Teoría ergódica

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Rama de las matemáticas que estudia sistemas dinámicos

La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades estadísticas de los sistemas dinámicos deterministas; es el estudio de la ergodicidad. En este contexto, las "propiedades estadísticas" se refiere a las propiedades que se expresan a través del comportamiento de los promedios de tiempo de varias funciones a lo largo de las trayectorias de los sistemas dinámicos. La noción de sistemas dinámicos deterministas asume que las ecuaciones que determinan la dinámica no contienen perturbaciones aleatorias, ruido, etc. Por lo tanto, las estadísticas que nos interesan son propiedades de la dinámica.

La teoría ergódica, como la teoría de la probabilidad, se basa en nociones generales de la teoría de la medida. Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de física estadística.

Una preocupación central de la teoría ergódica es el comportamiento de un sistema dinámico cuando se le permite funcionar durante mucho tiempo. El primer resultado en esta dirección es el teorema de recurrencia de Poincaré, que afirma que casi todos los puntos en cualquier subconjunto del espacio de fase finalmente vuelven a visitar el conjunto. Los sistemas para los que se cumple el teorema de recurrencia de Poincaré son sistemas conservativos; por tanto, todos los sistemas ergódicos son conservativos.

Varios teoremas ergódicos proporcionan información más precisa que afirma que, bajo ciertas condiciones, el promedio temporal de una función a lo largo de las trayectorias existe en casi todas partes y está relacionado con el promedio espacial. Dos de los teoremas más importantes son los de Birkhoff (1931) y von Neumann que afirman la existencia de un promedio de tiempo a lo largo de cada trayectoria. Para la clase especial de sistemas ergódicos, este promedio de tiempo es el mismo para casi todos los puntos iniciales: estadísticamente hablando, el sistema que evoluciona durante mucho tiempo "olvida" su estado inicial. Las propiedades más fuertes, como la mezcla y la equidistribución, también se han estudiado ampliamente.

El problema de la clasificación métrica de los sistemas es otra parte importante de la teoría ergódica abstracta. Las diversas nociones de entropía para sistemas dinámicos juegan un papel destacado en la teoría ergódica y sus aplicaciones a los procesos estocásticos.

Los conceptos de ergodicidad y la hipótesis ergódica son fundamentales para las aplicaciones de la teoría ergódica. La idea subyacente es que para ciertos sistemas el promedio temporal de sus propiedades es igual al promedio sobre todo el espacio. Las aplicaciones de la teoría ergódica a otras partes de las matemáticas suelen implicar el establecimiento de propiedades de ergodicidad para sistemas de un tipo especial. En geometría, se han utilizado métodos de teoría ergódica para estudiar el flujo geodésico en variedades de Riemann, comenzando con los resultados de Eberhard Hopf para superficies de Riemann de curvatura negativa. Las cadenas de Markov forman un contexto común para aplicaciones en la teoría de la probabilidad. La teoría ergódica tiene conexiones fructíferas con el análisis armónico, la teoría de Lie (teoría de la representación, redes en grupos algebraicos) y la teoría de números (la teoría de las aproximaciones diofánticas, funciones L).

Transformaciones ergódicas

La teoría ergódica a menudo se ocupa de las transformaciones ergódicas. La intuición detrás de este tipo de transformaciones, que actúan sobre un determinado conjunto, es que realizan un trabajo minucioso de "agitación" los elementos de ese conjunto. P.ej. si el conjunto es una cantidad de avena caliente en un tazón, y si se deja caer una cucharada de jarabe en el tazón, entonces las iteraciones de la inversa de una transformación ergódica de la avena no permitirán que el jarabe permanezca en una subregión local del avena, pero distribuirá el jarabe uniformemente por todas partes. Al mismo tiempo, estas iteraciones no comprimirán ni dilatarán ninguna porción de la avena: conservan la medida que es la densidad.

La definición formal es la siguiente:

Sea $T : X \to X$ una transformación que conserva la medida en un medir el espacio $(X, Σ, μ)$ , con $μ (X) = 1$ . Entonces $T$ es ergódico si para cada $E$ en $Σ$ con $μ(T -1 (E) Δ E) = 0$ , ya sea $μ (E) = 0$ o $μ (E) = 1$ .

El operador Δ aquí es la diferencia simétrica de conjuntos, equivalente a la operación exclusiva-or con respecto a la pertenencia al conjunto. La condición de que la diferencia simétrica sea medida cero se llama ser esencialmente invariante.

