Teoría de Sturm-Liouville

En matemáticas y sus aplicaciones, un problema de Sturm-Liouville es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden de la forma:

$${displaystyle {frac {mathrm {d}{mathrm {d}f}!!left[,p(x){frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}right]+q(x)y=-lambda ,w(x)y,}$$

${displaystyle p(x)}$

${displaystyle q(x)}$

${displaystyle w(x)}$

${displaystyle x}$

• Para encontrar el λ para la cual existe una solución no-trivial al problema. Tales valores λ son llamados eigenvalues del problema.
• Para cada eigenvalue λ, para encontrar la solución correspondiente ${displaystyle y=y(x)}$ del problema. Tales funciones ${displaystyle y}$ son llamados eigenfunctions asociado a cada λ.

teoría de Sturm-Liouville es el estudio general de los problemas de Sturm-Liouville. En particular, para un "regular" En el problema de Sturm-Liouville, se puede demostrar que hay un número infinito de valores propios, cada uno con una función propia única, y que estas funciones propias forman una base ortonormal de un determinado espacio de funciones de Hilbert.

Esta teoría es importante en matemáticas aplicadas, donde los problemas de Sturm-Liouville ocurren con mucha frecuencia, particularmente cuando se trata de ecuaciones diferenciales parciales lineales separables. Por ejemplo, en mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo es un problema de Sturm-Liouville.

La teoría de Sturm-Liouville lleva el nombre de Jacques Charles François Sturm (1803–1855) y Joseph Liouville (1809–1882), quienes desarrollaron la teoría.

Resultados principales

Los principales resultados de la teoría de Sturm-Liouville se aplican a un problema de Sturm-Liouville

$${displaystyle {frac {mathrm {d}{mathrm {d}f}!!left[,p(x){frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}right]+q(x)y=-lambda ,w(x)y,}$$

()1)

en un intervalo finito ${displaystyle [a,b]}$ es "regular". Se dice que el problema es ordinario si:

• las funciones de coeficiente ${displaystyle p,q,w}$ y el derivado ${displaystyle p'}$ son todos continuos ${displaystyle [a,b]}$;
• ${displaystyle p(x)}$ y ${displaystyle w(x)}$ para todos ${displaystyle xin [a,b]$;
• el problema ha separado las condiciones límite de la forma:

$${displaystyle alpha _{1}y(a)+alpha _{2}y'(a)=0qquad alpha _{1},alpha _{2}{ no both }0}$$

()2)

$${displaystyle beta _{1}y(b),+,beta _{2}y'(b)=0qquad beta _{1},beta _{2}{text{ not both }0}0}$$

()3)

La función ${displaystyle w=w(x)}$, a veces denotado ${displaystyle r=r(x)}$, se llama el peso o densidad función.

Los objetivos de un problema de Sturm-Liouville son:

• encontrar los eigenvalues: λ para la cual existe una solución no trivial;
• para cada eigenvalue λ, para encontrar la función eigen correspondiente ${displaystyle y=y(x)}$.

Para un problema regular de Sturm-Liouville, una función ${displaystyle y=y(x)}$ se llama solución si es continuamente diferente y satisface la ecuación (1En cada uno ${displaystyle xin (a,b)}$. En el caso de más general ${displaystyle p,q,w}$, las soluciones deben entenderse en un sentido débil.

Los términos valor propio y vector propio se utilizan porque las soluciones corresponden a los valores propios y funciones propias de un operador diferencial hermitiano en un espacio de funciones de Hilbert apropiado con producto interno definido utilizando la función de peso. La teoría de Sturm-Liouville estudia la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la correspondiente teoría cualitativa de las funciones propias y su completitud en el espacio funcional.

El resultado principal de la teoría de Sturm-Liouville establece que, para cualquier problema regular de Sturm-Liouville:

• Los eigenvalues ${displaystyle lambda _{1},lambda _{2},dots }$ son reales y se pueden numerar para que ${displaystyle lambda _{1}traducidolambda _{2}traducidocdots =lambda _{n} buscadocdots to infty;}$
• Correspondiendo a cada eigenvalue ${displaystyle lambda ¿Qué?$ es un único (hasta múltiples constantes) eigenfunction ${displaystyle Y...$ con exactamente ${displaystyle n-1}$ ceros en ${displaystyle [a,b]}$, llamado el nT solución fundamental.
• Las funciones eigen normalizadas ${displaystyle y_{n}$ forma una base ortonormal bajo w-producto interno ponderado en el espacio Hilbert ${displaystyle L^{2}([a,b],w(x),mathrm {d} x)}$; es decir,
  $${displaystyle langle y_{n},y_{m}rangle =int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x),mathrm {d} x=delta ¿Qué?$$

  
  Donde ${displaystyle delta _{nm}$ es el Kronecker delta.

