Ternario equilibrado

Ternario equilibrado es un sistema de numeración ternario (es decir, base 3 con tres dígitos) que utiliza una representación equilibrada de dígitos con signo de los números enteros en los que los dígitos tienen los valores −1, 0 y 1. Esto contrasta con el sistema ternario estándar (desequilibrado), en el que los dígitos tienen los valores 0, 1 y 2. El sistema ternario equilibrado puede representar todos los números enteros sin utilizar un signo menos separado; el valor del primer dígito distinto de cero de un número tiene el signo del número mismo. El sistema ternario equilibrado es un ejemplo de un sistema numérico posicional no estándar. Se utilizó en algunas de las primeras computadoras y también en algunas soluciones de acertijos de equilibrio.

Diferentes fuentes utilizan diferentes glifos utilizados para representar los tres dígitos en ternario equilibrado. En este artículo, T (que se asemeja a una ligadura del signo menos y 1) representa −1, mientras que 0 y 1 se representan a sí mismos. Otras convenciones incluyen el uso de '−' y '+' para representar −1 y 1 respectivamente, o usar la letra griega theta (Θ), que se asemeja a un signo menos en un círculo, para representar −1. En publicaciones sobre la computadora Setun, −1 se representa como 1 invertido: "1".

El ternario equilibrado hace una aparición temprana en el libro de Michael Stifel Arithmetica Integra (1544). También aparece en las obras de Johannes Kepler y Léon Lalanne. John Colson, John Leslie, Augustin-Louis Cauchy y posiblemente incluso los antiguos Vedas indios han discutido esquemas de dígitos con signo relacionados en otras bases.

Definición

Vamos D3:={}T,0,1}{displaystyle {mathcal {}_{3}:=lbrace operatorname {T}0,1rbrace } denota el conjunto de símbolos (también llamado glifos o personajes), donde el símbolo 1̄ ̄ {displaystyle {bar}}} a veces se utiliza en lugar de T.{displaystyle operatorname {T} Definir una función de valor entero f=fD3:D3→ → Z{displaystyle f=f_{mátcal {}_{3} {fnMitcal} {D}_{3}to mathbb {Z} por

f()T)=− − 1,{displaystyle f_{}(fnMiembro del operador {T}=-1,}

f()0)=0{displaystyle f_{}(0)=0quad } y

f()1)=1,{displaystyle f_{}(1)=1,}

donde los lados de la mano derecha son enteros con sus valores habituales. Esta función, f,{displaystyle f_{},} es lo que rigurosa y formalmente establece cómo los valores enteros se asignan a los símbolos/glifos en D3.{displaystyle {mathcal {}_{3}} Un beneficio de este formalismo es que la definición de "los enteros" (cualquiera que sean definidos) no está conflada con ningún sistema particular para escribirlos/representarlos; de esta manera, estos dos conceptos distintos (aunque estrechamente relacionados) se mantienen separados.

El set D3{displaystyle {fnMithcal {}_{3}} junto con la función f{displaystyle f_{} forma una representación firmada equilibrada llamada ternario equilibrado sistema. Se puede utilizar para representar números enteros y reales.

Evaluación de enteros ternarios

Vamos D3+{fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Ser} {fnMicrosoft}} {fnK}} {f}} {fn}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}} ser el Kleene más de D3{displaystyle {fnMithcal {}_{3}}, que es el conjunto de todas las cuerdas concatenadas longitud finita dn...... d0{displaystyle d_{n}ldots D_{0} de uno o más símbolos (llamados dígitosDonde n{displaystyle n} es un entero no negativo y todo n+1{displaystyle n+1} dígitos dn,...... ,d0{displaystyle d_{n},ldotsd_{0} se extraen D3={}T,0,1}.{displaystyle {mathcal {}_{3}=lbrace operatorname {T}0,1rbrace.} El Empieza de dn...... d0{displaystyle d_{n}ldots D_{0} es el símbolo d0{displaystyle D_{0} (a la derecha), su final es dn{displaystyle D_{n} (a la izquierda), y longitud es n+1{displaystyle n+1}. El Evaluación ternaria es la función v=v3:D3+→ → Z{displaystyle - ¿Qué? {}_{3} {+}to mathbb {Z} definido asignando a cada cadena dn...... d0▪ ▪ D3+{displaystyle d_{n}ldots ♪♪♪ {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} el entero

v()dn...... d0)=.. i=0nf()di)3i.{displaystyle vleft(d_{n}ldots ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?

