Topología de Sallen-Key

La topología Sallen-Key es una topología de filtro electrónico utilizada para implementar filtros activos de segundo orden que es particularmente valorada por su simplicidad. Es una forma degenerada de una topología de filtro de fuente de voltaje controlada por voltaje (VCVS). Fue introducido por R. P. Sallen y E. L. Key del Laboratorio Lincoln del MIT en 1955.

Explicación de funcionamiento

Un filtro VCVS utiliza un amplificador de voltaje con impedancia de entrada prácticamente infinita e impedancia de salida cero para implementar una respuesta de paso bajo, paso alto, paso de banda, supresión de banda o paso total de 2 polos. El filtro VCVS permite un alto factor Q y ganancia de banda de paso sin el uso de inductores. Un filtro VCVS también tiene la ventaja de la independencia: los filtros VCVS se pueden conectar en cascada sin que las etapas afecten la sintonización de las demás. Un filtro Sallen-Key es una variación de un filtro VCVS que utiliza un amplificador de ganancia de voltaje unitario (es decir, un amplificador de búfer puro).

Historia e implementación

En 1955, Sallen y Key utilizaron amplificadores seguidores de cátodo de tubo de vacío; El seguidor de cátodo es una aproximación razonable a un amplificador con ganancia de voltaje unitario. Las implementaciones modernas de filtros analógicos pueden utilizar amplificadores operacionales (también llamados amplificadores operacionales). Debido a su alta impedancia de entrada y ganancia fácilmente seleccionable, en las implementaciones de VCVS se suele utilizar un amplificador operacional en una configuración convencional no inversora. Las implementaciones de filtros Sallen-Key a menudo utilizan un amplificador operacional configurado como seguidor de voltaje; sin embargo, los seguidores de emisor o fuente son otras opciones comunes para el amplificador buffer.

Sensibilidad a las tolerancias de los componentes

Los filtros VCVS son relativamente resistentes a la tolerancia de los componentes, pero obtener un factor Q alto puede requerir una dispersión extrema del valor del componente o una alta ganancia del amplificador. Se pueden obtener filtros de orden superior conectando en cascada dos o más etapas.

Topología clave de Sallen genérica

En la Figura 1 se muestra la topología genérica del filtro Sallen-Key de ganancia unitaria implementada con un amplificador operacional de ganancia unitaria. El siguiente análisis se basa en el supuesto de que el amplificador operacional es ideal.

Debido a que el amplificador op está en una configuración de retroalimentación negativa, su ${displaystyle v_{+}$ y ${displaystyle v...$ las entradas deben coincidir (es decir, ${displaystyle v_{+}=v_{-}$). Sin embargo, la entrada de inversión ${displaystyle v...$ se conecta directamente a la salida ${displaystyle v_{text{out}}$, y así

${displaystyle ¿Qué?$

1)

La ley actual de Kirchhoff (KCL) se aplica en la ${displaystyle v_{x}$ nodo,

${displaystyle {frac {fnK}-v_{x} {Z_{1}}={frac} {f}}} {fnK}}} {f}}} {fnK}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}f}}}}} {V_{x}-v_{out} {Z_{3}}+{frac} {f}} {f} {f}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}}} {f}} {f}}}} - ¿Qué?$

2)

Al combinar las ecuaciones (1) y (2),

${displaystyle {frac {fnK}-v_{x} {Z_{1}}={frac} {f}}} {fnK}}} {f}}} {fnK}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}f}}}}} {V_{x}-v_{out} {Z_{3}}+{frac} {f}} {f} {f}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}}} {f}} {f}}}} {V_{x}-v_{out}} {Z_{2}}}$

Aplicación de la ecuación (1) y KCL en la entrada de la op amp ${displaystyle v_{+}$ da

${displaystyle {frac {v_{x}-v_{text{out}{Z_{2}}={frac} {frac} {f}} {f}}}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}} {f}f} {V_{text{out}} {Z_{4}}}} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}$

lo que significa que

${displaystyle v_{x}=v_{text{out}left({frac} {Z_{2}{Z_{4}}}+1right).}$

3)

Combinando las ecuaciones (2) y (3) se obtiene

${displaystyle {frac {fnK}-v_{out}left({frac} {fnK}fn} {Z_{2} {Z_{4}}}+1right)}{Z_{1}}={frac}}}} {Z_{4}}}}}}}}} {Z_{2}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}} {Z_{4}}}}}}}}}}}}}}}{Z_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{Z_}}}}}}}}}}}}}}}{Z_}}}}}}}}}}}}}}}}}{Z_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{Z_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{Z_}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicroc}fnMicroc {Z_{2}{Z_{4}}}+1right)-v_{text{out}{Z_{3}}}+{frac {fnMicroc}fnMicroc {Z_{2} {Z_{4}}}+1right)-v_{text{out}{Z_{2}}}}}}$

4)

Reorganizar la ecuación (4) da la función de transferencia

${displaystyle {frac {f} {fnK}} {f}}={fn}} {fn}}} {fn}}} {f}}}} {fnK}}}} {fnK}}}}} {f}}} {fnfnKf}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} [Z_{3}Z_{4} {Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}Z_{4}}}$

5)

que normalmente describe un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de segundo orden.

