Topología del producto

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Topología en los productos cartesianos de los espacios topológicos

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio de producto es el producto cartesiano de una familia de espacios topológicos equipados con una topología natural denominada topología de producto. Esta topología difiere de otra topología, quizás de apariencia más natural, llamada topología de caja, que también se puede dar a un espacio de producto y que concuerda con la topología de producto cuando el producto se encuentra en una cantidad finita de espacios. Sin embargo, la topología del producto es "correcta" en que hace del espacio producto un producto categórico de sus factores, mientras que la topología de caja es demasiado fina; en ese sentido, la topología del producto es la topología natural del producto cartesiano.

Definición

A lo largo de todo, $I$ será un conjunto de índices no vacíos y para cada índice ${displaystyle iin I,}$ Deja $X_{i}$ ser un espacio topológico. Denota el producto cartesiano de los conjuntos $X_{i}$ por

{displaystyle X:=prod X_{bullet }:=prod _{iin I}X_{i}}

{displaystyle iin I,}

i

proyección canónica

{displaystyle {begin{alignedat}{4}p_{i}:;&&prod _{jin I}X_{j}&&;to ;&X_{i}\[0.3ex]&&left(x_{j}right)_{jin I}&&;mapsto ;&x_{i}\end{alignedat}}}

topología del productoTopología Tychonoff

{textstyle prod _{iin I}X_{i}}

{textstyle p_{i}:prod X_{bullet }to X_{i}}

{textstyle X:=prod _{iin I}X_{i}}

espacio

{textstyle prod _{iin I}U_{i},}

U_{i}

X_{i}

{displaystyle U_{i}neq X_{i}}

i.

X_{i}

{textstyle prod _{iin I}X_{i}.}

{textstyle prod _{iin I}U_{i},}

U_{i}

X_{i},

{textstyle prod _{iin I}X_{i}.}

La topología del producto en ${textstyle prod _{iin I}X_{i}}$ es la topología generada por conjuntos de la forma ${displaystyle p_{i}^{-1}left(U_{i}right),}$ Donde $iin I$ y $U_{i}$ es un subconjunto abierto de ${displaystyle X_{i}.}$ En otras palabras, los conjuntos

{displaystyle left{p_{i}^{-1}left(U_{i}right)~:~iin I{text{ and }}U_{i}subseteq X_{i}{text{ is open in }}X_{i}right}}

X.

X

{displaystyle p_{i}^{-1}left(U_{i}right).}

{displaystyle p_{i}^{-1}left(U_{i}right)}

La topología del producto también se llama topología de la convergencia puntual porque una secuencia (o más generalmente, una red) en ${textstyle prod _{iin I}X_{i}}$ converge si todas sus proyecciones a los espacios $X_{i}$ converger. Explícitamente, una secuencia ${textstyle s_{bullet }=left(s_{n}right)_{n=1}^{infty }}$ (respectivamente, una red ${textstyle s_{bullet }=left(s_{a}right)_{ain A}}$ ) converge a un punto dado ${textstyle xin prod _{iin I}X_{i}}$ si ${displaystyle p_{i}left(s_{bullet }right)to p_{i}(x)}$ dentro $X_{i}$ para cada índice ${displaystyle iin I,}$ Donde ${displaystyle p_{i}left(s_{bullet }right):=p_{i}circ s_{bullet }}$ denotaciones ${displaystyle left(p_{i}left(s_{n}right)right)_{n=1}^{infty }}$ (respectivamente, denota ${displaystyle left(p_{i}left(s_{a}right)right)_{ain A}}$ ). En particular, si ${displaystyle X_{i}=mathbb {R} }$ se utiliza para todos $i$ entonces el producto cartesiano es el espacio ${textstyle prod _{iin I}mathbb {R} =mathbb {R} ^{I}}$ de todas las funciones de valor real $I,$ y la convergencia en la topología del producto es la misma que la convergencia puntual de las funciones.

Ejemplos

Si la línea real $mathbb {R}$ está dotado con su topología estándar, luego la topología del producto en el producto de $n$ copias de $mathbb {R}$ es igual a la topología Euclideana ordinaria en $mathbb{R} ^{n}.$ Porque $n$ es finito, esto también equivale a la topología de la caja en $mathbb{R} ^{n}.$ )

El conjunto Cantor es homeomórfico al producto de muchas copias del espacio discreto ${displaystyle {0,1}}$ y el espacio de números irracionales es homeomorfo al producto de muchas copias de los números naturales, donde de nuevo cada copia lleva la topología discreta.

En el artículo sobre la topología inicial se proporcionan varios ejemplos adicionales.

Propiedades

El conjunto de productos cartesianos entre los conjuntos abiertos de las topologías de cada uno $X_{i}$ forma una base para lo que se llama la topología de la caja $X.$ En general, la topología de la caja es más fina que la topología del producto, pero para productos finitos coinciden.

