Teoría del modelo

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Área de lógica matemática

En lógica matemática, la teoría de modelos es el estudio de la relación entre teorías formales (una colección de oraciones en un lenguaje formal que expresa declaraciones sobre una estructura matemática) y sus modelos (aquellas estructuras en las que se mantienen los enunciados de la teoría). Los aspectos investigados incluyen el número y tamaño de los modelos de una teoría, la relación de los diferentes modelos entre sí y su interacción con el propio lenguaje formal. En particular, los teóricos de modelos también investigan los conjuntos que se pueden definir en un modelo de una teoría y la relación de dichos conjuntos definibles entre sí. Como disciplina independiente, la teoría de modelos se remonta a Alfred Tarski, quien utilizó por primera vez el término "Teoría de modelos" en publicación en 1954. Desde la década de 1970, el tema ha sido moldeado decisivamente por la teoría de la estabilidad de Saharon Shelah.

En comparación con otras áreas de la lógica matemática, como la teoría de la demostración, la teoría de modelos a menudo se preocupa menos por el rigor formal y se acerca más a las matemáticas clásicas. Esto ha provocado el comentario de que "si la teoría de la prueba se trata de lo sagrado, entonces la teoría del modelo se trata de lo profano". Las aplicaciones de la teoría de modelos a la geometría algebraica y diofántica reflejan esta proximidad a las matemáticas clásicas, ya que a menudo implican una integración de técnicas y resultados algebraicos y de teoría de modelos.

La organización académica más destacada en el campo de la teoría de modelos es la Association for Symbolic Logic.

Resumen

Esta página se centra en la teoría de modelos finitos de primer orden de estructuras infinitas.

El énfasis relativo puesto en la clase de modelos de una teoría en oposición a la clase de conjuntos definibles dentro de un modelo fluctuó en la historia del tema, y las dos direcciones se resumen en las caracterizaciones concisas de 1973 y 1997 respectivamente:

teoría modelo = álgebra universal + lógica

donde el álgebra universal representa las estructuras matemáticas y la lógica las teorías lógicas; y

teoría modelo = geometría algebraica - campos.

dónde las fórmulas lógicas son para conjuntos definibles qué ecuaciones son para variedades sobre un campo.

Sin embargo, la interacción de clases de modelos y los conjuntos definibles en ellos ha sido crucial para el desarrollo de la teoría de modelos a lo largo de su historia. Por ejemplo, mientras que la estabilidad se introdujo originalmente para clasificar las teorías por su número de modelos en una cardinalidad dada, la teoría de la estabilidad demostró ser crucial para comprender la geometría de los conjuntos definibles.

Nociones fundamentales de la teoría de modelos de primer orden

Lógica de primer orden

Un primer orden fórmula se construye a partir de fórmulas atómicas como R()f()x,Sí.),z) o Sí. = x + 1 por medio de los conectores booleanos $neglandlorrightarrow$ y prefijo de cuantificadores $forall v$ o $exists v$ . Una frase es una fórmula en la que cada ocurrencia de una variable está en el alcance de un cuantificador correspondiente. Ejemplos para las fórmulas son φ (o φ(x) para marcar el hecho de que en la mayoría x es una variable unbound en φ) y ↓ definido como sigue:

{displaystyle {begin{array}{lcl}varphi &=&forall uforall v(exists w(xtimes w=utimes v)rightarrow (exists w(xtimes w=u)lor exists w(xtimes w=v)))land xneq 0land xneq 1,:\psi &=&forall uforall v((utimes v=x)rightarrow (u=x)lor (v=x))land xneq 0land xneq 1.end{array}}}

(Nota que el símbolo de igualdad tiene un doble significado aquí.) Es intuitivamente claro cómo traducir tales fórmulas en significado matemático. En el σ_smr-estructura ${mathcal {N}}$ de los números naturales, por ejemplo, un elemento n satisfizo la fórmula φ si y sólo si n es un número primo. La fórmula  igualmente define irreducibilidad. Tarski dio una definición rigurosa, a veces llamada "definición de la verdad de Tarski", para la relación de satisfacción $models$ , para que uno demuestre fácilmente:

{mathcal {N}}models varphi (n)iff n

es un número primo.

{mathcal {N}}models psi (n)iff n

es irreducible.

Un juego $T$ de oraciones se llama una teoría (primera orden), que toma las oraciones en el conjunto como sus axiomas. Una teoría es satisfizo si tiene un modelo ${mathcal {M}}models T$ , es decir, una estructura (de la firma adecuada) que satisface todas las oraciones en el conjunto $T$ . Una teoría completa es una teoría que contiene cada frase o su negación. La teoría completa de todas las frases satisfechas por una estructura también se llama la teoría de esa estructura.

Es una consecuencia del teorema de completitud de Gödel (que no debe confundirse con sus teoremas de incompletitud) que una teoría tiene un modelo si y solo si es consistente, es decir, la teoría no prueba ninguna contradicción. Por lo tanto, los teóricos del modelo a menudo usan "consistentes" como sinónimo de "satisfactorio".

Conceptos básicos de teoría de modelos

Una firma o lenguaje es un conjunto de símbolos no-lógicos tales que cada símbolo es un símbolo constante, o un símbolo de función o relación con una aridad especificada. Tenga en cuenta que en alguna literatura, los símbolos constantes se consideran símbolos de función con cero aridad, y por lo tanto se omiten. Una estructura es un conjunto $M$ junto con las interpretaciones de cada uno de los símbolos de la firma como relaciones y funciones sobre $M$ (para no confundirse con la noción formal de una "interpretación" de una estructura en otra).

