Teoría del haz de Timoshenko-Ehrenfest

La teoría de vigas de Timoshenko-Ehrenfest fue desarrollada por Stephen Timoshenko y Paul Ehrenfest a principios del siglo XX. El modelo considera la deformación por cortante y los efectos de la flexión rotacional, lo que la hace adecuada para describir el comportamiento de vigas gruesas, vigas compuestas tipo sándwich o vigas sometidas a excitación de alta frecuencia cuando la longitud de onda se aproxima al espesor de la viga. La ecuación resultante es de cuarto orden, pero, a diferencia de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, también incluye una derivada parcial de segundo orden. Físicamente, considerar los mecanismos de deformación añadidos reduce efectivamente la rigidez de la viga, mientras que el resultado es una mayor deflexión bajo carga estática y frecuencias propias predichas más bajas para un conjunto dado de condiciones de contorno. Este último efecto es más notable para frecuencias más altas a medida que la longitud de onda se acorta (en principio, comparable a la altura de la viga o incluso menor), y, por lo tanto, la distancia entre las fuerzas cortantes opuestas disminuye.El efecto de inercia rotatoria fue introducido por Bresse y Rayleigh.Si el módulo de corte del material de la viga tiende al infinito (y, por lo tanto, la viga se vuelve rígida al corte) y si se desprecian los efectos de la inercia rotacional, la teoría de vigas de Timoshenko converge hacia la teoría de vigas de Euler-Bernoulli.

En la teoría estática de vigas de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que los desplazamientos de la viga están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~u_{y}(x,y,z)=0~;~u_{z}(x,y)=w(x)}$

Donde ${\displaystyle (x,y,z)}$ son las coordenadas de un punto en la viga, ${\displaystyle ¿Qué?$ son los componentes del vector de desplazamiento en las tres direcciones de coordenadas, ${\displaystyle \varphi }$ es el ángulo de rotación de lo normal a la superficie media del haz, y ${\displaystyle w}$ es el desplazamiento de la media superficie en el ${\displaystyle z}$- dirección.

Las ecuaciones que rigen la ecuación son el siguiente sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias:

${\displaystyle {\begin{aligned} {\mhm} {\m}\m\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m} {\m} {\m} {\m} {\cH0}}\m}}\nh}}\rret]=q(x)\\\\\cH00{\m}\m} {\m} {\m}}}}\m}}}}\m}\m}}\sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\nhnhnhnhnh}\nhnhnhnhnhnh\\\\\\\\\shnh00}\nhnhnhnhnhnhnhnh00}\nhnh00}\nhnhnh w}{\mathrm {d} #=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}{\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}\left(EI{\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}{\mathrm {d}\d}\right).\end{aligned}}}}}}}}}}}}}} {\$

La teoría de vigas de Timoshenko para el caso estático es equivalente a la teoría de Euler-Bernoulli cuando se ignora el último término mencionado, una aproximación que es válida cuando

${\displaystyle {\frac {\fnMicroc}{\kappa L^{2}AG}\ll} 1}$

dónde

• ${\displaystyle L.$ es la longitud de la viga.
• ${\displaystyle A}$ es el área de sección transversal.
• ${\displaystyle E}$ es el módulo elástico.
• ${\displaystyle G.$ es el módulo de tijera.
• ${\displaystyle I}$ es el segundo momento de la zona.
• ${\displaystyle \kappa }$, llamado el coeficiente jersey Timoshenko, depende de la geometría. Normalmente, ${\displaystyle \kappa =5/6}$ para una sección rectangular.
• ${\displaystyle q(x)}$ es una carga distribuida (fuerza por longitud).
• ${\displaystyle w}$ es el desplazamiento de la media superficie en el ${\displaystyle z}$- dirección.
• ${\displaystyle \varphi }$ es el ángulo de rotación de lo normal a la superficie media del haz.

