Topología débil

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Mandato matemático

En matemáticas, topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales, a menudo en espacios vectoriales topológicos o espacios de operadores lineales, por ejemplo, en un espacio de Hilbert. El término se usa más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normado) con respecto a su dual continuo. El resto de este artículo se ocupará de este caso, que es uno de los conceptos del análisis funcional.

Uno puede llamar a los subconjuntos de un espacio vectorial topológico débilmente cerrado (respectivamente, débilmente compacto, etc.) si son cerrados (respectivamente, compactos, etc.) con respecto a la topología débil. Del mismo modo, las funciones a veces se denominan débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables, débilmente analíticas, etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables, analítica, etc.) con respecto a la topología débil.

Historia

A partir de principios del siglo XX, David Hilbert y Marcel Riesz hicieron un amplio uso de la convergencia débil. Los primeros pioneros del análisis funcional no elevaron la convergencia de normas por encima de la convergencia débil y, a menudo, consideraron que la convergencia débil era preferible. En 1929, Banach introdujo la convergencia débil para espacios normados y también introdujo la convergencia análoga débil-*. La topología débil también se denomina topologie faible y schwache Topologie.

Las topologías débil y fuerte

Vamos $mathbb {K}$ ser un campo topológico, es decir, un campo con una topología tal que la adición, multiplicación y división son continuos. En la mayoría de las aplicaciones $mathbb {K}$ será el campo de números complejos o el campo de números reales con las topologías familiares.

Topología débil con respecto a un emparejamiento

Tanto la topología débil como la topología débil* son casos especiales de una construcción más general para emparejamientos, que ahora describimos. El beneficio de esta construcción más general es que cualquier definición o resultado probado se aplica a tanto la topología débil como a la topología débil*, por lo que se vuelve redundante la necesidad de muchas definiciones, enunciados de teoremas y demostraciones. Esta es también la razón por la que la topología débil* también se denomina con frecuencia "topología débil"; porque es solo un ejemplo de la topología débil en el marco de esta construcción más general.

Suppose $() X, Y, b)$ es un par de espacios vectoriales sobre un campo topológico $mathbb {K}$ (i.e. $X$ y $Y$ son espacios vectoriales sobre $mathbb {K}$ y $mathbb {K}$ es un mapa bilinear).

Notación. Para todos

x ▪ X

, vamos

mathbb {K}

denota el funcionamiento lineal

Y

definidas por

Sí. \mapsto b () x, Sí.)

. Del mismo modo, para todos

Sí. ▪ Y

, vamos

mathbb {K}

se define por

x \mapsto b () x, Sí.)

Definición. El débil topología en $X$ inducido por

Y

(y)

b

) es la topología más débil en

X

, denotado por

σ(X, Y, b)

o simplemente

σ(X, Y)

, haciendo todos los mapas

mathbb {K}

continuo, como

Sí.

rangos sobre

Y

La topología débil en $Y$ ahora se define automáticamente como se describe en el artículo Sistema dual. Sin embargo, para mayor claridad, ahora lo repetimos.

Definición. El débil topología en $Y$ inducido por

X

(y)

b

) es la topología más débil en

Y

, denotado por

σ(Y, X, b)

o simplemente

σ(Y, X)

, haciendo todos los mapas

mathbb {K}

continuo, como

x

rangos sobre

X

Si el campo $mathbb {K}$ tiene un valor absoluto $Silencio \cdot Silencio$ , entonces la débil topología $σ(X, Y, b)$ on $X$ es inducido por la familia de seminormas, $mathbb {R}$ , definida por

p Sí. () x) Silencio b () x, Sí.) Silencio

para todos $y \in Y$ y $x \in X$ . Esto muestra que las topologías débiles son localmente convexas.

Asunción. De aquí en adelante asumiremos que

mathbb {K}

o es el número real

mathbb {R}

o los números complejos

mathbb {C}

Dualidad canónica

Ahora consideramos el caso especial donde $Y$ es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de $X$ (es decir, un espacio vectorial de funciones lineales en $X$ ).

Hay un par, denotado por ${displaystyle (X,Y,langle cdotcdot rangle)}$ o $(X,Y)$ , llamado el emparejamiento canónico cuyo mapa bilineal $langle cdotcdot rangle$ es mapa de evaluación canónica, definida por ${displaystyle langle x,x'rangle =x'(x)}$ para todos $xin X$ y ${displaystyle x'in Y}$ . Note in particular that ${displaystyle langle cdotx'rangle }$ es otra forma de denotar $x'$ i.e. ${displaystyle langle cdotx'rangle =x'(cdot)}$ .