Ejemplo: Una firma común para anillos ordenados es $<math alttext="{displaystyle sigma _{or}={0,1,+,times-,σ σ or={}0,1,+,× × ,− − ,.}{displaystyle sigma _{or}={0,1,+,times-, interpretado}<img alt="{displaystyle sigma _{or}={0,1,+,times-,$ , donde ${displaystyle 0}$ y $1$ son símbolos de función 0-ary (también conocidos como símbolos constantes), $+$ y $times$ son símbolos de función binarios (= 2-ary), $-$ es un símbolo de función no deseado (= 1-ary) y $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ es un símbolo de relación binaria. Entonces, cuando estos símbolos se interpretan para corresponder con su significado habitual en $mathbb {Q}$ (así que por ejemplo. $+$ es una función ${displaystyle mathbb {Q} ^{2}}$ a $mathbb {Q}$ y $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ es un subconjunto de ${displaystyle mathbb {Q} ^{2}}$ ), uno obtiene una estructura ${displaystyle (mathbb {Q}sigma _{or})}$ .

Una estructura ${displaystyle {mathcal {N}}}$ se dice que modelar un conjunto de oraciones de primer orden $T$ en el idioma dado si cada frase en $T$ es verdad ${displaystyle {mathcal {N}}}$ con respecto a la interpretación de la firma especificada anteriormente ${displaystyle {mathcal {N}}}$ . (De nuevo, no confundirse con la noción formal de una "interpretación" de una estructura en otra)

Una subestructura ${mathcal {A}}$ de una estructura σ ${mathcal {B}}$ es un subconjunto de su dominio, cerrado bajo todas las funciones en su firma σ, que se considera una estructura σ restringiendo todas las funciones y relaciones en σ al subconjunto. Esto generaliza los conceptos análogos del álgebra; Por ejemplo, un subgrupo es una subestructura en la firma con multiplicación e inverso.

Se dice que una subestructura es elemental si para cualquier fórmula de primer orden φ y cualquier elemento a₁,... a_n de ${mathcal {A}}$ ,

{displaystyle {mathcal {A}}models varphi (a_{1},...,a_{n})}

{displaystyle {mathcal {B}}models varphi (a_{1},...,a_{n})}

En particular, si φ es una sentencia y ${mathcal {A}}$ una subestructura elemental ${mathcal {B}}$ , entonces ${displaystyle {mathcal {A}}models varphi }$ si ${displaystyle {mathcal {B}}models varphi }$ . Así, una subestructura elemental es un modelo de teoría exactamente cuando la superestructura es un modelo.

Ejemplo: Mientras el campo de los números algebraicos ${overline {mathbb {Q} }}$ es una subestructura elemental del campo de números complejos $mathbb {C}$ , el campo racional $mathbb {Q}$ no es, como podemos expresar "Hay una raíz cuadrada de 2" como una frase de primer orden satisfecha por $mathbb {C}$ pero no $mathbb {Q}$ .

An embedding of a σ-structure ${mathcal {A}}$ en otra estructura σ ${mathcal {B}}$ es un mapa f: A → B entre los dominios que pueden ser escritos como un isomorfismo ${mathcal {A}}$ con una subestructura ${mathcal {B}}$ . Si puede ser escrito como un isomorfismo con una subestructura elemental, se llama una incrustación elemental. Cada incrustación es un homomorfismo inyectable, pero el converso sólo tiene si la firma no contiene símbolos de relación, como en grupos o campos.

Un campo o un espacio vectorial puede considerarse como un grupo (conmutativo) simplemente ignorando parte de su estructura. La noción correspondiente en la teoría de modelos es la de una reducción de una estructura a un subconjunto de la firma original. La relación opuesta se denomina expansión - p. el grupo (aditivo) de los números racionales, considerado como una estructura en la signatura {+,0} puede expandirse a un campo con la signatura {×,+,1,0} o a un grupo ordenado con la signatura {+,0,<}.

Del mismo modo, si σ' es una firma que extiende otra firma σ, entonces una σ'-teoría completa puede restringirse a σ cruzando el conjunto de sus oraciones con el conjunto de σ-fórmulas. Por el contrario, una teoría σ completa se puede considerar como una teoría σ' y se puede extender (en más de una forma) a una teoría σ' completa. Los términos reducción y expansión también se aplican a veces a esta relación.

Compacidad y el teorema de Löwenheim-Skolem

El teorema de compacidad establece que un conjunto de oraciones S es satisfactorio si todo subconjunto finito de S es satisfactorio. La declaración análoga con consistente en lugar de satisfacible es trivial, ya que cada prueba puede tener solo un número finito de antecedentes utilizados en la prueba. El teorema de completitud nos permite trasladar esto a la satisfacibilidad. Sin embargo, también hay varias demostraciones directas (semánticas) del teorema de compacidad. Como corolario (es decir, su contrapositivo), el teorema de la compacidad dice que toda teoría de primer orden insatisfactoria tiene un subconjunto insatisfactorio finito. Este teorema es de importancia central en la teoría de modelos, donde las palabras "por compacidad" son lugares comunes.

Otra piedra angular de la teoría de modelos de primer orden es el teorema de Löwenheim-Skolem. De acuerdo con el Teorema de Löwenheim-Skolem, toda estructura infinita en una firma contable tiene una subestructura elemental contable. Por el contrario, para cualquier cardinal infinito κ, cada estructura infinita en una firma contable que tiene una cardinalidad menor que κ puede integrarse elementalmente en otra estructura de cardinalidad κ (hay una generalización directa para firmas incontables). En particular, el teorema de Löwenheim-Skolem implica que cualquier teoría en una firma contable con modelos infinitos tiene un modelo contable así como modelos arbitrariamente grandes.

En cierto sentido, precisado por el teorema de Lindström, la lógica de primer orden es la lógica más expresiva para la que se cumplen tanto el teorema de Löwenheim-Skolem como el teorema de compacidad.

Definibilidad

Conjuntos definibles

En teoría modelo, los conjuntos definibles son objetos importantes de estudio. Por ejemplo, en $mathbb N$ la fórmula

{displaystyle forall uforall v(exists w(xtimes w=utimes v)rightarrow (exists w(xtimes w=u)lor exists w(xtimes w=v)))land xneq 0land xneq 1}

define el subconjunto de números primos, mientras que la fórmula

{displaystyle exists y(2times y=x)}

define el subconjunto de números. De manera similar, fórmulas con n variables libres definen subconjuntos de ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ . Por ejemplo, en un campo, la fórmula

{displaystyle y=xtimes x}

define la curva de todos $(x,y)$ tales que $y=x^{2}$ .

