Teoría de sistemas dinámicos

La teoría de sistemas dinámicos es un área de las matemáticas que se utiliza para describir el comportamiento de sistemas dinámicos complejos, generalmente mediante el empleo de ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias. Cuando se emplean ecuaciones diferenciales, la teoría se denomina sistemas dinámicos continuos. Desde un punto de vista físico, los sistemas dinámicos continuos son una generalización de la mecánica clásica, una generalización en la que las ecuaciones de movimiento se postulan directamente y no están obligadas a ser ecuaciones de Euler-Lagrange de un principio de acción mínima. Cuando se emplean ecuaciones en diferencias, la teoría se denomina sistemas dinámicos discretos. Cuando la variable de tiempo recorre un conjunto que es discreto en algunos intervalos y continuo en otros intervalos o es cualquier conjunto de tiempo arbitrario como un conjunto de Cantor, se obtienen ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo. Algunas situaciones también pueden modelarse mediante operadores mixtos, como las ecuaciones en diferencias diferenciales.

Esta teoría trata del comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos y estudia la naturaleza y, cuando sea posible, las soluciones de las ecuaciones de movimiento de sistemas que a menudo son principalmente de naturaleza mecánica o física, como los planetarios. órbitas y el comportamiento de los circuitos electrónicos, así como sistemas que surgen en biología, economía y otros campos. Gran parte de la investigación moderna se centra en el estudio de sistemas caóticos.

Este campo de estudio también se denomina simplemente sistemas dinámicos, teoría matemática de sistemas dinámicos o teoría matemática de sistemas dinámicos.

Descripción general

La teoría de los sistemas dinámicos y la teoría del caos abordan el comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos. Aquí, la atención se centra no en encontrar soluciones precisas a las ecuaciones que definen el sistema dinámico (lo que a menudo es inútil), sino más bien en responder preguntas como "¿Se establecerá el sistema en un estado estable en el largo plazo y si entonces, ¿cuáles son los posibles estados estacionarios?", o "¿Depende el comportamiento a largo plazo del sistema de su condición inicial?"

Un objetivo importante es describir los puntos fijos o estados estacionarios de un sistema dinámico determinado; estos son valores de la variable que no cambian con el tiempo. Algunos de estos puntos fijos son atractivos, lo que significa que si el sistema comienza en un estado cercano, converge hacia el punto fijo.

De manera similar, uno está interesado en puntos periódicos, estados del sistema que se repiten después de varios pasos de tiempo. Los puntos periódicos también pueden resultar atractivos. El teorema de Sharkovskii es una afirmación interesante sobre el número de puntos periódicos de un sistema dinámico discreto unidimensional.

Incluso los sistemas dinámicos no lineales simples a menudo exhiben un comportamiento aparentemente aleatorio que se ha denominado caos. La rama de los sistemas dinámicos que se ocupa de la definición clara y la investigación del caos se llama teoría del caos.

Historia

El concepto de teoría de sistemas dinámicos tiene su origen en la mecánica newtoniana. Allí, como en otras ciencias naturales y disciplinas de ingeniería, la regla de evolución de los sistemas dinámicos está dada implícitamente por una relación que da el estado del sistema sólo en un corto período de tiempo en el futuro.

Antes de la llegada de las máquinas informáticas rápidas, resolver un sistema dinámico requería técnicas matemáticas sofisticadas y solo podía lograrse para una pequeña clase de sistemas dinámicos.

Algunas presentaciones excelentes de la teoría matemática de sistemas dinámicos incluyen Beltrami (1998), Luenberger (1979), Padulo & Arbib (1974) y Strogatz (1994).

Conceptos

Sistemas dinámicos

El concepto de sistema dinámico es una formalización matemática para cualquier "regla" que describe la dependencia temporal de la posición de un punto en su espacio ambiental. Los ejemplos incluyen los modelos matemáticos que describen el balanceo del péndulo de un reloj, el flujo de agua en una tubería y la cantidad de peces que nacen cada vez en un lago.

Un sistema dinámico tiene un estado determinado por una colección de números reales, o más generalmente por un conjunto de puntos en un espacio de estados apropiado. Pequeños cambios en el estado del sistema corresponden a pequeños cambios en los números. Los números son también las coordenadas de un espacio geométrico: una variedad. La regla de evolución del sistema dinámico es una regla fija que describe qué estados futuros se derivan del estado actual. La regla puede ser determinista (para un intervalo de tiempo dado se puede predecir con precisión un estado futuro dado el estado actual) o estocástica (la evolución del estado sólo se puede predecir con una cierta probabilidad).

Dinamismo

El dinamismo, también denominado hipótesis dinámica o hipótesis dinámica en ciencia cognitiva o cognición dinámica, es un nuevo enfoque en la ciencia cognitiva ejemplificado por la obra del filósofo Tim van Gelder. Sostiene que las ecuaciones diferenciales son más adecuadas para modelar la cognición que los modelos informáticos más tradicionales.

