Topología de Grothendieck

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En la teoría de categorías, una rama de las matemáticas, una topología de Grothendieck es una estructura en una categoría C que hace que los objetos de C actúen como los conjuntos abiertos de un espacio topológico. Una categoría junto con una selección de topología de Grothendieck se denomina sitio.

Las topologías de Grothendieck axiomatizan la noción de una cubierta abierta. Utilizando la noción de cobertura proporcionada por una topología de Grothendieck, es posible definir poleas en una categoría y su cohomología. Esto se hizo por primera vez en geometría algebraica y teoría algebraica de números por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale de un esquema. Se ha utilizado para definir otras teorías de cohomología desde entonces, como la cohomología ℓ-ádica, la cohomología plana y la cohomología cristalina. Si bien las topologías de Grothendieck se utilizan con mayor frecuencia para definir las teorías de cohomología, también han encontrado otras aplicaciones, como la teoría de la geometría analítica rígida de John Tate.

Existe una forma natural de asociar un sitio a un espacio topológico ordinario, y la teoría de Grothendieck se considera vagamente como una generalización de la topología clásica. Bajo hipótesis puntuales exiguas, a saber, la sobriedad, esto es completamente cierto: es posible recuperar un espacio sobrio de su sitio asociado. Sin embargo, ejemplos simples como el espacio topológico indiscreto muestran que no todos los espacios topológicos se pueden expresar utilizando topologías de Grothendieck. Por el contrario, hay topologías de Grothendieck que no provienen de espacios topológicos.

El término "topología de Grothendieck" ha cambiado de significado. En Artin (1962) significó lo que ahora se llama una pretopología de Grothendieck, y algunos autores todavía usan este antiguo significado. Giraud (1964) modificó la definición para usar tamices en lugar de cubiertas. La mayor parte del tiempo esto no hace mucha diferencia, ya que cada pretopología de Grothendieck determina una topología de Grothendieck única, aunque pretopologías muy diferentes pueden dar la misma topología.

Resumen

Las famosas conjeturas de Weil de André Weil propusieron que ciertas propiedades de las ecuaciones con coeficientes integrales deben entenderse como propiedades geométricas de la variedad algebraica que definen. Sus conjeturas postularon que debería haber una teoría de cohomología de variedades algebraicas que proporcione información de teoría numérica sobre sus ecuaciones definitorias. Esta teoría de la cohomología se conocía como la 'cohomología de Weil', pero usando las herramientas que tenía disponibles, Weil no pudo construirla.

A principios de la década de 1960, Alexander Grothendieck introdujo los mapas de estado en la geometría algebraica como análogos algebraicos de los isomorfismos analíticos locales en la geometría analítica. Usó revestimientos étale para definir un análogo algebraico del grupo fundamental de un espacio topológico. Pronto, Jean-Pierre Serre notó que algunas propiedades de los revestimientos étale imitaban las de las inmersiones abiertas y que, en consecuencia, era posible realizar construcciones que imitaban el funtor de cohomología H¹. Grothendieck vio que sería posible utilizar la idea de Serre para definir una teoría de cohomología que sospechaba que sería la cohomología de Weil. Para definir esta teoría de cohomología, Grothendieck necesitaba reemplazar la noción topológica habitual de una cubierta abierta por una que usaría cubiertas étale en su lugar. Grothendieck también vio cómo expresar la definición de cobertura de manera abstracta; de ahí viene la definición de una topología de Grothendieck.