Ambas definiciones aquí mencionadas son libre de parámetro, es decir, las fórmulas de definición no mencionan ningún elemento de dominio fijo. Sin embargo, también se pueden considerar definiciones con parámetros del modelo. Por ejemplo, en $mathbb {R}$ , la fórmula

{displaystyle y=xtimes x+pi }

utiliza el parámetro $pi$ desde $mathbb {R}$ para definir una curva.

Eliminar cuantificadores

En general, los conjuntos definibles sin cuantificadores son fáciles de describir, mientras que los conjuntos definibles que involucran posiblemente cuantificadores anidados pueden ser mucho más complicados.

Esto hace que la eliminación de cuantificadores sea una herramienta crucial para analizar conjuntos definibles: Una teoría T tiene eliminación cuantificadora si cada fórmula de primer orden φ(x₁,... x_n) sobre su firma es el modulo equivalente T a una fórmula de primer orden ↑x₁,... x_nSin cuantificadores, es decir. $forall x_{1}dots forall x_{n}(phi (x_{1},dotsx_{n})leftrightarrow psi (x_{1},dotsx_{n}))$ en todos los modelos T. Si la teoría de una estructura tiene eliminación de cuantificadores, cada conjunto definible en una estructura es definible por una fórmula sin cuantificación sobre los mismos parámetros que la definición original. Por ejemplo, la teoría de campos algebraicamente cerrados en la firma σ_anillo = (×,+, 0,1) tiene eliminación de cuantificador. Esto significa que en un campo algebraicamente cerrado, cada fórmula es equivalente a una combinación booleana de ecuaciones entre polinomios.

Si una teoría no tiene eliminación de cuantificadores, se pueden agregar símbolos adicionales a su firma para que así sea. Los resultados de axiomatización y eliminación de cuantificadores para teorías específicas, especialmente en álgebra, se encontraban entre los primeros resultados históricos de la teoría de modelos. Pero a menudo, en lugar de la eliminación del cuantificador, basta con una propiedad más débil:

Una teoría T se llama modelo completo si cada subestructura de un modelo de T que es a su vez un modelo de T es un modelo elemental infraestructura. Existe un criterio útil para probar si una subestructura es una subestructura elemental, llamada prueba de Tarski-Vaught. De este criterio se deduce que una teoría T es un modelo completo si y solo si toda fórmula de primer orden φ(x₁,..., x_n) sobre su firma es módulo T equivalente a una fórmula existencial de primer orden, es decir, a fórmula de la siguiente forma:

exists v_{1}dots exists v_{m}psi (x_{1},dotsx_{n},v_{1},dotsv_{m})

donde ψ no tiene cuantificador. Una teoría que no es modelo completo puede tener un modelo completo, que es una teoría relacionada modelo completo que no es, en general, una extensión de la teoría original. Una noción más general es la de un compañero modelo.

Minimalidad

En cada estructura, cada subconjunto finito ${displaystyle {a_{1},dotsa_{n}}}$ es definible con parámetros: Simplemente utilice la fórmula

{displaystyle x=a_{1}vee dots vee x=a_{n}}

Dado que podemos negar esta fórmula, cada subconjunto cofinito (que incluye todos los elementos del dominio excepto un número finito de ellos) también es siempre definible.

Esto conduce al concepto de un Estructura mínima. Una estructura ${mathcal {M}}$ se llama mínima si cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq {mathcal {M}}}$ definible con parámetros ${mathcal {M}}$ es finito o cofinito. El concepto correspondiente a nivel de teorías se llama fuerte minimalidad: Una teoría T se llama fuertemente mínima si cada modelo de T es mínimo. Una estructura se llama fuertemente mínima si la teoría de esa estructura es fuertemente mínima. Equivalentemente, una estructura es muy mínima si cada extensión elemental es mínima. Dado que la teoría de los campos algebraicamente cerrados tiene eliminación de cuantificadores, cada subconjunto definible de un campo algebraicamente cerrado es definible por una fórmula sin cuantificación en una variable. Fórmulas libres de cuantificadores en una combinación de booleano expreso variable de ecuaciones polinómicas en una variable, y como una ecuación polinomio notrivial en una variable tiene sólo un número finito de soluciones, la teoría de campos cerrados algebraicamente es muy mínima.

Por otro lado, el campo $mathbb {R}$ de números reales no es mínimo: Considerar, por ejemplo, el conjunto definible

{displaystyle varphi (x);=;exists y(ytimes y=x)}

Esto define el subconjunto de números reales no negativos, que no es ni finito ni cofinito. Uno puede de hecho utilizar $varphi$ definir intervalos arbitrarios en la línea de números reales. Resulta que son suficientes para representar cada subconjunto definible $mathbb {R}$ . Esta generalización de la minimalidad ha sido muy útil en la teoría modelo de estructuras ordenadas. Una estructura totalmente ordenada ${mathcal {M}}$ en una firma incluyendo un símbolo para la relación de orden se llama o-minimal si cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq {mathcal {M}}}$ definible con parámetros ${mathcal {M}}$ es una unión finita de puntos y intervalos.

Estructuras definibles e interpretables

Particularmente importantes son aquellos conjuntos definibles que también son subestructuras, es decir, contienen todas las constantes y se cierran bajo aplicación de funciones. Por ejemplo, se pueden estudiar los subgrupos definibles de un determinado grupo. Sin embargo, no hay necesidad de limitarse a subestructuras en la misma firma. Desde fórmulas con n variables libres definen subconjuntos de ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ , n- Las relaciones también pueden ser definibles. Las funciones son definibles si el gráfico de la función es una relación definible, y constantes ${displaystyle ain {mathcal {M}}}$ son definibles si hay una fórmula $varphi (x)$ tales que a es el único elemento ${mathcal {M}}$ tales que ${displaystyle varphi (a)}$ es verdad. De esta manera, se pueden estudiar grupos y campos definibles en estructuras generales, por ejemplo, que ha sido importante en la teoría de la estabilidad geométrica.

