Topología diferencial

En matemáticas, la topología diferencial es el campo que se ocupa de las propiedades topológicas y las propiedades uniformes de las variedades uniformes. En este sentido, la topología diferencial es distinta del campo estrechamente relacionado de la geometría diferencial, que se refiere a las propiedades geométricas de las variedades uniformes, incluidas las nociones de tamaño, distancia y forma rígida. En comparación, la topología diferencial se ocupa de propiedades más gruesas, como el número de agujeros en una variedad, su tipo de homotopía o la estructura de su grupo de difeomorfismo. Debido a que muchas de estas propiedades más gruesas pueden capturarse algebraicamente, la topología diferencial tiene fuertes vínculos con la topología algebraica.

La teoría Morse de la función de altura en un torus puede describir su tipo de homotopy.

El objetivo central del campo de la topología diferencial es la clasificación de todas las variedades uniformes hasta el difeomorfismo. Dado que la dimensión es una invariante de las variedades suaves hasta el tipo de difeomorfismo, esta clasificación se estudia a menudo clasificando las variedades (conectadas) en cada dimensión por separado:

• En la dimensión 1, los únicos andamios suaves hasta la diffeomorfismo son el círculo, la línea de número real, y permitiendo un límite, el intervalo medio cerrado [0,1){displaystyle [0,1)} y intervalo completamente cerrado [0,1]{displaystyle [0,1]}.
• En la dimensión 2, cada superficie cerrada se clasifica hasta la diffeomorfismo por su género, el número de agujeros (o equivalentemente su característica de Euler), y si es o no orientable. Esta es la famosa clasificación de superficies cerradas. Ya en la dimensión dos la clasificación de superficies no compactas se hace difícil, debido a la existencia de espacios exóticos como la escalera de Jacob.
• En la dimensión 3, la conjetura de geometrización de William Thurston, probada por Grigori Perelman, da una clasificación parcial de tres múltiples compactos. Incluido en este teorema es la conjetura Poincaré, que afirma que cualquier cerrado, simplemente conectado de tres manos es homeomorfo (y de hecho diffeomorfo) al 3-sphere.

Un cobordismoW; M, N), que generaliza la noción de un diffeomorfismo.

A partir de la dimensión 4, la clasificación se hace mucho más difícil por dos razones. En primer lugar, cada grupo presentado finitamente aparece como el grupo fundamental de unos 4 múltiples grupos, y puesto que el grupo fundamental es un grupo diffeomorfismo invariante, esto hace que la clasificación de 4 mangas por lo menos tan difícil como la clasificación de grupos finitos presentados. Por la palabra problema para grupos, que es equivalente al problema de suspensión, es imposible clasificar tales grupos, por lo que una clasificación topológica completa es imposible. En segundo lugar, a partir de la dimensión cuatro es posible tener manifolds suaves que son homeomorfos, pero con estructuras lisas distintas, no-diffeomorfos. Esto es cierto incluso para el espacio euclidiano R4{displaystyle mathbb {R} {4}}, que admite muchos exótico R4{displaystyle mathbb {R} {4}} estructuras. Esto significa que el estudio de la topología diferencial en dimensiones 4 y superiores debe utilizar herramientas genuinamente fuera del ámbito de la topología continua regular de los múltiples topológicos. Uno de los problemas centrales abiertos en la topología diferencial es la conjetura Poincaré suave de cuatro dimensiones, que pregunta si cada 4-manifold liso que es homeomorfico a la 4-sfere, también es diffeomorfo a ella. Es decir, ¿la 4sfera admite sólo una estructura lisa? Esta conjetura es verdadera en las dimensiones 1, 2, y 3, por los resultados de clasificación anteriores, pero se sabe que es falsa en la dimensión 7 debido a las esferas Milnor.

Las herramientas importantes en el estudio de la topología diferencial de variedades suaves incluyen la construcción de invariantes topológicos suaves de dichas variedades, como la cohomología de Rham o la forma de intersección, así como construcciones topológicas suavizables, como la teoría de la cirugía suave o la construcción de cobordismos. La teoría de Morse es una herramienta importante que estudia las variedades suaves considerando los puntos críticos de las funciones diferenciables en la variedad, demostrando cómo la estructura suave de la variedad entra en el conjunto de herramientas disponibles. A menudo, se pueden usar técnicas más geométricas o analíticas, equipando una variedad suave con una métrica de Riemann o estudiando una ecuación diferencial en ella. Se debe tener cuidado para garantizar que la información resultante sea insensible a esta elección de estructura adicional y, por lo tanto, refleje genuinamente solo las propiedades topológicas de la variedad suave subyacente. Por ejemplo, el teorema de Hodge proporciona una interpretación geométrica y analítica de la cohomología de De Rham, y Simon Donaldson utilizó la teoría de gauge para probar hechos sobre la forma de intersección de 4 variedades simplemente conectadas. En algunos casos pueden aparecer técnicas de la física contemporánea, como la teoría cuántica de campos topológica, que se puede utilizar para calcular invariantes topológicas de espacios suaves.