Sistema no lineal

En matemáticas, un sistema no lineal es un sistema que no es lineal, es decir, un sistema que no satisface el principio de superposición. De manera menos técnica, un sistema no lineal es cualquier problema en el que las variables a resolver no pueden escribirse como una suma lineal de componentes independientes. Un sistema no homogéneo, que es lineal aparte de la presencia de una función de las variables independientes, es no lineal según una definición estricta, pero tales sistemas generalmente se estudian junto con los sistemas lineales, porque pueden transformarse en un sistema lineal siempre que un Se conoce una solución particular.

Campos relacionados

Dinámica aritmética

La dinámica rítmica es un campo que surgió en los años noventa que amalgama dos áreas de matemáticas, sistemas dinámicos y teoría de números. Clásicamente, la dinámica discreta se refiere al estudio de la iteración de auto-mapas del plano complejo o línea real. Dinámica Aritmética es el estudio de las propiedades número-teoréticas de entero, racional, p-adic, y/o puntos algebraicos bajo aplicación repetida de una función polinomio o racional.

Teoría del caos

La teoría del caos describe el comportamiento de ciertos sistemas dinámicos, es decir, sistemas cuyo estado evoluciona con el tiempo, que pueden exhibir dinámicas que son altamente sensibles a las condiciones iniciales (denominado popularmente como el efecto mariposa). Como resultado de esta sensibilidad, que se manifiesta como un crecimiento exponencial de las perturbaciones en las condiciones iniciales, el comportamiento de los sistemas caóticos aparece al azar. Esto sucede a pesar de que estos sistemas son deterministas, lo que significa que sus futuras dinámicas están completamente definidas por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. Este comportamiento es conocido como caos determinista, o simplemente caos.

Sistemas complejos

Los sistemas complejos son un campo científico que estudia las propiedades comunes de los sistemas considerados complejos en la naturaleza, la sociedad y la ciencia. También se llama compleja teoría de sistemas, complejidad científica, estudio de sistemas complejos y/o ciencias de la complejidad. Los problemas clave de estos sistemas son dificultades con su modelado y simulación formal. Desde esta perspectiva, en diferentes contextos de investigación los sistemas complejos se definen en la base de sus diferentes atributos.

El estudio de sistemas complejos es traer nueva vitalidad a muchas áreas de la ciencia donde una estrategia reduccionista más típica se ha reducido. Sistemas complejos Por lo tanto, a menudo se utiliza como un término amplio que abarca un enfoque de investigación de los problemas en muchas disciplinas diversas, incluyendo neurociencias, ciencias sociales, meteorología, química, física, informática, psicología, vida artificial, computación evolutiva, economía, predicción del terremoto, biología molecular e investigaciones sobre la naturaleza de las propias células vivientes.

Teoría del control

La teoría del control es una rama interdisciplinaria de ingeniería y matemáticas, en parte trata de influir en el comportamiento de sistemas dinámicos.

Teoría ergódica

La teoría ergonódica es una rama de las matemáticas que estudia sistemas dinámicos con una medida invariante y problemas relacionados. Su desarrollo inicial fue motivado por problemas de física estadística.

Análisis funcional

El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, preocupado con el estudio de espacios vectoriales y operadores que actúan sobre ellos. Tiene sus raíces históricas en el estudio de espacios funcionales, en particular transformaciones de funciones, como la transformación Fourier, así como en el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales. Este uso de la palabra funcional vuelve al cálculo de las variaciones, implicando una función cuyo argumento es una función. Su uso en general se ha atribuido al matemático y físico Vito Volterra y su fundación se atribuye en gran medida al matemático Stefan Banach.

Sistemas dinámicos de gráficos

El concepto de sistemas dinámicos gráficos (GDS) se puede utilizar para captar una amplia gama de procesos que tienen lugar en gráficos o redes. Un tema importante en el análisis matemático y computacional de los sistemas dinámicos gráficos es relacionar sus propiedades estructurales (por ejemplo, la conectividad de red) y la dinámica global que resulta.

Sistemas dinámicos proyectados

Los sistemas dinámicos proyectados son una teoría matemática que investiga el comportamiento de sistemas dinámicos donde las soluciones se restringen a un conjunto de restricciones. La disciplina comparte conexiones y aplicaciones con el mundo estático de problemas de optimización y equilibrio y el mundo dinámico de ecuaciones diferenciales ordinarias. Un sistema dinámico proyectado es dado por el flujo a la ecuación diferencial proyectada.

Dinámica simbólica

La dinámica simbólica es la práctica de modelar un sistema dinámico topológico o liso por un espacio discreto que consiste en secuencias infinitas de símbolos abstractos, cada uno de los cuales corresponde a un estado del sistema, con la dinámica (evolución) dada por el operador de turno.

