Tetración

En matemáticas, tetration (o hiper-4) es una operación basada en iterated, o repetido, exponentiation. No hay notación estándar para la tetración, aunque ${displaystyle uparrow uparrow }$ y el costo izquierdo ^xb son comunes.

Bajo la definición como exponente repetido, ${displaystyle {fn}a}$ medios ${cdot}}$, donde n copias de a son iterados a través de la exponentiación, derecho a izquierda, es decir, la aplicación de la exponentiación ${displaystyle n-1}$ veces. n se llama la "altura" de la función, mientras a se llama la "base", análoga a la exponente. Sería leído como "el nt tetration of a".

Es la siguiente hiperoperación después de la exponenciación, pero antes de la pentación. La palabra fue acuñada por Reuben Louis Goodstein a partir de tetra (cuatro) e iteración.

La tetración también se define recursivamente como

${displaystyle {auparrow uparrow {fnMicrosoft Sans Serif} }n=0,a^{auparrow uparrow (n-1)} {text{if } {if,end{cases}}$

permitiendo intentos de extender la tetración a números no naturales, como números reales y complejos.

Las dos inversas de la tetración se llaman superraíz y superlogaritmo, análogas a la raíz enésima y las funciones logarítmicas. Ninguna de las tres funciones es elemental.

La tetración se utiliza para la notación de números muy grandes.

Introducción

Las primeras cuatro hiperoperaciones se muestran aquí, con la tetración siendo considerada la cuarta en la serie. La sucesión de operaciones no deseadas, definida como ${displaystyle a'=a+1}$, se considera que es la operación cero.

1. Adición
   $${displaystyle a+n=a+underbrace {1+1+cdots +1} _{n}$$

   
   n copias de 1 agregado a combinado por sucesión.
2. Multiplicación
   $${displaystyle atimes n=underbrace {a+a+cdots +a} ¿Qué?$$

   
   n copias de a combinado por adición.
3. Exponentiation
   $${displaystyle a^{n}=underbrace {atimes atimes cdots times a} _{n}}$$

   
   n copias de a combinado por multiplicación.
4. Tetratación
   $${cdot }}}} ¿Qué?$$

   
   n copias de a combinados por exponenciación, derecha a izquierda.

Note que los exponentes anidados se interpretan convencionalmente desde arriba abajo: ${displaystyle 3^{5^{7}}$ medios ${displaystyle 3^{left(5^{7}right)}$ y no ${displaystyle left(3^{5}right)^{7}$

Sucesión, ()a_n+1 = a_n + 1), es la operación más básica; mientras que la adición (a + n) es una operación primaria, para la adición de números naturales se puede considerar como una sucesión encadenada de n sucesores de a; multiplicación ()a×n) es también una operación primaria, aunque para los números naturales se puede considerar analógicamente como una adición encadenada que implica n números de a. La exposición puede considerarse como una multiplicación encadenada que implica n números de a y tetración (${displaystyle ^{n}a!}$) como un poder encadenado que implica n números a. Cada una de las operaciones anteriores se definen por la iteración del anterior; sin embargo, a diferencia de las operaciones antes de él, la tetración no es una función elemental.

El parámetro a se conoce como el base, mientras el parámetro n puede ser referido como altura. En la definición original de la tetración, el parámetro de altura debe ser un número natural; por ejemplo, sería ilógico decir "tres criados a sí mismos negativos cinco veces" o "cuatro elevados a sí mismo una mitad de tiempo". Sin embargo, al igual que la adición, la multiplicación y la exponencia se pueden definir de maneras que permiten extensiones a números reales y complejos, se han hecho varios intentos para generalizar la tetración a números negativos, números reales y números complejos. Una manera de hacerlo es utilizar una definición recursiva para la tetración; para cualquier real positivo ${displaystyle a confía0}$ and non-negative integer ${displaystyle ngeq 0}$, podemos definir ${displaystyle ,fn}$ recursivamente como:

${displaystyle {}a}:={begin{cases}1 {text{if} {fn1}n=0a^{left(n-1)}aright)} {text{if} - ¿Qué?$

La definición recursiva es equivalente a la reiterada exponentiación para alturas naturales; sin embargo, esta definición permite extensiones a las otras alturas como ${displaystyle }a}$, ${displaystyle ^{-1}a}$, y ${displaystyle ^{i}a}$ también – muchas de estas extensiones son áreas de investigación activa.

