Tomas Bayes

Thomas Bayes ()audio(help·info); c.1701– 7 abril 1761) fue un estatista inglés, filósofo y ministro presbiteriano que es conocido por formular un caso específico del teorema que lleva su nombre – teorema de Bayes. Bayes nunca publicó lo que se convertiría en su logro más famoso; sus notas fueron editadas y publicadas póstumamente por Richard Price.

Biografía

Mount Sion Chapel, donde Bayes sirvió como ministro.

Thomas Bayes era hijo del ministro presbiteriano de Londres Joshua Bayes y posiblemente nació en Hertfordshire. Provenía de una destacada familia inconformista de Sheffield. En 1719, se matriculó en la Universidad de Edimburgo para estudiar lógica y teología. A su regreso alrededor de 1722, ayudó a su padre en la capilla de este último en Londres antes de mudarse a Tunbridge Wells, Kent, alrededor de 1734. Allí fue ministro de la Capilla Mount Sion, hasta 1752.

Se sabe que publicó dos obras durante su vida, una teológica y otra matemática:

1. Benevolencia Divina, o un intento de demostrar que el fin principal de la Divina Providencia y el Gobierno es la felicidad de sus criaturas (1731)
2. Introducción a la Doctrina de Fluxions, y una Defensa de los Matemáticos contra las Objeciones del Autor del Analista (publicado anónimamente en 1736), en la que defendió la base lógica del cálculo de Isaac Newton ("fluxions") contra la crítica de George Berkeley, obispo y filósofo anotado, autor de El analista

Bayes fue elegido miembro de la Royal Society en 1742. Su carta de nominación fue firmada por Philip Stanhope, Martin Folkes, James Burrow, Cromwell Mortimer y John Eames. Se especula que fue aceptado por la sociedad gracias a la Introducción a la doctrina de las fluxiones, ya que no se sabe que haya publicado ningún otro trabajo matemático durante su vida.

En sus últimos años se interesó profundamente en la probabilidad. El historiador Stephen Stigler cree que Bayes se interesó en el tema mientras revisaba un trabajo escrito en 1755 por Thomas Simpson, pero George Alfred Barnard cree que aprendió matemáticas y probabilidad de un libro de Abraham de Moivre. Otros especulan que estaba motivado para refutar el argumento de David Hume en contra de creer en los milagros sobre la evidencia del testimonio en Una investigación sobre el entendimiento humano. Su trabajo y sus descubrimientos sobre la teoría de la probabilidad fueron entregados en forma manuscrita a su amigo Richard Price después de su muerte.

Monumento a los miembros de las familias Bayes y Cotton, incluyendo Thomas Bayes y su padre Joshua, en Bunhill Fields

Para 1755 estaba enfermo y para 1761 había muerto en Tunbridge Wells. Fue enterrado en el cementerio de Bunhill Fields en Moorgate, Londres, donde yacen muchos inconformistas.

En 2018, la Universidad de Edimburgo abrió un centro de investigación de 45 millones de libras esterlinas conectado a su departamento de informática que lleva el nombre de su alumno, Bayes.

En abril de 2021, se anunció que Cass Business School, cuyo campus de la ciudad de Londres se encuentra en Bunhill Row, cambiaría su nombre a Bayes.

Bayés' teorema

La solución de Bayes a un problema de probabilidad inversa se presentó en Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las posibilidades, que se leyó a la Royal Society en 1763 después de que Bayes;s muerte. Richard Price dirigió el trabajo a través de esta presentación y su publicación en las Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres al año siguiente. Este fue un argumento para usar una distribución previa uniforme para un parámetro binomial y no simplemente un postulado general. Este ensayo da el siguiente teorema (enunciado aquí en la terminología actual).