Combinando las dos ecuaciones se obtiene, para una viga homogénea de sección transversal constante,

${\displaystyle EI~{\cfrac {\fnMicrom {} {\fnK} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fn}}} {\fnMicrom}}} {\fnK} {\f}} {\f}}} {\fn}}} {\fnMicrom}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m} {\m} {\m} {\m} {\m}m}m} {\m}m}h} {\m}m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m} {\m} {\m} {\m} {\m}h}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m} {\m} {\m} {\m}h} {\m}h}h} {\m}h}} x^{4}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}~ {\m} {\m} {\m}} {\m} {\m} {}} {\m} {}}}}} {\m}} {\cH}}} {\cH}}}}}} {\m} {}}}}} {}}}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}} {\c}}}} {\c}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}} {\c}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}} #$

El momento de flexión ${\displaystyle M_{xx}$ y la fuerza de derrame ${\displaystyle Q_{x}$ en la viga están relacionados con el desplazamiento ${\displaystyle w}$ y la rotación ${\displaystyle \varphi }$. Estas relaciones, para un rayo Timoshenko elástico lineal, son:

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\partial \varphi }{\partial x}\quad {\text{and}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}\right)\,}$

Derivación de cuasi estática Ecuaciones de rayos Timoshenko

De las suposiciones cinemáticas para un rayo Timoshenko, los desplazamientos de la viga son dados por ${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~u_{y}(x,y,z,t)=0~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)}$ Luego, desde las relaciones de separación de tensión para pequeñas cepas, las cepas no cero basadas en las suposiciones de Timoshenko son ${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}{\partial}{\ #=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial #### ## ## Varepsilon {\fnMicroc}}\left({\frac {\partial} ¿Por qué? z}}+{\frac {\partial u_{z}{\partial x}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}\right)}}}}}$ Puesto que la cepa real de la viga no es constante sobre la sección de la cruz presentamos un factor de corrección ${\displaystyle \kappa }$ tales que ${\displaystyle \varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}\right)}}$ La variación en la energía interna del haz es ${\fnMicrosoft Sans Serif}*$ Define ${\displaystyle M_{xx}:= ¿Por qué? A~;~~Q_{x}:=\kappa ~# ¿Qué? ¿Qué?$ Entonces... ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi)}{\partial x}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L}$ Integración por partes, y notando que debido a las condiciones del límite las variaciones son cero en los extremos del haz, conduce a ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}-Q_{x}\right)~\delta \varphi - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ L.$ La variación del trabajo externo hecho en el haz por una carga transversal ${\displaystyle q(x,t)}$ por unidad de longitud ${\displaystyle \delta W=\int ¿Qué? L.$ Entonces, para un haz cuasiático, el principio del trabajo virtual da ${\displaystyle \delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}-Q_{x}\right)~\delta \varphi - 'left({\frac {\partial Q_{x}{\partial x}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0}$ Las ecuaciones que rigen para la viga son, desde el teorema fundamental del cálculo de variación, ${\displaystyle {\frac {\partial M_{xx}{\partial}{\ ################################################################################################################################################################################################################################################################ x}+q=0}$ Para un haz elástico lineal ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx} _{A}z~\sigma A= _{A}z~E~ A=- ¿Por qué? }{\partial ##### ########################################################################################################################################################################################################################################################### A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? A= #2G~varepsilon {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}}}}}}}\m} {\m} {\m} {\m} {\c}}}\m}}}\m}}\m}}\m} {\m}}}}}}\m}\m}\m}}\m}\m}\m}\m}\m}\m\m}\m}\m}\m\c\m\c\c\c\m}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\cH0\p}\cH00}\p}\c\c\c\cH00}\c\c\p}\cH00}\cH00}\p}\cH00}\p}\cH00}\p}\cH00}\p}\cH$ Por lo tanto, las ecuaciones que rigen para la viga pueden expresarse como ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial w}{\partial x}-\varphi \right) âTMa\frac {\partial }{\partial x}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}-\varphi \right)\right]+q Um=0\end{aligned}}}}}}$ Combinar las dos ecuaciones juntos da ${\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {\partial ^{2}{\partial}{\ x^{2}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\\ {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\cH\c\cH #=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\partial }{\partial x}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}\right)\end{aligned}}}} {\fnuncio}}} {\fnuncio}}}}} {\fn0}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}\f}}}}}}}}}\f}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}} {\m}}\f}}}}\f}}}}\f}\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\$

Las dos ecuaciones que describen la deformación de una viga de Timoshenko deben complementarse con condiciones de contorno para su resolución. Se requieren cuatro condiciones de contorno para que el problema esté bien planteado. Las condiciones de contorno típicas son:

• Vigas simplemente soportadas: El desplazamiento ${\displaystyle w}$ es cero en las ubicaciones de los dos soportes. El momento de flexión ${\displaystyle M_{xx}$ aplicado a la viga también tiene que ser especificado. La rotación ${\displaystyle \varphi }$ y la fuerza jerarquizada transversal ${\displaystyle Q_{x}$ no se especifican.
• Vigas cortadas: El desplazamiento ${\displaystyle w}$ y la rotación ${\displaystyle \varphi }$ se especifican para ser cero en el extremo fijado. Si un fin es libre, fuerza de derrame ${\displaystyle Q_{x}$ y momento de curvatura ${\displaystyle M_{xx}$ debe ser especificado en ese extremo.

La energía de deformación de una viga Timoshenko se expresa como la suma de la energía de deformación debida a la flexión y al esfuerzo cortante. Ambos componentes son cuadráticos en sus variables. La función de energía de deformación de una viga Timoshenko puede escribirse como:

${\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}\left({\frac {d\varphi }{dx}}}\right)}{2}+{\frac {kGA}{2}\left(\varphi -{\frac {dx}}\right)}{2}}}}}}}}}} {\d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}} {\m} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\m}}}}}\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Para un haz de cañón, un límite se sujeta mientras el otro es libre. Usemos un sistema de coordenadas de mano derecha donde el ${\displaystyle x}$ la dirección es positiva hacia la derecha y ${\displaystyle z}$ la dirección es positiva hacia arriba. Tras una convención normal, asumimos que las fuerzas positivas actúan en las direcciones positivas de las ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle z}$ ejes y momentos positivos actúan en la dirección del reloj. También suponemos que la convención de firma de los resultados del estrés (${\displaystyle M_{xx}$ y ${\displaystyle Q_{x}$) es tal que los momentos de flexión positivos comprime el material en la parte inferior del haz (más bajo) ${\displaystyle z}$ coordenadas) y fuerzas de corte positiva giran el rayo en una dirección en sentido contrario.

Supongamos que el extremo fijado está en ${\displaystyle x=L}$ y el final libre está en ${\displaystyle x=0}$. Si una carga de punto ${\displaystyle P}$ se aplica al final libre en el positivo ${\displaystyle z}$ dirección, un diagrama de cuerpo libre del haz nos da

${\displaystyle - Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

Y

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,$

Por lo tanto, a partir de las expresiones para el momento flector y la fuerza cortante, tenemos:

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }\qquad {\text{and}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {}{dx}\right)\,}$

Integración de la primera ecuación y aplicación de la condición de límite ${\displaystyle \varphi =0}$ a ${\displaystyle x=L}$, conduce a

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {2EI}\,(L^{2}-x^{2})\,}$

La segunda ecuación puede entonces escribirse como

${\displaystyle {\frac {}{dx}=-{\frac} {P} {\fnMicroc {2EI}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

Integración y aplicación de la condición fronteriza ${\displaystyle w=0}$ a ${\displaystyle x=L}$ da

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc {\fnMicrosoft}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}\right)+{\frac {\f}{3}}}{3EI}\,}}\$

La tensión axial viene dada por

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi } {dx}=-{\frac {\fnMicroc}\fnMicroc {\fnMicrox}\fnMicrosoft Sans Serif}$

En la teoría de vigas de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que los desplazamientos de la viga están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~u_{y}(x,y,z,t)=0~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

Donde ${\displaystyle (x,y,z)}$ son las coordenadas de un punto en la viga, ${\displaystyle ¿Qué?$ son los componentes del vector de desplazamiento en las tres direcciones de coordenadas, ${\displaystyle \varphi }$ es el ángulo de rotación de lo normal a la superficie media del haz, y ${\displaystyle w}$ es el desplazamiento de la media superficie en el ${\displaystyle z}$- dirección.