Reducción a la forma Sturm-Liouville

Se dice que la ecuación diferencial (1) está en la forma de Sturm-Liouville o en la forma autoadjunta. Todas las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas lineales de segundo orden se pueden reformular en la forma del lado izquierdo de (1) multiplicando ambos lados de la ecuación por un factor integrante apropiado (aunque no es lo mismo cierto para ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, o si y es un vector). Algunos ejemplos se encuentran a continuación.

Ecuación de Bessel

$${displaystyle x^{2}y''+xy'+left(x^{2}-nu ^{2}right)y=0}$$

$${displaystyle left(xy'right)'+left(x-{frac {nu ^{2}{x}right)y=0.}$$

Ecuación de Legendre

$${displaystyle left(1-x^{2}right)y'-2xy'+nu (nu +1)y=0}$$

$${displaystyle left(left(1-x^{2}right)y'right)'+nu (nu +1)y=0}$$

Ejemplo usando un factor integrante

$${displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}$$

Dividir por x³:

$${displaystyle Y... {1} {x} {2}}y=0}$$

Multiplicando por un factor integrante de

$${displaystyle mu (x)=exp left(int -{frac {dx}{x^{2}}}right)=e^{1}/{x}}}$$

$${displaystyle Y... - Sí.$$

$${displaystyle {frac {dx}e^{1}/{x}=-{frac} {fnK}}} {x}}}}} {fn}}} {fn}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

$${displaystyle left(e^{1}/{x}y'right)'+{frac {2e^{1}/{x}} {x^{3}}y=0}$$

Factor de integración para ecuación homogénea general de segundo orden

$${displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$$

Multiplicar por el factor integrante

$${displaystyle mu (x)={frac {1}{P(x)}exp left(int {frac {Q(x)}{P(x)}},dxright),}$$

$${displaystyle {frac {d}left(mu (x)P(x)y'right)+mu (x)R(x)y=0,}$$

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros} {fnMicros}} {fnMicros}}}}}}}} {f}}}}}f}f}}fnMicrom}f}f}f}f}}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMicrox}fnMinMinMinMinMinMientras erasssssssssssssss}fnMientras erass}}fnMinMientras erascnMientras erassccfnMinMientras, y yo erasc$$

Ecuaciones de Sturm-Liouville como operadores diferenciales autoadjuntos

El mapeo definido por:

$${displaystyle Lu=-{frac {1}{w(x)}left({frac {d}left[p(x),{frac {du}{dx}right]+q(x)uright)}$$

$${displaystyle Lu=lambda u.}$$

Este es precisamente el problema eigenvalue; es decir, uno busca valores eigenvalues λ₁, λ₂, λ₃,... y los eigenvectores correspondientes u₁, u₂, u₃,... de la L operador. El entorno adecuado para este problema es el espacio Hilbert ${displaystyle L^{2}([a,b],w(x),dx)}$ con producto de cuero

$${displaystyle langle f,grangle =int _{a}{b}{overline {f(x)}g(x)w(x),dx.}$$

En este espacio, L se define en funciones suficientemente suaves que satisfacen las condiciones de contorno regulares anteriores. Además, L es un operador autoadjunto:

$${displaystyle langle Lf,grangle =langle f,Lgrangle.}$$

Esto se puede ver formalmente usando la integración por partes dos veces, donde los términos de frontera desaparecen en virtud de las condiciones de frontera. De ello se deduce que los valores propios de un operador de Sturm-Liouville son reales y que las funciones propias de L correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. Sin embargo, este operador es ilimitado y, por tanto, no es evidente la existencia de una base ortonormal de funciones propias. Para superar este problema, uno mira el resolutivo

$${displaystyle left(L-zright)^{-1},qquad zin mathbb {R}$$

$${displaystyle left(L-zright)}{-1}u=alpha u,qquad Lu=left(z+alpha ^{-1}right)u,}$$

${displaystyle lambda =z+alpha ^{-1}$

Si el intervalo no está acotado, o si los coeficientes tienen singularidades en los puntos límite, se llama L singular. En este caso, el espectro ya no consta únicamente de valores propios y puede contener un componente continuo. Todavía hay una expansión de función propia asociada (similar a la serie de Fourier versus la transformada de Fourier). Esto es importante en mecánica cuántica, ya que la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo es un caso especial de una ecuación de Sturm-Liouville.