Asunción. Si

Y

es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico

X

entonces asumiremos que están asociados con la pareja canónica

. X, Y .

En este caso, la topología débil en $X$ (resp. la débil topología en Y), indicada por $𝜎(X, Y)$ (resp. por $𝜎(Y, X)$ ) es el débil topología en $X$ (resp. en $Y$ ) con respecto al emparejamiento canónico $⟨ X, Y ⟩$ .

La topología $σ(X, Y)$ es la topología inicial de $X$ con respecto a $Y$ .

Si $Y$ es un espacio vectorial de funcionales lineales en $X$ , luego el dual continuo de $X$ con respecto a la topología $σ(X, Y)$ es exactamente igual a $Y$ .(Rudin 1991, Teorema 3.10)

Las topologías débil y débil*

Vamos $X$ ser un espacio vectorial topológico (TVS) $mathbb {K}$ , es decir, $X$ es un $mathbb {K}$ espacio vectorial equipado con una topología para que la adición vectorial y la multiplicación del escalar sean continuas. Llamamos a la topología que $X$ comienza con el original, Empieza, o dada la topología (el lector es advertido contra el uso de los términos "topología inicial" y "topología fuerte" para referirse a la topología original ya que estos ya tienen significados bien conocidos, por lo que el uso de ellos puede causar confusión). Podemos definir una topología posiblemente diferente en $X$ usando el espacio dual topológico o continuo $X^{*}$ , que consta de todas las funcionalidades lineales de $X$ en el campo base $mathbb {K}$ que son continuos con respecto a la topología dada.

Recordad que $langle cdotcdot rangle$ es el mapa de evaluación canónico definido por ${displaystyle langle x,x'rangle =x'(x)}$ para todos $xin X$ y ${displaystyle x'in X^{*}}$ , donde en particular, ${displaystyle langle cdotx'rangle =x'(cdot)=x'}$ .

Definición. El débil topología en $X$ es la débil topología en

X

con respecto a la pareja canónica

langle X,X^{*}rangle

. Es decir, es la topología más débil en

X

haciendo todos los mapas

{displaystyle x'=langle cdotx'rangle:Xto mathbb {K} }

continuo, como

x'

rangos sobre

X^{*}

Definición: El débil topología en $X^{*}$ es la débil topología en

X^{*}

con respecto a la pareja canónica

langle X,X^{*}rangle

. Es decir, es la topología más débil en

X^{*}

haciendo todos los mapas

{displaystyle langle x,cdot rangle:X^{*}to mathbb {K} }

continuo, como

x

rangos sobre

X

. Esta topología también se llama débil* topología.

Damos definiciones alternativas a continuación.

Topología débil inducida por el espacio dual continuo

Alternativamente, débil topología en un TVS $X$ es la topología inicial con respecto a la familia $X^{*}$ . En otras palabras, es la topología más gruesa en X tal que cada elemento de $X^{*}$ sigue siendo una función continua.

Una subbase para la topología débil es la colección de conjuntos de la forma ${displaystyle phi ^{-1}(U)}$ Donde ${displaystyle phi in X^{*}}$ y $U$ es un subconjunto abierto del campo base $mathbb {K}$ . En otras palabras, un subconjunto de $X$ está abierto en la topología débil si y sólo si puede ser escrito como una unión de (posiblemente infinitamente muchos) conjuntos, cada uno de los cuales es una intersección de finitamente muchos conjuntos de la forma ${displaystyle phi ^{-1}(U)}$ .

Desde este punto de vista, la topología débil es la topología polar más gruesa.

Convergencia débil

La topología débil se caracteriza por la siguiente condición: una red ${displaystyle (x_{lambda })}$ dentro $X$ converge en la débil topología al elemento $x$ de $X$ si ${displaystyle phi (x_{lambda })}$ convergencias a $phi (x)$ dentro $mathbb {R}$ o $mathbb {C}$ para todos ${displaystyle phi in X^{*}}$ .