Partiendo del supuesto anterior, la teoría de vigas de Timoshenko, que permite vibraciones, puede describirse mediante las ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas:

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\varphiright)\right$

${\displaystyle \rho I{\partial ^{2}{\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left$

donde las variables dependientes son ${\displaystyle w(x,t)}$, el desplazamiento de la viga, y ${\displaystyle \varphi (x,t)}$El desplazamiento angular. Tenga en cuenta que a diferencia de la teoría Euler–Bernoulli, la deflexión angular es otra variable y no se aproxima por la pendiente de la deflexión. También,

• ${\displaystyle \rho }$ es la densidad del material del haz (pero no la densidad lineal).
• ${\displaystyle A}$ es el área de sección transversal.
• ${\displaystyle E}$ es el módulo elástico.
• ${\displaystyle G.$ es el módulo de tijera.
• ${\displaystyle I}$ es el segundo momento de la zona.
• ${\displaystyle \kappa }$, llamado el coeficiente jersey Timoshenko, depende de la geometría. Normalmente, ${\displaystyle \kappa =5/6}$ para una sección rectangular.
• ${\displaystyle q(x,t)}$ es una carga distribuida (fuerza por longitud).
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$
• ${\displaystyle w}$ es el desplazamiento de la media superficie en el ${\displaystyle z}$- dirección.
• ${\displaystyle \varphi }$ es el ángulo de rotación de lo normal a la superficie media del haz.

Estos parámetros no son necesariamente constantes.

Para una viga elástica lineal, isótropa y homogénea de sección transversal constante, estas dos ecuaciones se pueden combinar para obtener

${\displaystyle EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\partial ^{2}w}{\partial T^{2}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}\derecha){\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial T^{2}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG} {\cH00}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}~{\partial ^{2}q}{\partial T^{2}-{\cfrac {\fnK} {\fnK}}} {\fnK}}}}} {\fnK}}}}}}}}$

Derivación de la ecuación combinada del rayo Timoshenko

Las ecuaciones que rigen la curvatura de un rayo Timoshenko homogéneo de corte transversal constante son ${\displaystyle {\begin{aligned}(1) ventaja\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}} {=\kappa AG~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}\right)+q(x,t)~~m:=\rho A\(2) implica\quad J~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{\partial x^{2}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial w}{\kappa AG~\left . I 'end{aligned}}$ De la ecuación (1), asumiendo la suavidad adecuada, tenemos ${\displaystyle {\begin{aligned}(3) ventaja\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial ♪♪♪♪ {q}{\kappa AG}-{\cfrac {\fnK} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fn}}} {\fnMicrosoft}} {\f}}}} {\fn}}} {\fnMicroc {\f}} {\fnMicroc}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f} {\f}\f}}\f}\f} {\f} {\f}\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn ## {2}}\\4c\cH00}\\cH00}\\cH00\\cH00}\\4c\cH00\\cH3\\\cH009\cH33}\\\cH33}\\\cH00}\\4cH00\\\\cH00}\cH0\\cH0}\\\\\\\\\\cH3\\\\cH3\\\cH3\\\\\\\\\\cH0}\\cH3\\cH00}\cH3\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ^{3}\varphi }{\partial x^{3}} {\frac {1}{\kappa AG}{\partial ^{2}q}{\partial ¿Qué? {\cHFF} {\cHFF}} {\cH00}} {\cH00}} {\cH}}} {\cH}}} {\cH}}} {\cH00}} {\cH00}}}}} {\cH}} {\cH}}} {\cH}} {\cH}}} {\cH}}}}} {\cH}}}} {\cH}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}} {\cH}}}}}} {\cH}}} {\cH} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\cH} {\cH}}} {\cH} {\c}}}}} {\cH}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} x^{2}\partial T^{2}}+{\cfrac {\c} {\c} {\c} {\c}\c}\c}}}} {\c}}} {\c}\c} {\c}\c}\c} {\c}} {\c}\c}}}} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c}\c} {\c}} {\c}}}}}\c}}\c}}}\c} {\c} {\c}\c}\c}\c}\c} {\c}\c}\c}}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c} {\c}\c} {\c}\c}\c}\c}\c}\c\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}} {\cHFF} {\cHFF}} {\cH00}} {\cH00}} {\cH}}} {\cH}}} {\cH}}} {\cH00}} {\cH00}}}}} {\cH}} {\cH}}} {\cH}} {\cH}}} {\cH}}}}} {\cH}}}} {\cH}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}} {\cH}}}}}} {\cH}}} {\cH} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\cH} {\cH}}} {\cH} {\c}}}}} {\cH}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ##### {4}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}}\end{aligned}}}}}}$ Ecuación diferenciadora (2) da ${\displaystyle {\begin{aligned}(6) ventaja\quad J~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{\partial x^{3}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\f}}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}\f}}}}}}}}}}}}}\f}\\\\\f}}}}\\\\\\\\\\fnMicrom}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\fnMicrom}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\fnMicrom}}}}}}\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif}$ Sustituir la ecuación (3), (4), (5) en la ecuación (6) y reorganizar, obtenemos ${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial}{\partial} {\c} ### {4}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial T^{2}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}\right)~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial T^{2}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}~{\crrac {\partial }w}{\partial T^{4}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}~{\partial ^{2}q}{\partial T^{2}-{\cfrac {\fnK} {\fnK} {\fnMicroc {\fnMicrosoft} {\f}}}\end{aligned}}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}$

Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que esta ecuación es incorrecta. Consideremos el caso donde q es constante y no depende de x ni de t, junto con la presencia de un pequeño amortiguamiento, donde todas las derivadas temporales tenderán a cero cuando t tienda a infinito. Los términos de cortante no están presentes en esta situación, lo que resulta en la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, donde se desprecia la deformación cortante.

La ecuación Timoshenko predice una frecuencia crítica ${\displaystyle \omega ¿Qué? F_{c}={\sqrt {\kappa GA}{\rho Yo.$Para los modos normales la ecuación Timoshenko se puede resolver. Siendo una ecuación de cuarto orden, hay cuatro soluciones independientes, dos oscilatorias y dos evanescentes para frecuencias inferiores ${\displaystyle f_{c}$. Para frecuencias más grandes que ${\displaystyle f_{c}$ todas las soluciones son oscilatorias y, como consecuencia, aparece un segundo espectro.

Si los desplazamientos de la viga están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~u_{y}(x,y,z,t)=0~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

Donde ${\displaystyle u_{0}$ es un desplazamiento adicional en el ${\displaystyle x}$- la dirección, entonces las ecuaciones de gobierno de un rayo Timoshenko toman la forma

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\c\fnMicroc} {\partial x}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}} {\varphi+right] ^{2}\varphi } {\partial t^{2}} {\cH00}} {\frac {\partial w}{\partial}}}} {\c}}}} x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left(\frac {\partial w}{\partial x}}\varphi\right)\end{aligned}}}}}}}}{\f}}}}}{\f}}}}}}{\f}}}}}}}}}}}{\f}}}}}{\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\f}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\$

Donde ${\displaystyle J= I}$ y ${\displaystyle N(x,t)}$ es una fuerza axial aplicada externamente. Cualquier fuerza axial externa está equilibrada por el estrés resultante

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int ¿Por qué? ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle \sigma _{xx}$ es el estrés axial y se ha asumido que el espesor del haz ${\displaystyle 2h}$.

La ecuación de viga combinada con efectos de fuerza axial incluidos es

${\displaystyle EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\partial ^{2}w}{\partial T^{2}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}\right)~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial T^{2}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}~{\crrac {\partial }w}{\partial T^{4}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}~{\partial ^{2}q}{\partial T^{2}-{\cfrac {\fnK} {\fnK}}} {\fnK}}}}} {\fnK}}}}}}}$

Si, además de las fuerzas axiales, asumimos una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad con la forma

${\displaystyle \eta (x)~{\frac {\partial w}{\partial }$

Las ecuaciones de gobierno acopladas para una viga de Timoshenko toman la forma:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicros} {\fnMicros}\fnMicros}\fnMicros} {\f}\f}\f}\f}\f}\fnMinMicrossssto}}\f}\f}\fnMicrosc\fnMinK\f}\f}\f}\fnK\fnMit}\f}\fnK\f}\f}\fnMinK\fnK\fnMissssssssssssssssc\fnK\fnK\fnK\fnMinK\fnMinK\fnK\fnMinK\f}\f}\f}\f}\fnMi$

