definidas por la métrica. Esta es la topología estándar en cualquier espacio vectorial normado. En un espacio vectorial de dimensión finita, esta topología es la misma para todas las normas.

Más ejemplos

Existen numerosas topologías en cualquier conjunto finito dado. Tales espacios se denominan espacios topológicos finitos. A veces se utilizan espacios finitos para proporcionar ejemplos o contraexamplos para conjeturas sobre espacios topológicos en general.
Cada manifold tiene una topología natural, ya que es localmente Euclidean. Del mismo modo, cada simplex y cada complejo simplicial hereda una topología natural de Rⁿ.
La topología de Zariski se define algebraicamente en el espectro de un anillo o una variedad algebraica. On Rⁿ o Cⁿ, los conjuntos cerrados de la topología Zariski son los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas.
Un gráfico lineal tiene una topología natural que generaliza muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con vértices y bordes.
Muchos conjuntos de operadores lineales en análisis funcional están dotados de topologías que se definen especificando cuando una secuencia particular de funciones converge a la función cero.
Cualquier campo local tiene una topología nativa de ella, y esto se puede extender a espacios vectoriales sobre ese campo.
El espacio Sierpiński es el espacio topológico más simple y no revelado. Tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica.
Si la luminaria es un número ordinal, entonces la luminaria del conjunto = [0, Dimension) se puede dotar con la topología del pedido generada por los intervalos (a,b), [0,b) y (aDonde a y b son elementos de cúmulo.

Funciones continuas

La continuidad se expresa en términos de vecindades: $f$ es continua en algún punto $x \in X$ si y solo si para cualquier vecindario $V$ de <span class="texhtml" f(x), hay un vecindario $U$ de x tal que $f (U) \subseteq V$ . Intuitivamente, la continuidad significa que no importa cuán "pequeño" $V$ se vuelve, siempre hay una $U$ que contiene $x$ que mapea dentro de $V$ y cuya imagen debajo de $f$ contiene $f (x)$ . Esto es equivalente a la condición de que las preimágenes de los conjuntos abiertos (cerrados) en $Y$ estén abiertas (cerradas) en $X$ . En espacios métricos, esta definición es equivalente a la definición ε–δ que se usa a menudo en el análisis.

Un ejemplo extremo: si a un conjunto $X$ se le da la topología discreta, todas las funciones

fcolon Xrightarrow T

a cualquier espacio topológico $T$ son continuos. Por otro lado, si $X$ está equipado con la topología indiscreta y el espacio $T$ conjunto es al menos T0, entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. Por el contrario, cualquier función cuyo rango es indiscreto es continua.

Definiciones alternativas

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica y, por lo tanto, hay varias formas equivalentes de definir una función continua.

Definición de barrio

Las definiciones basadas en preimágenes suelen ser difíciles de usar directamente. El siguiente criterio expresa la continuidad en términos de vecindades: f es continua en algún punto x ∈ X si y solo si para cualquier vecindad V de f(x), existe un entorno U de x tal que f(U) ⊆ V. Intuitivamente, la continuidad significa que no importa cuán "pequeño" V se vuelve, siempre hay una U que contiene x que se mapea dentro de V.

Si X e Y son espacios métricos, es equivalente a considerar el sistema de vecindad de bolas abiertas centradas en x y f(x) en lugar de todos los vecindarios. Esto devuelve la definición anterior de continuidad δ-ε en el contexto de los espacios métricos. Sin embargo, en los espacios topológicos generales, no existe la noción de cercanía o distancia.

Tenga en cuenta, sin embargo, que si el espacio objetivo es Hausdorff, sigue siendo cierto que f es continuo en a si y solo si el límite de f cuando x se acerca a a es f(a). En un punto aislado, toda función es continua.