Incluso uno puede ir un paso más allá de las subestructuras inmediatas. Dada una estructura matemática, hay estructuras muy a menudo asociadas que se pueden construir como un cociente de parte de la estructura original a través de una relación de equivalencia. Un ejemplo importante es un grupo cociente de un grupo. Se podría decir que para entender la estructura completa uno debe entender estos cocientes. Cuando la relación de equivalencia es definible, podemos dar a la frase anterior un significado preciso. Decimos que estas estructuras son interpretable. Un hecho clave es que uno puede traducir frases del lenguaje de las estructuras interpretadas al lenguaje de la estructura original. Así se puede demostrar que si una estructura ${mathcal {M}}$ interpreta otro cuya teoría es indecible, entonces ${mathcal {M}}$ es indecible.

Tipos

Nociones básicas

Para una secuencia de elementos $a_{1},dotsa_{n}$ de una estructura ${mathcal {M}}$ y un subconjunto A de ${mathcal {M}}$ , se puede considerar el conjunto de todas las fórmulas de primer orden ${displaystyle varphi (x_{1},dotsx_{n})}$ con parámetros en A que están satisfechos $a_{1},dotsa_{n}$ . Esto se llama completo (n-) tipo realizado por $a_{1},dotsa_{n}$ sobre A. Si hay un automorfismo ${mathcal {M}}$ que es constante en A y envía $a_{1},dotsa_{n}$ a $b_{1},dotsb_{n}$ respectivamente, entonces $a_{1},dotsa_{n}$ y $b_{1},dotsb_{n}$ realizar el mismo tipo completo sobre A.

La línea número real $mathbb {R}$ , visto como una estructura con sólo la relación orden {}, servirá como un ejemplo de funcionamiento en esta sección. Cada elemento $ain {mathbb {R}}$ satisfizo el mismo 1 tipo sobre el conjunto vacío. Esto está claro ya que hay dos números reales a y b están conectados por el automorfismo de orden que cambia todos los números por b-a. El 2-tipo completo sobre el conjunto vacío realizado por un par de números $a_{1},a_{2}$ depende de su orden: $<math alttext="{displaystyle a_{1}a1.a2{displaystyle a_{1}<img alt="{displaystyle a_{1}$ , ${displaystyle a_{1}=a_{2}}$ o $<math alttext="{displaystyle a_{2}$ a2.a1{displaystyle a_{2}<img alt="{displaystyle a_{2}. Sobre el subconjunto ${displaystyle mathbb {Z} subseteq mathbb {R} }$ de enteros, el 1 tipo de un número real no entero a depende de su valor redondeado al entero más cercano.

Más generalmente, cuando ${mathcal {M}}$ es una estructura y A a subset of ${mathcal {M}}$ , a (partial) tipo N sobre A es un conjunto de fórmulas p con n variables libres que se realizan en una extensión elemental ${mathcal {N}}$ de ${mathcal {M}}$ . Si p contiene cada tal fórmula o su negación, entonces p es completo. El conjunto de completos n-tipos sobre A a menudo escrito como ${displaystyle S_{n}^{mathcal {M}}(A)}$ . Si A es el conjunto vacío, entonces el espacio tipo sólo depende de la teoría $T$ de ${mathcal {M}}$ . La notación ${displaystyle S_{n}(T)}$ se utiliza comúnmente para el conjunto de tipos sobre el conjunto vacío consistente con $T$ . Si hay una sola fórmula $varphi$ tal que la teoría de ${mathcal {M}}$ implicación ${displaystyle varphi rightarrow psi }$ para cada fórmula $psi$ dentro p, entonces p se llama aislado.

Desde los números reales $mathbb {R}$ son Arquímedes, no hay número real más grande que cada entero. Sin embargo, un argumento de compactidad muestra que hay una extensión elemental de la línea de números reales en la que hay un elemento más grande que cualquier entero. Por lo tanto, el conjunto de fórmulas $<math alttext="{displaystyle {n{}n.xSilencion▪ ▪ Z}{displaystyle {n madex habitnin mathbb {Z}} <img alt="{displaystyle {n$ es un tipo 1 sobre ${displaystyle mathbb {Z} subseteq mathbb {R} }$ que no se realiza en la línea número real $mathbb {R}$ .

Un subconjunto de ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ que pueden expresarse como exactamente los elementos ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ realizar un determinado tipo A se llama tipo-definible sobre A. Para un ejemplo algebraico, suponga $M$ es un campo algebraicamente cerrado. La teoría tiene eliminación cuantificadora. Esto nos permite demostrar que un tipo está determinado exactamente por las ecuaciones polinómicas que contiene. Así el conjunto de completo $n$ -tipos sobre un subcampo $A$ corresponde al conjunto de ideales primos del anillo polinomio $A[x_{1},ldotsx_{n}]$ , y los conjuntos definibles de tipo son exactamente las variedades de affine.

Estructuras y tipos

Si bien no todos los tipos se realizan en todas las estructuras, cada estructura realiza sus tipos aislados. Si los únicos tipos sobre el conjunto vacío que se realizan en una estructura son los tipos aislados, entonces la estructura se llama atómica.

Por otro lado, ninguna estructura realiza cada tipo sobre cada conjunto de parámetros; si uno toma todo ${mathcal {M}}$ como el parámetro fijado, entonces cada 1 tipo sobre ${mathcal {M}}$ realizado en ${mathcal {M}}$ está aislado por una fórmula de la forma a = x para una ${displaystyle ain {mathcal {M}}}$ . Sin embargo, cualquier extensión elemental adecuada ${mathcal {M}}$ contiene un elemento que es no dentro ${mathcal {M}}$ . Por lo tanto, se ha introducido una noción más débil que captura la idea de una estructura que realiza todos los tipos que se podría esperar realizar. Una estructura se llama saturada si se da cuenta de cada tipo sobre un conjunto de parámetro ${displaystyle Asubset {mathcal {M}}}$ que es de menor cardinalidad que ${mathcal {M}}$ en sí mismo.