Definición

Motivación

La definición clásica de una hoja comienza con un espacio topológico X. Una hoja asocia información a los conjuntos abiertos de X. Esta información se puede frasear abstractamente dejando O()X) ser la categoría cuyos objetos son los subconjuntos abiertos U de X y cuyos morfismos son los mapas de inclusión V → U de conjuntos abiertos U y V de X. Llamaremos a tales mapas inmersiones abiertas, igual que en el contexto de los esquemas. Entonces, un preséptero X es un funerario contravariante O()X) a la categoría de conjuntos, y una hoja es un presheaf que satisface el axioma de cola (aquí incluido el axioma de separación). El axioma de cola se expresa en términos de cobertura de punta, es decir, ${U_{i}}$ cubiertas U si ${displaystyle bigcup _{i}U_{i}=U}$ . En esta definición, $U_{i}$ es un subconjunto abierto de X. Grothendieck topologies reemplazar cada uno $U_{i}$ con toda una familia de subconjuntos abiertos; en este ejemplo, $U_{i}$ es reemplazado por la familia de todas las inmersiones abiertas ${displaystyle V_{ij}to U_{i}}$ . Tal colección se llama Sieve. La cubierta puntiaguda es reemplazada por la noción de un familia; en el ejemplo anterior, el conjunto de todos ${displaystyle {V_{ij}to U_{i}}_{j}}$ como i varies es una familia cubierta de U. Sieves y familias cubiertas pueden ser axiomatizadas, y una vez que esto se hace conjuntos abiertos y cobertura puntiaguda pueden ser reemplazadas por otras nociones que describen otras propiedades del espacio X.

Tamices

En una topología de Grothendieck, la noción de una colección de subconjuntos abiertos de U estables bajo inclusión se reemplaza por la noción de tamiz. Si c es cualquier objeto dado en C, un tamiz en c es un subfuntor del functor Hom(−, c); (esta es la incrustación de Yoneda aplicada a c). En el caso de O(X), un tamiz S en un conjunto abierto U selecciona una colección de abiertos subconjuntos de U que es estable bajo inclusión. Más precisamente, considere que para cualquier subconjunto abierto V de U, S(V) será un subconjunto de Hom(V, U), que tiene un solo elemento, la inmersión abierta V → U. Entonces V se considerará "seleccionado" por S si y solo si S(V) no está vacío. Si W es un subconjunto de V, entonces hay un morfismo S(V) → S (W) dado por composición con la inclusión W → V. Si S(V) no está vacío, se sigue que S(W) tampoco está vacío.

Si S es un sitio X, y f: Y → X es un morfismo, luego la composición izquierda por f da un sieve encendido Y llamado Retirada de S y f, denotado por f^{$^ast$}S. Se define como el producto de fibra S×_{Hom(−, X)}Hom(−, Y) junto con su incrustación natural en Hom(−, Y). Más concretamente, para cada objeto Z de C, f^{$^ast$}S()Z♪♪ g: Z → Y Silencio fg $in$ S()Z}, y f^{$^ast$}S hereda su acción sobre los morfismos siendo un subfunctor de Hom(−, Y). En el ejemplo clásico, la retirada de una colección {V_i} de subconjuntos U a) Una inclusión W → U es la colección {V_i∩W}.

Topología de Grothendieck

Una topología de Grothendieck J en una categoría C es una colección, para cada objeto c de C, de tamices distinguidos en c, denotados por J(c) y llamados tamices de cobertura de c. Esta selección estará sujeta a ciertos axiomas, que se exponen a continuación. Continuando con el ejemplo anterior, un tamiz S sobre un conjunto abierto U en O(X) será una cubierta criba si y solo si la unión de todos los conjuntos abiertos V para los cuales S(V) no es vacío es igual a U; en otras palabras, si y solo si S nos da una colección de conjuntos abiertos que cubren U en el sentido clásico.

Axiomas

Las condiciones que imponemos en una topología de Grothendieck son:

(T 1) (cambio de base) Si S es un tamiz que cubre X, y f: Y → X es un morfismo, luego la retirada f^$ast$S es un tamiz que cubre Y.
(T 2) (Caracterismo local) Vamos S ser un tamiz de cobertura X, y dejar T ser cualquier asedio en X. Supongamos que para cada objeto Y de C y cada flecha f: Y → X dentro S()Y), el sieve de retroceso f^$ast$T es un tamiz que cubre Y. Entonces... T es un tamiz que cubre X.
(T 3) (Identidad) Hom(−, X) es un tamiz de cobertura en X para cualquier objeto X dentro C.

El axioma del cambio base corresponde a la idea de que si {U_i. U, entonces {U_i ∩ VDebería cubrir U ∩ V. El axioma del personaje local corresponde a la idea de que si {U_i. U yV_ij}_{j $in$ J_i} cubiertas U_i para cada uno i, entonces la colección {V_ijPara todos i y j debe cubrirse U. Por último, el axioma de identidad corresponde a la idea de que cualquier conjunto está cubierto por sí mismo a través del mapa de identidad.