Suponga una cantidad R se distribuye uniformemente entre 0 y 1. Supongamos cada uno de X₁,...,X_n es igual a 1 o 0 y la probabilidad condicional de que cualquiera de ellos es igual a 1, dado el valor R, esR. Supongamos que son condicionalmente independientes dado el valor deR. Luego la distribución de probabilidad condicionalR, dados los valores de X₁,...,X_n, es

()n+1)!S!()n− − S)!rS()1− − r)n− − Sdrpara0≤ ≤ r≤ ≤ 1,DondeS=X1+⋯ ⋯ +Xn.{displaystyle {frac {(n+1)!}{S!}}}r^{S}(1-r)^{n-S},drquad {text{for }0leq rleq 1,{text{f} {f}fnf}f}fnfnMientro {f}f}f} }S=X_{1}+cdots +X_{n}

Así, por ejemplo,

Pr()R≤ ≤ r0▪ ▪ X1,...... ,Xn)=()n+1)!S!()n− − S)!∫ ∫ 0r0rS()1− − r)n− − Sdr.{displaystyle Pr(Rleq r_{0}mid X_{1},ldotsX_{n}={frac {(n+1)!}{S!}int ¿Qué?

Este es un caso especial de Bayes' teorema.

En las primeras décadas del siglo XVIII, se resolvieron muchos problemas relacionados con la probabilidad de ciertos eventos, dadas condiciones específicas. Por ejemplo: dado un número específico de bolas blancas y negras en una urna, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola negra? O al contrario: dado que se han sacado una o más bolas, ¿qué se puede decir del número de bolas blancas y negras en la urna? Estos a veces se denominan "probabilidad inversa" problemas.

El Ensayo de Bayes contiene su solución a un problema similar planteado por Abraham de Moivre, autor de La doctrina de las oportunidades (1718).

Además, se publicó póstumamente un artículo de Bayes sobre series asintóticas.

Bayesianismo

La probabilidad bayesiana es el nombre que se le da a varias interpretaciones relacionadas de la probabilidad como una cantidad de confianza epistémica (la solidez de las creencias, hipótesis, etc.) en lugar de una frecuencia. Esto permite la aplicación de la probabilidad a todo tipo de proposiciones en lugar de solo aquellas que vienen con una clase de referencia. "Bayesiano" se ha utilizado en este sentido desde aproximadamente 1950. Desde su renacimiento en la década de 1950, los avances en la tecnología informática han permitido a los científicos de muchas disciplinas emparejar las estadísticas bayesianas tradicionales con técnicas de paseo aleatorio. El uso del teorema de Bayes se ha extendido en la ciencia y en otros campos.

El propio Bayes podría no haber adoptado la interpretación amplia que ahora se llama bayesiana, que de hecho fue iniciada y popularizada por Pierre-Simon Laplace; es difícil evaluar los puntos de vista filosóficos de Bayes sobre la probabilidad, ya que su ensayo no entra en cuestiones de interpretación. Allí, Bayes define la probabilidad de un evento como "la relación entre el valor al cual se debe calcular una expectativa que depende de la ocurrencia del evento, y el valor de la cosa esperada sobre su resultado. pasando" (Definición 5). En la teoría de la utilidad moderna, se obtendría la misma definición al reorganizar la definición de utilidad esperada (la probabilidad de un evento multiplicada por el pago recibido en caso de ese evento, incluidos los casos especiales de compra de riesgo por pequeñas cantidades o compra de seguridad por grandes cantidades) para resolver la probabilidad. Como señala Stigler, esta es una definición subjetiva y no requiere eventos repetidos; sin embargo, requiere que el evento en cuestión sea observable, porque de lo contrario nunca podría decirse que 'sucedió'. Stigler argumenta que Bayes pretendía sus resultados de una manera más limitada que los bayesianos modernos. Dada la definición de probabilidad de Bayes, su resultado sobre el parámetro de una distribución binomial tiene sentido solo en la medida en que uno puede apostar por sus consecuencias observables.

La filosofía de las estadísticas bayesianas es el núcleo de casi todos los enfoques de estimación modernos que incluyen probabilidades condicionadas, como la estimación secuencial, las técnicas de aprendizaje automático probabilístico, la evaluación de riesgos, la localización y el mapeo simultáneos, la regularización o la teoría de la información. El marco axiomático riguroso para la teoría de la probabilidad en su conjunto, sin embargo, se desarrolló 200 años después, a principios y mediados del siglo XX, comenzando con resultados perspicaces en la teoría ergódica de Plancherel en 1913.