El espacio del producto $X,$ junto con las proyecciones canónicas, se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal: si $Y$ es un espacio topológico, y para cada ${displaystyle iin I,}$ $f_{i}:Yto X_{i}$ es un mapa continuo, entonces existe Precisamente uno mapa continuo $f: Y to X$ tal que para cada uno $iin I$ el siguiente diagrama comunica.

Characteristic property of product spaces

Esto demuestra que el espacio del producto es un producto en la categoría de espacios topológicos. De la propiedad universal anterior se desprende que un mapa $f: Y to X$ es continuo si y sólo si ${displaystyle f_{i}=p_{i}circ f}$ es continuo para todos ${displaystyle iin I.}$ En muchos casos es más fácil comprobar que las funciones del componente $f_{i}$ son continuos. Comprobando si un mapa $X to Y$ es continuo es generalmente más difícil; uno trata de utilizar el hecho de que $p_{i}$ son continuos de alguna manera.

Además de ser continuo, las proyecciones canónicas ${displaystyle p_{i}:Xto X_{i}}$ son mapas abiertos. Esto significa que cualquier subconjunto abierto del espacio del producto permanece abierto cuando se proyecta hacia abajo al ${displaystyle X_{i}.}$ El contrario no es cierto: si $W$ es un subespacial del espacio de productos cuyas proyecciones hasta todos $X_{i}$ están abiertos, entonces $W$ no debe estar abierto $X$ (considerando por ejemplo ${textstyle W=mathbb {R} ^{2}setminus (0,1)^{2}.}$ ) Las proyecciones canónicas no son generalmente mapas cerrados (considerando por ejemplo el conjunto cerrado ${textstyle left{(x,y)in mathbb {R} ^{2}:xy=1right},}$ cuyas proyecciones sobre ambos ejes son ${displaystyle mathbb {R} setminus {0}}$ ).

Suppose ${textstyle prod _{iin I}S_{i}}$ es un producto de subconjuntos arbitrarios, donde ${displaystyle S_{i}subseteq X_{i}}$ para todos ${displaystyle iin I.}$ Si todo $S_{i}$ son no vacía entonces ${textstyle prod _{iin I}S_{i}}$ es un subconjunto cerrado del espacio del producto $X$ si y sólo si $S_{i}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle X_{i}.}$ Más generalmente, el cierre del producto ${textstyle prod _{iin I}S_{i}}$ de subconjuntos arbitrarios en el espacio de productos $X$ es igual al producto de los cierres:

{displaystyle operatorname {Cl} _{X}left(prod _{iin I}S_{i}right)=prod _{iin I}left(operatorname {Cl} _{X_{i}}S_{i}right).}

Cualquier producto de los espacios de Hausdorff vuelve a ser un espacio de Hausdorff.

El teorema de Tychonoff, que es equivalente al axioma de elección, establece que cualquier producto de espacios compactos es un espacio compacto. Una especialización del teorema de Tychonoff que requiere solo el lema del ultrafiltro (y no toda la fuerza del axioma de elección) establece que cualquier producto de espacios compactos de Hausdorff es un espacio compacto.

Si ${textstyle z=left(z_{i}right)_{iin I}in X}$ se fija entonces el conjunto

{displaystyle left{x=left(x_{i}right)_{iin I}in Xcolon x_{i}=z_{i}{text{ for all except at most finitely many }}iright}}

X

Relación con otras nociones topológicas

Separación

Cada producto de los espacios T0 es T₀.
Cada producto de los espacios T1 es T₁.
Cada producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff.
Cada producto de los espacios regulares es regular.
Cada producto de los espacios Tychonoff es Tychonoff.
Un producto de espacios normales no necesita Sé normal.

Compacidad

Cada producto de espacios compactos es compacto (teorema de Tychonoff).
Un producto de espacios locales compactos no necesita ser localmente compacto. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios locales compactos donde todos pero finitos son compactos es localmente compacto (Esta condición es suficiente y necesaria).

Conectividad

Cada producto de espacios conectados (resp. conectados por caminos) está conectado (resp. conectado por vía).
Cada producto de espacios hereditariamente desconectados está hereditariamente desconectado.

Espacios métricos

Los productos contables de los espacios métricos son espacios metros.

Axioma de elección

Una de las muchas formas de expresar el axioma de elección es decir que es equivalente a la declaración de que el producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos es no vacío. La prueba de que esto es equivalente al enunciado del axioma en términos de funciones de elección es inmediata: basta con elegir un elemento de cada conjunto para encontrar un representante en el producto. Por el contrario, un representante del producto es un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada componente.

El axioma de elección ocurre nuevamente en el estudio de espacios de productos (topológicos); por ejemplo, el teorema de Tychonoff sobre conjuntos compactos es un ejemplo más complejo y sutil de un enunciado que requiere el axioma de elección y es equivalente a él en su formulación más general, y muestra por qué la topología del producto puede considerarse más topología útil para poner en un producto cartesiano.

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