Pretopologías de Grothendieck

De hecho, es posible poner estos axiomas en otra forma donde su carácter geométrico sea más evidente, asumiendo que la categoría subyacente C contiene ciertos productos de fibra. En este caso, en lugar de especificar tamices, podemos especificar que ciertas colecciones de mapas con un codominio común deben cubrir su codominio. Estas colecciones se denominan familias de cobertura. Si el conjunto de todas las familias de cobertura satisface ciertos axiomas, entonces decimos que forman una pretopología de Grothendieck. Estos axiomas son:

(PT 0) (Existencia de productos de fibra) Para todos los objetos X de C, y para todos los morfismos X₀ → X que aparecen en una familia cubierta de X, y para todos los morfismos Y → X, el producto de fibra X₀×_XY existe.
(PT 1) (Estabilidad bajo cambio de base) Para todos los objetos X de C, todos los morfismos Y → X, y todas las familias cubiertas {X_α → X}, la familia {X_α ×_X Y → YEs una familia que cubre.
(PT 2) (caracter local) SiX_α → X} es una familia cubierta, y si para todo α, {X_β → X_α} es una familia cubierta, luego la familia de los composites {X_β → X_α → XEs una familia que cubre.
(PT 3) (Isomorfismos) Si f: Y → X es un isomorfismo, entonces {fEs una familia que cubre.

Para cualquier pretopología, la colección de todos los tamices que contienen una familia de cobertura de la pretopología es siempre una topología de Grothendieck.

Para las categorías con productos de fibra, ocurre lo contrario. Dada una colección de flechas {X_α → X}, construimos un tamiz S dejando que S(Y) sea el conjunto de todos los morfismos Y → X que se factorizan a través de alguna flecha X_α → X. Esto se llama el tamiz generado por {X_α → X}. Ahora elija una topología. Decir que {X_α → X} es una familia de cobertura si y solo si el tamiz que genera es un tamiz de cobertura para la topología dada. Es fácil comprobar que esto define una pretopología.

(PT 3) a veces se reemplaza por un axioma más débil:

(PT 3') (Identidad) Si 1_X: X → X es la flecha de identidad, entonces {1_XEs una familia que cubre.

(PT 3) implica (PT 3'), pero no a la inversa. Sin embargo, supongamos que tenemos una colección de familias de cobertura que satisface (PT 0) a través de (PT 2) y (PT 3'), pero no (PT 3). Estas familias generan una pretopología. La topología generada por la colección original de familias de cobertura es entonces la misma que la topología generada por la pretopología, porque la criba generada por un isomorfismo Y → X es Hom(−, X). En consecuencia, si restringimos nuestra atención a las topologías, (PT 3) y (PT 3') son equivalentes.

Sitios y poleas

Sea C una categoría y sea J una topología de Grothendieck sobre C. El par (C, J) se denomina sitio.

Un presheaf en una categoría es un funtor contravariante de C a la categoría de todos los conjuntos. Tenga en cuenta que para esta definición no se requiere que C tenga una topología. Sin embargo, una gavilla en un sitio debería permitir el pegado, al igual que las gavillas en la topología clásica. En consecuencia, definimos una gavilla en un sitio como una pregavilla F tal que para todos los objetos X y todos los tamices de cobertura S en X, el mapa natural Hom(Hom(−, X), F) → Hom(S, F), inducida por la inclusión de S en Hom(−, X), es una biyección. A medio camino entre una pregavilla y una gavilla está la noción de una pregavilla separada, donde se requiere que el mapa natural anterior sea solo una inyección, no una biyección, para todos los tamices S. Un morfismo de pregavillas o de gavillas es una transformación natural de los funtores. La categoría de todas las poleas en C es el topos definido por el sitio (C, J).

Usando el lema de Yoneda, es posible mostrar que un prehaz en la categoría O(X) es un haz en la topología definida arriba si y solo si es una gavilla en el sentido clásico.

Las poleas en una pretopología tienen una descripción particularmente simple: para cada familia de recubrimiento {X_α → X }, El diagrama

F(X)rightarrow prod _{{alpha in A}}F(X_{alpha }){{{} atop longrightarrow } atop {longrightarrow atop {}}}prod _{{alphabeta in A}}F(X_{alpha }times _{X}X_{beta })

debe ser un ecualizador. Para una pregavilla separada, la primera flecha solo necesita ser inyectiva.

