Topología de orden

En matemáticas, una topología de orden es una cierta topología que se puede definir en cualquier conjunto totalmente ordenado. Es una generalización natural de la topología de los números reales a conjuntos arbitrarios totalmente ordenados.

Si X es un conjunto totalmente ordenado, la topología de orden sobre X es generada por la subbase de "rayos abiertos&# 34;

<math alttext="{displaystyle {xmid a{}x▪ ▪ a.x}{displaystyle {xmid a wonx}<img alt="{displaystyle {xmid a

<math alttext="{displaystyle {xmid x{}x▪ ▪ x.b}{displaystyle {xmid x 0}}<img alt="{displaystyle {xmid x

para todo a, b en X. Siempre que X tenga al menos dos elementos, esto es equivalente a decir que los intervalos abiertos

<math alttext="{displaystyle (a,b)={xmid a<x()a,b)={}x▪ ▪ a.x.b}{displaystyle (a,b)={xmid a Secuerdo]<img alt="(a,b)={xmid a<x

junto con los rayos anteriores forman una base para la topología de orden. Los conjuntos abiertos en X son los conjuntos que son una unión de (posiblemente infinitos) tales intervalos abiertos y rayos.

Un espacio topológico X se denomina ordenable o ordenable linealmente si existe un orden total en sus elementos tal que la topología de orden inducida por ese orden y la topología dada en X coinciden. La topología de orden convierte a X en un espacio de Hausdorff completamente normal.

Las topologías estándar en R, Q, Z y N son las topologías de orden.

Topología de orden inducido

Si Y es un subconjunto de X, X un conjunto totalmente ordenado, entonces Y hereda un total orden de X. El conjunto Y tiene por tanto una topología de orden, la topología de orden inducida. Como subconjunto de X, Y también tiene una topología de subespacio. La topología del subespacio siempre es al menos tan fina como la topología de orden inducido, pero en general no son lo mismo.

Por ejemplo, considere el subconjunto Y = {–1} ∪ {1/n}_{n∈ N} en los racionales. Bajo la topología del subespacio, el conjunto singleton {–1} está abierto en Y, pero bajo la topología de orden inducido, cualquier conjunto abierto que contenga –1 debe contener todos menos un número finito de miembros del espacio.

Un ejemplo de un subespacio de un espacio linealmente ordenado cuya topología no es una topología de orden

Aunque la topología subespacial de Y = {–1} ∪ {1/n}_n∈N en la sección anterior no se genera por el orden inducido en Y, sin embargo, es una topología de orden en Y; de hecho, en la topología del subespacio cada punto está aislado (es decir, singleton {y} está abierto en Y para cada y en Y), por lo que la topología del subespacio es la topología discreta en Y (la topología en la que cada subconjunto de Y es un conjunto abierto), y la topología discreta en cualquier conjunto es una topología de orden. Para definir un orden total en Y que genera la topología discreta en Y, simplemente modifique el orden inducido en Y definiendo -1 para que sea el mayor elemento de Y y manteniendo el mismo orden para los otros puntos, de modo que en este nuevo orden (llámelo decir <₁) tenemos 1/n <₁ –1 para todo n ∈ N. Entonces, en la topología de orden sobre Y generada por <₁, cada punto de Y está aislado en Y.

Deseamos definir aquí un subconjunto Z de un espacio topológico linealmente ordenado X tal que ningún orden total en Z genera la topología del subespacio en Z, de modo que la topología del subespacio no será una topología de orden aunque sea la topología del subespacio de un espacio cuya topología es una topología de orden.

Vamos Z={}− − 1}∪ ∪ ()0,1){displaystyle Z={-1}cup (0,1)} en la línea real. El mismo argumento que antes muestra que la topología subespacial en Z no es igual a la topología de orden inducida en Z, pero se puede demostrar que la topología subespacial en Z no puede ser igual a cualquier topología de orden en Z.

Un argumento sigue. Supongamos por medio de la contradicción que hay un orden total estricto que se hace en Z de tal manera que la topología del orden generada por י es igual a la topología subespacial en Z (nota que no estamos asumiendo que י es el orden inducido en Z, sino un orden total arbitrariamente dado en Z que genera la topología subespacial). En lo siguiente, la notación de intervalos debe ser interpretada en relación con la relación. También, si A y B son sets, <math alttext="{displaystyle AA.B{displaystyle A<img alt="{displaystyle A significará que <math alttext="{displaystyle aa.b{displaystyle a meantb}<img alt="{displaystyle a para cada uno a dentro A y b dentro B.

