Teoría de números algebraicos

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Título de la primera edición de Disquisas Arithmeticae, una de las obras fundadoras de la teoría moderna del número algebraico.

Teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números que utiliza las técnicas del álgebra abstracta para estudiar los números enteros, los números racionales y sus generalizaciones. Las preguntas de teoría de números se expresan en términos de propiedades de objetos algebraicos, como campos de números algebraicos y sus anillos de números enteros, campos finitos y campos de funciones. Estas propiedades, como si un anillo admite factorización única, el comportamiento de los ideales y los grupos de campos de Galois, pueden resolver cuestiones de primera importancia en la teoría de números, como la existencia de soluciones a las ecuaciones diofánticas.

Historia de la teoría algebraica de números

Diofanto

Los comienzos de la teoría algebraica de números se remontan a las ecuaciones diofánticas, llamadas así por el matemático alejandrino del siglo III, Diofanto, quien las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos de ecuaciones diofánticas. Un problema diofántico típico es encontrar dos números enteros x e y tales que su suma y la suma de sus cuadrados sean iguales a dos números dados A y B, respectivamente:

{displaystyle A=x+y}

{displaystyle B=x^{2}+y^{2}

Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones a la ecuación diofántica cuadrática x² + y² = z² vienen dadas por las ternas pitagóricas, originalmente resueltas por los babilonios (c. 1800 aC). Las soluciones a las ecuaciones diofánticas lineales, como 26x + 65y = 13, se pueden encontrar utilizando el algoritmo de Euclides (c. siglo V a. C.).

Diofanto' su principal obra fue la Arithmetica, de la que sólo ha sobrevivido una parte.

Fermat

El último teorema de Fermat fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637, en el margen de una copia de Arithmetica donde afirmaba que tenía una prueba que era demasiado grande para caber. el margen. No se publicó ninguna prueba exitosa hasta 1995 a pesar de los esfuerzos de innumerables matemáticos durante los 358 años intermedios. El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX.

Gauss

Una de las obras fundacionales de la teoría algebraica de números, las Disquisitiones Arithmeticae (en latín: Investigaciones aritméticas) es un libro de texto de teoría de números escrito en latín por Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando Gauss tenía 21 años y publicado por primera vez en 1801 cuando tenía 24. En este libro, Gauss reúne resultados en teoría de números obtenidos por matemáticos como Fermat, Euler, Lagrange y Legendre y agrega nuevos e importantes resultados de su propia. Antes de que se publicaran las Disquisitiones, la teoría de números consistía en una colección de teoremas y conjeturas aisladas. Gauss reunió el trabajo de sus predecesores junto con su propio trabajo original en un marco sistemático, llenó los vacíos, corrigió pruebas poco sólidas y amplió el tema de muchas maneras.

Las Disquisitiones fueron el punto de partida para el trabajo de otros matemáticos europeos del siglo XIX, incluidos Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind. Muchas de las anotaciones dadas por Gauss son, en efecto, anuncios de nuevas investigaciones propias, algunas de las cuales permanecieron inéditas. Debieron parecer particularmente crípticos a sus contemporáneos; ahora podemos leerlos como que contienen los gérmenes de las teorías de las funciones L y la multiplicación compleja, en particular.

Dirichlet

En un par de artículos de 1838 y 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró la primera fórmula numérica de clase para formas cuadráticas (posteriormente refinada por su alumno Leopold Kronecker). La fórmula, que Jacobi denominó un resultado que 'toca el máximo de la perspicacia humana', abrió el camino para resultados similares con respecto a campos numéricos más generales. Basado en su investigación de la estructura del grupo unitario de campos cuadráticos, demostró el teorema de la unidad de Dirichlet, un resultado fundamental en la teoría algebraica de números.

Usó por primera vez el principio del casillero, un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema en aproximación diofántica, que más tarde recibió su nombre de teorema de aproximación de Dirichlet. Publicó importantes contribuciones al último teorema de Fermat, para el que demostró los casos n = 5 y n = 14, y a la ley de reciprocidad bicuadrática. El problema del divisor de Dirichlet, para el que encontró los primeros resultados, sigue siendo un problema sin resolver en teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros investigadores.

