Teoría de Yang-Mills

La frase teoría de Yang-Mills significa tanto una teoría cuántica de campos para la unión nuclear ideada por Chen Ning Yang y Robert Mills en 1953 como la clase de teorías similares. En física matemática, la teoría de Yang-Mills es una teoría de calibre basada en un grupo unitario especial SU(n), o más generalmente, cualquier grupo compacto de Lie. Una teoría de Yang-Mills busca describir el comportamiento de partículas elementales utilizando estos grupos de Lie no abelianos y es el núcleo de la unificación de la fuerza electromagnética y las fuerzas débiles (es decir, U(1) × SU(2)), así como la cromodinámica cuántica, la teoría de la fuerza fuerte (basada en SU(3)). Por tanto, constituye la base de nuestra comprensión del modelo estándar de física de partículas.

Historia y descripción cualitativa

Teoría de calibre en electrodinámica

Todas las interacciones fundamentales conocidas se pueden describir en términos de teorías de calibre, pero resolver esto llevó décadas. El trabajo pionero de Hermann Weyl en este proyecto comenzó en 1915 cuando su colega Emmy Noether demostró que toda cantidad física conservada tiene una simetría correspondiente y culminó en 1928 cuando publicó su libro aplicando la teoría geométrica de la simetría (teoría de grupos) a mecánica cuántica. Weyl denominó a la simetría relevante del teorema de Noether "simetría de ancho", por analogía con la estandarización de distancias en los anchos de los ferrocarriles.

Erwin Schrodinger en 1922, tres años antes de trabajar en su famosa ecuación, conectó el concepto de grupo de Weyl a carga de electrones. Schrodinger mostró que el grupo ${\displaystyle U(1)}$ produjo un cambio de fase ${\displaystyle e^{i\theta }$ en campos electromagnéticos que coinciden con la conservación de carga eléctrica. Como la teoría de la electrodinámica cuántica se desarrolló en los años 1930 y 1940 ${\displaystyle U(1)}$ Las transformaciones de grupos desempeñaron un papel central. Muchos físicos pensaron que debe haber un análogo para la dinámica de los núcleos. Chen Ning Yang en particular estaba obsesionado con esta posibilidad.

Yang y Mills encuentran la teoría del indicador de fuerza nuclear

La idea central de Yang era buscar una cantidad conservada en la física nuclear comparable a la carga eléctrica y utilizarla para desarrollar una teoría de calibre correspondiente comparable a la electrodinámica. Se decidió por la conservación del isospin, un número cuántico que distingue un neutrón de un protón, pero no avanzó en ninguna teoría. Tomando un descanso de Princeton en el verano de 1953, Yang conoció a un colaborador que podría ayudarlo: Robert Mills. Como describe el propio Mills:

"Durante el año académico 1953-1954, Yang fue visitante del Laboratorio Nacional Brookhaven... Yo también estaba en Brookhaven... y fue asignado a la misma oficina que Yang. Yang, que ha demostrado en varias ocasiones su generosidad a los físicos que comienzan sus carreras, me habló de su idea de generalizar la invariancia del calibre y lo discutimos en cierta medida... Pude contribuir algo a las discusiones, especialmente en lo que respecta a los procedimientos de cuantificación, y en un pequeño grado en la elaboración del formalismo; sin embargo, las ideas clave eran de Yang."

En el verano de 1953, Yang y Mills ampliaron el concepto de teoría de calibre para grupos abelianos, por ejemplo electrodinámica cuántica, a grupos no abelianos, seleccionando el grupo ${\displaystyle SU(2)}$ dar una explicación para la conservación de isospinas en colisiones que implican las fuertes interacciones. La presentación de Yang de la obra en Princeton en febrero de 1954 fue desafiada por Pauli, preguntando sobre la masa en el campo desarrollada con la idea de invariancia de calibre. Pauli sabía que esto podría ser un problema ya que había trabajado en la aplicación de la invariancia de calibre, pero decidió no publicarlo, viendo las excitaciones sin masa de la teoría como "partículas infísicas 'shadow'". Yang y Mills publicados en octubre de 1954; cerca del final del periódico, admiten:

Llegamos a la cuestión de la masa de la ${\displaystyle b}$ cuántica, a la que no tenemos una respuesta satisfactoria.

Este problema de excitación no física y sin masa bloqueó el progreso.