Secuencias y redes

En varios contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite. En muchos casos, esto se logra especificando cuándo un punto es el límite de una secuencia, pero para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, también se especifica cuándo un punto es el límite de conjuntos de puntos más generales indexados por una secuencia dirigida. conjunto, conocido como redes. Una función es continua sólo si lleva límites de sucesiones a límites de sucesiones. En el primer caso, también es suficiente la preservación de los límites; en el último, una función puede preservar todos los límites de las secuencias y aun así dejar de ser continua, y la preservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función f: X → Y es secuencialmente continua si siempre que una secuencia (x_n) en X converge a un límite x, la sucesión (f(x_n)) converge a f(x). Por lo tanto, las funciones secuencialmente continuas "preservan los límites secuenciales". Toda función continua es secuencialmente continua. Si X es un primer espacio contable y se cumple la elección contable, entonces también se cumple lo contrario: cualquier función que preserve los límites secuenciales es continua. En particular, si X es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para espacios no contables en primer lugar, la continuidad secuencial podría ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los que las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en espacios topológicos generales. Las funciones continuas conservan los límites de las redes y, de hecho, esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.

Definición del operador de cierre

En lugar de especificar los subconjuntos abiertos de un espacio topológico, la topología también puede determinarse mediante un operador de cierre (denotado cl), que asigna a cualquier subconjunto A ⊆ X su cierre, o un operador interior (denotado int), que asigna a cualquier subconjunto A de X su interior. En estos términos, una función

fcolon (X,mathrm {cl})to (X',mathrm {cl} '),

entre espacios topológicos es continua en el sentido anterior si y solo si para todos los subconjuntos A de X

f(mathrm {cl} (A))subseteq mathrm {cl} '(f(A)).

Es decir, dado cualquier elemento x de X que está en la clausura de cualquier subconjunto A, f(x) pertenece a la clausura de f(A). Esto es equivalente al requisito de que para todos los subconjuntos A' de X'

f^{-1}(mathrm {cl} '(A'))supseteq mathrm {cl} (f^{-1}(A')).

Además,

fcolon (X,mathrm {int})to (X',mathrm {int} '),

es continua si y solo si

f^{-1}(mathrm {int} '(A))subseteq mathrm {int} (f^{-1}(A))

para cualquier subconjunto A de X.

Propiedades

Si f: X → Y y g: Y → Z son continuos, entonces también lo es la composición g ∘ f: X → Z. Si f: X → Y es continuo y

X es compacto, entonces f()X) es compacto.
X está conectado, entonces f()X) está conectado.
X está conectado por el camino, entonces f()X) está conectado con el camino.
X es Lindelöf, entonces f()XEs Lindelöf.
X es separable, entonces f()X) es separable.

Las topologías posibles sobre un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas: se dice que una topología τ₁ es más gruesa que otra topología τ₂ (notación: τ₁ ⊆ τ₂) si todo subconjunto abierto con respecto a τ₁ también está abierto con respecto a τ₂. Entonces, el mapa de identidad

id_X#X, τ₂) →X, τ₁)

es continua si y solo si τ₁ ⊆ τ₂ (ver también comparación de topologías). Más generalmente, una función continua

(X,tau _{X})rightarrow (Y,tau _{Y})

permanece continuo si la topología τ_Y se reemplaza por una topología más gruesa y/o τ_X es reemplazada por una topología más fina.

Homeomorfismos

Simétrico al concepto de un mapa continuo es un mapa abierto, para el cual las imágenes de conjuntos abiertos están abiertas. De hecho, si un mapa abierto f tiene una función inversa, ese inverso es continuo, y si un mapa continuo g tiene un inverso, ese inverso es abierto. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa f⁻¹ no necesita ser continua. Una función continua biyectiva con función inversa continua se llama homeomorfismo.

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff, entonces es un homeomorfismo.