Aplicación a problemas de valores límite de segundo orden no homogéneos

Considere una ecuación diferencial lineal general no homogénea de segundo orden

$${displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f}$$

${displaystyle P(x),Q(x),R(x),f(x)}$

${displaystyle Ly=f}$

$${displaystyle Lu={frac {w(x)}u'+{frac {p'}{w(x)}u'+{frac {w(x)}u,}u$$

$${displaystyle p=Pw,quad p'=Qw,quad q=Rw.}$$

Basta con resolver las dos primeras ecuaciones, lo que equivale a resolver (Pw)′ = Qw, o

$${displaystyle w'={frac {fnMicrosoft Sans Serif} w.}$$

Una solución es:

$${displaystyle w=exp left(int alpha ,dxright),quad p=Pexp left(int alpha ,dxright),quad q=Rexp left(int alpha ,dxright). }$$

Dada esta transformación, queda por resolver:

$${displaystyle Ly=f.}$$

En general, si se especifican las condiciones iniciales en algún momento, por ejemplo y(a) = 0 y y′(a) = 0, una ecuación diferencial de segundo orden se puede resolver utilizando métodos ordinarios y el método de Picard-Lindelöf El teorema asegura que la ecuación diferencial tiene una solución única en una vecindad del punto donde se han especificado las condiciones iniciales.

Pero si en lugar de especificar valores iniciales en un punto único, se desea especificar valores en dos puntos diferentes (los llamados valores límite), p.e. y(a) = 0 y y(b) = 1, el problema resulta mucho más difícil. Observe que al agregar una función diferenciable conocida adecuada a y, cuyos valores en a y b satisfacen las condiciones de contorno deseadas e inyectan dentro de la ecuación diferencial propuesta, se puede suponer sin pérdida de generalidad que las condiciones de contorno son de la forma y(a) = 0 y y(b) = 0.

Aquí entra en juego la teoría de Sturm-Liouville: de hecho, una gran clase de funciones f se pueden expandir en términos de una serie de funciones propias ortonormales u_i del operador de Liouville asociado con sus correspondientes valores propios λ_i:

$${displaystyle f(x)=sum _{i}alpha _{i}u_{i}(x),quad alpha _{i}in {mathbb {R}.}$$

Entonces una solución a la ecuación propuesta es evidentemente:

$${displaystyle Y=sum _{i}{frac {fnMicrosoft} ¿Qué? - Sí.$$

Esta solución será válida sólo durante el intervalo abierto a < x < b, y puede fallar en los límites.

Ejemplo: serie de Fourier

Considere el problema de Sturm-Liouville:

$${displaystyle Lu=-{2}=lambda u}$$

()4)

para las incógnitas son λ y u(< i>x). Para las condiciones de contorno, tomamos por ejemplo:

$${displaystyle u(0)=u(pi)=0.}$$

Observe que si k es cualquier número entero, entonces la función

$${displaystyle u_{k}(x)=sin kx}$$

Teniendo en cuenta lo anterior, resolvamos ahora el problema no homogéneo

$${displaystyle Ly=x,qquad xin (0,pi)}$$

${displaystyle y(0)=y(pi)=0}$

$${displaystyle Ly=sum - ¿Qué?$$

Esta serie de Fourier en particular es problemática debido a sus pobres propiedades de convergencia. No está claro a priori si la serie converge puntualmente. Debido al análisis de Fourier, dado que los coeficientes de Fourier son "sumables al cuadrado", la serie de Fourier converge en L² que es todo lo que necesitamos para que esta teoría particular funcione. Mencionamos para el lector interesado que en este caso podemos confiar en un resultado que dice que las series de Fourier convergen en cada punto de diferenciabilidad, y en los puntos de salto (la función x, considerada como una función periódica, tiene un salto en π) converge al promedio de los límites izquierdo y derecho (ver convergencia de series de Fourier).