Mientras que un automorfismo es constante A siempre preservará los tipos A, generalmente no es cierto que ninguna dos secuencias $a_{1},dotsa_{n}$ y $b_{1},dotsb_{n}$ que satisfacen el mismo tipo A puede ser mapeado entre sí por tal automorfismo. Una estructura ${mathcal {M}}$ en el que este converso sostiene para todos A de cardenalidad menor que ${mathcal {M}}$ se llama homogénea.

La línea de número real es atómica en el idioma que contiene sólo el orden $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ , desde todos n-tipos sobre el conjunto vacío realizado por $a_{1},dotsa_{n}$ dentro $mathbb {R}$ son aislados por las relaciones de orden entre $a_{1},dotsa_{n}$ . No está saturada, sin embargo, ya que no se da cuenta de ningún tipo sobre el conjunto contable $mathbb {Z}$ que implica x para ser más grande que cualquier entero. La línea de número racional $mathbb {Q}$ es saturado, en cambio, ya $mathbb {Q}$ es en sí mismo contable y por lo tanto sólo tiene que darse cuenta de tipos sobre subconjuntos finitos para ser saturado.

Espacios de piedra

El conjunto de subconjuntos definibles de ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ sobre algunos parámetros $A$ es un álgebra booleana. Por el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas hay un espacio natural dual topológico, que consiste exactamente de la completa $n$ -tipos sobre $A$ . La topología generada por conjuntos de la forma ${displaystyle {p|varphi in p}}$ para fórmulas individuales $varphi$ . Esto se llama Espacio de piedra de tipo N sobre A. Esta topología explica parte de la terminología utilizada en la teoría modelo: El teorema de compactidad dice que el espacio de Piedra es un espacio topológico compacto, y un tipo p está aislado si p es un punto aislado en la topología de Piedra.

Mientras que los tipos en campos cerrados algebraicamente corresponden al espectro del anillo polinomio, la topología en el espacio tipo es la topología constructible: un conjunto de tipos es básico abierto si es de la forma ${displaystyle {p:f(x)=0in p}}$ o de la forma ${p:f(x)neq 0in p}$ . Esto es más fino que la topología de Zariski.

Construcción de modelos

Realizar y omitir tipos

La construcción de modelos que se den cuenta de ciertos tipos y no se den cuenta de otros es una tarea importante en la teoría de modelos. No darse cuenta de un tipo se conoce como omitirlo, y generalmente es posible mediante el teorema de omisión de tipos (contables):

Vamos

{mathcal {T}}

ser una teoría en una firma contable y dejar

Phi

ser un conjunto contable de tipos no aislados sobre el conjunto vacío.

Entonces hay un modelo

{mathcal {M}}

{mathcal {T}}

que omite cada tipo en

Phi

Esto implica que si una teoría en una firma contable tiene solo muchos tipos contables sobre el conjunto vacío, entonces esta teoría tiene un modelo atómico.

Por otro lado, siempre hay una extensión elemental en la que se realiza cualquier conjunto de tipos sobre un conjunto de parámetros fijos:

Vamos

{mathcal {M}}

ser una estructura y dejar

Phi

ser un conjunto de tipos completos sobre un conjunto de parámetro dado

{displaystyle Asubset {mathcal {M}}.}

Entonces hay una extensión elemental

{mathcal {N}}

{mathcal {M}}

que realiza cada tipo en

Phi

Sin embargo, ya que el parámetro fijado es fijo y no hay mención aquí de la cardinalidad de ${mathcal {N}}$ , esto no implica que cada teoría tenga un modelo saturado. De hecho, si cada teoría tiene un modelo saturado es independiente de los axiomas Zermelo-Fraenkel de la teoría del conjunto, y es cierto si la hipótesis continuum generalizada sostiene.

Ultraproductos

Los ultraproductos se utilizan como técnica general para construir modelos que realizan ciertos tipos. Un ultraproducto se obtiene del producto directo de un conjunto de estructuras sobre un conjunto de índices I identificando aquellas tuplas que concuerdan en casi todas las entradas, donde casi todas se precisa mediante un ultrafiltro U en I. Un ultraproducto de copias de la misma estructura se conoce como ultrapotencia. La clave para usar ultraproductos en la teoría de modelos es el teorema de Łoś:

Vamos

{mathcal {M}}_{i}

ser un conjunto de

sigma

-estructuras indexadas por un conjunto de índices I y U un ultrafiltro en I. Entonces...

sigma

-formula

{displaystyle varphi ([(a_{i})_{iin:I}])}

es cierto en el ultraproducto del

{mathcal {M}}_{i}

por

U

si el conjunto de todos

iin I

para la cual

{displaystyle {mathcal {M}}_{i}models varphi (a_{i})}

mentiras U.

En particular, cualquier ultraproducto de modelos de una teoría es en sí mismo un modelo de esa teoría y, por lo tanto, si dos modelos tienen ultrapoderes isomórficos, son elementalmente equivalentes. El teorema de Keisler-Shelah proporciona lo contrario:

{mathcal {M}}

{mathcal {N}}

son equivalentes elementales, entonces hay un conjunto I y un ultrafiltro U on I tal que los ultrapoderes por U de

{mathcal {M}}

{mathcal {N}}

son isomorfos.

Por lo tanto, los ultraproductos proporcionan una forma de hablar sobre la equivalencia elemental que evita mencionar teorías de primer orden. Los teoremas básicos de la teoría de modelos, como el teorema de compacidad, tienen pruebas alternativas que utilizan ultraproductos y se pueden utilizar para construir extensiones elementales saturadas, si existen.