Definir topologías a través de funciones continuas

Dada una función

fcolon Xrightarrow S,,

donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología específica), la topología final en S está definida por dejando que los conjuntos abiertos de S sean aquellos subconjuntos A de S para los cuales f⁻¹(A) está abierto en X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más gruesa que la topología final en S. Por lo tanto, la topología final se puede caracterizar como la topología más fina en S que hace que f sea continua. Si f es sobreyectiva, esta topología se identifica canónicamente con la topología del cociente bajo la relación de equivalencia definida por f.

Dualmente, para una función f de un conjunto S a un espacio topológico, la topología inicial sobre S tiene como subconjuntos abiertos A de S aquellos subconjuntos para los que f(A) está abierto en X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más fina que la topología inicial en S. Por lo tanto, la topología inicial se puede caracterizar como la topología más gruesa en S que hace que f sea continua. Si f es inyectivo, esta topología se identifica canónicamente con la topología subespacial de S, vista como un subconjunto de X.

Una topología en un conjunto S está determinado por la clase de todas las funciones continuas $Srightarrow X$ en todos los espacios topológicos X. Dually, una idea similar se puede aplicar a mapas $Xrightarrow S.$

Conjuntos compactos

Formalmente, un espacio topológico X se llama compacto si cada una de sus cubiertas abiertas tiene una subcubierta finita. De lo contrario, se llama no compacto. Explícitamente, esto significa que para cada colección arbitraria

{U_{alpha }}_{alpha in A}

de subconjuntos abiertos de $X$ tal que

X=bigcup _{alpha in A}U_{alpha },

hay un subconjunto finito $J$ de $A$ tal que

X=bigcup _{iin J}U_{i}.

Algunas ramas de las matemáticas como la geometría algebraica, típicamente influenciada por la escuela francesa de Bourbaki, usan el término cuasi-compacto para la noción general y reservan el término compacto para espacios topológicos que son Hausdorff y cuasi-compactos. Un conjunto compacto a veces se denomina compactum, plural compacta.

Todo intervalo cerrado en R de longitud finita es compacto. Más es cierto: en Rⁿ, un conjunto es compacto si y solo si es cerrado y acotado. (Véase el teorema de Heine-Borel).

Toda imagen continua de un espacio compacto es compacta.

Se cierra un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff.

Toda biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es necesariamente un homeomorfismo.

Toda secuencia de puntos en un espacio métrico compacto tiene una subsecuencia convergente.

Toda variedad compacta de dimensión finita se puede incrustar en algún espacio euclidiano Rⁿ.

Conjuntos conectados

Se dice que un espacio topológico X está desconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos no vacíos. De lo contrario, se dice que X está conectado. Se dice que un subconjunto de un espacio topológico está conectado si está conectado bajo su topología de subespacio. Algunos autores excluyen el conjunto vacío (con su topología única) como espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica.

Para un espacio topológico X las siguientes condiciones son equivalentes:

X está conectado.
X no puede dividirse en dos conjuntos cerrados no vacíos.
Los únicos subconjuntos de X que están abiertos y cerrados (grupos de cierre) X y el set vacío.
Los únicos subconjuntos de X con límite vacío X y el set vacío.
X no puede ser escrito como la unión de dos conjuntos separados no vacíos.
Las únicas funciones continuas de X a {0,1}, el espacio de dos puntos dotado con la topología discreta, son constantes.

Cada intervalo en R es conexo.

La imagen continua de un espacio conectado está conectada.

Componentes conectados

Los subconjuntos conectados máximos (ordenados por inclusión) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conectados del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico X forman una partición de X: son disjuntos, no vacíos, y su unión es el espacio total. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, las componentes conexas del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto, que no son abiertos.

Vamos $Gamma _{x}$ ser el componente conectado x en un espacio topológico X, y $Gamma _{x}'$ ser la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen x (llamado cuasi-componente de x.) Entonces... $Gamma _{x}subset Gamma '_{x}$ donde se mantiene la igualdad X es compacto Hausdorff o conectado localmente.