Del mismo modo, se pueden definir pregavillas y poleas de grupos abelianos, anillos, módulos, etc. Se puede requerir que un presheaf F sea un funtor contravariante a la categoría de grupos abelianos (o anillos, o módulos, etc.), o que F sea un grupo abeliano (anillo, módulo, etc.) objeto en la categoría de todos los funtores contravariantes de C a la categoría de conjuntos. Estas dos definiciones son equivalentes.

Ejemplos de sitios

Las topologías discretas e indiscretas

Sea C cualquier categoría. Para definir la topología discreta, declaramos que todos los tamices son tamices de cobertura. Si C tiene todos los productos de fibra, esto es equivalente a declarar que todas las familias están cubriendo familias. Para definir la topología indiscreta, también conocida como topología gruesa o caótica, declaramos solo los tamices de la forma Hom(−, X) para cubrir los tamices. La topología indiscreta es generada por la pretopología que tiene solo isomorfismos para cubrir familias. Una gavilla en el sitio indiscreto es lo mismo que una pregavilla.

La topología canónica

Sea C cualquier categoría. La incrustación de Yoneda da un funtor Hom(−, X) para cada objeto X de C. La topología canónica es la topología más grande (mejor) tal que cada pregavilla representable, es decir, pregavilla de la forma Hom(−, X), es una gavilla. Se dice que un tamiz de cobertura o familia de cobertura para este sitio es estrictamente universalmente epimórfico porque consta de las patas de un cono colímite (bajo el diagrama completo de los dominios de sus morfismos constituyentes) y estos colímites son estable bajo pullbacks a lo largo de los morfismos en C. Una topología que es menos fina que la topología canónica, es decir, para la cual todo tamiz de cobertura es estrictamente epimórfico universalmente, se denomina subcanónica. Los sitios subcanónicos son exactamente los sitios para los cuales cada pregavilla de la forma Hom(−, X) es una gavilla. La mayoría de los sitios encontrados en la práctica son subcanónicos.

Sitio pequeño asociado a un espacio topológico

Repetimos el ejemplo con el que comenzamos arriba. Sea X un espacio topológico. Definimos O(X) como la categoría cuyos objetos son los conjuntos abiertos de X y cuyos morfismos son inclusiones de conjuntos abiertos. Tenga en cuenta que para un conjunto abierto U y un tamiz S en U, el conjunto S(V ) contiene cero o un elemento para cada conjunto abierto V. Los tamices que cubren un objeto U de O(X) son aquellos tamices S que cumplen la siguiente condición:

Si W es la unión de todos los conjuntos V tales que S()V) no es vacía, entonces W = U.

Esta noción de cobertura coincide con la noción habitual en la topología de conjunto de puntos.

Esta topología también se puede expresar naturalmente como una pretopología. Decimos que una familia de inclusiones {V_α $subseteq$ U} es una familia cubierta si y sólo si el sindicato $cup$ V_α iguales U. Este sitio se llama pequeño sitio asociado a un espacio topológico X.

Sitio grande asociado a un espacio topológico

Vamos Spc ser la categoría de todos los espacios topológicos. Dada cualquier familia de funciones {u_α: V_α → X}, decimos que es un familia subjetiva o que los morfismos u_α son conjuntamente surjetivo si $cup$ u_α()V_α) iguales X. Definimos una pretopología sobre Spc llevándose a las familias cubiertas para ser familias subjetivas todos cuyos miembros son inmersiones abiertas. Vamos S ser un asedio en Spc. S es un tamiz de cobertura para esta topología si y sólo si:

Para todos Y y todo morfismo f: Y → X dentro S()Y), existe un V y a g: V → X tales que g es una inmersión abierta, g está dentro S()V), y f factores g.
Si W es la unión de todos los conjuntos f()Y), donde f: Y → X está dentro S()Y), entonces W = X.