Si ${displaystyle Z_{3}$ componente conectado a tierra en lugar de a ${displaystyle v_{text{out}}$, el filtro sería un separador de tensión compuesto por el ${displaystyle Z_{1}$ y ${displaystyle Z_{3}$ componentes en cascada con otro separador de tensión compuesto por el ${displaystyle Z_{2}$ y ${displaystyle Z_{4}$ componentes. El amplificador del amplificador del buffer arranca el "abajo" del ${displaystyle Z_{3}$ componente a la salida del filtro, que mejorará en el caso de dos vídeos simple. Esta interpretación es la razón por la cual los filtros Sallen-Key se dibujan a menudo con la entrada de la op amp que no invierte por debajo de la entrada de inversión, enfatizando así la similitud entre la salida y el suelo.

Impedancias de rama

Eligiendo diferentes componentes pasivos (por ejemplo, resistores y condensadores) para ${displaystyle Z_{1}$, ${displaystyle Z_{2}$, ${displaystyle Z_{4}$, y ${displaystyle Z_{3}$, el filtro se puede hacer con características de paso bajo, bandpass y de alto paso. En los ejemplos siguientes, recuerde que un resistor con resistencia ${displaystyle R.$ impedancia ${displaystyle Z_{R}$ de

${displaystyle Z_{R}=R,}$

y un condensador con capacitancia ${displaystyle C}$ impedancia ${displaystyle Z_{C}$ de

${displaystyle Z_{C}={frac {1}{sC}}}$

Donde ${displaystyle s=jomega =2pi jf}$ (Aquí) ${displaystyle j}$ denota la unidad imaginaria) es la frecuencia angular compleja, y ${displaystyle f}$ es la frecuencia de una entrada de onda sine pura. Es decir, la impedancia de un condensador es dependiente de la frecuencia y la impedancia de un resistor no lo es.

Aplicación: filtro de paso bajo

En la Figura 2 se muestra un ejemplo de una configuración de paso bajo de ganancia unitaria. Aquí se utiliza un amplificador operacional como buffer, aunque también es efectivo un seguidor de emisor. Este circuito es equivalente al caso genérico anterior con

${displaystyle Z_{1}=R_{1},quad Z_{2}=R_{2},quad Z_{3}={frac {1}{sC_{1}}}quad Z_{4}={frac {1}{sC_{2}}}$

La función de transferencia para este filtro de paso bajo de ganancia unitaria de segundo orden es

${displaystyle H(s)={frac {omega {0}{2}{2}+2alpha s+omega ¿Qué?$

donde la frecuencia natural sin humedad ${displaystyle f_{0}$, atenuación ${displaystyle alpha }$, factor Q ${displaystyle Q}$, y la relación de amortiguación ${displaystyle zeta }$, se dan por

${displaystyle omega _{0}=2pi F_{0}={frac {1}{sqrt [R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}$

y

${displaystyle 2alpha =2zeta omega ¿Qué? {fnK} {fnMicroc} {fnK} {fnMicroc} {fnK} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {fnK}}} {fnK} {f}}}}} {fnKf}}}}}} {f} {f} {f}}}}f}}}}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}fnf}fnf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnfnf}fnf}f}fnKf}}fn {1} {fn} {fnMicroc}}} {fnMicroc} {1}{2}}derecha)={frac {1} {fn}}left({frac} {fnMic} {fnK}}}}left({frac} {fn} {fnK} {fn}}} {fnfn}}}}}}}}left({frac} {fnf} {fn} {f} {fnfn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}l}l}}left {left {left {p}}}}}}}}}}}}}left {eff}}}}left {l}}left { {R_{1}} {R_{2}}} {R_{2}}}derecha).}$

Entonces,

${displaystyle Q={frac {omega {0}{2alpha }={frac {sqrt {R_{1}R_{2}C_{2}} {C_{2}left(R_{1}+R_{2}right)}}}}}$

El ${displaystyle Q}$ factor determina la altura y la anchura del pico de la respuesta de frecuencia del filtro. A medida que este parámetro aumenta, el filtro tenderá a "ring" en una sola frecuencia de resonancia cerca ${displaystyle f_{0}$ (ver "filtro CD" para una discusión relacionada).