Espacios desconectados

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se denomina totalmente desconectado. Relacionado con esta propiedad, un espacio X se llama totalmente separado si, para dos elementos distintos x e y de X, existen barrios abiertos disjuntos U de x y V de y tal que X es la unión de U y V. Claramente, cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero no ocurre lo contrario. Por ejemplo, tome dos copias de los números racionales Q e identifíquelos en todos los puntos excepto en el cero. El espacio resultante, con la topología del cociente, es totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias del cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera es Hausdorff, y la condición de estar totalmente separados es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.

Conjuntos conectados por caminos

Este subespacio R2 está conectado con el camino, porque se puede dibujar un camino entre dos puntos en el espacio.

Un camino desde un punto x hasta un punto y en un espacio topológico X es una función continua f del intervalo unitario [0,1] a X con f(0) = x y f(1) = y. Un path-component de X es una clase de equivalencia de X bajo la relación de equivalencia, lo que hace que x sea equivalente a y si hay una ruta de x a y. Se dice que el espacio X es conexo por caminos (o conexo por caminos o conexo por 0) si hay como máximo un componente de ruta; es decir, si hay un camino que une dos puntos cualquiera en X. De nuevo, muchos autores excluyen el espacio vacío.

Todos los espacios conectados por rutas están conectados. Lo contrario no siempre es cierto: los ejemplos de espacios conectados que no están conectados por caminos incluyen la línea larga extendida L* y la curva sinusoidal del topólogo.

Sin embargo, los subconjuntos de la línea real R están conectados si y solo si están conectados por ruta; estos subconjuntos son los intervalos de R. Además, subconjuntos abiertos de Rⁿ o Cⁿ están conectados si y solo si están conectados por rutas. Además, la conectividad y la conexión de ruta son las mismas para espacios topológicos finitos.

Productos de espacios

Dado X tal que

X:=prod _{iin I}X_{i},

es el producto cartesiano de los espacios topológicos X_i, indexado por $iin I$ , y el proyecciones canónicas p_i: X → X_i, el topología del producto on X se define como la topología más gruesa (es decir, la topología con los pocos conjuntos abiertos) para los cuales todas las proyecciones p_i son continuos. La topología del producto se llama a veces Topología Tychonoff.

Los conjuntos abiertos en la topología del producto son sindicatos (finito o infinito) de conjuntos de la forma $prod _{iin I}U_{i}$ , donde cada U_i está abierto X_i y U_iلX_i Sólo finitamente muchas veces. En particular, para un producto finito (en particular, para el producto de dos espacios topológicos), los productos de elementos base de los X_i da una base para el producto $prod _{iin I}X_{i}$ .

La topología del producto en X es la topología generada por conjuntos de la forma p_i⁻¹(U), donde i está en I y U es un subconjunto abierto de X_yo. En otras palabras, los conjuntos {p_i⁻¹(U)} forman una subbase para la topología en X. Un subconjunto de X es abierto si y solo si es una unión (posiblemente infinita) de intersecciones de un número finito de conjuntos de la forma p_i ⁻¹(U). Los p_i⁻¹(U) a veces se denominan cilindros abiertos y sus intersecciones son conjuntos de cilindros.

En general, el producto de las topologías de cada X_i forma una base para lo que se llama la topología de caja en X. En general, la topología de caja es más fina que la topología de producto, pero para productos finitos coinciden.

El teorema de Tychonoff está relacionado con la compacidad: el producto (arbitrario) de espacios compactos es compacto.

Axiomas de separación

Muchos de estos nombres tienen significados alternativos en parte de la literatura matemática, como se explica en Historia de los axiomas de separación; por ejemplo, los significados de "normal" y "T₄" a veces se intercambian, de manera similar "regular" y "T₃", etc. Muchos de los conceptos también tienen varios nombres; sin embargo, el que aparece en primer lugar siempre es menos probable que sea ambiguo.