Por tanto, utilizando la fórmula (4), obtenemos la solución:

$${displaystyle Y=sum _{k=1}infty }2{frac {(-1)^{k}{k^{3}}}sin kx={tfrac {1} {6}(x^{3}-pi ^{2}x}$$

En este caso, podríamos haber encontrado la respuesta usando la antidiferenciación, pero esto ya no es útil en la mayoría de los casos cuando la ecuación diferencial tiene muchas variables.

Aplicación a ecuaciones diferenciales parciales

Modos normales

Ciertas ecuaciones diferenciales parciales se pueden resolver con la ayuda de la teoría de Sturm-Liouville. Supongamos que estamos interesados en los modos vibratorios de una membrana delgada, sostenida en un marco rectangular, 0 ≤ x ≤ L₁ , 0 ≤ y ≤ L₂. La ecuación de movimiento para el desplazamiento de la membrana vertical, W(x,y,< i>t) viene dada por la ecuación de onda:

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} ^{2}W}{partial ###{2}}+{frac {partial ^{2}W}{partial - Sí. {1}{2}} {frac {partial }W}{partial t^{2}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

El método de separación de variables sugiere buscar primero soluciones de la forma simple W = X(x) × Y(y) × T(t). Para dicha función W la ecuación diferencial parcial se convierte en X″/< i>X + Y″/Y = 1/c< sup>2 T″ /T. Dado que los tres términos de esta ecuación son funciones de x, y, t por separado, deben ser constantes. Por ejemplo, el primer término da X″ = λX para una constante λ. Las condiciones de contorno ("mantenidas en un marco rectangular") son W = 0 cuando < i>x = 0, L₁ o y = 0, L₂ y defina el Sturm más simple posible –Problemas de valores propios de Liouville como en el ejemplo, que producen las "soluciones en modo normal" para W con dependencia armónica del tiempo,

$${displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}sin left({frac {mpi) Sin left({frac {npi) y}{L_{2}}right)cos left(omega _{mn}tright)}$$

$${displaystyle omega _{2}=c^{2}left({frac {m^{2}pi} ¿Qué? {n^{2}pi ^{2}}}derecho).$$

Las funciones W_mn forman una base para el espacio de Hilbert de soluciones (generalizadas) de la ecuación de onda; es decir, una solución arbitraria W se puede descomponer en una suma de estos modos, que vibran en sus frecuencias individuales ω_mn. Esta representación puede requerir una suma infinita convergente.

Ecuación lineal de segundo orden

Considere una ecuación diferencial lineal de segundo orden en una dimensión espacial y de primer orden en el tiempo de la forma:

$${displaystyle f(x){frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}+g(x){frac {partial u}{partial x}+h(x)u={frac {partial u}{partial t}} {t)u}$$

$${displaystyle u(a,t)=u(b,t)=0,qquad u(x,0)=s(x). }$$

Separando variables, asumimos que

$${displaystyle u(x,t)=X(x)T(t). }$$

$${displaystyle {frac {hat {}X(x)}{X(x)}={frac {hat {hat {hat {}T(t)}{T(t)}}}} {fnK}}}} {fn0}}}} {fn0}$$

$${displaystyle {hat {}=f(x){frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}qquad {hat} {M}={frac} {d} {dt}+k(t).}$$

Ya que, por definición, L̂ y X(x) son independientes del tiempo t y M̂ y T(t) son independientes de posición x, entonces ambos lados de la ecuación anterior deben ser iguales a una constante:

$${displaystyle {hat {}X(x)=lambda X(x),qquad X(a)=X(b)=0,qquad {hat {}T(t)=lambda T(t).}$$

La primera de estas ecuaciones debe resolverse como un problema de Sturm-Liouville en términos de las funciones propias X_n( x) y valores propios λ_n. La segunda de estas ecuaciones se puede resolver analíticamente una vez que se conocen los valores propios.

$${fn} {fn} {fn} {fn}= {bigl (}lambda _{n}-k(t){bigr)}T_{n}(t)}$$

$${displaystyle T_{n}(t)=a_{n}exp left(lambda _{n}t-int _{0}^{t}k(tau),dtau right)}$$

$${displaystyle u(x,t)=sum _{n}a_{n}X_{n}(x)exp left(lambda _{n}t-int _{0}{t}k(tau),dtau right)}$$

$${bigllangle }X_{n}(x),s(x){bigr rangle } {bigl langle }X_{n}(x),X_{n}(x){bigr rangle }}}}}}}}$$

dónde

$${displaystyle {bigl langle }y(x),z(x){bigr rangle }=int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x),dx,}$$

$${displaystyle w(x)={frac {exp left(int {frac {g(x)}{f(x)}},dxright)}{f(x)}}}}}} {f(x)}}} {f(x)}}}}} {f(x)}}}$$

Representación de soluciones y cálculo numérico

La ecuación diferencial de Sturm-Liouville (1) con condiciones de contorno se puede resolver analíticamente, que puede ser exacta o proporcionar una aproximación, mediante el método de Rayleigh-Ritz o mediante el método variacional matricial. de Gerck et al.