La cuerda dn...... d0{displaystyle d_{n}ldots D_{0} representaciones (con respecto a v{displaystyle v}El entero v()dn...... d0).{displaystyle vleft(d_{n}ldots d_{0}right). } El valor v()dn...... d0){displaystyle vleft(d_{n}ldots d_{0}right)} puede ser denotado por dn...... d0balsa⁡ ⁡ 3.{displaystyle {d_{n}ldots ################################################################################################################################################################################################################################################################ {bal} 3}. El mapa v:D3+→ → Z{displaystyle v:{mathcal {}_{3} {+}to mathbb {Z} es subjetivo pero no inyectable ya que, por ejemplo, 0=v()0)=v()00)=v()000)=⋯ ⋯ .{displaystyle 0=v(0)=v(00)=v(000)=cdots.} Sin embargo, cada entero tiene exactamente una representación bajo v{displaystyle v} que no final (a la izquierda) con el símbolo 0,{displaystyle 0,} i.e. dn=0.{displaystyle D_{n}=0.}

Si dn...... d0▪ ▪ D3+{displaystyle d_{n}ldots ♪♪♪ {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} y 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> entonces v{displaystyle v} satisfizo:

v()dndn− − 1...... d0)=f()dn)3n+v()dn− − 1...... d0){displaystyle vleft(d_{n-1}ldots ¿Por qué? - Sí.

que muestra v{displaystyle v} satisface una especie de relación de recurrencia. Esta relación de recurrencia tiene la condición inicial v()ε ε )=0{displaystyle vleft(varepsilon right)=0} Donde ε ε {displaystyle varepsilon } es la cuerda vacía.

Esto implica que por cada cadena dn...... d0▪ ▪ D3+,{displaystyle d_{n}ldots ♪♪♪ {D}_{3} {+}}

v()0dn...... d0)=v()dn...... d0){displaystyle vleft(0d_{n}ldots ¿Qué? - Sí.

que en palabras dice que líder 0{displaystyle 0} Los símbolos (a la izquierda en una cadena con 2 o más símbolos) no afectan el valor resultante.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo algunos valores v{displaystyle v} puede ser calculado, donde (como antes) todo entero está escrito en decimal (base 10) y todos los elementos de D3+{fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Ser} {fnMicrosoft}} {fnK}} {f}} {fn}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}} son sólo símbolos.

v()T⁡ ⁡ T)=f()T)31+f()T)30=()− − 1)3+()− − 1)1=− − 4v()T⁡ ⁡ 1)=f()T)31+f()1)30=()− − 1)3+()1)1=− − 2v()1T)=f()1)31+f()T)30=()1)3+()− − 1)1=2v()11)=f()1)31+f()1)30=()1)3+()1)1=4v()1T⁡ ⁡ 0)=f()1)32+f()T)31+f()0)30=()1)9+()− − 1)3+()0)1=6v()10T)=f()1)32+f()0)31+f()T)30=()1)9+()0)3+()− − 1)1=8{displaystyle {begin{alignedat}{10}vleft(operatorname) {T} operatorname {T} right) {T} right)3^{1}+ {T}derecha)3^{0} estrecho= limite(-1) correspondía3 reducida,+, reducida(-1) limitada1 correspondía=-4vvleft(operatorname {T} 1derecha) ventaja= limitadaf_{}left(operatorname {T} right)3^{1}+ limitándose a un lado_{}left(1right)3^{0} reducida= limitada(-1) tendría un cuerpo3 implicado,+, reducida(1) implica1 tendrían un contacto=-2vvleft(1operatorname {T} right) tendrían una relación con el tema. {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cH0} {f}cH0} {cH0} {cH0}cH0} {cH0}cH0} {T} right)3^{0} estrecho=(1)9,+, limitada(0) limitada3 curva,+, limitada(-1) Pulsando1 golpe=8end{alignedat}}}

y usando la relación de recurrencia anterior

v()101T)=f()1)33+v()01T)=()1)27+v()1T)=27+2=29.{displaystyle vleft(101f} right)=f_{}left(1right)3^{3}+vleft(01operatorname {T}right)=(1)27+vleft(1operatorname {T} right)=27+2=29.}