Polos y ceros

Esta función de transferencia no tiene ceros (finitos) y tiene dos polos ubicados en el plano s complejo:

${displaystyle s=-alpha pm {sqrt {alpha ^{2}-omega - Sí.$

Hay dos ceros en el infinito (la función de transferencia va a cero para cada uno de los ${displaystyle s}$ términos en el denominador).

Opciones de diseño

Un diseñador debe elegir el ${displaystyle Q}$ y ${displaystyle f_{0}$ apropiado para su solicitud. El ${displaystyle Q}$ el valor es crítico para determinar la forma final. Por ejemplo, un filtro Butterworth de segunda orden, que tiene una respuesta de frecuencia de bandapasada máximamente plana, tiene un ${displaystyle Q}$ de ${displaystyle 1/{sqrt {2}}$. En comparación, un valor de ${displaystyle Q=1/2$ corresponde a la cascada de la serie de dos filtros de baja velocidad idénticos.

Debido a que hay 2 parámetros y 4 desconocidos, el procedimiento de diseño normalmente fija la relación entre ambos resistores así como entre los condensadores. Una posibilidad es establecer la relación entre ${displaystyle C_{1}$ y ${displaystyle C_{2}$ como ${displaystyle n}$ versus ${displaystyle 1/n}$ y la relación entre ${displaystyle R_{1}$ y ${displaystyle R_{2}$ como ${displaystyle m}$ versus ${displaystyle 1/m}$. Entonces,

${displaystyle {begin{aligned}R_{1} limit=mR,\R_{2} limit=R/m,\C_{1} limit=nC,C_{2} limit=C/n.end{aligned}}}$

Como resultado, el ${displaystyle f_{0}$ y ${displaystyle Q}$ las expresiones se reducen a

${displaystyle omega _{0}=2pi - Sí.$

y

${displaystyle Q={frac {mn}{m^{2}+1}}$

Comenzando con una opción más o menos arbitraria por ejemplo. ${displaystyle C}$ y ${displaystyle n}$, los valores apropiados para ${displaystyle R.$ y ${displaystyle m}$ se puede calcular a favor del deseado ${displaystyle f_{0}$ y ${displaystyle Q}$. En la práctica, ciertas opciones de los valores de los componentes actuarán mejor que otras debido a las no-idealidades de los amplificadores operacionales reales. Como ejemplo, los altos valores de resistencia aumentarán la producción de ruido del circuito, al tiempo que contribuirán a la tensión de compensación de DC en la salida de los amplificadores de op equipados con transistores de entrada bipolar.

Ejemplo

Por ejemplo, el circuito de la Figura 3 tiene ${displaystyle - Sí.$ y ${displaystyle Q=0.5}$. La función de transferencia es dada por

${displaystyle H(s)={1}{1+underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2}}} ¿Qué? }{omega {fnK}={fnK} {fnMiega} Es un error. {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2} - ¿Qué? ¿Qué?$

y, después de la sustitución, esta expresión es igual a

${displaystyle H(s)={frac {1}{1+underbrace {frac {RC(m+1/m)}{n} {n} ¿Qué? }{omega {fnK}={fnK} {fnMiega} Es un error. {fnMicroc} {1}{omega ¿Qué?$

que muestra cómo cada ${displaystyle (R,C)}$ combinación viene con algunos ${displaystyle (m,n)}$ combinación para proporcionar la misma ${displaystyle f_{0}$ y ${displaystyle Q}$ para el filtro de baja velocidad. Un enfoque de diseño similar se utiliza para los otros filtros a continuación.

Impedancia de entrada

La impedancia de entrada del filtro de paso bajo Sallen-Key de ganancia unitaria de segundo orden también es de interés para los diseñadores. Está dada por la ecuación. (3) en Cartwright y Kaminsky como

${displaystyle Z(s)=R_{1}{frac {fnMicrosoft Sans Serif}$

Donde ${displaystyle s'={frac}{omega ♪♪$ y ${displaystyle k={frac {R_{1} {R_{1}}}={frac} {m}{m+1/m}}$.

Además, para ${fnMicroc} {1-k^{2} {2}}}}$, hay un valor mínimo de la magnitud de la impedancia, dada por Eq. (16) de Cartwright y Kaminsky, que afirma que

${fnMicrosoft Sans Serif}=R_{1}{2}{2}}{2}}{2}}}{2}} {2} Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{2}{sqrt {fnK}}}}}}}}}$

Afortunadamente, esta ecuación está bien aproximada por

${fnMicrosoft Sans Serif}approx R_{1} {fnMicroc} {1}{2}+k^{2}+0.34}}}$

para ${displaystyle 0.25leq kleq 0.75}$. Para ${displaystyle k}$ valores fuera de esta gama, la constante 0.34 tiene que ser modificada para un error mínimo.

