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Función que es holomorfa en todo el plano complejo

En análisis complejo, una función completa, también llamada función integral, es una función de valor complejo que es holomorfa en todo el plano complejo. Ejemplos típicos de funciones completas son los polinomios y la función exponencial, y cualquier suma, producto y composición finita de estos, como las funciones trigonométricas seno y coseno y sus contrapartes hiperbólicas senh y cosh, así como las derivadas e integrales de funciones completas como la función de error Si una función completa $f (z)$ tiene una raíz en $w$ , luego $f (z) / (z - w)$ , tomando el valor límite en $w$ , es una función completa. Por otro lado, el logaritmo natural, la función recíproca y la raíz cuadrada no son funciones completas, ni pueden continuarse analíticamente hasta una función completa.

Una función entera trascendental es una función entera que no es un polinomio.

Propiedades

Cada función completa $f (z)$ se puede representar como una serie de potencias

{displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}z^{n}}

{displaystyle lim _{nto infty }|a_{n}|^{frac {1}{n}}=0}

{displaystyle lim _{nto infty }{frac {ln |a_{n}|}{n}}=-infty.}

Cualquier serie de potencias que satisfaga este criterio representará una función completa.

Si (y sólo si) los coeficientes de la serie de potencia son reales entonces la función evidentemente toma valores reales para argumentos reales, y el valor de la función en el complejo conjugado de $z$ será el complejo conjugado del valor a $z$ . Tales funciones son a veces llamadas autoconyugadas (la función conyugada, $F^{*}(z)$ , siendo dado por ${displaystyle {bar {F}}({bar {z}})}$ ).

Si la parte real de una función completa se conoce en la vecindad de un punto, entonces tanto la parte real como la imaginaria se conocen para todo el plano complejo, hasta una constante imaginaria. Por ejemplo, si la parte real se conoce en una vecindad de cero, entonces podemos encontrar los coeficientes para n > 0 de las siguientes derivadas con respecto a una variable real r:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {Re} a_{n}&={frac {1}{n!}}{frac {d^{n}}{dr^{n}}}operatorname {Re} f(r)&&{text{at }}r=0\operatorname {Im} a_{n}&={frac {1}{n!}}{frac {d^{n}}{dr^{n}}}operatorname {Re} fleft(re^{-{frac {ipi }{2n}}}right)&&{text{at }}r=0end{aligned}}}

(Del mismo modo, si la parte imaginaria se conoce en una vecindad, entonces la función se determina hasta una constante real). De hecho, si la parte real se conoce solo en un arco de círculo, entonces la función se determina hasta a una constante imaginaria. (Por ejemplo, si la parte real se conoce en parte del círculo unitario, entonces se conoce en todo el círculo unitario por extensión analítica, y luego los coeficientes de la serie infinita se determinan a partir de los coeficientes de la serie de Fourier para el real parte en el círculo unitario). Tenga en cuenta, sin embargo, que una función completa no está determinada por su parte real en todas las curvas. En particular, si la parte real se da en cualquier curva en el plano complejo donde la parte real de alguna otra función entera es cero, entonces cualquier múltiplo de esa función se puede sumar a la función que estamos tratando de determinar. Por ejemplo, si la curva donde se conoce la parte real es la línea real, entonces podemos sumar i veces cualquier función autoconjugada. Si la curva forma un bucle, entonces está determinado por la parte real de la función en el bucle, ya que las únicas funciones cuya parte real es cero en la curva son aquellas que son iguales en todas partes a algún número imaginario.

El teorema de factorización de Weierstrass afirma que cualquier función completa puede representarse mediante un producto que incluya sus ceros (o "raíces").

Todas las funciones en el plano complejo forman un dominio integral (de hecho, un dominio de Prüfer). También forman un álgebra asociativa unitaria conmutativa sobre los números complejos.

El teorema de Liouville establece que cualquier función entera acotada debe ser constante. El teorema de Liouville se puede utilizar para demostrar elegantemente el teorema fundamental del álgebra.

Como consecuencia del teorema de Liouville, cualquier función que esté completa en toda la esfera Riemann (plano complejo) y el punto en el infinito) es constante. Así toda función no constante debe tener una singularidad en el punto complejo de la infinidad, ya sea un polo para una singularidad polinómica o esencial para una función completa trascendental. Específicamente, por el teorema Casorati-Weierstrass, para cualquier función trascendental completa $f$ y cualquier complejo $w$ hay una secuencia ${displaystyle (z_{m})_{min mathbb {N} }}$ tales que

{displaystyle lim _{mto infty }|z_{m}|=inftyqquad {text{and}}qquad lim _{mto infty }f(z_{m})=w.}

El pequeño teorema de Picard es un resultado mucho más sólido: cualquier función completa no constante toma todos los números complejos como valor, posiblemente con una sola excepción. Cuando existe una excepción, se le llama valor lacunar de la función. La posibilidad de un valor lacunario se ilustra con la función exponencial, que nunca toma el valor 0. Se puede tomar una rama adecuada del logaritmo de una función completa que nunca llega a 0, de modo que esta también será una función completa (según al teorema de factorización de Weierstrass). El logaritmo acierta a todos los números complejos excepto posiblemente a un número, lo que implica que la primera función acierta a cualquier valor distinto de 0 un número infinito de veces. De manera similar, una función completa no constante que no alcanza un valor particular alcanzará todos los demás valores un número infinito de veces.