Ejemplos

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fase (top). Los sistemas son partículas masivas en un pozo potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). El conjunto inicialmente compacto se gira con el tiempo y "spread around" espacio de fase. Sin embargo, no comportamiento ergonódico ya que los sistemas no visitan bien el potencial izquierdo.

Una rotación irracional del círculo R/Z, T: x → x + θ, donde θ es irracional, es ergodic. Esta transformación tiene propiedades aún más fuertes de ergodicidad única, minimalidad y equidistribución. Por contraste, si θ = p/q es racional (en términos más bajos) entonces T es periódica, con período q, y por lo tanto no puede ser ergodic: para cualquier intervalo I de longitud a, 0 a 1/q, su órbita bajo T (es decir, la unión de I, T()I),... T^q−1()I), que contiene la imagen de I bajo cualquier número de solicitudes T) es un T-invariante mod 0 conjunto que es una unión de q intervalos de longitud a, por lo tanto tiene medida qa estrictamente entre 0 y 1.
Vamos G ser un grupo abeliano compacto, μ la medida Haar normalizada, y T un automorfismo de grupo G. Vamos G* ser el grupo dual Pontryagin, que consiste en los caracteres continuos de G, y T* ser el automorfismo adjoint correspondiente G*. El automorfismo T es ergodic si y sólo si la igualdad (T*)ⁿ()χ)χ es posible sólo cuando n= 0 o χ es el carácter trivial G. En particular, si G es n- el torus dimensional y el automorfismo T está representado por una matriz unimodular A entonces T es ergodic si y sólo si no eigenvalue de A es una raíz de la unidad.
Un turno de Bernoulli es ergodic. Más generalmente, la ergodicidad de la transformación del cambio asociada a una secuencia de variables i.i.d. aleatorias y algunos procesos estacionarios más generales se derivan de la ley cero-una de Kolmogorov.
La ergodicidad de un sistema dinámico continuo significa que sus trayectorias "salen" el espacio de fase. Un sistema con un espacio de fase compacto que tiene una primera integral no constante no puede ser ergodic. Esto se aplica, en particular, a los sistemas Hamiltonianos con una primera integral I funcionalmente independiente de la función Hamilton H y un conjunto de nivel compacto X *p,q): H()p,q) = E} de energía constante. El teorema de Liouville implica la existencia de una medida invariante finita en X, pero la dinámica del sistema se limita a los conjuntos de nivel I on X, por lo tanto el sistema posee conjuntos invariantes de medida positiva pero menos que total. Una propiedad de sistemas dinámicos continuos que es lo opuesto a la ergodicidad es la integración completa.

Teoremas ergódicos

Sea T: X → X una transformación que conserva la medida en un espacio de medida (X, Σ, μ) y supongamos que ƒ es una función integrable μ, es decir, ƒ ∈ L¹(μ). Luego definimos los siguientes promedios:

Tiempo promedio: Esto se define como el promedio (si existe) sobre las iteraciones de T a partir de algún punto inicial x:
${displaystyle {hat {f}}(x)=lim _{nrightarrow infty };{frac {1}{n}}sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$

Promedio espacial: Si μ()X) es finito y no cero, podemos considerar el espacio o fase promedio de Ø
${bar f}={frac 1{mu (X)}}int f,dmu.quad {text{ (For a probability space, }}mu (X)=1.)$

En general, el promedio de tiempo y el promedio de espacio pueden ser diferentes. Pero si la transformación es ergódica y la medida es invariable, entonces el promedio temporal es igual al promedio espacial en casi todas partes. Este es el célebre teorema ergódico, en forma abstracta debido a George David Birkhoff. (En realidad, el artículo de Birkhoff no considera el caso general abstracto, sino solo el caso de sistemas dinámicos que surgen de ecuaciones diferenciales en una variedad suave). El teorema de equidistribución es un caso especial del teorema ergódico, que trata específicamente con la distribución de probabilidades en el intervalo unitario.

Más precisamente, el punto a punto o fuerte teorema ergonódico declara que el límite en la definición de la media de tiempo de ¢ existe para casi todos x y que la función límite (casi en todas partes definida) ${displaystyle {hat {f}}}$ es integrador:

{hat f}in L^{1}(mu).,

Además, ${hat {f}}$ es T- invariante, es decir

{hat f}circ T={hat f},

se mantiene en casi todas partes, y si μ(X) es finito, entonces la normalización es la misma:

int {hat f},dmu =int f,dmu.

En particular, si T es ergodic, entonces ${displaystyle {hat {f}}}$ debe ser una constante (casi en todas partes), y así uno tiene que

{bar f}={hat f},

casi en todas partes. Uniendo la primera a la última afirmación y suponiendo que μ(X) es finito y distinto de cero, se tiene que

{displaystyle lim _{nrightarrow infty };{frac {1}{n}}sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={frac {1}{mu (X)}}int f,dmu }

para casi todas las x, es decir, para todas las x excepto para un conjunto de medida cero.

