Tetromino

Los 5 tetrominos libres

Un tetromino es una forma geométrica compuesta por cuatro cuadrados, conectados ortogonalmente (es decir, en los bordes y no en las esquinas). Los tetrominós, como el dominó y el pentominó, son un tipo particular de poliominó. El policubo correspondiente, llamado tetracubo, es una forma geométrica compuesta por cuatro cubos conectados ortogonalmente.

Un uso popular de los tetrominós es el videojuego Tetris creado por el diseñador de juegos soviético Alexey Pajitnov, que se refiere a ellos como tetriminos. Los tetrominós utilizados en el juego son específicamente los tetrominós de un solo lado.

Las tetrominoes

Tetrominós gratis

Los poliominos se forman uniendo cuadrados unitarios a lo largo de sus bordes. Un poliominó libre es un poliominó considerado hasta la congruencia. Es decir, dos poliominos libres son iguales si hay una combinación de traslaciones, rotaciones y reflexiones que convierte a uno en el otro. Un tetrominó libre es un poliominó libre formado por cuatro cuadrados. Hay cinco tetrominós libres.

Los tetrominós libres tienen la siguiente simetría:

• Straight: simetría de reflexión vertical y horizontal, y dos puntos de simetría rotacional
• Plaza: simetría de reflexión vertical y horizontal, y cuatro puntos de simetría rotacional
• T: simetría de reflexión vertical solamente
• L: sin simetría
• S y Z: dos puntos de simetría rotacional solamente

"Tetromino recto"

"Tetromino cuadrado"

"T-tetromino"

"L-tetromino"

"Tetromino"

Tetrominós de una cara

Los tetrominós de una cara son tetrominós que se pueden trasladar y rotar, pero no reflejar. Son utilizados por Tetris y están mayoritariamente asociados con él. Hay siete tetrominós distintos de un solo lado. Estos tetrominós se nombran por la letra del alfabeto a la que más se parecen. El "I", "O" y "T" Los tetrominós tienen simetría de reflexión, por lo que no importa si se consideran tetrominós libres o tetrominós de un solo lado. Los cuatro tetrominós restantes, 'J', 'L', 'S' y 'Z', exhiben un fenómeno llamado quiralidad. J y L son reflejos uno del otro, y S y Z son reflejos uno del otro.

Como tetrominós libres, J es equivalente a L, y S es equivalente a Z. Pero en dos dimensiones y sin reflejos, no es posible transformar J en L o S en Z.

I

O

T

J

L

S

Z

Tetrominós fijos

Los tetrominós fijos solo permiten la traslación, no la rotación ni la reflexión. Hay dos tetrominós I fijos distintos, cuatro J, cuatro L, una O, dos S, cuatro T y dos Z, para un total de 19 tetrominós fijos:

Alicatar un rectángulo

Rellenar un rectángulo con un conjunto de tetrominós

Un solo conjunto de tetrominós libres o tetrominós de un solo lado no puede caber en un rectángulo. Esto se puede demostrar con una prueba similar al argumento del tablero de ajedrez mutilado. Un rectángulo de 5 × 4 con un patrón de tablero de ajedrez tiene 20 cuadrados, que contienen 10 cuadrados claros y 10 cuadrados oscuros, pero un conjunto completo de tetrominós libres tiene 11 cuadrados oscuros y 9 cuadrados claros, o 11 cuadrados claros y 9 cuadrados oscuros. Esto se debe a que el tetrominó T tiene 3 cuadrados oscuros y un cuadrado claro, o 3 cuadrados claros y un cuadrado oscuro, mientras que todos los demás tetrominós tienen 2 cuadrados oscuros y 2 cuadrados claros. De manera similar, un rectángulo de 7 × 4 tiene 28 cuadrados, que contienen 14 cuadrados de cada tono, pero el conjunto de tetrominós de un lado tiene 15 cuadrados oscuros y 13 cuadrados claros, o 15 cuadrados claros y 13 cuadrados oscuros. Por extensión, cualquier número impar de conjuntos para cualquier tipo no puede caber en un rectángulo. Además, los 19 tetrominós fijos no caben en un rectángulo de 4×19. Esto se descubrió al agotar todas las posibilidades en una búsqueda por computadora.