Los teoremas famosos en topología diferencial incluyen el teorema de incrustación de Whitney, el teorema de la bola peluda, el teorema de Hopf, el teorema de Poincaré-Hopf, el teorema de Donaldson y la conjetura de Poincaré.

Descripción

La topología diferencial considera las propiedades y estructuras que requieren solo una estructura uniforme en una variedad para definirse. Los colectores lisos son 'más suaves' que las variedades con estructuras extra geométricas, que pueden actuar como obstrucciones a ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura de Riemann son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave, es decir, uno puede "aplanarse" ciertas variedades, pero podría requerir distorsionar el espacio y afectar la curvatura o el volumen.

Por otro lado, las variedades suaves son más rígidas que las variedades topológicas. John Milnor descubrió que algunas esferas tienen más de una estructura uniforme; consulte Esfera exótica y el teorema de Donaldson. Michel Kervaire exhibió variedades topológicas sin ninguna estructura uniforme. Algunas construcciones de la teoría de las variedades suaves, como la existencia de paquetes tangentes, se pueden realizar en el entorno topológico con mucho más trabajo, y otras no.

Uno de los temas principales de la topología diferencial es el estudio de tipos especiales de mapeos uniformes entre variedades, a saber, inmersiones e inmersiones, y las intersecciones de subvariedades a través de la transversalidad. De manera más general, uno está interesado en las propiedades e invariantes de las variedades uniformes que se transmiten mediante difeomorfismos, otro tipo especial de mapeo uniforme. La teoría de Morse es otra rama de la topología diferencial, en la que la información topológica sobre una variedad se deduce de los cambios en el rango del jacobiano de una función.

Para obtener una lista de temas de topología diferencial, consulte la siguiente referencia: Lista de temas de geometría diferencial.

Topología diferencial frente a geometría diferencial

La topología diferencial y la geometría diferencial se caracterizan primero por su similitud. Ambos estudian principalmente las propiedades de las variedades diferenciables, a veces con una variedad de estructuras impuestas sobre ellas.

Animación de una taza de café transformándose en forma de donut

Una diferencia importante radica en la naturaleza de los problemas que cada tema trata de abordar. Desde un punto de vista, la topología diferencial se distingue de la geometría diferencial al estudiar principalmente aquellos problemas que son intrínsecamente globales. Considere el ejemplo de una taza de café y una dona. Desde el punto de vista de la topología diferencial, la rosquilla y la taza de café son lo mismo (en cierto sentido). Sin embargo, esta es una visión inherentemente global, porque no hay forma de que el topólogo diferencial sepa si los dos objetos son iguales (en este sentido) mirando solo una pequeña parte (local) de cualquiera de ellos. Deben tener acceso a cada objeto completo (global).

Desde el punto de vista de la geometría diferencial, la taza de café y la dona son diferentes porque es imposible girar la taza de café de tal manera que su configuración coincida con la de la dona. Esta es también una forma global de pensar sobre el problema. Pero una distinción importante es que el geómetra no necesita el objeto completo para decidir esto. Al mirar, por ejemplo, solo una pequeña parte del asa, pueden decidir que la taza de café es diferente de la dona porque el asa es más delgada (o más curvada) que cualquier parte de la dona.

En pocas palabras, la topología diferencial estudia estructuras en variedades que, en cierto sentido, no tienen una estructura local interesante. La geometría diferencial estudia estructuras en variedades que tienen una estructura local interesante (o, a veces, incluso infinitesimal).

Más matemáticamente, por ejemplo, el problema de construir un difeomorfismo entre dos múltiples de la misma dimensión es inherentemente global desde localmente dos de estos manifolds son siempre diffeomorfos. Del mismo modo, el problema de computar una cantidad en un múltiple que es invariable bajo mapas diferentes es inherentemente global, ya que cualquier invariante local será trivial en el sentido de que ya está expuesto en la topología Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}. Además, la topología diferencial no se limita necesariamente al estudio de la diffeomorfismo. Por ejemplo, la topología simpléctica —un subbrazo de la topología diferencial— estudia las propiedades globales de los múltiples ejes simpáticos. La geometría diferencial se refiere a problemas, que pueden ser locales o global—que siempre tienen algunas propiedades locales no-triviales. Por lo tanto, la geometría diferencial puede estudiar diferentes manifolds equipados con un conexión, a métrica (que puede ser Riemannian, pseudo-Riemannian, o Finsler), un tipo especial distribución (como una estructura CR), etc.

Esta distinción entre geometría diferencial y topología diferencial está borrosa, sin embargo, en preguntas específicas relativas a los invariantes de diffeomorfismo local como el espacio tangente en un momento. La topología diferencial también se ocupa de cuestiones como estas, que se refieren específicamente a las propiedades de mapas diferentes en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} (por ejemplo el paquete tangente, los paquetes de jet, el teorema de extensión de Whitney, y así sucesivamente).

La distinción es concisa en términos abstractos:

• La topología diferencial es el estudio de las propiedades (infinitesimales, locales y globales) de las estructuras en los manifolds que tienen sólo trivial moduli local.
• La geometría diferencial es un estudio de estructuras en los múltiples que tienen una o más non-trivial moduli local.