Conversión a decimal

En el sistema ternario equilibrado, el valor de un dígito n lugares a la izquierda del punto de la base es el producto del dígito y 3ⁿ. Esto es útil al realizar conversiones entre decimal y ternario equilibrado. A continuación, las cadenas que indican ternario equilibrado llevan el sufijo bal3. Por ejemplo,

10_bal3 = 1 × 3¹ + 0 × 3⁰ = 3_dec

10T_bal3 = 1 × 3² + 0 × 3¹ + (1) × 3⁰ = 8_dec

−9_dec −1 × 3² + 0 × 3¹ + 0 × 3⁰ = T00_bal3

8_dec = 1 × 3² + 0 × 3¹ + (1) × 3⁰ = 10T_bal3

De manera similar, el primer lugar a la derecha del punto de la base contiene 3⁻¹ = 1 /3, el segundo lugar lo ocupa 3⁻² = 1/9, y así sucesivamente. Por ejemplo,

−2/3_dec = 1 - + 1/3 −1 × 3⁰ + 1 × 3⁻¹ = T.1_bal3.

Un número entero es divisible por tres si y sólo si el dígito en el lugar de las unidades es cero.

Podemos comprobar la paridad de un entero ternario equilibrado comprobando la paridad de la suma de todos los trits. Esta suma tiene la misma paridad que el propio número entero.

El ternario equilibrado también se puede extender a números fraccionarios de forma similar a cómo se escriben los números decimales a la derecha del punto de la base.

Decimal	−0.9	−0.8	−0,7	−0.6	−0,5	−0.4	−0.3	−0.2	−0.1	0
Ternario equilibrado	T.010T	T.1TT1	T.10T0	T.11TT	0.T o T.1	0.TT11	0.T010	0.T11T	0.0T01	0
Decimal	0.9	0,8	0.7	0.6	0.5	0,4	0.3	0.2	0.1	0
Ternario equilibrado	1.0T01	1.T11T	1.T010	1.TT11	0.1 o 1.T	0.11TT	0.10T0	0.1TT1	0.010T	0

En decimal o binario, los valores enteros y las fracciones terminales tienen múltiples representaciones. Por ejemplo, 1/10 = 0,1 = 0,10 = 0,09 . Y, 1/2 = 0,1₂ = 0,10₂ = 0,01₂. Algunas fracciones ternarias equilibradas también tienen múltiples representaciones. Por ejemplo, 1/6 = 0.1𝖳_bal3 = 0.01_bal3. Ciertamente, en decimal y binario, podemos omitir los ceros infinitos que se encuentran más a la derecha después del punto de base y obtener representaciones de número entero o fracción terminal. Pero, en ternario equilibrado, no podemos omitir los −1 infinitos que se encuentran más a la derecha después del punto de base para obtener representaciones de números enteros o fracciones terminales.

Donald Knuth ha señalado que el truncamiento y el redondeo son la misma operación en ternario equilibrado: producen exactamente el mismo resultado (una propiedad compartida con otros sistemas numéricos equilibrados). El número 1/2 no es excepcional; tiene dos representaciones igualmente válidas y dos truncamientos igualmente válidos: 0.1 (redondear a 0 y truncar a 0) y 1.𝖳 (redondear a 1 y truncar a 1). Con una base impar, el doble redondeo también equivale a redondear directamente hasta la precisión final, a diferencia de una base par.

Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se realizan como en el ternario regular. La multiplicación por dos se puede realizar sumando un número a sí mismo o restándolo después de un desplazamiento a la izquierda.