Categorización

Una teoría se llamaba originalmente categórica si determina una estructura hasta el isomorfismo. Resulta que esta definición no es útil, debido a serias restricciones en la expresividad de la lógica de primer orden. El teorema de Löwenheim-Skolem implica que si una teoría T tiene un modelo infinito para algún número cardinal infinito, entonces tiene un modelo de tamaño κ para cualquier número cardinal κ suficientemente grande. Dado que dos modelos de diferentes tamaños no pueden ser isomorfos, una teoría categórica solo puede describir estructuras finitas.

Sin embargo, la noción más débil de κ-categoricity para un cardenal κ se ha convertido en un concepto clave en la teoría modelo. Una teoría T se llama κ-categorical si hay dos modelos T que son de la cardenalidad κ son isomorfos. Resulta que la cuestión de κ-categoricity depende críticamente de si κ es más grande que la cardinalidad del idioma (es decir, κ). $aleph _{0}$ + σ suya, donde TENσ sobrevivir es la cardinalidad de la firma). Para firmas finitas o contables esto significa que hay una diferencia fundamental entre $omega$ -cardialidad y κ-cardinality para κ incontable.

Categoría Ω

$omega$ - teorías categóricas puede caracterizarse por propiedades de su tipo de espacio:

Para una teoría completa de primer orden T en una firma finita o contable las siguientes condiciones son equivalentes:

T es $omega$ - categórica.
Cada tipo en S_n()T) está aislado.
Por cada número natural n, S_n()T) es finito.
Por cada número natural n, el número de fórmulas φ(x₁,... x_nEn n variables libres, hasta modulo de equivalencia TEs finito.

La teoría de $<math alttext="{displaystyle (mathbb {Q}()Q,.){displaystyle (mathbb {Q}traducido)} <img alt="{displaystyle (mathbb {Q}$ , que es también la teoría de $<math alttext="{displaystyle (mathbb {R}()R,.){displaystyle (mathbb {R}traducido)} <img alt="{displaystyle (mathbb {R}$ , es $omega$ - categóricamente, como todos n-tipo ${displaystyle p(x_{1},dotsx_{n})}$ sobre el conjunto vacío está aislado por la relación de orden pareado entre el $x_{i}$ . Esto significa que cada orden lineal denso contable es orden-isomorfo a la línea de número racional. Por otra parte, las teorías de $mathbb {Q}$ , $mathbb {R}$ y $mathbb {C}$ como campos no $omega$ - categórica. Esto se deriva del hecho de que en todos esos campos, cualquiera de los infinitos números naturales puede ser definido por una fórmula de la forma ${displaystyle x=1+dots +1}$ .

$aleph _{0}$ - teorías categóricas y sus modelos contables también tienen fuertes lazos con grupos oligomorfos:

Una teoría completa de primer orden T en una firma finita o contable

omega

-categorical si y sólo si su grupo de automorfismo es oligomorfo.

Las caracterizaciones equivalentes de esta subsección, debidas de forma independiente a Engeler, Ryll-Nardzewski y Svenonius, a veces se denominan teorema de Ryll-Nardzewski.

En firmas combinatorias, fuente común de $omega$ -Las teorías categóricas son los límites de Fraïssé, que se obtienen como límite para amalgamar todas las configuraciones posibles de una clase de estructuras relacionales finitas.

Categoricidad no contable

Michael Morley demostró en 1963 que solo existe una noción de categoricidad incontable para teorías en lenguajes contables.

Morley teorema de categoricidad

Si una teoría de primer orden T en una firma finita o contable es κ-categorical para un cardenal incontable κ, entonces T es κ-categorical para todos los cardenales incontables κ.

La prueba de Morley reveló conexiones profundas entre la categoricidad incontable y la estructura interna de los modelos, que se convirtió en el punto de partida de la teoría de la clasificación y la teoría de la estabilidad. Incontablemente, las teorías categóricas son, desde muchos puntos de vista, las teorías que mejor se comportan. En particular, las teorías completas fuertemente mínimas son incontablemente categóricas. Esto muestra que la teoría de campos algebraicamente cerrados de una característica dada es incontablemente categórica, con el grado de trascendencia del campo determinando su tipo de isomorfismo.

Una teoría que es ambas $omega$ -Se llama categórica e incontablemente categórica totalmente categórica.

Teoría de la estabilidad

Un factor clave en la estructura de la clase de modelos de una teoría de primer orden es su lugar en la jerarquía de estabilidad.

Una teoría completa T se llama $lambda$ - Estable para un cardenal

lambda

si para cualquier modelo

{mathcal {M}}

de T y cualquier parámetro

{displaystyle Asubset {mathcal {M}}}

de:cardialidad no superior

lambda

, hay en la mayoría

lambda

completo T-tipos sobre A.

Una teoría se llama estable si es $lambda$ -Establece un cardenal infinito $lambda$ . Tradicionalmente, teorías que son $aleph _{0}$ - Estable se llama $omega$ - Estable.

La jerarquía de estabilidad

Un resultado fundamental en la teoría de la estabilidad es el teorema del espectro de estabilidad, que implica que cada teoría completa T en una firma contable cae en una de las siguientes clases:

No hay cardenales $lambda$ tales que T es $lambda$ - Estable.
T es $lambda$ - estable si y sólo si ${displaystyle lambda ^{aleph _{0}}=lambda }$ (ver Cardenal exponentiation para una explicación de ${displaystyle lambda ^{aleph _{0}}}$ ).
T es $lambda$ - Estable para cualquier ${displaystyle lambda geq 2^{aleph _{0}}}$ (donde) $2^{aleph _{0}}$ es la cardinalidad del continuum).

Una teoría del primer tipo se llama inestable, una teoría del segundo tipo se llama estrictamente estable y una teoría del tercer tipo se llama superestable. Además, si una teoría es $omega$ - Estable, es estable en cada cardenal infinito, así que $omega$ - la estabilidad es más fuerte que la superestabilidad.

Muchas construcciones en la teoría de modelos son más fáciles cuando se restringen a teorías estables; por ejemplo, todo modelo de una teoría estable tiene una extensión elemental saturada, independientemente de si la hipótesis del continuo generalizado es verdadera.