La idea se dejó de lado hasta 1960, cuando el concepto de que las partículas adquirieran masa a través de la ruptura de la simetría en teorías sin masa fue propuesto, inicialmente por Jeffrey Goldstone, Yoichiro Nambu y Giovanni Jona-Lasinio. Esto provocó un reinicio significativo de los estudios de la teoría de Yang-Mills que resultaron exitosos en la formulación tanto de la unificación electrodébil como de la cromodinámica cuántica (QCD). La interacción electrodébil se describe mediante el grupo de calibre SU(2) × U(1), mientras que QCD es un SU(3) Teoría de Yang-Mills. Los bosones de calibre sin masa del SU(2) × U(1) electrodébil se mezclan después de una ruptura espontánea de la simetría para producir los 3 bosones débiles masivos (< span style="white-space:nowrap;">
sub style="font-size:inherit;line-height:inherit;vertical-align:baseline">W⁺
>,
W⁻
y
^>Z⁰
) así como el campo de fotones aún sin masa. La dinámica del campo de fotones y sus interacciones con la materia se rigen, a su vez, por la teoría de calibre U(1) de la electrodinámica cuántica. El Modelo Estándar combina la interacción fuerte con la interacción electrodébil unificada (unificando la interacción débil y electromagnética) a través del grupo de simetría SU(3) × SU(2) × U(1) . En la época actual, la interacción fuerte no está unificada con la interacción electrodébil, pero a partir del funcionamiento observado de las constantes de acoplamiento se cree que todas convergen a un solo valor a energías muy altas.

La fenomenología a energías más bajas en la cromodinámica cuántica no se comprende completamente debido a las dificultades de manejar una teoría de este tipo con un fuerte acoplamiento. Esta puede ser la razón por la que el confinamiento no ha sido probado teóricamente, aunque es una observación experimental consistente. Esto muestra por qué el confinamiento de QCD a baja energía es un problema matemático de gran relevancia, y por qué el problema de existencia y brecha de masa de Yang-Mills es un problema del Premio del Milenio.

Trabajo paralelo sobre teorías de calibre no abelianas

En 1953, en una correspondencia privada, Wolfgang Pauli formuló una teoría hexadimensional de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein, extendiendo la teoría pentadimensional de Kaluza, Klein, Fock y otros a un nivel superior. espacio interno dimensional. Sin embargo, no hay evidencia de que Pauli haya desarrollado el lagrangiano de un campo de calibre o la cuantificación del mismo. Debido a que Pauli descubrió que su teoría "conduce a algunas partículas de sombra no físicas", se abstuvo de publicar sus resultados formalmente. Aunque Pauli no publicó su teoría de las seis dimensiones, dio dos seminarios sobre ella en Zurich en noviembre de 1953.

En enero de 1954, Ronald Shaw, un estudiante de posgrado de la Universidad de Cambridge, también desarrolló una teoría de calibre no abeliana para las fuerzas nucleares. Sin embargo, la teoría necesitaba partículas sin masa para mantener la invariancia de calibre. Como en ese momento no se conocían partículas sin masa, Shaw y su supervisor Abdus Salam optaron por no publicar su trabajo. Poco después de que Yang y Mills publicaran su artículo en octubre de 1954, Salam animó a Shaw a publicar su trabajo para conmemorar su contribución. Shaw se negó y, en cambio, sólo forma un capítulo de su tesis doctoral publicada en 1956.

Resumen matemático

El dx¹⊗σ₃ coeficiente de un instantánea BPST en el ()x¹,x²)- piojoso. R⁴ Donde σ₃ es la tercera matriz Pauli (top izquierda). El dx²⊗σ₃ coeficiente (derecho superior). Estos coeficientes determinan la restricción de la instantánea BPST A con g=2, ***=1, z=0 a esta rebanada. La fuerza de campo correspondiente se centró alrededor z=0 (Abajo izquierdo). Una representación visual de la fuerza de campo de un instantánea BPST con centro z sobre la compactación S⁴ de R⁴ (Abajo derecho). El BPST instantáneo es una solución instantánea clásica a las ecuaciones Yang-Mills en R⁴.

Las teorías de Yang-Mills son ejemplos especiales de teorías de calibre con un grupo de simetría no abeliano dado por el lagrangiano.