Un desplazamiento aritmético hacia la izquierda de un número ternario equilibrado es el equivalente a la multiplicación por una potencia (positiva, integral) de 3; y un desplazamiento aritmético a la derecha de un número ternario equilibrado es el equivalente a la división por una potencia (positiva, integral) de 3.

Conversión hacia y desde una fracción

La conversión de un número ternario balanceado periódico a una fracción es análoga a convertir un decimal periódico. Por ejemplo (debido a 111111_bal3 = (3⁶ − 1/3 − 1)_dic):

0.1110TT0̄ ̄ =1110TT0− − 1111111× × 1T× × 10=1110TTT111111× × 1T0=111× × 1000T111× × 1001× × 1T0=1111× × 1T1001× × 1T0=111110010=1T1T1TTT0=1011T10{fnMicrosoft Sans Serif} {mathrm {1T1T}{mathrm {1TTT0}={tfrac {101}{mathrm {1T10}}}}

Números irracionales

Como en cualquier otra base entera, los irracionales algebraicos y los números trascendentales no terminan ni se repiten. Por ejemplo:

Decimal	Equilibrado ternario
2=1.4142135623731...... {displaystyle {sqrt {2}=1.4142135623731ldots }	1T=1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT...... {displaystyle {sqrt {fnhm} {1T}=mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T01TTldots}
3=1.7320508075689...... {displaystyle {sqrt {3}=1.7320508075689ldots }	10=1T.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0...... {displaystyle {sqrt {mathrm}=mathrm {1T1T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0ldots}
5=2.2360679774998...... {displaystyle {sqrt {5}=2.23606797749}	1TT=1T. 1T0101010TTT1TT11010TTT01T1...... {displaystyle {sqrt {fnhm} {1TT}=mathrm {1T.1T01010TTT1TT11010T01T1ldots}
φ φ =1+52=1.6180339887499...... {textstyle varphi ={frac {1+{sqrt {5}}{2}=1.6180339887499ldots	φ φ =1+1TT1T=1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011...... {textstyle varphi ={frac {1+{sqrt {mathrm {1TT}}{mathrm {1T}=mathrm {1T0TT01TT0T10TT11T0011T10011ldots }
τ τ =6.28318530717959...... {displaystyle tau =6.28318530717959ldots }	τ τ =1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001...... {displaystyle tau =mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001} ldots }
π π =3.14159265358979...... {displaystyle pi =3.14159265358979ldots }	π π =10.011T111T000T011T1101T111111...... {displaystyle pi =mathrm {10.011T111T000T011T11011T1111111111} ldots }
e=2.71828182845905...... {displaystyle e=2.71828182845905ldots}	e=10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T...... {displaystyle e=mathrm {10.T0111TT0T0T111T000T11T} ldots }

Las expansiones ternarias equilibradas de π π {displaystyle pi} se da en OEIS como A331313, el de e{displaystyle e} en A331990.

Conversión de ternaria

La notación ternaria desequilibrada se puede convertir a notación ternaria equilibrada de dos maneras:

• Añadir 1 trit-by-trit del primer trit no-cero con carga, y luego restar 1 trit-by-trit del mismo trío sin pedir prestado. Por ejemplo,

  021₃ + 11₃ = 102₃, 102₃ 11 - 11₃ = 1T1_bal3 = 7_dec.

• Si un 2 está presente en ternario, conviértelo en 1T. Por ejemplo,

  0212₃ = 0010_bal3 + 1T00_bal3 + 001T_bal3 = 10TT_bal3 = 23_dec

Si los tres valores de la lógica ternaria son falso, desconocido y verdadero, y estos se asignan a ternario equilibrado como T, 0 y 1 y a valores ternarios sin signo convencionales como 0, 1 y 2, entonces el ternario equilibrado puede verse como un sistema numérico sesgado análogo al sistema binario compensado. Si el número ternario tiene n trits, entonces el sesgo b es

b=⌊3n2⌋{displaystyle B=leftlfloor {fn}{2}rightrfloor }

que se representa como todos unos en forma convencional o sesgada.