Fijar un espacio topológico X. Considere la categoría de coma Spc/X de espacios topológicos con un mapa continuo fijo a X. La topología en Spc induce una topología en Spc/X. Los tamices de cobertura y las familias de cobertura son casi exactamente iguales; la única diferencia es que ahora todos los mapas involucrados conmutan con los mapas fijos a X. Este es el sitio grande asociado a un espacio topológico X . Observe que Spc es el sitio grande asociado al espacio de un punto. Este sitio fue considerado por primera vez por Jean Giraud.

Los sitios grandes y pequeños de una variedad

Sea M una variedad. M tiene una categoría de conjuntos abiertos O(M) porque es un espacio topológico y obtiene una topología como en el ejemplo anterior. Para dos conjuntos abiertos U y V de M, el producto de fibra U ×_M V es el conjunto abierto U ∩ V, que todavía está en O (M). Esto significa que la topología en O(M) está definida por una pretopología, la misma pretopología que antes.

Sea Mfd la categoría de todas las variedades y aplicaciones continuas. (O variedades suaves y mapas suaves, o variedades analíticas reales y mapas analíticos, etc.) Mfd es una subcategoría de Spc, y las inmersiones abiertas son continuas (o suaves, o analítico, etc.), por lo que Mfd hereda una topología de Spc. Esto nos permite construir el sitio grande de la variedad M como el sitio Mfd/M. También podemos definir esta topología usando la misma pretopología que usamos anteriormente. Note que para satisfacer (PT 0), necesitamos verificar que para cualquier aplicación continua de variedades X → Y y cualquier subconjunto abierto U de Y, el producto de fibra U ×_Y X está en Mfd /M. Esta es solo la declaración de que la preimagen de un conjunto abierto está abierta. Tenga en cuenta, sin embargo, que no todos los productos de fibra existen en Mfd porque la preimagen de un mapa suave en un valor crítico no necesita ser una variedad.

Topologías sobre la categoría de esquemas

La categoría de esquemas, denominada Sch, tiene una enorme cantidad de topologías útiles. Una comprensión completa de algunas preguntas puede requerir examinar un esquema utilizando varias topologías diferentes. Todas estas topologías tienen sitios pequeños y grandes asociados. El sitio grande se forma tomando toda la categoría de esquemas y sus morfismos, junto con los tamices de cobertura especificados por la topología. El sitio pequeño sobre un esquema dado se forma tomando solo los objetos y morfismos que forman parte de una cubierta del esquema dado.

La más elemental de ellas es la topología de Zariski. Sea X un esquema. X tiene un espacio topológico subyacente, y este espacio topológico determina una topología de Grothendieck. La topología de Zariski sobre Sch es generada por la pretopología cuyas familias de cobertura son familias sobreyectivas conjuntas de inmersiones abiertas de teoría de esquemas. Los tamices de cobertura S para Zar se caracterizan por las siguientes dos propiedades:

Para todos Y y todo morfismo f: Y → X dentro S()Y), existe un V y a g: V → X tales que g es una inmersión abierta, g está dentro S()V), y f factores g.
Si W es la unión de todos los conjuntos f()Y), donde f: Y → X está dentro S()Y), entonces W = X.

A pesar de sus similitudes externas, la topología en Zar no es la restricción de la topología en Spc. Esto se debe a que hay morfismos de esquemas que son inmersiones topológicamente abiertas pero que no son inmersiones abiertas de teoría de esquemas. Por ejemplo, sea A un anillo no reducido y sea N su ideal de nilpotentes. El mapa del cociente A → A/N induce un mapa Spec A/N → Spec A, que es el identidad en los espacios topológicos subyacentes. Para ser una inmersión abierta de teoría de esquemas, también debe inducir un isomorfismo en las poleas de la estructura, lo que este mapa no hace. De hecho, este mapa es una inmersión cerrada.

La topología étale es más fina que la topología Zariski. Fue la primera topología de Grothendieck que se estudió de cerca. Sus familias de cobertura son familias sobreyectivas conjuntas de morfismos étale. Es más fina que la topología de Nisnevich, pero ni más fina ni más gruesa que las topologías cdh y l′.

Hay dos topologías planas, la topología fppf y la topología fpqc. fppf significa fidèlement plate de présentation finie, y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano, de presentación finita y cuasi-finito. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte, y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de cobertura se define como una familia que es una cobertura de los subconjuntos abiertos de Zariski. En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y casi compacto es una cubierta. Estas topologías están estrechamente relacionadas con la descendencia. La topología fpqc es más fina que todas las topologías mencionadas anteriormente y está muy cerca de la topología canónica.