Dinámica del sistema

La dinámica del sistema es un enfoque para comprender el comportamiento de los sistemas a lo largo del tiempo. Se ocupa de los bucles de retroalimentación interna y los retrasos de tiempo que afectan el comportamiento y el estado de todo el sistema. Lo que hace que la dinámica del sistema sea diferente de otros enfoques para estudiar sistemas es el lenguaje utilizado para describir los bucles de retroalimentación con acciones y flujos. Estos elementos ayudan a describir cómo incluso sistemas aparentemente simples muestran la no linealidad de pantano.

Dinámica topológica

La dinámica topológica es una rama de la teoría de sistemas dinámicos en los que se estudian propiedades cualitativas, asintóticas de sistemas dinámicos desde el punto de vista de la topología general.

Aplicaciones

En biomecánica

En biomecánica deportiva, la teoría de sistemas dinámicos ha surgido en las ciencias del movimiento como un marco viable para modelar el rendimiento y la eficiencia atléticos. Desde una perspectiva de sistemas dinámicos, el sistema de movimiento humano es una red muy intrincada de subsistemas codependientes (por ejemplo, respiratorio, circulatorio, nervioso, esqueletomuscular, perceptivo) que están compuestos por una gran cantidad de componentes que interactúan (por ejemplo, células sanguíneas, oxígeno). moléculas, tejido muscular, enzimas metabólicas, tejido conectivo y hueso). En la teoría de sistemas dinámicos, los patrones de movimiento surgen a través de procesos genéricos de autoorganización que se encuentran en los sistemas físicos y biológicos. No existe ninguna validación de investigación de ninguna de las afirmaciones asociadas a la aplicación conceptual de este marco.

En ciencia cognitiva

La teoría del sistema dinámico se ha aplicado en el campo de la neurociencia y el desarrollo cognitivo, especialmente en las teorías neopiagetianas del desarrollo cognitivo. Es la creencia de que el desarrollo cognitivo está mejor representado por teorías físicas que por teorías basadas en la sintaxis y la inteligencia artificial. También creía que las ecuaciones diferenciales son la herramienta más adecuada para modelar el comportamiento humano. Se interpreta que estas ecuaciones representan la trayectoria cognitiva de un agente a través del espacio de estados. En otras palabras, los dinámicos sostienen que la psicología debería ser (o es) la descripción (mediante ecuaciones diferenciales) de las cogniciones y comportamientos de un agente bajo ciertas presiones ambientales e internas. También se adopta con frecuencia el lenguaje de la teoría del caos.

En él, la mente del alumno alcanza un estado de desequilibrio en el que los viejos patrones se han roto. Esta es la transición de fase del desarrollo cognitivo. La autoorganización (la creación espontánea de formas coherentes) se establece a medida que los niveles de actividad se vinculan entre sí. Las estructuras macroscópicas y microscópicas recién formadas se apoyan entre sí, acelerando el proceso. Estos vínculos forman la estructura de un nuevo estado de orden en la mente a través de un proceso llamado festón (la construcción y el colapso repetidos de una actuación compleja). Este nuevo y novedoso estado es progresivo, discreto, idiosincrásico y impredecible.

La teoría de los sistemas dinámicos se ha utilizado recientemente para explicar un problema del desarrollo infantil que llevaba mucho tiempo sin respuesta, conocido como error A-no-B.

Además, desde mediados de la década de 1990, la ciencia cognitiva, orientada hacia un conexionismo teórico de sistemas, ha adoptado cada vez más los métodos de la (no lineal) "Teoría de sistemas dinámicos (DST)". Una variedad de neuroarquitecturas cognitivas neurosimbólicas en el conexionismo moderno, considerando su núcleo estructural matemático, pueden clasificarse como sistemas dinámicos (no lineales). Estos intentos en neurocognición de fusionar neuroarquitecturas cognitivas conexionistas con DST provienen no sólo de la neuroinformática y el conexionismo, sino también recientemente de la psicología del desarrollo (“Teoría de campos dinámicos (DFT)”) y de la “robótica evolutiva” y la “robótica del desarrollo” en conexión con la método matemático de “computación evolutiva (CE)”. Para obtener una descripción general, consulte Maurer.

En el desarrollo de una segunda lengua

La aplicación de la teoría de sistemas dinámicos para estudiar la adquisición de una segunda lengua se atribuye a Diane Larsen-Freeman, quien publicó un artículo en 1997 en el que afirmaba que la adquisición de una segunda lengua debería verse como un proceso de desarrollo que incluye tanto el desgaste como el desgaste del lenguaje. adquisición. En su artículo afirmó que el lenguaje debe verse como un sistema dinámico, complejo, no lineal, caótico, impredecible, sensible a las condiciones iniciales, abierto, autoorganizado, sensible a la retroalimentación y adaptativo.