${\displaystyle \ {\mathcal {\f} {\f}=-{\tfrac} [1}{2}\operatorname {tr} (F^{2})=-{\tfrac {1}{a\mu\nu }F_{\mu\nu } {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}\f}}\\f} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f}\f}}}}}\f}\f}}}\\\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\\\\\\\f}\\\\\f}\\\\\\\f}\f}\f}\f}\f}\f}\\\\f}\f}\\\\\\\\\\\\\\\f}\\\\\\\ }$

con los generadores ${\displaystyle \ T^{a}}$ del álgebra de Lie, indexado por a, correspondiente al F-cuantidades (forma de curvatura o fuerza de campo) satisfactorias

${\displaystyle\\\\fnK}\left(T^{a}\ t^{b}\right)={\tfrac {1}{2}}\delta ^{ab}\qquad\left[T^{a},\ T^{b}\right]=i\ f^{abc}\ T^{c}~$

Aquí, el f^abc son constantes de la estructura del álgebra Lie (totalmente antisimétrico si los generadores del álgebra Lie son normalizados tal que ${\displaystyle\\\\fnMicrosoft Sans Serif}$ es proporcional a ${\displaystyle \delta ^{ab}}$), el derivado covariante se define como

${\displaystyle \ D_{\m\c\c\c\cH00\\c\\\\\cH00\\\\\\\\\\cH00\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\c\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\display\display\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\display\\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\ }=I\ \partial _{\mu }-i\ g\ t^{a}\ A_{\mu }{a}}$

I es la matriz de identidad (que combina el tamaño de los generadores), ${\displaystyle \ A_{\mu}{a}\ }$ es el potencial vectorial, y g es la constante de acoplamiento. En cuatro dimensiones, la constante de acoplamiento g es un número puro y para un SUn) grupo uno tiene ${\displaystyle \ a,b,c=1\ldots No.$

La relación

${\displaystyle \ F_{\mu\nu }{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }{a}+g\ f^{abc} A_{\mu } {b}\ A_{\nu }{c}\ }$

puede ser derivado por el conmutador

${\displaystyle \ \ \left[D_{\mu },D_{\nu }\right]=-i\ g\ t^{a}\ F_{\mu\nu }{a}~$

El campo tiene la propiedad de ser autointeractante y las ecuaciones de movimiento que uno obtiene se dice que son semilinear, ya que las no linearidades son tanto con y sin derivados. Esto significa que uno puede manejar esta teoría sólo por la teoría de la perturbación con pequeñas no linearidades.

Tenga en cuenta que la transición entre los componentes "upper" ("contravariante") y "lower" ("covariante") vector o tensor es trivial para a índices (por ejemplo, ${\displaystyle \ f^{abc}=f_{abc}\$), mientras que para μ y ν es notrivial, correspondiente por ejemplo a la firma habitual de Lorentz, ${\displaystyle \eta _{\mu\nu }={\rm {diag}(+---)~}$

Del Lagrangiano dado puede derivar las ecuaciones de movimiento dadas por

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu\nu }{a}+g\ f^{abc}\ ¿Qué?$

Putting ${\displaystyle \ F_{\mu\nu - Sí.$ estos pueden ser reescritos

${\displaystyle \ \left(D^{\mu }F_{\mu\nu }\right)^{a}=0~}$

La identidad de Bianchi se mantiene

${\displaystyle \ \left(D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }\right)^{a}+\left(D_{\kappa }\ ¿Por qué?$

que es equivalente a la identidad de Jacobi

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },\left[D_{\nu },D_{\kappa }\right]+\left[D_{\kappa },\left[D_{\mu },D_{\nu }\right]+\left[D_{\nu },\left[D_{\kappa },D_{\mu }\0}\right]$

desde entonces ${\displaystyle \ \left[D_{\mu },F_{\nu \kappa }{a}\right]=D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }{a}~$ Definir el tensor de doble fuerza ${\displaystyle \ {\tilde {\f}{\mu\nu }={\tfrac {1}{2}\varepsilon ^{\mu\nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ entonces la identidad Bianchi puede ser reescrita como

${\displaystyle \ D_{\mu}{\tilde {}{\mu\nu}=0~}$

Una fuente ${\fnMicrosoft Sans Serif}$ entra en las ecuaciones del movimiento como

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu\nu }{a}+g\ f^{abc}\ ¿Qué? - Sí.$

Tenga en cuenta que las corrientes deben cambiar correctamente bajo las transformaciones del grupo de calibre.