Para una transformación ergódica, el promedio de tiempo es casi seguro igual al promedio espacial.

Como ejemplo, suponga que el espacio de medida (X, Σ, μ) modela las partículas de un gas como se indica arriba, y sea ƒ(x ) indican la velocidad de la partícula en la posición x. Luego, los teoremas ergódicos puntuales dicen que la velocidad promedio de todas las partículas en un momento dado es igual a la velocidad promedio de una partícula a lo largo del tiempo.

Una generalización del teorema de Birkhoff es el teorema ergódico subaditivo de Kingman.

Formulación probabilística: teorema de Birkhoff-Khinchin

Teorema de Birkhoff-Khinchin. Sea ƒ medible, E(|ƒ|) < ∞, y T sea un mapa que conserva la medida. Entonces con probabilidad 1:

{displaystyle lim _{nrightarrow infty };{frac {1}{n}}sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(fmid {mathcal {C}})(x),}

Donde $E(f|{mathcal {C}})$ es la expectativa condicional dada la σ-algebra ${mathcal {C}}$ de conjuntos invariantes T.

Corollary ()Pointwise Ergodic Theorem): En particular, si T es ergodic, entonces ${mathcal {C}}$ es el trivial σ-algebra, y por lo tanto con probabilidad 1:

{displaystyle lim _{nrightarrow infty };{frac {1}{n}}sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).}

Teorema ergódico medio

Teorema ergódico medio de Von Neumann, se cumple en espacios de Hilbert.

Sea U un operador unitario en un espacio de Hilbert H; más generalmente, un operador lineal isométrico (es decir, un operador lineal no necesariamente sobreyectivo que satisface ‖Ux‖ = ‖x‖ para todo x en H, o equivalentemente, satisfaciendo U*U = I, pero no necesariamente UU* = I). Sea P la proyección ortogonal sobre {ψ ∈ H | Uψ = ψ} = ker(I − U).

Entonces, para cualquier x en H, tenemos:

lim _{{Nto infty }}{1 over N}sum _{{n=0}}^{{N-1}}U^{{n}}x=Px,

donde el límite es con respecto a la norma sobre H. En otras palabras, la secuencia de promedios

{displaystyle {frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}

converge a P en la topología de operador fuerte.

De hecho, no es difícil ver que en este caso ninguna $xin H$ admite una descomposición ortogonal en partes de $ker(I-U)$ y ${displaystyle {overline {operatorname {ran} (I-U)}}}$ respectivamente. La primera parte es invariante en todas las sumas parciales como $N$ crece, mientras que para esta última parte, de la serie telescoping uno tendría:

{displaystyle lim _{Nto infty }{1 over N}sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(I-U)=lim _{Nto infty }{1 over N}(I-U^{N})=0}

Este teorema se especializa al caso en el que el espacio de Hilbert H consta de L² funciones sobre un espacio de medida y U es un operador de la forma

Uf(x)=f(Tx),

donde T es un endomorfismo que conserva la medida de X, considerado en las aplicaciones como una representación de un paso de tiempo de un sistema dinámico discreto. El teorema ergódico luego afirma que el comportamiento promedio de una función ƒ en escalas de tiempo suficientemente grandes se aproxima mediante el componente ortogonal de ƒ que es invariante en el tiempo.

En otra forma del teorema ergódico medio, sea U_t un grupo fuertemente continuo de operadores unitarios de un parámetro en H. Entonces el operador

{frac {1}{T}}int _{0}^{T}U_{t},dt

converge en la topología de operador fuerte como T → ∞. De hecho, este resultado también se extiende al caso de un semigrupo fuertemente continuo de operadores contractivos de un parámetro en un espacio reflexivo.

Observación: se puede desarrollar cierta intuición para el teorema ergódico medio considerando el caso en el que los números complejos de unidad de longitud se consideran transformaciones unitarias en el plano complejo (por multiplicación por la izquierda). Si elegimos un solo número complejo de unidad de longitud (que consideramos como U), es intuitivo que sus potencias llenarán el círculo. Dado que el círculo es simétrico alrededor de 0, tiene sentido que los promedios de las potencias de U converjan a 0. Además, 0 es el único punto fijo de U, y por lo que la proyección sobre el espacio de puntos fijos debe ser el operador cero (lo que concuerda con el límite recién descrito).