Vamos M=Z {-1}, el intervalo de unidad. M está conectado. Si m,n▪M y mIdentificado -1n, entonces ()− − JUEGO JUEGO ,− − 1){displaystyle (-infty-1)} y ()− − 1,JUEGO JUEGO ){displaystyle (-1,infty)} separado MUna contradicción. Por argumentos similares, M es denso en él mismo y no tiene lagunas, en lo que respecta a. Así, M[1] o {-1}M. Suponga sin pérdida de generalidad que {-1}M. Ya que está abierto Z, hay algún punto p dentro M tal que el intervalo (-1, pEstá vacío. Desde {-1}M, sabemos -1 es el único elemento Z eso es menos que pAsí que p es el mínimo M. Entonces... M{}p} = A∪B, donde A y B son subconjuntos no vacíos abiertos y descomunales de M, dado por los intervalos de la línea real (0,p) y (p,1) respectivamente. Note que la frontera A y de B son ambos el unitario de p. Suponiendo sin pérdida de generalidad a dentro A y b dentro B tales que a.b, ya que no hay lagunas M y es denso, hay un punto de frontera entre A y B en el intervalo (a,b) (uno puede tomar la suprema del conjunto de elementos x de A tal que [a,xEstá dentro A). Esta es una contradicción, ya que la única frontera está estrictamente bajo a.

Topologías de orden izquierdo y derecho

Se pueden dar varias variantes de la topología de orden:

• El topología de orden derecho on X es la topología teniendo como base todos los intervalos de la forma a}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()a,JUEGO JUEGO )={}x▪ ▪ X▪ ▪ x■a}{displaystyle (a,infty)={xin Xmid x confianzaa}a}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696c27afcaa83587a26c11bdde62207e7f846773" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.566ex; height:2.843ex;"/>, junto con el conjunto X.
• El topología de orden izquierdo on X es la topología teniendo como base todos los intervalos de la forma <math alttext="{displaystyle (-inftya)={xin Xmid x()− − JUEGO JUEGO ,a)={}x▪ ▪ X▪ ▪ x.a}{displaystyle (-inftya)={xin Xmid x madea}<img alt="{displaystyle (-inftya)={xin Xmid x, junto con el conjunto X.

Las topologías de orden izquierdo y derecho se pueden usar para dar contraejemplos en la topología general. Por ejemplo, la topología de orden izquierdo o derecho en un conjunto acotado proporciona un ejemplo de un espacio compacto que no es Hausdorff.

La topología de orden izquierdo es la topología estándar utilizada para muchos propósitos de teoría de conjuntos en un álgebra booleana.

Espacio ordinal

Para cualquier número ordinal λ se pueden considerar los espacios de los números ordinales

<math alttext="{displaystyle [0,lambda)={alpha mid alpha [0,λ λ )={}α α ▪ ▪ α α .λ λ }{displaystyle [0,lambda)={alpha mid alpha - No.<img alt="{displaystyle [0,lambda)={alpha mid alpha

[0,λ λ ]={}α α ▪ ▪ α α ≤ ≤ λ λ }{displaystyle [0,lambda ]={alpha mid alpha leq lambda {}}

junto con la topología de orden natural. Estos espacios se denominan espacios ordinales. (Tenga en cuenta que en la construcción habitual de la teoría de conjuntos de los números ordinales tenemos λ = [0,λ) y λ + 1 = [0,λ]). Obviamente, estos espacios son de mayor interés cuando λ es un ordinal infinito; de lo contrario (para ordinales finitos), la topología de orden es simplemente la topología discreta.

Cuando λ = ω (el primer ordinal infinito), el espacio [0,ω) es simplemente N con la topología habitual (todavía discreta), mientras que [0,ω] es la compactación en un punto de N.

De particular interés es el caso cuando λ = ω₁, el conjunto de todos los ordinales contables y el primer ordinal incontable. El elemento ω₁ es un punto límite del subconjunto [0,ω₁) aunque no hay secuencia de elementos en [0,ω₁) tiene como límite el elemento ω₁. En particular, [0,ω₁] no es contable en primer lugar. Sin embargo, el subespacio [0,ω₁) es primero contable, ya que el único punto en [0,ω₁] sin una base local contable es ω₁ . Algunas propiedades adicionales incluyen

• ninguno₁.₁] es separable o de segunda cuenta
• [0,ω₁] es compacto, mientras [0,ω₁) es secuencialmente compacto y contablemente compacto, pero no compacto o paracompactado

Topología y ordinales

Ordinales como espacios topológicos

Cualquier número ordinal puede convertirse en un espacio topológico dotándolo de la topología de orden (ya que, estando bien ordenado, un ordinal está en particular totalmente ordenado): salvo indicación en contrario, siempre es que topología de orden que se entiende cuando se piensa en un ordinal como un espacio topológico. (Tenga en cuenta que si estamos dispuestos a aceptar una clase adecuada como espacio topológico, entonces la clase de todos los ordinales también es un espacio topológico para la topología de orden).