En particular, si $x_{n}$ es una secuencia en $X$ , entonces $x_{n}$ converge débilmente a $x$ si

varphi (x_{n})to varphi (x)

como $n \to$ para todos $varphi in X^{*}$ . En este caso, es habitual escribir

x_{n}{overset {mathrm {w} }{longrightarrow }}x

o, a veces,

x_{n}rightharpoonup x.

Otras propiedades

Si $X$ está equipado con la topología débil, entonces la suma y la multiplicación escalar siguen siendo operaciones continuas, y $X$ es un espacio vectorial topológico localmente convexo.

Si $X$ es un espacio normal, entonces el espacio dual $X^{*}$ es en sí mismo un espacio vectorial normalizado usando la norma

{displaystyle |phi |=sup _{|x|leq 1}|phi (x)|.}

Esta norma da lugar a una topología, llamada la fuerte topología, en $X^{*}$ . Esta es la topología de la convergencia uniforme. Las topologías uniformes y fuertes son generalmente diferentes para otros espacios de mapas lineales; ver a continuación.

Topología débil-*

La topología débil* es un ejemplo importante de una topología polar.

Un espacio $X$ se puede incrustar en su doble dual X** mediante

{displaystyle xmapsto {begin{cases}T_{x}:X^{*}to mathbb {K} \T_{x}(phi)=phi (x)end{cases}}}

Así $T:Xto X^{{**}}$ es un mapeo lineal inyectable, aunque no necesariamente subjetivo (espacios para los cuales esto La incrustación canónica es subjetiva se llama reflexiva. El débil* topología on $X^{*}$ es la topología débil inducida por la imagen de ${displaystyle T:T(X)subset X^{**}}$ . En otras palabras, es la topología más gruesa tal que los mapas T_x, definida por ${displaystyle T_{x}(phi)=phi (x)}$ desde $X^{*}$ al campo base $mathbb {R}$ o $mathbb {C}$ permanecer continuo.

Convergencia débil*

Una red $phi _{{lambda }}$ dentro $X^{*}$ es convergente $phi$ en la topología débil-* si converge sentido de punto:

{displaystyle phi _{lambda }(x)to phi (x)}

para todos $xin X$ . En particular, una secuencia de ${displaystyle phi _{n}in X^{*}}$ convergencias a $phi$ siempre que

phi _{n}(x)to phi (x)

para todo $x \in X$ . En este caso, se escribe

{displaystyle phi _{n}{overset {w^{*}}{to }}phi }

como $n \to \infty$ .

La convergencia débil-* a veces se denomina convergencia simple o convergencia puntual. De hecho, coincide con la convergencia puntual de los funcionales lineales.

Propiedades

Si $X$ es un espacio localmente convexo separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y H es un subconjunto acotado por normas de su espacio dual continuo, entonces H dotado de la topología débil* (subespacio) es un espacio topológico metrizable. Sin embargo, para espacios de dimensión infinita, la métrica no puede ser invariante a la traducción. Si $X$ es un espacio convexo localmente metrizable separable, entonces la topología débil* en el espacio dual continuo de $X$ es separable.

Propiedades en espacios no autorizados

Por definición, la débil* topología es más débil que la débil topología en $X^{*}$ . Un hecho importante sobre la débil* topología es el teorema de Banach-Alaoglu: si $X$ es ordenado, entonces la bola de unidad cerrada en $X^{*}$ es débil*-compacto (más generalmente, el polar en $X^{*}$ de un barrio de 0 en $X$ es débil*-compacto). Además, la bola de unidad cerrada en un espacio normal $X$ es compacto en la topología débil si y sólo si $X$ es reflexivo.

En más generalidad, deja $F$ ser campo valorado localmente compacto (por ejemplo, los reales, los números complejos, o cualquiera de los sistemas de números p-adic). Vamos $X$ ser un espacio vectorial topológico normalizado $F$ , compatible con el valor absoluto en $F$ . Entonces entra $X^{*}$ , el espacio dual topológico $X$ de continuo $F$ -valoradas funcionalidades lineales en $X$ , todas las bolas cerradas por norma son compactas en la topología débil-*.

Si $X$ es un espacio normado, se cumple una versión del teorema de Heine-Borel. En particular, un subconjunto del dual continuo es débil* compacto si y solo si es débil* cerrado y acotado por normas. Esto implica, en particular, que cuando $X$ es un espacio normado de dimensión infinita, entonces la bola unitaria cerrada en el origen del dual El espacio de $X$ no contiene ninguna vecindad débil* de 0 (dado que dicha vecindad no tiene límites en las normas). Por lo tanto, aunque las bolas cerradas por norma son compactas, X* no es débil* localmente compacta.