Convergencia de las medias ergódicas en las normas Lp

Sea (X, Σ, μ) como arriba un espacio de probabilidad con una medida que preserva la transformación T, y sea 1 ≤ p ≤ ∞. La expectativa condicional con respecto a la sub-σ-álgebra Σ_T de los conjuntos invariantes T es un proyector lineal E_T de la norma 1 del espacio de Banach L^p(X, Σ, μ ) en su subespacio cerrado L^p(X, Σ_T, μ) Este último también puede caracterizarse como el espacio de todas las funciones T invariantes L^p en X. Las medias ergódicas, como operadores lineales en L^p(X, Σ, μ) también tienen norma de operador unitario; y, como simple consecuencia del teorema de Birkhoff-Khinchin, convergen al proyector E_T en la topología de operador fuerte de L^p si 1 ≤ p ≤ ∞, y en la topología de operadores débiles si p = ∞. Más es cierto si 1 < p ≤ ∞ entonces el teorema de convergencia ergódica dominada de Wiener-Yoshida-Kakutani establece que las medias ergódicas de ƒ ∈ L^p están dominadas en L^p; sin embargo, si ƒ ∈ L¹, las medias ergódicas pueden no ser equidominadas en L^p. Finalmente, si se supone que ƒ está en la clase de Zygmund, eso es |ƒ| log⁺(|ƒ|) es integrable, entonces las medias ergódicas están incluso dominadas en L¹.

Tiempo de estancia

Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida tal que μ(X) es finito y distinto de cero. El tiempo pasado en un conjunto medible A se denomina tiempo de permanencia. Una consecuencia inmediata del teorema ergódico es que, en un sistema ergódico, la medida relativa de A es igual al tiempo medio de permanencia:

{displaystyle {frac {mu (A)}{mu (X)}}={frac {1}{mu (X)}}int chi _{A},dmu =lim _{nrightarrow infty };{frac {1}{n}}sum _{k=0}^{n-1}chi _{A}(T^{k}x)}

para todas las x excepto para un conjunto de medida cero, donde χ_A es la función indicadora de A.

Los tiempos de ocurrencia de un conjunto medible A se define como el conjunto k₁, k₂, k₃,..., de tiempos k tales que T^k(x) está en A, ordenado en orden creciente. Las diferencias entre tiempos de ocurrencia consecutivos R_i = k_i − k_i−1 se llaman los tiempos de recurrencia de A. Otra consecuencia del teorema ergódico es que el tiempo medio de recurrencia de A es inversamente proporcional a la medida de A, suponiendo que el punto inicial x está en A, por lo que k₀ = 0.

{displaystyle {frac {R_{1}+cdots +R_{n}}{n}}rightarrow {frac {mu (X)}{mu (A)}}quad {text{(almost surely)}}}

(Vea casi con seguridad.) Es decir, cuanto menor es A, más tiempo se tarda en volver a él.

Flujos ergódicos en colectores

La ergodicidad del flujo geodésico sobre superficies compactas de Riemann de curvatura negativa variable y sobre variedades compactas de curvatura negativa constante de cualquier dimensión fue demostrada por Eberhard Hopf en 1939, aunque antes se habían estudiado casos especiales: véase, por ejemplo, Hadamard&# 39;s billar (1898) y billar Artin (1924). La relación entre los flujos geodésicos en las superficies de Riemann y los subgrupos de un parámetro en SL(2, R) fue descrita en 1952 por S. V. Fomin e I. M. Gelfand. El artículo sobre flujos de Anosov proporciona un ejemplo de flujos ergódicos en SL(2, R) y en superficies de Riemann de curvatura negativa. Gran parte del desarrollo descrito allí se generaliza a las variedades hiperbólicas, ya que pueden verse como cocientes del espacio hiperbólico por la acción de una red en el grupo de Lie semisimple SO(n,1). La ergodicidad del flujo geodésico en espacios simétricos de Riemann fue demostrada por F. I. Mautner en 1957. En 1967, D. V. Anosov y Ya. G. Sinai demostró la ergodicidad del flujo geodésico en variedades compactas de curvatura seccional negativa variable. Calvin C. Moore dio un criterio simple para la ergodicidad de un flujo homogéneo en un espacio homogéneo de un grupo de Lie semisimple en 1966. Muchos de los teoremas y resultados de esta área de estudio son típicos de la teoría de la rigidez.

En la década de 1930, G. A. Hedlund demostró que el flujo del horociclo en una superficie hiperbólica compacta es mínimo y ergódico. Hillel Furstenberg estableció la ergodicidad única del flujo en 1972. Los teoremas de Ratner proporcionan una generalización importante de la ergodicidad para flujos unipotentes en los espacios homogéneos de la forma Γ G, donde G es un grupo de Lie y Γ es una red en G.