El teorema de Liouville es un caso especial de la siguiente declaración:

Theorem—Assume $M$ , $R$ son constantes positivas y $n$ es un entero no negativo. Una función completa $f$ satisfacción de la desigualdad $|f(z)|leq M|z|^{n}$ para todos $z$ con ${displaystyle |z|geq R,}$ es necesariamente un polinomio, de grado en la mayoría $n$ . Análogamente, toda una función $f$ satisfacción de la desigualdad $M|z|^{n}leq |f(z)|$ para todos $z$ con ${displaystyle |z|geq R,}$ es necesariamente un polinomio, de grado al menos $n$ .

Crecimiento

Las funciones enteras pueden crecer tan rápido como cualquier función creciente: para cualquier función creciente $g : [0,\infty) \to [0,\infty)$ existe una función completa $f$ tal que $f (x) > g (| x |)$ para todas las $x$ reales. Tal función $f$ se puede encontrar fácilmente de la forma:

{displaystyle f(z)=c+sum _{k=1}^{infty }left({frac {z}{k}}right)^{n_{k}}}

para una constante $c$ y una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos $n k$ . Cualquier secuencia define una función completa $f () z)$ , y si los poderes son elegidos apropiadamente podemos satisfacer la desigualdad $f () x) g (en inglés) x Silencio$ para siempre real $x$ . (Por ejemplo, ciertamente sostiene si uno elige $c := g 2)$ y, para cualquier entero $k ge 1$ uno elige un incluso exponente ${displaystyle n_{k}}$ tales que ${displaystyle left({frac {k+1}{k}}right)^{n_{k}}geq g(k+2)}$ ).

Ordenar y tipo

El orden (en infinito) de toda una función $f(z)$ se define utilizando el límite superior como:

{displaystyle rho =limsup _{rto infty }{frac {ln left(ln |f|_{inftyB_{r}}right)}{ln r}},}

Donde $B r$ es el disco del radio $r$ y ${displaystyle |f|_{inftyB_{r}}}$ denota la norma supremum $f(z)$ on $B r$ . El orden es un número real no negativo o infinito (excepto cuando ${displaystyle f(z)=0}$ para todos $z$ ). En otras palabras, el orden $f(z)$ es el infimum de todos $m$ tal que:

{displaystyle f(z)=Oleft(exp left(|z|^{m}right)right),quad {text{as }}zto infty.}

El ejemplo de ${displaystyle f(z)=exp(2z^{2})}$ muestra que esto no significa f()z.zSilencio^m) si $f(z)$ es de orden m.

Si $<math alttext="{displaystyle 0<rho 0.*** *** .JUEGO JUEGO ,{displaystyle 0 realizadasrho <img alt="{displaystyle 0<rho$ uno también puede definir el Tipo:

{displaystyle sigma =limsup _{rto infty }{frac {ln |f|_{inftyB_{r}}}{r^{rho }}}.}

Si el orden es 1 y el tipo es $σ$ , se dice que la función es "de tipo exponencial $σ$ ". Si es de orden menor que 1 se dice que es de tipo exponencial 0.

{displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}z^{n},}

{displaystyle {begin{aligned}rho &=limsup _{nto infty }{frac {nln n}{-ln |a_{n}|}}\[6pt](erho sigma)^{frac {1}{rho }}&=limsup _{nto infty }n^{frac {1}{rho }}|a_{n}|^{frac {1}{n}}end{aligned}}}

Vamos $f^{(n)}$ denota el $n$ - el derivado de $f$ , entonces podemos reiniciar estas fórmulas en términos de los derivados en cualquier punto arbitrario $z 0$ :

{displaystyle {begin{aligned}rho &=limsup _{nto infty }{frac {nln n}{nln n-ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=left(1-limsup _{nto infty }{frac {ln |f^{(n)}(z_{0})|}{nln n}}right)^{-1}\[6pt](rho sigma)^{frac {1}{rho }}&=e^{1-{frac {1}{rho }}}limsup _{nto infty }{frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{frac {1}{n}}}{n^{1-{frac {1}{rho }}}}}end{aligned}}}

El tipo puede ser infinito, como en el caso de la función gamma recíproca, o cero (ver ejemplo a continuación en § Orden 1).