Los tetrominos libres (lado izquierdo de la línea) tienen 11 plazas oscuras y 9 plazas ligeras.
Los tetrominos de un lado (los 7 mostrados arriba) tienen 15 plazas oscuras y 13 plazas ligeras.

Un tablero 5×4 tiene 10 cuadrados cada color.
Un tablero 7×4 tiene 14 cuadrados cada color.

Rellenar un rectángulo modificado con un conjunto de tetrominós

Sin embargo, los tres conjuntos de tetrominós pueden encajar en rectángulos con agujeros:

• Los 5 tetrominos libres encajan en un rectángulo 7×3 con un agujero.
• Los 7 tetrominos unilaterales encajan en un rectángulo de 6×5 con dos agujeros del mismo "color de tablero".
• Los 19 tetrominos fijos encajan en un rectángulo de 11×7 con un agujero.

Tetrominos libres en un rectángulo con un agujero

Tetrominos unilaterales en un rectángulo con dos agujeros

Tetrominos fijos en rectángulo con un agujero

Rellenar un rectángulo con dos conjuntos de tetrominós

Dos conjuntos de tetrominós libres o de un solo lado pueden caber en un rectángulo de diferentes maneras, como se muestra a continuación:

Dos juegos de tetrominos libres en un rectángulo 5×8

Dos juegos de tetrominos libres en un rectángulo 4×10

Dos conjuntos de tetrominos unilaterales en un rectángulo 8×7

Dos conjuntos de tetrominos unilaterales en un rectángulo 14×4

Etimología

El nombre "tetromino" es una combinación del prefijo tetra- 'cuatro' (del griego antiguo τετρα-), y "dominó". El nombre fue introducido por Solomon W. Golomb en 1953 junto con otra nomenclatura relacionada con los poliominos.

Llenar una caja con tetracubos

Cada uno de los cinco tetrominós libres tiene un tetracubo correspondiente, que es el tetrominó extruido por una unidad. J y L son el mismo tetracubo, al igual que S y Z, porque uno puede rotar alrededor de un eje paralelo al plano del tetrominó para formar el otro. Son posibles tres tetracubos más, todos creados colocando un cubo unitario en el tricubo doblado:

I
"Tetracube"

O
"Tetracubo cuadrado"

T
"T-tetracube"

L
"L-tetracube"

J es el mismo que L en 3D

S
"Tetracube"

Z es el mismo que S en 3D

B
"Branch"

D
"Right Screw"

F
"Left Screw"

Los tetracubos se pueden empaquetar en cajas 3D de dos capas de varias maneras diferentes, según las dimensiones de la caja y los criterios de inclusión. Se muestran tanto en un diagrama pictórico como en un diagrama de texto. Para las cajas que usan dos juegos de las mismas piezas, el diagrama pictórico representa cada juego como un tono más claro o más oscuro del mismo color. El diagrama de texto representa cada conjunto con una letra mayúscula o minúscula. En el diagrama de texto, la capa superior está a la izquierda y la capa inferior está a la derecha.

1.) 2×4×5 caja llena de dos conjuntos de tetrominos libres:

Z T I T T T I
L Z t I l l t i
L z t I o z z i
L O O O I o O O I





2.) 2×2×10 caja llena de dos conjuntos de tetrominos libres:

L L z z Z T O O o z Z T l
# I I I I I t t t O o i I I I I I I I I I I I I I t t t t O o i i I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O o o o o o o i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i I i i i i i i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I i I I i I i I i I i I i I I i I I I I I I I I I I I i I





3.) 2×4×4 caja llena de un conjunto de todos los tetrominos:

F T T T F Z B
F F T B Z B
O O L D L L D
O D D I I I





4.) 2×2×8 caja llena de un conjunto de todos los tetrominos:

D Z Z L O T T T D L L L O B F
D Z Z O B T F I I I I O B F





5.) 2×2×7 caja llena de tetrominos, con piezas de imagen de espejo eliminado:

L L Z B B L C O Z B
C I I I T B C O O T T