En los últimos 20 años, ha habido muchos trabajos tratando de encontrar un teorema de clasificación de medidas similar a los teoremas de Ratner pero para acciones diagonalizables, motivado por conjeturas de Furstenberg y Margulis. Elon Lindenstrauss demostró un resultado parcial importante (resolver esas conjeturas con una suposición adicional de entropía positiva), y recibió la medalla Fields en 2010 por este resultado.

Referencias históricas

Birkhoff, George David (1931), "Proof of the ergodic theorem", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 17, no. 12, pp. 656-660, Bibcode:1931PNAS...17..656B, doi:10.1073/pnas.17.12.656, PMC1076138, PMID 16577406.
Birkhoff, George David (1942), "¿Cuál es el teorema ergonódico?", Matemáticas. Mensual, vol. 49, no. 4, págs. 222 a 226, doi:10.2307/2303229, JSTOR 2303229.
von Neumann, John (1932), "Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 18, no. 1, pp. 70–82, Bibcode:1932PNAS...18...70N, doi:10.1073/pnas.18.1.70, PMC1076162, PMID 16577432.
von Neumann, John (1932), "Physical Applications of the Ergodic Hypothesis", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 18, no. 3, pp. 263–266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, doi:10.1073/pnas.18.3.263, JSTOR 86260, PMC1076204, PMID 16587674.
Hopf, Eberhard (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Leipzig Ber. Sächs. Akad. Wiss., vol. 91, págs. 261 a 304.
Fomin, Sergei V.; Gelfand, I. M. (1952), "Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 7, no. 1, págs. 118 a 137.
Mautner, F. I. (1957), "Geodesic flows on symmetric Riemann spaces", Ann., vol. 65, no. 3, págs. 416 a 431, doi:10.2307/1970054, JSTOR 1970054.
Moore, C. C. (1966), "Ergodicidad de los flujos sobre espacios homogéneos", Amer., vol. 88, no. 1, págs. 154 a 178, doi:10.2307/2373052, JSTOR 2373052.

Referencias modernas

D.V. Anosov (2001) [1994], "teoría ergonómica", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Prensa
Este artículo incorpora material de teorema ergonódico en PlanetMath, que está licenciado bajo la Licencia Creative Commons.
Vladimir Igorevich Arnol'd y André Avez, Problemas ergonódicos de la mecánica clásica. Nueva York: W.A. Benjamin. 1968.
Leo Breiman, Probabilidad. Edición original publicada por Addison-Wesley, 1968; reimprimida por Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 0-89871-296-3. (Véase Capítulo 6.)
Walters, Peter (1982), Una introducción a la teoría ergonódica, Textos de Graduación en Matemáticas, vol. 79, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95152-0, Zbl 0475.28009
Bedford, Tim; Keane, Michael; Series, Caroline, eds. (1991), Teoría ergonómica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos, Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X (Una encuesta de temas en teoría ergonódica; con ejercicios.)
Karl Petersen. Teoría ergonódica (Estudios Cambridge en Matemáticas Avanzadas). Cambridge: Cambridge University Press. 1990.
Joseph M. Rosenblatt y Máté Weirdl, Teoremas ergonódicos a partir de análisis armónico, (1993) que aparece Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, (1995) Karl E. Petersen e Ibrahim A. Salama, Eds., Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0. (Una extensa encuesta de las propiedades ergodicas de generalizaciones del teorema de distribución de mapas de cambio en el intervalo de unidad. Se centra en los métodos desarrollados por Bourgain.)
A. N. Shiryaev, Probabilidad, 2a edición, Springer 1996, Sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0.
Zund, Joseph D. (2002), "George David Birkhoff y John von Neumann: Una cuestión de prioridad y los teoremas ergonódicos, 1931-1932" Historia Mathematica, 29 (2): 138–156, doi:10.1006/hmat.2001.2338 (Una discusión detallada sobre la prioridad del descubrimiento y publicación de los teoremas ergonódicos de Birkhoff y von Neumann, basado en una carta de este último a su amigo Howard Percy Robertson.)
Andrzej Lasota, Michael C. Mackey, Caos, Fractales y Noise: Aspectos estocásticos de Dinámica. Second Edition, Springer, 1994.
Manfred Einsiedler y Thomas Ward, Ergodic Teoría con vista hacia la Teoría Número. Springer, 2011.
Jane Hawkins, Dinámica ergonómica: De la teoría básica a las aplicaciones, Springer, 2021. ISBN 978-3-030-59242-4

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