Teoría del campo de clase

En matemáticas, la teoría de campos de clase (CFT) es la rama fundamental de la teoría algebraica de números cuyo objetivo es describir todas las extensiones abelianas de Galois de campos locales y globales utilizando objetos asociados al campo de tierra.

Hilbert es reconocido como uno de los pioneros de la noción de campo de clase. Sin embargo, esta noción ya era familiar para Kronecker y en realidad fue Weber quien acuñó el término antes de que aparecieran los artículos fundamentales de Hilbert. Las ideas relevantes se desarrollaron en el período de varias décadas, dando lugar a un conjunto de conjeturas de Hilbert que posteriormente fueron probadas por Takagi y Artin (con la ayuda del teorema de Chebotarev).

Uno de los principales resultados es: dado un campo numérico F, y escribiendo K para la máxima extensión abeliana no ramificada de F, el El grupo de Galois de K sobre F es canónicamente isomorfo al grupo de clase ideal de F. Esta afirmación se generalizó a la llamada ley de reciprocidad de Artin; en el lenguaje idelico, escribiendo C_F para el grupo de clase idele de F, y tomando L como cualquier extensión abeliana finita de F, esta ley da un isomorfismo canónico

Silencio Silencio L/F:CF/NL/F()CL)→ → Gal⁡ ⁡ ()L/F),{displaystyle theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}to operatorname {Gal} (L/F),}

Donde NL/F{displaystyle N_{L/F} denota el mapa idelic norm de L a F. Este isomorfismo se llama mapa de la reciprocidad.

El existencia teorema afirma que el mapa de reciprocidad se puede utilizar para dar una bijeción entre el conjunto de extensiones abelianas de F y el conjunto de subgrupos cerrados de índice finito de CF.{displaystyle C_{F}

Un método estándar para desarrollar la teoría del campo de clase global desde la década de 1930 fue construir la teoría del campo de clase local, que describe extensiones abelianas de campos locales, y luego usarla para construir la teoría del campo de clase global. Esto fue hecho por primera vez por Emil Artin y Tate utilizando la teoría de la cohomología de grupos y, en particular, desarrollando la noción de formaciones de clase. Más tarde, Neukirch encontró una prueba de los principales enunciados de la teoría del campo de clase global sin utilizar ideas cohomológicas. Su método era explícito y algorítmico.

Dentro de la teoría de campos de clases se puede distinguir la teoría de campos de clases especiales y la teoría de campos de clases general.

La teoría de campo de clase explícita proporciona una construcción explícita de extensiones abelianas máximas de un campo número en varias situaciones. Esta parte de la teoría consiste en Kronecker – Teorema Weber, que se puede utilizar para construir las extensiones abelianas de Q{displaystyle mathbb {Q}, y la teoría de la multiplicación compleja para construir extensiones abelianas de campos CM.

Hay tres generalizaciones principales de la teoría de campos de clases: la teoría de campos de clases superiores, el programa de Langlands (o 'correspondencias de Langlands') y la geometría anabélica.

Formulación en lenguaje contemporáneo

En el lenguaje matemático moderno, la teoría de campo de clase (CFT) se puede formular de la siguiente manera. Considere la extensión abeliana máxima A de un campo local o global K. Es de grado infinito sobre K; el grupo de Galois G de A sobre K es un grupo profinito infinito, por lo que es un grupo topológico compacto, y es abeliano. Los objetivos centrales de la teoría del campo de clases son: describir G en términos de ciertos objetos topológicos apropiados asociados a K, describir extensiones abelianas finitas de K en términos de subgrupos abiertos de índice finito en el objeto topológico asociado a K. En particular, se desea establecer una correspondencia biunívoca entre extensiones abelianas finitas de K y sus grupos normativos en este objeto topológico para K. Este objeto topológico es el grupo multiplicativo en el caso de campos locales con campo residual finito y el grupo de clase idele en el caso de campos globales. La extensión abeliana finita correspondiente a un subgrupo abierto de índice finito se denomina campo de clase para ese subgrupo, lo que dio nombre a la teoría.