Terminología

Existen muchos términos para la tetración, cada uno de los cuales tiene alguna lógica detrás, pero algunos no se han vuelto de uso común por una razón u otra. A continuación se muestra una comparación de cada término con su justificación y contrajustificación.

• El término tetration, presentado por Goodstein en su papel de 1947 Ordinales Transfinitos en Número Recursivo Teoría (generalizar la representación de base recursiva utilizada en el teorema de Goodstein para utilizar operaciones más altas), ha ganado dominio. También fue popularizado en Rudy Rucker Infinito y la mente.
• El término superexponencia fue publicado por Bromer en su periódico Superexponencia en 1987. Fue utilizado anteriormente por Ed Nelson en su libro Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
• El término hiperpoder es una combinación natural hiper y poder, que describe correctamente la tetración. El problema radica en el significado de hiper con respecto a la secuencia de hiperoperación. Al considerar hiperoperaciones, el término hiper se refiere a todas las filas, y el término super se refiere al rango 4, o la tetración. So under these considerations hiperpoder es engañoso, ya que sólo se refiere a la tetración.
• El término torre de poder se utiliza ocasionalmente, en la forma "la torre de poder del orden npara ${displaystyle {\\\\fn\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } {cdot } {cdot }}}} } atop n}$. La exposición es fácilmente errónea: note que la operación de elevarse a un poder es asociativa correcta (ver abajo). Tetración es iterada exponentiation (llamada esta operación asociativa derecha ^), comenzando desde el lado derecho superior de la expresión con un ejemplo a^a (llamar este valor c). Exponenciar la siguiente izquierda a (llamar esta 'la base siguiente' b), es trabajar hacia la izquierda después de obtener el nuevo valor b^c. Trabajando a la izquierda, consumir el siguiente a la izquierda, como la base b, y evaluar el nuevo b^c. 'Descende la torre' a su vez, con el nuevo valor más grande para c en el siguiente paso hacia abajo.

Debido en parte a cierta terminología compartida y un simbolismo de notación similar, la tetración a menudo se confunde con funciones y expresiones estrechamente relacionadas. Aquí hay algunos términos relacionados:

Términos relacionados con la tetración

Terminología	Formulario
Tetratación	${displaystyle a^{a^{cdot }}} {cdot }}}}}}$
exponenciales iterados	${displaystyle a^{cdot ^{cdot.$
exponenciales anidados (también torres)	${displaystyle ¿Qué?.$
Infinitos exponenciales (también torres)	${displaystyle ¿Qué? ^{cdot ^{cdot }$

En las dos primeras expresiones a es la base y el número de veces que a aparece es la altura (agregue uno para x). En la tercera expresión, n es la altura, pero cada una de las bases es diferente.

Se debe tener cuidado al referirse a exponenciales iterados, ya que es común llamar a expresiones de esta forma exponenciación iterada, lo cual es ambiguo, ya que puede significar potencias iteradas o exponenciales iterados.

Notación

Existen muchos estilos de notación diferentes que se pueden utilizar para expresar la tetración. Algunas notaciones también se pueden utilizar para describir otras hiperoperaciones, mientras que otras se limitan a la tetración y no tienen una extensión inmediata.

Estilos de notación para la tetración

Nombre	Formulario	Descripción
Rudy Rucker notación	${displaystyle ,{} {}n}a}$	Utilizado por Maurer [1901] y Goodstein [1947]; el libro de Rudy Rucker Infinito y la mente popularizó la notación.
Notación de Knuth.	${displaystyle a{uparrow uparrow }n}$	Permite la extensión poniendo más flechas, o incluso más poderosamente, una flecha indexada.
Notación de flecha encadenada con Conway	${displaystyle arightarrow nrightarrow 2}$	Permite la extensión aumentando el número 2 (equivalente con las extensiones anteriores), pero también, aún más poderoso, al extender la cadena
Función de Ackermann	${displaystyle {} {fn}2=fn0fn} {fnfn}fnfn}fn}fn}fn9}$	Permite el caso especial ${displaystyle a=2}$ para ser escrito en términos de la función Ackermann.
Notación exponencial iterada	${displaystyle exp _{a}{n}(1)}$	Permite una extensión simple a los exponenciales iterados de valores iniciales distintos de 1.
Notas de Hooshmand	${displaystyle {begin{aligned} {uxp} _{a}n[2pt] limitada {frac {f}end{aligned}}}} {f}}} {fn}}} {fn}}}} {f}}}}}}$	Utilizado por M. H. Hooshmand [2006].
Notas de hiperoperación	${displaystyle {begin{aligned}duca[4]n[2pt] limitadaH_{4}(a,n)end{aligned}}$	Permite la extensión aumentando el número 4; esto da a la familia de las hiperoperaciones.
Notación de doble cuidado	a^^n	Ya que el gorrión se utiliza idénticamente al cuidado (^), la tetración puede ser escrito como (^^); conveniente para ASCII.