Si $X$ es un espacio normal, entonces $X$ es separable si y sólo si la topología débil-* en la bola de unidad cerrada $X^{*}$ es metrizable, en cuyo caso la topología débil* se puede satisfacer en subconjuntos con bordes de norma de $X^{*}$ . Si un espacio normal $X$ tiene un espacio dual que es separable (con respecto a la topología dual-norm) entonces $X$ es necesariamente separable. Si $X$ es un espacio de Banach, la topología débil-* no se puede satisfacer en todo $X^{*}$ a) $X$ es finito-dimensional.

Ejemplos

Espacios de Hilbert

Considere, por ejemplo, la diferencia entre fuerte y débil convergencia de funciones en el espacio de Hilbert $mathbb {R} ^{n}$ . Convergencia fuerte de una secuencia ${displaystyle psi _{k}in L^{2}(mathbb {R} ^{n})}$ a un elemento $↑$ significa que

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}|psi _{k}-psi |^{2},{rm {d}}mu ,to 0}

como $k \to \infty$ . Aquí la noción de convergencia corresponde a la norma en $L 2$ .

En contraste, la convergencia débil solo exige que

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}{bar {psi }}_{k}f,mathrm {d} mu to int _{mathbb {R} ^{n}}{bar {psi }}f,mathrm {d} mu }

para todas las funciones $f ▪ L 2$ (o, más típicamente, todo f en un subconjunto denso $L 2$ como un espacio de funciones de prueba, si la secuencia {↑_k} está atado). Para las funciones de prueba dadas, la noción relevante de convergencia sólo corresponde a la topología utilizada en $mathbb {C}$ .

Por ejemplo, en el espacio de Hilbert $L 2 (0,π)$ , la secuencia de funciones

psi _{k}(x)={sqrt {2/pi }}sin(kx)

forman una base ortonormal. En particular, el límite (fuerte) $psi _{k}$ como $k \to$ no existe. Por otro lado, por la lema Riemann-Lebesgue, el límite débil existe y es cero.

Distribuciones

Normalmente se obtienen espacios de distribuciones formando el doble fuerte de un espacio de funciones de prueba (como las funciones suaves compatibles compactamente) $mathbb {R} ^{n}$ ). En una construcción alternativa de tales espacios, uno puede tomar el doble débil de un espacio de pruebas funciones dentro de un espacio Hilbert como $L 2$ . Así uno es llevado a considerar la idea de un espacio de Hilbert enjuagado.

Topología débil inducida por el dual algebraico

Suponga que $X$ es un espacio vectorial y X^# es el espacio dual algebraico de $X$ (es decir, el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en $X$ ). Si $X$ está dotado de la topología débil inducida por X^# entonces el espacio dual continuo de $X$ es $X #$ , cada subconjunto acotado de $X$ está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita de $X$ , cada subespacio vectorial de $X$ es cerrado y tiene un complemento topológico.

Topologías de operadores

Si $X$ y $Y$ son espacios vectoriales topológicos, el espacio $L (X, Y)$ de operadores lineales continuos $f : X \to Y$ puede llevar una variedad de diferentes topologías posibles. La denominación de dichas topologías depende del tipo de topología que se utilice en el espacio de destino $Y$ para definir la convergencia de operadores (Yosida 1980, IV.7 Topologías de mapas lineales). Hay, en general, una amplia gama de posibles topologías de operadores en $L (X, Y)$ , cuyo nombre no es del todo intuitivo.

Por ejemplo, la topología de operador fuerte en $L (X, Y)$ es la topología de convergencia puntual. Por ejemplo, si $Y$ es un espacio normado, entonces esta topología está definida por las seminormas indexadas por $x \in X$ :

fmapsto |f(x)|_{Y}.

Más generalmente, si una familia de seminormas Q define la topología en $Y$ , luego las seminormas $p q, x$ en $L (X, Y)$ que definen la topología fuerte están dadas por

p_{q,x}:fmapsto q(f(x)),

indexado por $q \in Q$ y $x \in X$ .

En particular, vea la topología de operador débil y la topología de operador débil*.

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