El resultado fundamental de la teoría general de campos de clases establece que el grupo G es naturalmente isomorfo a la terminación profinita de C_K, el multiplicativo grupo de un campo local o el grupo de clase idele del campo global, con respecto a la topología natural sobre C_K relacionada con la estructura específica del campo K . De manera equivalente, para cualquier extensión finita de Galois L de K, hay un isomorfismo (el mapa de reciprocidad de Artin)

Gal⁡ ⁡ ()L/K)ab→ → CK/NL/K()CL){displaystyle operatorname {Gal} (L/K)^{fnMiembro {ab}to} C_{K}/N_{L/K}(C_{L}}

de la abelianización del grupo de Galois de la extensión con el cociente del grupo de clase idele de K por la imagen de la norma del grupo de clase idele de L.

Para algunos campos pequeños, como el campo de los números racionales Q{displaystyle mathbb {Q} o sus extensiones cuadráticas imaginarias hay un muy explícita pero demasiado específica teoría que proporciona más información. Por ejemplo, el grupo Galois absoluto abelianizado G de Q{displaystyle mathbb {Q} es (naturalmente isomorfo a) un producto infinito del grupo de unidades de los enteros p-adic tomado sobre todos los números primos p, y la extensión abeliana máxima correspondiente de los racionales es el campo generado por todas las raíces de la unidad. Esto se conoce como el teorema Kronecker-Weber, originalmente conjeturado por Leopold Kronecker. En este caso, el isomorfismo reciprocidad de la teoría del campo de clase (o el mapa de reciprocidad de Artin) admite también una descripción explícita debido al teorema Kronecker-Weber. Sin embargo, las construcciones principales de tales teorías más detalladas para los campos de números álgebraicos pequeños no son extensibles al caso general de los campos número álgebraico, y diferentes principios conceptuales están en uso en la teoría general del campo de clase.

El método estándar para construir el homomorfismo de reciprocidad es construir primero el isomorfismo de reciprocidad local desde el grupo multiplicativo de la terminación de un campo global al grupo de Galois de su máxima extensión abeliana (esto se hace dentro de la teoría de campo de clase local) y luego demuestre que el producto de todos esos mapas de reciprocidad locales cuando se define en el grupo idele del campo global es trivial en la imagen del grupo multiplicativo del campo global. La última propiedad se denomina ley de reciprocidad global y es una generalización de gran alcance de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.

Uno de los métodos para construir el homomorfismo de reciprocidad utiliza la formación de clases que deriva la teoría del campo de clases de los axiomas de la teoría del campo de clases. Esta derivación es puramente topológica teórica de grupos, mientras que para establecer los axiomas uno tiene que usar la estructura de anillo del campo de tierra.

Hay métodos que usan grupos de cohomología, en particular el grupo de Brauer, y hay métodos que no usan grupos de cohomología y son muy explícitos y fructíferos para las aplicaciones.

Historia

Los orígenes de la teoría del campo de clases se encuentran en la ley de reciprocidad cuadrática demostrada por Gauss. La generalización se llevó a cabo como un proyecto histórico a largo plazo, involucrando formas cuadráticas y su 'teoría del género', trabajo de Ernst Kummer y Leopold Kronecker/Kurt Hensel sobre ideales y compleciones, la teoría de las extensiones ciclotómicas y de Kummer.

Las dos primeras teorías de campo de clase eran teorías de campo de clase ciclotómicas y complejas. Utilizaron estructuras adicionales: en el caso del campo de números racionales utilizan raíces de unidad, en el caso de extensiones cuadráticas imaginarias del campo de números racionales que utilizan curvas elípticas con multiplicación compleja y sus puntos de orden finito. Mucho más tarde, la teoría de Shimura proporcionó otra teoría de campo de clase muy explícita para una clase de campos de números algebraicos. En características positivas p{displaystyle p}, Kawada y Satake utilizaron la dualidad Witt para obtener una descripción muy fácil de la p{displaystyle p}- parte del homomorfismo reciprocidad.

Sin embargo, estas teorías muy explícitas no podían extenderse a campos numéricos más generales. La teoría general del campo de clase utilizó diferentes conceptos y construcciones que funcionan en todos los campos globales.