Ejemplos

Aquí hay algunos ejemplos de funciones de varios órdenes:

Orden ρ

Para números positivos arbitrarios $ρ$ y $σ$ uno puede construir un ejemplo de una función completa de orden $ρ$ y escribir $σ$ usando:

{displaystyle f(z)=sum _{n=1}^{infty }left({frac {erho sigma }{n}}right)^{frac {n}{rho }}z^{n}}

Orden 0

Non-zero polynomials
$sum _{n=0}^{infty }2^{-n^{2}}z^{n}$

Orden 1/4

{displaystyle f({sqrt[{4}]{z}})}

{displaystyle f(u)=cos(u)+cosh(u)}

Orden 1/3

{displaystyle f({sqrt[{3}]{z}})}

{displaystyle f(u)=e^{u}+e^{omega u}+e^{omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{frac {u}{2}}}cos left({frac {{sqrt {3}}u}{2}}right),quad {text{with }}omega {text{ a complex cube root of 1}}.}

Orden 1/2

{displaystyle cos left(a{sqrt {z}}right)}

aσa
Pedido 1
$exp(az)$ con $a ل 0$ () $σ = Silencio a Silencio$ )
$pecado(z)$
$cosh(z)$
la función Bessel $J 0 () z)$
la función gamma recíproca $1/ z)$ () $σ$ es infinito)
${displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {z^{n}}{(nln n)^{n}}}.quad (sigma =0)}$
Orden 3/2
Función aérea $Ai z)$
Pedido 2
$exp(az 2)$ con $a ل 0$ () $σ = Silencio a Silencio$ )
La función Barnes G (σ es infinita).
Orden infinito
$exp(exp) z)$
Género
Las funciones enteras de orden finito tienen la representación canónica de Hadamard:
${displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {z}{z_{n}}}right)exp left({frac {z}{z_{n}}}+cdots +{frac {1}{p}}left({frac {z}{z_{n}}}right)^{p}right),}$
Donde $z_{k}$ son esas raíces $f$ que no son cero ( ${displaystyle z_{k}neq 0}$ ), $m$ es el orden del cero de $f$ a $z=0$ (el caso $m=0$ ser tomada para significar ${displaystyle f(0)neq 0}$ ), $P$ un polinomio (cuyo grado llamaremos $q$ ), y $p$ es el más pequeño entero no negativo tal que la serie
${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$
converge. El entero no negativo ${displaystyle g=max{p,q}}$ se llama el género de toda la función $f$ .
Si el orden ρ no es un entero, entonces ${displaystyle g=[rho ]}$ es la parte entero de $rho$ . Si el orden es un entero positivo, entonces hay dos posibilidades: ${displaystyle g=rho -1}$ o ${displaystyle g=rho }$ .
Por ejemplo, $sin$ , $cos$ y $exp$ son funciones enteras del género 1.
Otros ejemplos
Según J. E. Littlewood, la función sigma de Weierstrass es una función 'típica' función completa. Esta afirmación se puede precisar en la teoría de funciones enteras aleatorias: el comportamiento asintótico de casi todas las funciones enteras es similar al de la función sigma. Otros ejemplos incluyen las integrales de Fresnel, la función theta de Jacobi y la función gamma recíproca. La función exponencial y la función de error son casos especiales de la función Mittag-Leffler. Según el teorema fundamental de Paley y Wiener, las transformadas de Fourier de funciones (o distribuciones) con soporte acotado son funciones enteras de orden 1 y tipo finito.
Otros ejemplos son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinómicos. Si el coeficiente en la derivada más alta es constante, entonces todas las soluciones de tales ecuaciones son funciones enteras. Así surgen, por ejemplo, la función exponencial, el seno, el coseno, las funciones de Airy y las funciones del cilindro parabólico. La clase de funciones enteras es cerrada con respecto a las composiciones. Esto hace posible estudiar la dinámica de funciones enteras.
Toda una función de la raíz cuadrada de un número complejo es completa si la función original es incluso, por ejemplo $cos({sqrt {z}})$ .
Si una secuencia de polinomios cuyas raíces son todas reales converge en una vecindad del origen hasta un límite que no es idénticamente igual a cero, entonces este límite es una función entera. Estas funciones completas forman la clase Laguerre-Pólya, que también se puede caracterizar en términos del producto de Hadamard, a saber, $f$ pertenece a esta clase si y solo si en la representación de Hadamard todos los $z n$ son reales, $p \leq 1$ , y $P (z) = a + bz + cz 2$ , donde $b$ y $c$ son reales, y $c \leq 0$ . Por ejemplo, la secuencia de polinomios
${displaystyle left(1-{frac {(z-d)^{2}}{n}}right)^{n}}$
converge, a medida que $n$ aumenta, a $exp(-(z - d) 2)$ . los polinomios
${displaystyle {frac {1}{2}}left(left(1+{frac {iz}{n}}right)^{n}+left(1-{frac {iz}{n}}right)^{n}right)}$
tienen raíces reales y convergen a $cos(z)$ . los polinomios
${displaystyle prod _{m=1}^{n}left(1-{frac {z^{2}}{left(left(m-{frac {1}{2}}right)pi right)^{2}}}right)}$
también convergen a $cos(z)$ , mostrando la acumulación del producto de Hadamard para el coseno.

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