Topología de límite inferior

En matemáticas, la topología límite inferior o topología de intervalo medio abierto derecho es una topología definida en el conjunto R{displaystyle mathbb {R} de números reales; es diferente de la topología estándar en R{displaystyle mathbb {R} (generado por los intervalos abiertos) y tiene una serie de propiedades interesantes. Es la topología generada por la base de todos los intervalos medio abiertos [a,b), donde a y b son números reales.

El espacio topológico resultante se llama Línea Sorgenfrey después de Robert Sorgenfrey o flecha y a veces está escrito Rl{displaystyle mathbb {R} _{l}. Al igual que el conjunto Cantor y la línea larga, la línea Sorgenfrey a menudo sirve como un contraejemplo útil para muchas conjeturas de sonido plausible en la topología general. El producto de Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} con sí mismo es también un contraexplano útil, conocido como el avión Sorgenfrey.

En completa analogía, también se puede definir la topología de límite superior, o topología de intervalo semiabierto izquierdo.

Propiedades

• La topología límite inferior es más fina (tiene más conjuntos abiertos) que la topología estándar en los números reales (que se genera por los intervalos abiertos). La razón es que cada intervalo abierto puede ser escrito como una unión (contablemente infinita) de intervalos medio abiertos.
• Para cualquier real a{displaystyle a} y b{displaystyle b}, el intervalo [a,b){displaystyle [a,b]} es clopen Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} (es decir, ambos abiertos y cerrados). Además, para todo real a{displaystyle a}, los conjuntos <math alttext="{displaystyle {xin mathbb {R}:x{}x▪ ▪ R:x.a}{displaystyle {xin mathbb {R}:x hicierona}<img alt="{displaystyle {xin mathbb {R}:x y {}x▪ ▪ R:x≥ ≥ a}{displaystyle {xin mathbb {R}:xgeq a} son también clopen. Esto demuestra que la línea Sorgenfrey está totalmente desconectada.
• Cualquier subconjunto compacto Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} debe ser un conjunto contable. Para ver esto, considere un subconjunto compacto no vacío C⊆ ⊆ Rl{displaystyle Csubseteq mathbb {R}. Arreglar un x▪ ▪ C{displaystyle xin C}, considerar la siguiente cubierta abierta C{displaystyle C}:

{}[x,+JUEGO JUEGO )}∪ ∪ {}()− − JUEGO JUEGO ,x− − 1n)Silencion▪ ▪ N}.{displaystyle {bigl{}[x,+infty){bigr}cup {Bigl}{bigl (}-inftyx-{tfrac {1}{n}{bigr)}, {fnMicrosoft },nin mathbb {N} {Bigr}}}

Desde C{displaystyle C} es compacto, esta cubierta tiene un tapado finito, y por lo tanto existe un número real a()x){displaystyle a(x)} tal que el intervalo ()a()x),x]{displaystyle (a(x),x]} no contiene ningún punto C{displaystyle C} aparte de x{displaystyle x}. Esto es verdad para todos x▪ ▪ C{displaystyle xin C}. Ahora elige un número racional q()x)▪ ▪ ()a()x),x]∩ ∩ Q{displaystyle q(x)in (a(x),x]cap mathbb {Q}. Desde los intervalos ()a()x),x]{displaystyle (a(x),x]}, parametrizado por x▪ ▪ C{displaystyle xin C}, son dos veces descomunal, la función q:C→ → Q{displaystyle q:Cto mathbb {Q} es inyectable, y así C{displaystyle C} es muy contable. Podría observarse que un subconjunto C{displaystyle C} es compacto si y sólo si se atado desde abajo y está bien ordenado cuando dotado con el orden "}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">■{displaystyle }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b27b77ab4e3293ea9ce65cef60fea655c398423" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;"/>" (que en particular implica que está ligada desde arriba).

• El nombre "topología límite inferior" viene del siguiente hecho: una secuencia (o red) ()xα α ){displaystyle (x_{alpha }} dentro Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} convergen al límite L{displaystyle L. si y sólo si "aparece" L{displaystyle L. de la derecha", que significa para cada 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/> existe un índice α α 0{displaystyle alpha ¿Qué? tales que <math alttext="{displaystyle forall alpha geq alpha _{0}:Lleq x_{alpha }О О α α ≥ ≥ α α 0:L≤ ≤ xα α .L+ε ε {displaystyle forall alpha geq alpha Lleq x_{alpha ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪<img alt="{displaystyle forall alpha geq alpha _{0}:Lleq x_{alpha }. La línea Sorgenfrey se puede utilizar para estudiar los límites del lado derecho: si f:R→ → R{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} es una función, entonces el límite de lado derecho ordinario f{displaystyle f} a x{displaystyle x} (cuando el codominio lleva la topología estándar) es el mismo que el límite habitual f{displaystyle f} a x{displaystyle x} cuando el dominio está equipado con la topología límite inferior y el codomain lleva la topología estándar.
• En términos de axiomas de separación, Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} es un espacio Hausdorff perfectamente normal.
• En términos de axiomas contables, Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} es de primera y separable, pero no de segunda.
• En términos de propiedades compactas, Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} es Lindelöf y paracompacto, pero no σ-compact ni localmente compacto.
• Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} no es metrizable, ya que los espacios métricos separables son de segunda cuenta. Sin embargo, la topología de una línea Sorgenfrey es generada por un cuasimétrico.
• Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} es un espacio de Baire.
• Rl{displaystyle mathbb {R} _{l} no tiene ninguna compactación conectada.