${\displaystyle J{\frac} ^{2}\varphi }{\partial T^{2}= N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left(\frac {\partial w}{\partial x}}\varphi\right)}}}}}$

y la ecuación combinada se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial}{\partial} {\c} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\partial ^{2}w}{\partial T^{2}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}\right)~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial T^{2}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}~{\crrac {\partial }w}{\partial T^{4}}+{\cfrac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}}\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}\left(\eta (x){\frac {\partial w}{\partial t}\right)+\eta (x){\frac {\partial w}{\partial t}\right)+\eta (x){\frac {\partial w}{\partial w}{\partial t}}}{}}}}}}}{\f}}}}}}}}}}}}}}{\f}}}}}}}}}{\c]}}}}}}}}}}}}}{\c]}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\c)}}\c)}}}}}\c)}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c]}}}\c t}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}~{\partial ^{2}q}{\partial T^{2}-{\cfrac {\fnK} {\fnK} {\fnMicroc {\fnK}} {\f}}}\end{aligned}}}}} {\fn}}}}} {\fn}}}} {\fn}}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Una salvedad con respecto a esta fuerza de amortiguamiento de Ansatz (similar a la viscosidad) es que, mientras que la viscosidad produce una tasa de amortiguamiento de las oscilaciones del haz dependiente de la frecuencia e independiente de la amplitud, las tasas de amortiguamiento medidas empíricamente no son sensibles a la frecuencia, sino que dependen de la amplitud de la deflexión del haz.Determinar el coeficiente de corte no es sencillo (ni los valores determinados son ampliamente aceptados, es decir, hay más de una respuesta); generalmente debe cumplir:

${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x}}}}$.

El coeficiente de corte depende del coeficiente de Poisson. Numerosos científicos, como Stephen Timoshenko, Raymond D. Mindlin, G. R. Cowper, N. G. Stephen, J. R. Hutchinson, etc., intentaron proporcionar expresiones precisas (véase también la derivación de la teoría de vigas de Timoshenko como una teoría de vigas refinada basada en el método variacional-asintótico en el libro de Khanh C. Le, que da lugar a diferentes coeficientes de corte en los casos estático y dinámico). En la práctica de la ingeniería, las expresiones de Stephen Timoshenko son suficientes en la mayoría de los casos. En 1975, Kaneko publicó una revisión de estudios sobre el coeficiente de corte. Más recientemente, datos experimentales muestran que el coeficiente de corte está subestimado.

Coeficientes de corte correctivos para vigas isótropas homogéneas según Cowper - selección.

Sección transversal	Coeficiente
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu)}{12+11\nu}}}$
	${\displaystyle {\frac {6(1+\nu)}{7+6\nu}}}$
	${\displaystyle {\frac {12(1+\nu)a^{2}(3a^{2}+b^{2}}{(40+37\nu)a^{4}+(16+10\nu)a^{2}b^{2}+\nu b^{4}}}}}}}}}}}}}$
	${\displaystyle {\frac {1+\nu }{1.305+1.273\nu}}}$
	${\displaystyle {\frac {6(1+\nu)(1+m^{2}{2}{(7+6\nu)(1+m^{2})^{2}+(20+12\nu)m^{2}}}}}}}$, donde ${\displaystyle m={\frac {b}{a}}$
	${\displaystyle {\frac {2(1+\nu)}{4+3\nu}}}$
	${\displaystyle {\frac {20(1+\nu)}{48+39\nu}}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu)(1+3m)}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+10n^{2}(3+\nu)m+3m^{2}}}}}$, donde ${\displaystyle m={\frac {bt_{1} {ht_{2}}}}$ y ${\displaystyle n={\frac {} {}}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu)(1+3m)}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+5\nu n^{2}(8m+9m^{2}}}}}}}$, donde ${\displaystyle m={\frac {2bt_{1} {ht_{2}}} {}} {}}} {}}} {}} {}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ y ${\displaystyle n={\frac {} {}}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu)(1+4m)}{(12+96m+276m^{2}+192m^{3})+\nu 11+88m+248m^{2}+216m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+10\nu n^{2}(4m+5m^{2}+m^{3}}}}}}}}}}$, donde ${\displaystyle m={\frac {bt_{1} {ht_{2}}}}$ y ${\displaystyle n={\frac {} {}}}$

Donde ${\displaystyle \nu }$ es la relación de Poisson.

• Teoría de la placa
• La teoría del sándwich