Como resultado, si estas dos representaciones se utilizan para números ternarios balanceados y sin signo, un valor ternario positivo n-trit sin signo se puede convertir a una forma balanceada agregando el sesgo b y un número balanceado positivo se pueden convertir a una forma sin signo restando el sesgo b. Además, si x y y son números balanceados, su suma balanceada es x + y − b cuando se calcula utilizando aritmética ternaria convencional sin signo. De manera similar, si x y y son números ternarios convencionales sin signo, su suma es x + y. + b cuando se calcula utilizando aritmética ternaria equilibrada.

Conversión a ternario equilibrado desde cualquier base entera

Podemos convertir a ternario balanceado con la siguiente fórmula:

()anan− − 1⋯ ⋯ a1a0.c1c2c3⋯ ⋯ )b=.. k=0nakbk+.. k=1JUEGO JUEGO ckb− − k.{displaystyle left(a_{n_{n-1}cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}cdots ###### {b}=sum ¿Qué? ¿Qué? }c_{k}b^{-k}

dónde,

a_na_n−1...a₁a₀.c₁c₂c₃... es la representación original en el sistema numeral original.

b es el radio original. b es 10 si se convierte en decimal.

a_k y c_k son los dígitos k lugares a la izquierda y derecha del punto del ráx respectivamente.

Por ejemplo,

 −25.4dec = 1T×1011 + 1TT×1010 + 11×101−1)
= −(1T×101 + 1TT + 11÷101)
= 10T1.11TT= T01T.TT11

 1010.12 = 1T10 + 1T1 + 1T−1= 10T + 1T + 0.1= 101.1

Suma, resta y multiplicación y división

Las tablas de suma, resta, multiplicación y división de un solo trit se muestran a continuación. Para la resta y la división, que no son conmutativas, el primer operando se da a la izquierda de la tabla, mientras que el segundo se da en la parte superior. Por ejemplo, la respuesta a 1 − T = 1T se encuentra en la esquina inferior izquierda de la tabla de resta.

Adición + T 0 1 T T1 T 0 0 T 0 1 1 0 1 1T

Sustracción − T 0 1 T 0 T T1 0 1 0 T 1 1T 1 0

Multiplicación × T 0 1 T 1 0 T 0 0 0 0 1 T 0 1

División . T 1 T 1 T 0 0 0 1 T 1

Suma y resta multitrit

La suma y resta multitrit es análoga a la del binario y el decimal. Suma y resta trit por trit, y suma el acarreo apropiadamente. Por ejemplo:

 1TT1TT.1TT1
+ 11T1.T - 11T1.T - 11T1.T → + TT1T.1
_______________ _______________ ________________
1T0T10.0TT1 1T1001.TTT1 1T1001.TTT1
+ 1T + T T1 + T T
_______________ _________________ _________________
1T1110.0TT1 1110TT.TTT1 1110TT. TTT1
+ T + T 1 + T 1
_______________ _________________ _________________
1T0110.0TT1 1100TTT1 1100TTT1

Multiplicación multitrit

La multiplicación multitrit es análoga a la del binario y el decimal.

 1TT1.TT
× T11T.1
______________
1TT.1TT multiplicar 1
T11T.11 multiplicar T
1TT1T multiplicar 1
1TT1TT multiplicar 1
T11T11 multiplica T
______________
0T0000T.10T

División multitrit

La división ternaria equilibrada es análoga a la binaria y decimal.

Sin embargo, 0,5_dec = 0,1111..._bal3 o 1.TTTT..._bal3. Si el dividendo está sobre el más o menos la mitad del divisor, el trit del cociente debe ser 1 o T. Si el dividendo está entre el más y el menos de la mitad del divisor, el trit del cociente es 0. La magnitud del dividendo debe compararse con el de la mitad del divisor antes de fijar el cociente trit. Por ejemplo,