La mayoría de estos axiomas tienen definiciones alternativas con el mismo significado; las definiciones dadas aquí caen en un patrón consistente que relaciona las diversas nociones de separación definidas en la sección anterior. Otras definiciones posibles se pueden encontrar en los artículos individuales.

En todas las siguientes definiciones, X es nuevamente un espacio topológico.

X es T0, o Kolmogorov, si hay dos puntos distintos en X son topológicamente distinguibles. (Es un tema común entre los axiomas de separación tener una versión de un axioma que requiere T₀ y una versión que no lo hace.)
X es T1, o accesible o Fréchet, si hay dos puntos distintos en X están separados. Así, X T₁ si y sólo si es T₀ y R₀. (Aunque puedas decir cosas como T₁ espacio, Fréchet topology, y Supongamos que el espacio topológico X Fréchet, evitar decir Espacio Fréchet en este contexto, ya que hay otra noción totalmente diferente del espacio Fréchet en el análisis funcional.)
X es Hausdorff, o T₂ o separados, si hay dos puntos distintos en X están separados por barrios. Así, X es Hausdorff si y sólo si es T₀ y R₁. Un espacio Hausdorff también debe ser T₁.
X es T21⁄2, o Urysohn, si hay dos puntos distintos en X están separados por barrios cerrados. A T_21⁄2 El espacio también debe ser Hausdorff.
X es ordinario, o T₃, si es T₀ y si se da algún punto x y conjunto cerrado F dentro X tales que x no pertenece a F, están separados por barrios. (De hecho, en un espacio regular, x y F también está separado por barrios cerrados.)
X es Tychonoff, o T_31⁄2, T completamente₃, o completamente regular, si es T₀ y si f, dado cualquier punto x y conjunto cerrado F dentro X tales que x no pertenece a F, están separados por una función continua.
X es normal, o T₄, si es Hausdorff y si alguno de los dos subconjuntos cerrados de X están separados por barrios. (De hecho, un espacio es normal si y sólo si alguno de los dos conjuntos cerrados disyuntos puede ser separado por una función continua; este es el lema de Urysohn).
X es completamente normal, o T₅ o T completamente₄, si es T₁ y si alguno de los dos grupos separados están separados por los barrios. Un espacio completamente normal también debe ser normal.
X es perfectamente normal, o T₆ o perfectamente₄, si es T₁ y si alguno de los dos conjuntos cerrados se separan precisamente por una función continua. Un espacio Hausdorff perfectamente normal también debe ser completamente normal Hausdorff.

El teorema de extensión de Tietze: en un espacio normal, cada función continua de valor real definida en un subespacio cerrado puede extenderse a un mapa continuo definido en todo el espacio.

Axiomas de contabilidad

Un axioma de contabilidad es una propiedad de ciertos objetos matemáticos (generalmente en una categoría) que requiere la existencia de un conjunto contable con ciertas propiedades, mientras que sin él dichos conjuntos podrían no existir.

Axiomas de contabilidad importantes para espacios topológicos:

espacio secuencial: un conjunto está abierto si cada secuencia convergente a un punto en el conjunto es eventualmente en el conjunto
espacio de primera cuenta: cada punto tiene una base de barrio contable (base local)
espacio de segunda cuenta: la topología tiene una base contable
espacio separable: existe un subespacial denso contable
Espacio Lindelöf: cada cubierta abierta tiene una cubierta contable
Espacio completo σ: existe una cubierta contable por espacios compactos

Relaciones:

Cada primer espacio contable es secuencial.
Cada segundo espacio es de primera cuenta, separable y Lindelöf.
Cada espacio completo es Lindelöf.
Un espacio métrico es de primera cuenta.
Para los espacios métricos de segunda cuenta, separabilidad, y la propiedad Lindelöf son todos equivalentes.