El conjunto de puntos límite de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales límite menores que α. Los ordinales sucesores (y cero) menores que α son puntos aislados en α. En particular, los ordinales finitos y ω son espacios topológicos discretos, y ningún ordinal más allá de eso es discreto. El ordinal α es compacto como espacio topológico si y solo si α es un ordinal sucesor.

Los conjuntos cerrados de un ordinal límite α son simplemente los conjuntos cerrados en el sentido que ya hemos definido, es decir, aquellos que contienen un ordinal límite siempre que contienen todos los ordinales suficientemente grandes debajo de él.

Cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abierto de cualquier otro ordinal. También podemos definir la topología en los ordinales de la siguiente manera inductiva: 0 es el espacio topológico vacío, α+1 se obtiene tomando la compactación de un punto de α, y para δ un límite ordinal, δ está equipado con la topología de límite inductivo. Tenga en cuenta que si α es un sucesor ordinal, entonces α es compacto, en cuyo caso su compactación en un punto α+1 es la unión disjunta de α y un punto.

Como espacios topológicos, todos los ordinales son Hausdorff e incluso normales. También son totalmente desconectados (los componentes conectados son puntos), dispersos (cada subespacio no vacío tiene un punto aislado; en este caso, solo tome el elemento más pequeño), de dimensión cero (la topología tiene una base abierta: aquí, escriba un intervalo abierto (β,γ) como la unión de los intervalos abiertos (β,γ' +1)=[β+1,γ'] para γ'<γ). Sin embargo, en general no son extremadamente desconectados (hay conjuntos abiertos, por ejemplo los números pares a partir de ω, cuya clausura no es abierta).

Los espacios topológicos ω₁ y su sucesor ω₁+1 se utilizan con frecuencia como ejemplos de libros de texto de espacios topológicos no contables. Por ejemplo, en el espacio topológico ω₁+1, el elemento ω₁ está en el cierre del subconjunto ω₁ aunque no haya secuencia de elementos en ω₁ tiene como límite el elemento ω₁: un elemento en ω₁ es un conjunto contable; para cualquier secuencia de tales conjuntos, la unión de estos conjuntos es la unión de varios conjuntos contables contables, por lo que siguen siendo contables; esta unión es una cota superior de los elementos de la sucesión, y por tanto del límite de la sucesión, si lo tiene.

El espacio ω₁ es primero contable, pero no segundo contable, y ω₁+1 no tiene ninguna de estas dos propiedades, a pesar de ser compacto. También vale la pena señalar que cualquier función continua desde ω₁ hasta R (la línea real) es finalmente constante: por lo tanto, la compactación de Stone-Čech de ω₁ es ω₁+1, al igual que su compactación de un punto (en marcado contraste con ω, cuya compactación de Stone-Čech es mucho más grande que ω).

Secuencias indexadas ordinales

Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una secuencia indexada α de elementos de X simplemente significa una función de α a X. Este concepto, una secuencia transfinita o secuencia indexada ordinal, es una generalización del concepto de secuencia. Una secuencia ordinaria corresponde al caso α = ω.

Si X es un espacio topológico, decimos que una secuencia indexada α de elementos de X converge a un límite x cuando converge como una red, es decir, dado cualquier entorno U de x existe un ordinal β<α tal que x_ι está en U para todos los ι≥β.

Las secuencias indexadas ordinales son más poderosas que las secuencias ordinarias (indexadas en ω) para determinar los límites en la topología: por ejemplo, ω₁ (omega-uno, el conjunto de todos los números ordinales contables y el número ordinal incontable más pequeño), es un punto límite de ω₁+1 (porque es un ordinal límite), y, de hecho, es el límite de ω₁-secuencia indexada que asigna cualquier ordinal menor que ω₁ a sí misma: sin embargo, no es el límite de ninguna secuencia ordinaria (ω-indexada) en ω₁, ya que cualquiera de esos límites es menor o igual a la unión de sus elementos, que es una unión contable de conjuntos contables, por lo tanto, también contable.

Sin embargo, las secuencias de índice ordinal no son lo suficientemente poderosas para reemplazar las redes (o filtros) en general: por ejemplo, en la tabla Tychonoff (el espacio de productos) ()⋅ ⋅ 1+1)× × ()⋅ ⋅ +1){displaystyle (omega _{1}+1)times (omega +1)}), el punto de esquina ()⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ ){displaystyle (omega _{1},omega)} es un punto límite (está en el cierre) del subconjunto abierto ⋅ ⋅ 1× × ⋅ ⋅ {displaystyle omega _{1}times omega }, pero no es el límite de una secuencia de índice ordinal.