Una notación anterior utiliza notación exponencial iterada; esto se define en general de la siguiente manera:

${displaystyle exp _{n}(x)=a^{a^{cdot ^{cdot ^{a^{x}}}}}$ con n as.

No hay tantas notaciones para exponenciales iterados, pero aquí hay algunas:

Estilos de notación para exponenciales iterados

Nombre	Formulario	Descripción
Notación estándar	${displaystyle exp _{a} {n}(x)}$	Euler acuñó la notación ${displaystyle exp _{a}(x)=a^{x}$, y notación de iteración ${displaystyle f^{n}(x)}$ ha estado por aquí tanto tiempo.
Notación de Knuth.	${displaystyle (a{uparrow } {n}(x)}$	Permite la superpotencias y la función super-exponencial aumentando el número de flechas; utilizado en el artículo sobre grandes números.
Nota de texto	exp_a^n(x)	Basado en notación estándar; conveniente para ASCII.
J Notation	x^^:(n-1)x	Repita la exponenciación. Véase J (lengua de programación)
Notación de barrera de infinito	${displaystyle auparrow uparrow n imperx}$	Jonathan Bowers acuñó esto, y puede extenderse a hiperoperaciones superiores

Ejemplos

Debido al crecimiento extremadamente rápido de la tetración, la mayoría de los valores en la siguiente tabla son demasiado grandes para escribirlos en notación científica. En estos casos, se utiliza notación exponencial iterada para expresarlos en base 10. Los valores que contienen un punto decimal son aproximados.

Ejemplos de tetración

${displaystyle x}$	${displaystyle {}{2}x}$	${displaystyle {}{3}x}$	${displaystyle {}{4}x}$	${displaystyle {}{5}x}$	${displaystyle {}{6}x}$
1	1	1	1	1	1
2	4 (22)	16 (24)	65.536 (216)	2.00353 × 1019.728	${displaystyle exp _{10}^{3}(4.29508)}$ (6.03123 × 1019.727 dígitos)
3	27 (33)	7,625,597,484.987 (327)	${displaystyle exp _{10}^{3}(1.09902)}$ (3.638.334.640,025 dígitos)	${displaystyle exp _{10}^{4}(1.09902)}$	${displaystyle exp _{10}^{5}(1.09902)}$
4	256 (44)	1.34078 × 10154 (4256)	${displaystyle exp _{10}{3}(2.18726)}$ (8.0723 × 10153 dígitos)	${displaystyle exp _{10}{4}(2.18726)}$	${displaystyle exp _{10}{5}(2.18726)}$
5	3.125 (55)	1.91101 × 102.184 (53.125)	${displaystyle exp _{10}^{3}(3.33928)}$ (1.33574 × 102.184 dígitos)	${displaystyle exp _{10}^{4}(3.33928)}$	${displaystyle exp _{10}^{5}(3.33928)}$
6	46.656 (66)	2.65912 × 1036.305 (66)46.656)	${displaystyle exp _{10}^{3}(4.55997)}$ (2.0692 × 1036.305 dígitos)	${displaystyle exp _{10}^{4}(4.55997)}$	${displaystyle exp _{10}^{5}(4.55997)}$
7	823,543 (77)	3.75982 × 10695.974	${displaystyle exp _{10}^{3}(5.84259)}$ (3.17742 × 10695.974 dígitos)	${displaystyle exp _{10}^{4}(5.84259)}$	${displaystyle exp _{10}^{5}(5.84259)}$
8	16.777.216 (88)	6.01452 × 1015.151.335	${displaystyle exp _{10}^{3}(7.18045)}$ (5.43165 × 1015.151.335 dígitos)	${displaystyle exp _{10}{4}(7.18045)}$	${displaystyle exp _{10}^{5}(7.18045)}$
9	387.420.489 (99)	4.28125 × 10369.693.099	${displaystyle exp _{10}^{3}(8.56784)}$ (4.08535 × 10369.693.099 dígitos)	${displaystyle exp _{10}^{4}(8.56784)}$	${displaystyle exp _{10}^{5}(8.56784)}$
10	10.000.000.000 (10.000 millones de dólares)10)	1010.000 millones	${displaystyle exp _{10}{3}(10)}$ (10)10.000 millones + 1 dígitos)	${displaystyle exp _{10} {4}(10)}$	${displaystyle exp _{10}{5}(10)}$