Aquí damos algunos comentarios sobre las dimensiones físicas del acoplamiento. In D dimensiones, las escalas de campo como ${\displaystyle \ \left[A\right]=\left[L^{\left({\tfrac {2-D}{2}\right)}\right]\$ y así el acoplamiento debe escalar ${\displaystyle \ \left[g^{2}\right]=\left[L^{\left(D-4\right)}\right]~.}$ Esto implica que la teoría Yang-Mills no es renormalizable para dimensiones superiores a cuatro. Además, para D = 4 el acoplamiento es sin dimensión y tanto el campo y la plaza del acoplamiento tienen las mismas dimensiones del campo y el acoplamiento de una teoría de campo de escalar cuártico sin masa. Por lo tanto, estas teorías comparten la invariancia de la escala a nivel clásico.

Cuantización

Un método para cuantificar la teoría de Yang-Mills es mediante métodos funcionales, es decir, integrales de trayectoria. Se introduce una función generadora para funciones de n-punto como

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft} {\fnMicros {\f} {\fn}\f}\fnK} {\fnMicrosoft ] {\f} {\f} {\f}\f} {\f}\m} {\m}\m} {\m}\m}\m} {\m} {\m}\m}\m}\m} {\m}\m}\m}\m} {\m}\m}\m} {\m}\m}\m}\m}\m}\m} {\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m} {\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m} {\f}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m} {\m}\m}\i}$

pero esta integral no tiene significado porque el vector potencial se puede elegir arbitrariamente debido a la libertad de calibre. Este problema ya era conocido en la electrodinámica cuántica, pero aquí se vuelve más grave debido a las propiedades no abelianas del grupo calibre. Ludvig Faddeev y Victor Popov dieron una salida con la introducción de un campo fantasma (ver Fantasma de Faddeev-Popov) que tiene la propiedad de no ser físico desde entonces, aunque concuerda con las estadísticas de Fermi-Dirac. , es un campo escalar complejo, que viola el teorema de la estadística de espín. Entonces, podemos escribir el funcional generador como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ] tardía=\int [\mathrm {d} \ A][\mathrm {d} \ {\bar {c}][\mathrm {d} \ c]\exp {\Bigl}i\c\cH00} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

estar

${\displaystyle S_{F}=-{\tfrac {1}{2}\int \mathrm {d} ^{4}x\operatorname {tr} \left(F^{\mu\nu }\ F_{\mu\nu }\right)\ }$

para el campo,

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }\int \mathrm {d} ^{4}x\ (\partial \cdot A)^{2}\ }$

para la fijación del calibre y

${\displaystyle \ S_{g}=-\int \mathrm {d} ^{4}x\\left({\bar {c}}{a}\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g\ {\bar {c}{a}\ f^{abc}\\partial _{\mu }\ a^{b\mu }\ c^{c}\right)\$

para el fantasma. Ésta es la expresión comúnmente utilizada para derivar las reglas de Feynman (ver diagrama de Feynman). Aquí tenemos c^a para el campo fantasma mientras que ξ corrige la elección del indicador para la cuantificación. Las reglas de Feynman obtenidas de este funcional son las siguientes

Estas reglas para los diagramas de Feynman se pueden obtener cuando el funcional generador dado anteriormente se reescribe como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon] }{i\delta \ {\bar {\varepsilon }{a}}\ f^{abc}\partial _{\mu }\ {\fnMicroc {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicros} {\fnMicros} {\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}\b}\f}\f}\f}\f}\f}\b}\f}\f}\f}\b}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\c\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\c\f}\f}\c\c\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\c\f}\f}\f}\f}\f}\ {\fnMicroc {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc {i\delta }{\delta \ j^{s\nu }(x)}\right)\\\\qquad \qquad\times Z_{0}[j,{\end\varepsi]$

con

${\fnMicrosoft Sans Serif}$

siendo el funcional generador de la teoría libre. Expandiendo en g y calculando las derivadas funcionales, podemos obtener todos los funciones de npuntos con teoría de perturbaciones. Usando la fórmula de reducción LSZ obtenemos de las funciones de puntos n las amplitudes, secciones transversales y tasas de caída del proceso correspondientes. La teoría es renormalizable y las correcciones son finitas en cualquier orden de la teoría de perturbaciones.