Espacios métricos

A espacio métrico es un par ordenado $(M,d)$ Donde $M$ es un conjunto y $d$ es una métrica $M$ , es decir, una función

dcolon Mtimes Mrightarrow mathbb {R}

tal que para cualquier $x,y,zin M$ , las siguientes bodegas:

$d(x,y)geq 0$ ()no negativo),
$d(x,y)=0,$ Sip $x=y,$ ()identidad de indiscernibles),
$d(x,y)=d(y,x),$ ()simetría) y
$d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z)$ ()desigualdad).

La función $d$ también se llama función de distancia o simplemente distancia. A menudo, $d$ es omitido y uno acaba de escribir $M$ para un espacio métrico si es claro desde el contexto lo que se utiliza métrica.

Todo espacio métrico es paracompacto y Hausdorff, y por lo tanto normal.

Los teoremas de metrización proporcionan condiciones necesarias y suficientes para que una topología provenga de una métrica.

Teorema de la categoría de Baire

El teorema de la categoría de Baire dice: Si X es un espacio métrico completo o un espacio de Hausdorff localmente compacto, entonces el interior de cada unión de muchos conjuntos contablemente densos en ninguna parte está vacío.

Cualquier subespacio abierto de un espacio de Baire es en sí mismo un espacio de Baire.

Principales áreas de investigación

Tres iteraciones de una construcción curva Peano, cuyo límite es una curva de llenado de espacio. La curva Peano se estudia en la teoría continuum, una rama de topología general.

Teoría del continuo

Un continuum (pl. continua) es un espacio métrico compacto conexo no vacío o, con menos frecuencia, un espacio compacto de Hausdorff conexo. La teoría de los continuos es la rama de la topología dedicada al estudio de los continuos. Estos objetos surgen con frecuencia en casi todas las áreas de topología y análisis, y sus propiedades son lo suficientemente sólidas como para producir muchos elementos 'geométricos' características.

Sistemas dinámicos

La dinámica topológica se refiere al comportamiento de un espacio y sus subespacios a lo largo del tiempo cuando están sujetos a cambios continuos. Muchos ejemplos con aplicaciones a la física y otras áreas de las matemáticas incluyen dinámica de fluidos, billar y flujos en colectores. Las características topológicas de los fractales en geometría fractal, de los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot que surgen en dinámicas complejas, y de los atractores en ecuaciones diferenciales, suelen ser fundamentales para comprender estos sistemas.

Topología sin sentido

Topología sin puntos (también llamada punto libre o topología sin puntos) es un enfoque de la topología que evita mencionar puntos. El nombre 'topología sin sentido' se debe a John von Neumann. Las ideas de topología sin sentido están estrechamente relacionadas con las mereotopologías, en las que las regiones (conjuntos) se tratan como fundacionales sin una referencia explícita a los conjuntos de puntos subyacentes.

Teoría de las dimensiones

La teoría de las dimensiones es una rama de la topología general que se ocupa de las invariantes dimensionales de los espacios topológicos.

Álgebras topológicas

Un álgebra topológica A sobre un campo topológico K es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación continua

cdot:Atimes Alongrightarrow A

(a,b)longmapsto acdot b

eso lo convierte en un álgebra sobre K. Un álgebra topológica asociativa unitaria es un anillo topológico.

El término fue acuñado por David van Dantzig; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).

Teoría de la metrizabilidad

En topología y áreas relacionadas de matemáticas, a espacio habitable es un espacio topológico que es homeomórfico a un espacio métrico. Es decir, un espacio topológico $(X,tau)$ se dice que se puede medir si hay una métrica

dcolon Xtimes Xto [0,infty)

tal que la topología inducida por d es $tau$ . Teoremas de fusión son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metro.

Topología de teoría de conjuntos

La topología de la teoría de conjuntos es una asignatura que combina la teoría de conjuntos y la topología general. Se centra en cuestiones topológicas que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Un problema famoso es la cuestión del espacio de Moore normal, una cuestión de topología general que fue objeto de una intensa investigación. Finalmente se demostró que la respuesta a la pregunta normal del espacio de Moore era independiente de ZFC.

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