 1TT1.TT
0,5 × divisor T01.0 ______________
divisor T11T.1) T0000T.10T dividendo
T11T1 T000 010, set 1
_______
1T1T0
1TT1T 1T1T0 Ø 10T0, set T
_______
111T
1TT1T 111T = 10T0, set T
_______
T00.1
T11T.1 T001 se realizó T010, set 1
________
1T1.00
1TT.1T 1T100 > 10T0, set T
________
1T.1T
1T1T 1TT1T Ø 10T0, set T
________
0

Otro ejemplo,

 1TTT
0,5 × divisor 1T _________
Divisor 11)1T01T 1T = 1T, pero 1T.01 1T, set 1T
11
_____
T10 T10 - T1, set T
TT
______
T11 T11 - T1, set T
TT
______
TT TT = T1, set T
TT
____
0

Otro ejemplo,

 101.TTTTTTT...
o 100.11111111111...
0,5 × divisor 1T __________________
divisor 11)111T 11 ≤ 1T, set 1
11
_____
1 T1 0 0 0 0 0
__
1T 1T = 1T, trits final, set 1. TTTTTTTTT... o 0.111111111...

Raíces cuadradas y raíces cúbicas

El proceso de extracción de la raíz cuadrada en ternario balanceado es análogo al de decimal o binario.

()10⋅ ⋅ x+Sí.)1T− − 100⋅ ⋅ x1T=1T0⋅ ⋅ x⋅ ⋅ Sí.+Sí.1T={}T10⋅ ⋅ x+1,Sí.=T0,Sí.=01T0⋅ ⋅ x+1,Sí.=1{displaystyle (10cdot x+y)^{mathrm {1T}-100cdot x^{mathrm {1T}=mathrm {1T0} cdot xcdot Y+y^{mathrm {1T}={begin{cases}mathrm {T10} cdot x+1, demandante=mathrm {T} \0, limitada=0\\mathrm {1T0} cdot x+1, recury=1end{cases}}

Al igual que en la división, primero debemos verificar el valor de la mitad del divisor. Por ejemplo,

 1. 1 T 1 T 0 0...
_____________________________
√ 1T 1 segÃ1T segÃ311, set 1
− 1
_____
1×10=10 1.0T 1.0T confianza0.10, set 1
1T0 - 1,T0
________
11×10=110 1T0T 1T0T confianza110, set 1
10T0 - 10T0
________
111×10=1110 T1T0T T1T0T seccionó TTT0, set T
100T0 -T0010
_________
111T×10=111T0 1TTT0T 1TTT0T confianza111T0, set 1
10T110 −10T110
__________
111T1×10=111T10 TT1TT0T TT1TT0T detectadoTTT1T0, set T
100TTT0 -T001110
___________
111T1T×10=111T1T0 T001TT0T T001TT0T obtenidos TTT1T10, set T
10T11110 -T01TT0
____________
111T1TT×10=111T1TT0 T001T0T TTT1T110 detectadoT001T0T0T obtenidos111T1TT0, set 0
T - Regreso 1
___________
111T1TT0×10=111T1TT00 T001T000T TTT1T1100 se realizó T001T000T se realizó 111T1TT00, se estableció 0
T - Regreso 1
______________
111T1TT00*10=111T1TT000 T001T00000T
...

La extracción de la raíz cúbica en ternario balanceado es similar a la extracción en decimal o binario:

()10⋅ ⋅ x+Sí.)10− − 1000⋅ ⋅ x10=Sí.10+1000⋅ ⋅ x1T⋅ ⋅ Sí.+100⋅ ⋅ x⋅ ⋅ Sí.1T={}T+T000⋅ ⋅ x1T+100⋅ ⋅ x,Sí.=T0,Sí.=01+1000⋅ ⋅ x1T+100⋅ ⋅ x,Sí.=1{displaystyle (10cdot x+y)}{10}-1000cdot x^{10}=y^{10}+1000cdot x^{mathrm {1T}cdot y+100cdot xcdot Y^{mathrm {1T}={begin{cases}mathrm {T} +mathrm {T000} cdot x^{mathrm {1T} }+100cdot x, implicay=mathrm {T}, recury=01+1000cdot x^{mathrm {1T}+100cdot x, implicay=1end{cases}}