La motivación original de Shelah para estudiar teorías estables era decidir cuántos modelos tiene una teoría contable de cualquier cardenalidad incontable. Si una teoría es incontablemente categórica, entonces es $omega$ - Estable. Más generalmente, el Teorema de brecha principal implica que si hay un cardenal incontable $lambda$ tal que una teoría T tiene menos que ${displaystyle 2^{lambda }}$ modelos de cardenalidad $lambda$ , entonces T es superestable.

Teoría de la estabilidad geométrica

La jerarquía de estabilidad también es crucial para analizar la geometría de conjuntos definibles dentro de un modelo de teoría. In $omega$ - teorías estables, Morley es una noción de dimensión importante para conjuntos definibles S dentro de un modelo. Se define por inducción transfinita:

El rango de Morley es al menos 0 si S no es vacío.
Para α un ordinal sucesor, el rango de Morley es al menos α si en alguna extensión elemental N de M, el conjunto S tiene infinitamente muchos subconjuntos definibles, cada uno de rango al menos α− 1.
Para α un ordinal sin límite de cero, el rango de Morley es al menos α si es al menos β para todos β menos que α.

Una teoría T en el que cada conjunto definible tiene bien definido Morley Rank se llama totalmente trascendental; si T es contable, entonces T es totalmente trascendental si T es $omega$ - Estable. Morley Rank se puede extender a los tipos estableciendo el Morley Rank de un tipo para ser el mínimo de las filas Morley de las fórmulas del tipo. Así, uno también puede hablar de la fila Morley de un elemento a sobre un parámetro A, definido como el rango de Morley del tipo a sobre A. También hay análogos de rango de Morley que están bien definidos si y sólo si una teoría es superstable (U-rank) o meramente estable (Shelah's $infty$ - Arranca. Esas nociones de dimensión pueden utilizarse para definir nociones de independencia y de extensiones genéricas.

Más recientemente, la estabilidad se ha descompuesto en simplicidad y "no en la propiedad de independencia" (CORTAR). Las teorías simples son aquellas teorías en las que se puede definir una noción de independencia bien comportada, mientras que las teorías NIP generalizan estructuras o-mínimas. Están relacionados con la estabilidad ya que una teoría es estable si y solo si es NIP y simple, y varios aspectos de la teoría de la estabilidad se han generalizado a teorías en una de estas clases.

Teoría de modelos no elemental

Los resultados de la teoría de modelos se han generalizado más allá de las clases elementales, es decir, las clases axiomatizables por una teoría de primer orden.

La teoría de modelos en lógicas de orden superior o lógicas infinitas se ve obstaculizada por el hecho de que la completitud y la compacidad en general no son válidas para estas lógicas. Esto se concreta con el teorema de Lindstrom, que establece aproximadamente que la lógica de primer orden es esencialmente la lógica más fuerte en la que se mantienen tanto los teoremas de Löwenheim-Skolem como la compacidad. Sin embargo, las técnicas de teoría de modelos también se han desarrollado ampliamente para estas lógicas. Sin embargo, resulta que gran parte de la teoría de modelos de lenguajes lógicos más expresivos es independiente de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Más recientemente, junto con el cambio de enfoque para completar teorías categóricas y estables, se ha trabajado en clases de modelos definidos semánticamente en lugar de axiomatizados por una teoría lógica. Un ejemplo es la teoría de modelos homogéneos, que estudia la clase de subestructuras de modelos homogéneos arbitrariamente grandes. Los resultados fundamentales de la teoría de la estabilidad y la teoría de la estabilidad geométrica se generalizan a este entorno. Como generalización de las teorías fuertemente mínimas, las clases cuasimínimamente excelentes son aquellas en las que todo conjunto definible es contable o co-contable. Son clave para la teoría de modelos de la función exponencial compleja. El marco semántico más general en el que se estudia la estabilidad son las clases elementales abstractas, que se definen por una relación de subestructura fuerte que generaliza la de una subestructura elemental. Aunque su definición es puramente semántica, toda clase elemental abstracta puede presentarse como los modelos de una teoría de primer orden que omiten ciertos tipos. La generalización de las nociones de la teoría de la estabilidad a clases elementales abstractas es un programa de investigación en curso.

Aplicaciones seleccionadas

Entre los primeros éxitos de la teoría de modelos se encuentran las pruebas de eliminación de cuantificadores de Tarski para varias clases algebraicamente interesantes, como los campos cerrados reales, las álgebras booleanas y los campos algebraicamente cerrados de una característica determinada. La eliminación del cuantificador permitió a Tarski mostrar que las teorías de primer orden de campos reales cerrados y algebraicamente cerrados, así como la teoría de primer orden de las álgebras booleanas, son decidibles, clasificar las álgebras booleanas hasta la equivalencia elemental y mostrar que las teorías de los campos reales cerrados y algebraicamente cerrados son decidibles. los campos cerrados y los campos algebraicamente cerrados de una característica dada son únicos. Además, la eliminación del cuantificador proporcionó una descripción precisa de las relaciones definibles en campos algebraicamente cerrados como variedades algebraicas y de las relaciones definibles en campos reales cerrados como conjuntos semialgebraicos.

En la década de 1960, la introducción de la construcción de ultraproductos condujo a nuevas aplicaciones en álgebra. Esto incluye el trabajo de Ax sobre campos pseudofinitos, que demuestra que la teoría de los campos finitos es decidible, y la prueba de Ax y Kochen de un caso especial de la conjetura de Artin sobre ecuaciones diofánticas, la ecuación de Ax-Kochen. teorema. La construcción de ultraproductos también condujo al desarrollo de análisis no estándar de Abraham Robinson, cuyo objetivo es proporcionar un cálculo riguroso de infinitesimales.

Más recientemente, la conexión entre la estabilidad y la geometría de conjuntos definibles condujo a varias aplicaciones de la geometría algebraica y diofántica, incluida la demostración de Ehud Hrushovski de 1996 de la conjetura geométrica de Mordell-Lang en todas las características En 2001, métodos similares se utilizaron para demostrar una generalización de la conjetura de Manin-Mumford. En 2011, Jonathan Pila aplicó técnicas en torno a la o-minimalidad para probar la conjetura de André-Oort para productos de curvas modulares.