Observación: Si x no difiere de 10 por órdenes de magnitud, entonces para todos ${displaystyle kgeq 3,~{m}x=exp ¿Por qué?$. Por ejemplo, ${displaystyle z-z'approx 2cdot 10^{-15}{text{ for }x=3=k,~m=4}$ en la tabla anterior, y la diferencia es aún más pequeña para las siguientes filas.

Propiedades

La tetración tiene varias propiedades similares a la exponentiación, así como propiedades específicas para la operación y se pierden o se obtienen de la exponentiación. Debido a que la exponenciación no llega, las reglas de producto y potencia no tienen un análogo con la tetración; las declaraciones ${fnMicrosoft Sans Serif}=left({ab}xright)}$ y ${fnMicrosoft Sans Serif}$ no son verdaderos para la mayoría de los casos.

Sin embargo, la tetración sigue una propiedad diferente, en la que ${textstyle {}{a}x=x^{left({}{a-1}xright)}$. Este hecho se muestra claramente utilizando la definición recursiva. De esta propiedad, una prueba sigue que ${displaystyle left({}{b}aright)}{left({}{c}aright)}=left({}{c+1}aright)}{left({}{}{}aright)}}a}}}}} {b}ab}a}ab}ab}a}ab}$, que permite cambiar b y c en ciertas ecuaciones. La prueba es la siguiente:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {}} {fnK} {} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {b} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft ]} {b} {b} {f} {f} {f}}} {f}}}} {b} {b} {b}}}} {c}}}}}} {b}} {b} {b}}} {b}}}} {b}}}} {b}}}}}} {b} {b}}} {b}} {b}}} {b} {b}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b} {b}}$

Cuando un número x y 10 son coprime, es posible calcular el último m dígitos decimales ${displaystyle ,\fnMicrosoft Sans Serif}$ usando el teorema de Euler, para cualquier entero m. Esto también es cierto en otras bases: por ejemplo, la última m octal digits of ${displaystyle ,\fnMicrosoft Sans Serif}$ se puede calcular cuando x y 8 son coprime.

Dirección de la evaluación

Al evaluar la tetración expresada como una "torre de exponenciación", la exponenciación en serie se realiza primero en el nivel más profundo (en la notación, en el ápice). Por ejemplo:

${displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}=2^{left(2^{left(2^{2}right)}=2^{left(2^{4}right)}=2^{16}=65}536}$

Este orden es importante porque la exponenciación no es asociativa y evaluar la expresión en el orden opuesto conducirá a una respuesta diferente:

${displaystyle 2^{2^{2}}neq left({left(2^{2}right)}{2}right)^{2}=4^{2cdot 2}=256}$

Evaluar la expresión de izquierda a derecha se considera menos interesante; evaluar de izquierda a derecha, cualquier expresión ${displaystyle ^{n}a!}$ puede ser simplificado para ser ${displaystyle a^{left(a^{n-1}right)}!}$. Debido a esto, las torres deben ser evaluadas de derecha a izquierda (o superior a abajo). Los programadores de computación se refieren a esta elección como socio adecuado.

Extensiones

La tetración se puede extender de dos maneras diferentes; en la ecuación ${displaystyle ^{n}a!}$, ambos la base a y la altura n se puede generalizar utilizando la definición y propiedades de la tetración. Aunque la base y la altura pueden extenderse más allá de los enteros no negativos a diferentes dominios, incluyendo ${displaystyle {} {fn}}$, funciones complejas como ${displaystyle {} {} {fn}i}$, y alturas de infinito n, las propiedades más limitadas de la tetración reducen la capacidad de extender la tetración.

Extensión de dominio para bases

Base cero

El exponencial ${displaystyle 0}}$ no se define sistemáticamente. Así, las tetraciones ${displaystyle ,{n}0}$ no están claramente definidos por la fórmula dada anteriormente. Sin embargo, ${displaystyle lim _{xrightarrow ¡Oh!$ está bien definido, y existe:

${displaystyle lim _{xrightarrow ### {fn}x={begin{cases}1, recurn{ even}$