Para la electrodinámica cuántica el campo fantasma se descompone porque el grupo de calibre es abeliano. Esto se puede ver desde el acoplamiento entre el campo de calibre y el campo fantasma que es ${\displaystyle \ {\bar {c}} {\fn}\fn}\fn}\fnK} {\fnK}} {\fn}\fn} {\fn}\fn}\fn}\fn\fnK}\f}\\\fnK}}\\fnK\fnK\fnK}}\\f}\\f}}}\\\\\\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnKh}}}}}}}\\\\\\\\\fnK}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnKh}}}}}}\\\\\\\\\fnK\fnKh}}}}}}}}\\\fnKh}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn f^{abc}\\partial _{\mu ¿Qué?$ Para el caso abeliano, todas las constantes de estructura ${\displaystyle\ f^{abc}}$ son cero y no hay acoplamiento. En el caso no abeliano, el campo fantasma aparece como una manera útil de reescribir la teoría del campo cuántico sin consecuencias físicas en los observables de la teoría como secciones transversales o tasas de decadencia.

Uno de los resultados más importantes obtenidos para la teoría de Yang-Mills es la libertad asintótica. Este resultado se puede obtener suponiendo que la constante de acoplamiento g es pequeña (no linealidades tan pequeñas), como para energías altas, y aplicando teoría de la perturbación. La relevancia de este resultado se debe al hecho de que una teoría de Yang-Mills que describe una fuerte interacción y libertad asintótica permite un tratamiento adecuado de los resultados experimentales provenientes de una dispersión inelástica profunda.

Para obtener el comportamiento de la teoría de Yang-Mills a altas energías y así demostrar la libertad asintótica, se aplica la teoría de la perturbación suponiendo un acoplamiento pequeño. Esto se comprueba a posteriori en el límite ultravioleta. En el límite opuesto, el límite infrarrojo, la situación es la contraria, ya que el acoplamiento es demasiado grande para que la teoría de la perturbación sea confiable. La mayoría de las dificultades que enfrenta la investigación radican simplemente en gestionar la teoría a bajas energías. Ese es el caso interesante, inherente a la descripción de la materia hadrónica y, de manera más general, a todos los estados ligados observados de gluones y quarks y su confinamiento (ver hadrones). El método más utilizado para estudiar la teoría en este límite es intentar resolverlo en computadoras (ver teoría del calibre de red). En este caso, se necesitan grandes recursos computacionales para garantizar que se obtenga el límite correcto de volumen infinito (espaciamiento de red más pequeño). Este es el límite con el que se deben comparar los resultados. Un espaciado menor y un acoplamiento mayor no son independientes entre sí y se necesitan mayores recursos computacionales para cada uno. Actualmente, la situación parece bastante satisfactoria para el espectro hadrónico y el cálculo de los propagadores de gluones y fantasmas, pero los espectros de bolas de pegamento y de híbridos siguen siendo una cuestión cuestionable en vista de la observación experimental de estados tan exóticos. De hecho, la resonancia σ no se ve en ninguno de estos cálculos de celosía y se han propuesto interpretaciones contrastantes. Éste es un tema muy debatido.

Problemas abiertos

Las teorías de Yang-Mills tuvieron una aceptación general en la comunidad física después de que Gerard 't Hooft, en 1972, elaborara su renormalización, basándose en una formulación del problema elaborada por su asesor Martinus Veltman. La renormalizabilidad se obtiene incluso si los bosones de calibre descritos por esta teoría son masivos, como en la teoría electrodébil, siempre que la masa sea sólo una masa "adquirida" uno, generado por el mecanismo de Higgs.

Las matemáticas de la teoría de Yang-Mills son un campo de investigación muy activo, que produce, p. invariantes de estructuras diferenciables en variedades de cuatro dimensiones a través del trabajo de Simon Donaldson. Además, el campo de las teorías de Yang-Mills se incluyó en la lista de "Problemas del Premio del Milenio" del Clay Mathematics Institute. Aquí el problema principal consiste, especialmente, en demostrar la conjetura de que las excitaciones más bajas de una teoría pura de Yang-Mills (es decir, sin campos de materia) tienen una brecha de masa finita con respecto al estado de vacío. Otro problema abierto relacionado con esta conjetura es la demostración de la propiedad de confinamiento en presencia de fermiones adicionales.

En física, el estudio de las teorías de Yang-Mills no suele comenzar con el análisis de perturbaciones o los métodos analíticos, sino más recientemente con la aplicación sistemática de métodos numéricos a las teorías de calibre de red.