En una línea separada de investigaciones que también surgió en torno a las teorías estables, Laskowski demostró en 1992 que las teorías NIP describen exactamente aquellas clases definibles que se pueden aprender mediante PAC en la teoría del aprendizaje automático. Esto ha llevado a varias interacciones entre estas áreas separadas. En 2018, la correspondencia se amplió cuando Hunter y Chase demostraron que las teorías estables corresponden a clases de aprendizaje en línea.

Historia

La teoría de modelos como materia existe desde aproximadamente mediados del siglo XX, y el nombre fue acuñado por Alfred Tarski, miembro de la escuela Lwów-Warsaw, en 1954. Sin embargo, algunas investigaciones anteriores, especialmente en lógica matemática, a menudo se considera que tiene una naturaleza teórica modelo en retrospectiva. El primer resultado significativo en lo que ahora es la teoría de modelos fue un caso especial del teorema de Löwenheim-Skolem hacia abajo, publicado por Leopold Löwenheim en 1915. El teorema de compacidad estaba implícito en el trabajo de Thoralf Skolem, pero se publicó por primera vez en 1930, como un lema en la prueba de Kurt Gödel de su teorema de completitud. El teorema de Löwenheim-Skolem y el teorema de compacidad recibieron sus respectivas formas generales en 1936 y 1941 de Anatoly Maltsev. El desarrollo de la teoría de modelos como disciplina independiente fue iniciado por Alfred Tarski durante el período de entreguerras. El trabajo de Tarski incluyó la consecuencia lógica, los sistemas deductivos, el álgebra de la lógica, la teoría de la definibilidad y la definición semántica de la verdad, entre otros temas. Sus métodos semánticos culminaron en la teoría del modelo que él y varios de sus estudiantes de Berkeley desarrollaron en las décadas de 1950 y 1960.

En la historia posterior de la disciplina, comenzaron a surgir diferentes corrientes y el enfoque del tema cambió. En la década de 1960, las técnicas en torno a los ultraproductos se convirtieron en una herramienta popular en la teoría de modelos. Al mismo tiempo, investigadores como James Axe investigaban la teoría de modelos de primer orden de varias clases algebraicas, y otros como H. Jerome Keisler extendían los conceptos y resultados de la teoría de modelos de primer orden a otros sistemas lógicos. Luego, inspirada por el problema de Morley, Shelah desarrolló la teoría de la estabilidad. Su trabajo en torno a la estabilidad cambió el aspecto de la teoría de modelos, dando lugar a toda una nueva clase de conceptos. Esto se conoce como el cambio de paradigma. Durante las próximas décadas, quedó claro que la jerarquía de estabilidad resultante está estrechamente relacionada con la geometría de los conjuntos que son definibles en esos modelos; esto dio lugar a la subdisciplina ahora conocida como teoría de la estabilidad geométrica. Un ejemplo de una prueba influyente de la teoría de modelos geométricos es la prueba de Hrushovski de la conjetura de Mordell-Lang para campos de funciones.

Conexiones con ramas relacionadas de la lógica matemática

Teoría de modelos finitos

La teoría de modelos finitos, que se concentra en estructuras finitas, difiere significativamente del estudio de estructuras infinitas tanto en los problemas estudiados como en las técnicas utilizadas. En particular, muchos resultados centrales de la teoría del modelo clásico que fallan cuando se restringen a estructuras finitas. Esto incluye el teorema de compacidad, el teorema de completitud de Gödel y el método de ultraproductos para lógica de primer orden. En la interfaz de la teoría de modelos finitos e infinitos se encuentran la teoría de modelos algorítmicos o computables y el estudio de las leyes 0-1, donde los modelos infinitos de una teoría genérica de una clase de estructuras proporcionan información sobre la distribución de modelos finitos. Las áreas de aplicación prominentes de FMT son la teoría de la complejidad descriptiva, la teoría de bases de datos y la teoría del lenguaje formal.

Teoría de conjuntos

Cualquier teoría de conjuntos (que se exprese en un lenguaje contable), si es consistente, tiene un modelo contable; esto se conoce como la paradoja de Skolem, ya que hay oraciones en la teoría de conjuntos que postulan la existencia de conjuntos incontables y, sin embargo, estas oraciones son verdaderas en nuestro modelo contable. Particularmente, la prueba de la independencia de la hipótesis del continuo requiere considerar conjuntos en modelos que parecen ser incontables cuando se ven desde dentro del modelo, pero son contables para alguien fuera del modelo.

El punto de vista de la teoría de modelos ha sido útil en la teoría de conjuntos; por ejemplo, en el trabajo de Kurt Gödel sobre el universo construible, que, junto con el método de forzamiento desarrollado por Paul Cohen, puede demostrar la independencia (de nuevo filosóficamente interesante) del axioma de elección y la hipótesis del continuo de la otros axiomas de la teoría de conjuntos.

En la otra dirección, la teoría de modelos se formaliza dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Por ejemplo, el desarrollo de los fundamentos de la teoría de modelos (como el teorema de compacidad) se basa en el axioma de elección y, de hecho, es equivalente a la teoría de conjuntos sin elección de Zermelo-Fraenkel al teorema del ideal primo booleano. Otros resultados en la teoría de modelos dependen de los axiomas de la teoría de conjuntos más allá del marco ZFC estándar. Por ejemplo, si se cumple la hipótesis del continuo, todo modelo contable tiene una ultrapotencia que está saturada (en su propia cardinalidad). De manera similar, si se cumple la hipótesis del continuo generalizado, todo modelo tiene una extensión elemental saturada. Ninguno de estos resultados es comprobable solo en ZFC. Finalmente, se ha demostrado que algunas preguntas que surgen de la teoría de modelos (como la compacidad para lógicas infinitarias) son equivalentes a grandes axiomas cardinales.

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