Los famosos problemas de David Hilbert estimularon un mayor desarrollo, lo que condujo a las leyes de reciprocidad y las demostraciones de Teiji Takagi, Phillip Furtwängler, Emil Artin, Helmut Hasse y muchos otros. El teorema crucial de la existencia de Takagi se conoció en 1920 y todos los resultados principales en 1930. Una de las últimas conjeturas clásicas que se demostró fue la propiedad de principalización. Las primeras pruebas de la teoría del campo de clases utilizaron métodos analíticos sustanciales. En la década de 1930 y posteriormente se vio el uso creciente de extensiones infinitas y la teoría de Wolfgang Krull de sus grupos de Galois. Esto se combinó con la dualidad de Pontryagin para dar una formulación más clara, aunque más abstracta, del resultado central, la ley de reciprocidad de Artin. Un paso importante fue la introducción de ideles por parte de Claude Chevalley en la década de 1930 para reemplazar las clases ideales, esencialmente aclarando y simplificando la descripción de extensiones abelianas de campos globales. La mayoría de los resultados centrales fueron probados en 1940.

Más tarde, los resultados se reformularon en términos de cohomología de grupos, que se convirtió en una forma estándar de aprender la teoría del campo de clases para varias generaciones de teóricos de números. Un inconveniente del método cohomológico es su relativa falta de claridad. Como resultado de las contribuciones locales de Bernard Dwork, John Tate, Michiel Hazewinkel y una reinterpretación local y global de Jürgen Neukirch y también en relación con el trabajo sobre fórmulas de reciprocidad explícita de muchos matemáticos, una presentación muy explícita y libre de cohomología del campo de clase La teoría se estableció en la década de 1990. (Véase, por ejemplo, Class Field Theory de Neukirch.)

Aplicaciones

La teoría del campo de clases se utiliza para probar la dualidad de Artin-Verdier. La teoría de campos de clases muy explícita se utiliza en muchas subáreas de la teoría de números algebraicos, como la teoría de Iwasawa y la teoría de módulos de Galois.

La mayoría de los principales logros hacia la correspondencia de Langlands para campos numéricos, la conjetura BSD para campos numéricos y la teoría de Iwasawa para campos numéricos utilizan métodos de teoría de campos de clase muy explícitos pero limitados o sus generalizaciones. Por lo tanto, la cuestión abierta es utilizar generalizaciones de la teoría general de campos de clase en estas tres direcciones.

Generalizaciones de la teoría del campo de clases

Hay tres generalizaciones principales, cada una de gran interés. Ellos son: el programa de Langlands, la geometría anabélica y la teoría de campos de clase superior.

A menudo, la correspondencia de Langlands se considera una teoría de campo de clases no abeliana. Si y cuando esté completamente establecido, contendría una cierta teoría de las extensiones Galois no abelianas de los campos globales. Sin embargo, la correspondencia de Langlands no incluye tanta información aritmética sobre las extensiones finitas de Galois como lo hace la teoría del campo de clases en el caso abeliano. Tampoco incluye un análogo del teorema de existencia en la teoría de campos de clases: el concepto de campos de clases está ausente en la correspondencia de Langlands. Hay varias otras teorías no abelianas, locales y globales, que brindan alternativas al punto de vista de la correspondencia de Langlands.

Otra generalización de la teoría de campos de clases es la geometría anabélica, que estudia algoritmos para restaurar el objeto original (por ejemplo, un campo numérico o una curva hiperbólica sobre él) a partir del conocimiento de su grupo de Galois absoluto completo o grupo fundamental algebraico.

Otra generalización natural es la teoría del campo de clase superior, dividida en teoría de campo de clase local y teoría de campo de clase mundial. Describe extensiones abelianas de campos locales más altos y campos globales más altos. Estos últimos vienen como campos de funciones de esquemas de tipo finito sobre enteros y sus localizaciones y terminaciones apropiadas. Utiliza la teoría de K algebraica, y los grupos Milnor K apropiados generalizan K1{displaystyle K_{1} utilizado en la teoría de campo de clase unidimensional.