Grothendieck introdujo la cohomología cristalina para estudiar la parte de torsión p de la cohomología de las variedades p características. En la topología cristalina, que es la base de esta teoría, la categoría subyacente tiene objetos dados por engrosamientos infinitesimales junto con estructuras de poder divididas. Los sitios cristalinos son ejemplos de sitios sin objeto final.

Funtores continuos y cocontinuos

Hay dos tipos naturales de funtores entre sitios. Están dados por funtores que son compatibles con la topología en cierto sentido.

Funtores continuos

SiC, J) y (D, K) son sitios y u: C → D es un functor, entonces u es continuo si por cada bufete F on D con respecto a la topología K, el presheaf Fu es una hoja con respecto a la topología J. Los funerarios continuos inducen a los funerarios entre los topoi correspondientes enviando una hoja F a Fu. Estos functores se llaman pushforwards. Si ${tilde C}$ y ${tilde {D}}$ denota el topoi asociado a C y D, entonces el functor pushforward es $u_{s}:{tilde D}to {tilde C}$ .

u_s admite un adjunto izquierdo u^s llamó al retroceso. u^s no necesita preservar los límites, incluso los límites finitos.

De la misma manera, u envía un tamiz sobre un objeto X de C a un tamiz sobre el objeto uX de D. Un funtor continuo envía tamices de cobertura a tamices de cobertura. Si J es la topología definida por una pretopología, y si u conmuta con productos de fibra, entonces u es continuo si y solo si envía cobertura tamices a tamices de cobertura y si y solo si envía familias de cobertura a familias de cobertura. En general, no es suficiente que u envíe tamices de cobertura a tamices de cobertura (ver SGA IV 3, Ejemplo 1.9.3).

Funtores cocontinuos

Nuevamente, sean (C, J) y (D, K) sitios y v: C → D sea un funtor. Si X es un objeto de C y R es un tamiz de vX, entonces R puede retrotraerse a un tamiz S de la siguiente manera: Un morfismo f: Z → X está en S si y solo si v(f): vZ → vX está en R. Esto define un tamiz. v es cocontinuo si y solo si para cada objeto X de C y cada tamiz de cobertura R de vX, el retroceso S de R es un tamiz que cubre X.

Composición con v envía un presheaf F on D a un presheaf Fv on C, pero si v es cocontinua, esto no necesita enviar jerseys a cuchillas. Sin embargo, este funerario en las categorías de presheaf, generalmente denotado ${hat v}^{*}$ , admite un derecho ${hat v}_{*}$ . Entonces... v es cocontinua si y sólo si ${hat v}_{*}$ envía cuchillas a cuchillas, es decir, si y sólo si se limita a un functor $v_{*}:{tilde C}to {tilde D}$ . En este caso, el composite de ${hat v}^{*}$ con el functor de hoja asociado es un conjunto izquierdo de v_* denotado v^*. Además, v^* preserva límites finitos, así que los functores unidos v_* y v^* determinar un morfismo geométrico de topoi ${tilde C}to {tilde D}$ .

Morfismos de sitios

Un functor continuo u: C → D es un morfismo de sitios D → C ()no C → DSi u^s preserva límites finitos. En este caso, u^s y u_s determinar un morfismo geométrico de topoi ${tilde C}to {tilde D}$ . El razonamiento detrás de la convención que un functor continuo C → D se dice que determinar un morfismo de sitios en la dirección opuesta es que esto está de acuerdo con la intuición proveniente del caso de los espacios topológicos. Un mapa continuo de espacios topológicos X → Y determina un functor continuo O()Y) → O()X). Desde el mapa original en los espacios topológicos se dice enviar X a Y, el morfismo de los sitios se dice también.

Un caso particular de esto sucede cuando un funtor continuo admite un adjunto izquierdo. Supongamos que u: C → D y v: D → C son funtores con u adjunto derecho a v. Entonces u es continuo si y solo si v es cocontinuo, y cuando esto sucede, u^s es naturalmente isomorfo a v^* y u_s es naturalmente isomorfo a v_*. En particular, u es un morfismo de sitios.

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