Numéricamente, también están disponibles una variedad de métodos. En casos difíciles, es posible que sea necesario realizar cálculos intermedios con una precisión de varios cientos de decimales para obtener los valores propios correctamente con unos pocos decimales.

• Métodos de tiro
• Método de diferencia finita
• Método de la serie de potencia del parámetro espectral

Métodos de disparo

Los métodos de disparo proceden adivinando un valor de λ, resolviendo un problema de valor inicial definido por las condiciones de contorno en un punto final, digamos, a, del intervalo [a,b], comparando el valor que toma esta solución en el otro punto final b con el otro punto final deseado condición de contorno y, finalmente, aumentar o disminuir λ según sea necesario para corregir el valor original. Esta estrategia no es aplicable para localizar valores propios complejos.

Método de series de potencias de parámetros espectrales

El método de series de potencias de parámetros espectrales (SPPS) utiliza una generalización del siguiente hecho sobre ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden: if y es una solución de la ecuación (1) que no desaparece en ningún punto de [a, b], entonces la función

$${displaystyle y(x)int _{a}{x}{frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}$$

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans Serif}f}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}f}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans Serif}f}fnMicro$$

()5)

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn0} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {f} {f}fnMicrosoft}f}fnMicrosoft}fnMicrosoft SanscH0}fnMicrox} {fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrox}fnMicrosoft}f}fnun}}fnKfn}fnMicrosoft}fnMicrosoft}f}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrox}fnMicrox}}fnMicrosoft$$

()6)

Las integrales iteradas resultantes ahora se aplican como coeficientes en las siguientes dos series de potencias en λ:

$${displaystyle U_{0}=y_{0}sum ¿Por qué? -lambda ¿Qué?$$

$${displaystyle U_{1}=y_{0}sum ¿Por qué? -lambda ¿Qué?$$

El siguiente elige los coeficientes c₀ y c₁ para que la combinación y = c₀u₀ + c₁u₁ satisface la primera condición de contorno (2). Esto es sencillo de hacer ya que X^{(n)< /sup>}(a) = 0 y X̃⁽ⁿ⁾(a) = 0, para n > 0. Los valores de X⁽ⁿ⁾ (b) y X̃< sup>(n)(b) proporciona los valores de u ₀(b) y u₁(b) y las derivadas u′₀(b) y u′₀(b), por lo que el la segunda condición de contorno (3) se convierte en una ecuación en una serie de potencias en λ. Para trabajos numéricos, se puede truncar esta serie a un número finito de términos, produciendo un polinomio calculable en λ cuyas raíces son aproximaciones de la valores propios buscados.

Cuando λ = λ₀, esto se reduce a la construcción original descrita anteriormente. para una solución linealmente independiente de una dada. Las representaciones (5) y (6) también tienen aplicaciones teóricas en la teoría de Sturm-Liouville.

Construcción de una solución que no desaparece

El método SPPS se puede utilizar en sí mismo para encontrar una solución inicial y₀. Considere la ecuación (py′)′ = μqy; es decir, q, w, y λ se reemplazan en (1) por 0, −q y μ respectivamente. Entonces la función constante 1 es una solución que no desaparece correspondiente al valor propio μ₀ = 0. Si bien no hay garantía de que u₀ o u₁ no desaparecerá, la función compleja y₀ = u₀ + iu₁ nunca desaparecerá porque dos soluciones linealmente independientes de una ecuación regular de Sturm-Liouville no pueden desaparecer simultáneamente como consecuencia del teorema de separación de Sturm. Este truco da una solución y₀ de (1) para el valor λ₀ = 0. En la práctica, si (1) tiene coeficientes reales, las soluciones basadas en y₀ Tienen partes imaginarias muy pequeñas que deben ser descartadas.