Al igual que con la división, primero también debemos verificar el valor de la mitad del divisor. Por ejemplo:

 1. 1 T 1 0...
__________________________
3√ 1T
" 1 - 1 "
_______
1.000
1×100=100 -0.100 prestado 100×, hacer división
_______
1TT 1.T00 1T00 título 1TT, set 1
1×1×1000+1=1001 −1.001
__________
T0T000
11×100 − 1100 prestado 100×, hacer división
_________
10T000 TT1T00 TT1T00 10T01000, set T
11×11×1000+1=1TT1001 −T11T00T
____________
1TTT01000
11T×100 - 11T00 prestado 100×, hacer división
___________
1T1T01TT 1TT0100 1TT0100 confianza1T1T01TT, set 1
11T×11T×1000+1=11111001 − 11111001
_______________
1T10T000
11T1×100 - 11T100 prestado 100×, hacer división
__________
10T0T01TT 1T0T0T00 T010T 11 10T0T0T0T00 10T0T01TT, set 0
11T1×11T1×1000+1=1TT1T11001 − TT1T00 devolver 100×
______________
1T10T000
...

Por lo tanto, ³√2 = 1.259921_dec = 1.1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111_bal3.

Aplicaciones

En diseño informático

En los primeros días de la informática, algunas computadoras soviéticas experimentales se construyeron con ternario balanceado en lugar de binario, siendo el más famoso el Setun, construido por Nikolay Brusentsov y Sergei Sobolev. La notación tiene una serie de ventajas computacionales sobre la binaria y la ternaria tradicionales. En particular, la coherencia más-menos reduce la tasa de acarreo en la multiplicación de varios dígitos, y la equivalencia de redondeo-truncamiento reduce la tasa de acarreo en el redondeo de fracciones. En el ternario equilibrado, la tabla de multiplicar de un dígito sigue siendo de un dígito y no tiene acarreo y la tabla de suma tiene sólo dos acarreos de nueve entradas, en comparación con el ternario desequilibrado con uno y tres respectivamente. Knuth escribió que "Quizás las propiedades simétricas y la aritmética simple de este sistema numérico resulten ser muy importantes algún día", dijo Knuth. señalando que,

La complejidad de los circuitos aritméticos para la aritmética ternaria equilibrada no es mucho mayor de lo que es para el sistema binario, y un número determinado requiere sólo log3⁡ ⁡ 2.. 63% % {displaystyle log _{3}2approx 63%} tantas posiciones de dígitos para su representación."

Otras aplicaciones

El teorema de que cada número entero tiene una representación única en un ternario equilibrado fue utilizado por Leonhard Euler para justificar la identidad de las series de potencias formales.

∏ ∏ n=0JUEGO JUEGO ()x− − 3n+1+x3n)=.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO xn.{displaystyle prod _{n=0}{infty }left(x^{-3^{n}+1+x^{3^{n}right)=sum ¿Qué?

El ternario equilibrado tiene otras aplicaciones además de la informática. Por ejemplo, una balanza clásica de dos platillos, con una pesa por cada potencia de 3, puede pesar objetos relativamente pesados con precisión con una pequeña cantidad de pesas, moviendo pesas entre los dos platillos y la mesa. Por ejemplo, con pesas para cada potencia del 3 al 81, un objeto de 60 gramos (60_dec = 1T1T0_bal3) se equilibrará perfectamente con un peso de 81 gramos en el otro recipiente, el peso de 27 gramos en su propio recipiente, el peso de 9 gramos en el otro recipiente, el peso de 3 gramos en su propio recipiente y el peso de 1 gramo reservado.

De manera similar, considere un sistema monetario con monedas que valen 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤. Si el comprador y el vendedor tienen cada uno sólo una moneda de cada tipo, es posible cualquier transacción de hasta 121¤. Por ejemplo, si el precio es 7¤ (7_dic = 1T1_bal3), el comprador paga 1¤ + 9¤ y recibe 3¤ de cambio.

También pueden proporcionar una representación más natural del qutrit y los sistemas que lo utilizan.