Además, la frecuencia a la que se produce la magnitud de impedancia mínima viene dada por la ecuación. (15) de Cartwright y Kaminsky, es decir,

${displaystyle omega _{ min}=omega ¿Qué? [Q^{2}+{sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}}}{2Q^{2}+k^{2}}}}}$

Esta ecuación también se puede aproximar bien usando la ecuación. (20) de Cartwright y Kaminsky, que afirma que

${displaystyle omega _{ min}approx omega _{0}{2sqrt {2Q^{2}{2Q^{2}+k^{2}}}}}$

Aplicación: filtro de paso alto

Un filtro de alto paso de alta unidad de segundo orden con ${displaystyle ¿Qué?$ y ${displaystyle Q=0.5}$ se muestra en la Figura 4.

Un filtro de paso alto de ganancia unitaria de segundo orden tiene la función de transferencia

${displaystyle H(s)={frac {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fn}}}} {fnMicrosoft} {2pileft({frac {f} {f}}}derecho)} _{2zeta omega ¿Qué? ¿Qué? _{omega.$

donde frecuencia natural sin humedad ${displaystyle f_{0}$ y ${displaystyle Q}$ factor se discuten arriba en la discusión de filtros de baja velocidad. El circuito anterior implementa esta función de transferencia por las ecuaciones

${displaystyle omega _{0}=2pi F_{0}={frac {1}{sqrt [R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}$

(como antes) y

${displaystyle {frac}{2zeta }=Q={frac {omega {0}{2alpha }={frac {sqrt {R_{1}R_{2}C_{2}}} {R_{1}(C_{1}+C_{2}}}}}}$

Así que

${displaystyle 2alpha =2zeta omega ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué?$

Siga un enfoque similar al utilizado para diseñar el filtro de paso bajo anterior.

Aplicación: filtro de paso de banda

En la Figura 5 se muestra un ejemplo de un filtro de paso de banda sin ganancia unitaria implementado con un filtro VCVS. Aunque utiliza una topología diferente y un amplificador operacional configurado para proporcionar ganancia sin unidad, se puede analizar utilizando métodos similares. métodos como con la topología genérica de Sallen-Key. Su función de transferencia está dada por

${displaystyle H(s)={frac {overbrace {left(1+{frac {R_{text{b}} {R_{text{a}}right)} {fnK}}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { ^{G}{frac {fnh} {fn}} {fnK}} {fnK}} {fnh}}} {fn}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}}}} {fn}}} {fn}}} {f}}}} {fn}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\c}c}\c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c} {1} {fn} {fnK}}} {fnMic}} {fn}}}} {\fn}}}}} {fn}} {fn}}}} {fn}} {fn}}}}}}}} {f}}}}}}} {fnf}} {f}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\f}\\\\\\\\\\\fn\\fn\\fnK\\fnfn}fn}\fn}fn}fn}fn}\fn}fn}\\fn}\\fn {1}{2}C_{1}}+{frac} {1}{2}C_{2}} {R_{text{b}}} {f}}}}} {f} {f}}}}}derecho)} _{2zeta omega ¿Qué? Es un error. {R_{1}}R_{2}C_{2}}} _{omega ¿Qué?$

La frecuencia central ${displaystyle f_{0}$ (es decir, la frecuencia en que la respuesta de la magnitud tiene su pico) es dado por

${displaystyle F_{0}={frac {1}{2pi} }{sqrt {frac {R_{2}R_{2}}}}}}}}$

El factor Q ${displaystyle Q}$ es dado por

${displaystyle {begin{aligned}Q {omega _{0}{2zeta omega ¿Qué? {omega {0}{omega - ¿Qué? {fnMicroc} {R_{1}}R_{2}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} { {1} {fn} {fnK}}} {fnMic}} {fn}} {fn}}}}}}} {fn}}} {fnMic}} {fn}}} {fn}}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}} { {1}{2}C_{1}}+{frac} {1}{2}C_{2}} {f}}}}[10pt] {sqrt {}R_{2}C_{2}}}{1}R_{text{f}R_{2}C_{2}} {2}}}}}} {R_{1}} {f} {f} {c} {c} {c} {c}} {c}ccc} {c}}} {ccccc}}}cccccccccccccccccc}ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc} {R_{text{b}} {R_{a}}}}}}end{aligned}}}}}}} {fnunció}$

El divisor de tensión en el bucle de retroalimentación negativa controla la "ganancia interna" ${displaystyle G.$ de la op amp:

${displaystyle G=1+{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Si la ganancia interna ${displaystyle G.$ es demasiado alto, el filtro oscilará.