Dedekind

El estudio de Richard Dedekind sobre el trabajo de Lejeune Dirichlet fue lo que lo llevó a su posterior estudio de los campos numéricos algebraicos y los ideales. En 1863, publicó las conferencias de Lejeune Dirichlet sobre teoría de números como Vorlesungen über Zahlentheorie ("Conferencias sobre teoría de números") sobre las cuales se ha escrito que:

"Aunque el libro se basa seguramente en las conferencias de Dirichlet, y aunque Dedekind se refirió al libro durante toda su vida como Dirichlet, el propio libro fue escrito por Dedekind, en su mayor parte después de la muerte de Dirichlet." (Edwards 1983)

Las ediciones de 1879 y 1894 de Vorlesungen incluían suplementos que introducían la noción de ideal, fundamental para la teoría de anillos. (La palabra 'anillo', introducida más tarde por Hilbert, no aparece en el trabajo de Dedekind). Dedekind definió un ideal como un subconjunto de un conjunto de números, compuesto de números enteros algebraicos que satisfacen ecuaciones polinómicas. con coeficientes enteros. El concepto experimentó un mayor desarrollo de la mano de Hilbert y, especialmente, de Emmy Noether. Los ideales generalizan los números ideales de Ernst Eduard Kummer, ideados como parte del intento de Kummer en 1843 de demostrar el último teorema de Fermat.

Hilberto

David Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente "informe sobre números"). También resolvió un importante problema de teoría de números formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud, utilizó una prueba de existencia que muestra que debe haber soluciones para el problema en lugar de proporcionar un mecanismo para producir las respuestas. Entonces tenía poco más que publicar sobre el tema; pero la aparición de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante significa que su nombre se vincula aún más a un área principal.

Hizo una serie de conjeturas sobre la teoría del campo de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribución sigue viva en los nombres del campo de clase de Hilbert y del símbolo de Hilbert de la teoría del campo de clase local. Los resultados se probaron en su mayoría en 1930, después del trabajo de Teiji Takagi.

Artín

Emil Artin estableció la ley de reciprocidad de Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930). Esta ley es un teorema general en teoría de números que forma una parte central de la teoría de campo de clase global. El término "ley de reciprocidad" se refiere a una larga línea de declaraciones teóricas de números más concretas que generalizó, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de Eisenstein y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para el símbolo de la norma. El resultado de Artin proporcionó una solución parcial al noveno problema de Hilbert.

Teoría moderna

Alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron un posible vínculo entre dos ramas de las matemáticas aparentemente completamente distintas, las curvas elípticas y las formas modulares. El teorema de modularidad resultante (en ese momento conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) establece que cada curva elíptica es modular, lo que significa que puede asociarse con una forma modular única.

Inicialmente se descartó como poco probable o altamente especulativo, y se tomó más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia que lo apoyaba, pero ninguna prueba; como resultado, el "asombroso" La conjetura se conocía a menudo como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Se convirtió en parte del programa Langlands, una lista de conjeturas importantes que necesitaban prueba o refutación.

De 1993 a 1994, Andrew Wiles proporcionó una demostración del teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables que, junto con el teorema de Ribet, proporcionó una demostración del último teorema de Fermat. Casi todos los matemáticos de la época habían considerado que tanto el último teorema de Fermat como el teorema de la modularidad eran imposibles o prácticamente imposibles de probar, incluso con los desarrollos más vanguardistas. Wiles anunció por primera vez su prueba en junio de 1993 en una versión que pronto se reconoció que tenía una brecha importante en un punto clave. La prueba fue corregida por Wiles, en parte en colaboración con Richard Taylor, y la versión final ampliamente aceptada se publicó en septiembre de 1994 y se publicó formalmente en 1995. La prueba utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números, y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa, y otras técnicas del siglo XX no disponibles para Fermat.

Nociones básicas

Fallo de factorización única

Una propiedad importante del anillo de números enteros es que satisface el teorema fundamental de la aritmética, que todo número entero (positivo) tiene una factorización en un producto de números primos, y esta factorización es única hasta el orden de los factores. Es posible que esto ya no sea cierto en el anillo de números enteros $O$ de un campo numérico algebraico $K$ .

Un elemento principal es un elemento $p$ de $O$ tal que si $p$ divide un producto $ab , luego divide uno de los factores a o b . Esta propiedad está estrechamente relacionada con la primalidad de los números enteros, porque cualquier número entero positivo que satisfaga esta propiedad es 1 o un número primo. Sin embargo, es estrictamente más débil. Por ejemplo, -2 no es un número primo porque es negativo, pero es un elemento primo. Si se permiten las factorizaciones en elementos primos, entonces, incluso en los números enteros, hay factorizaciones alternativas como$

{displaystyle 6=2cdot 3=(-2)cdot (-3). }

En general, si $u$ es una unidad, es decir, un número con un inverso multiplicativo en $O$ , y si $p$ es un elemento primo, entonces $arriba$ es también un elemento principal. Números como $p$ y $up$ se dice que son asociado. En los números enteros, los primos $p$ y $- p$ están asociados, pero sólo uno de ellos es positivo. Requerir que los números primos sean positivos selecciona un elemento único de entre un conjunto de elementos primos asociados. Sin embargo, cuando K no son los números racionales, no hay analogía con la positividad. Por ejemplo, en los enteros gaussianos $Z [i]$ , los números $1 + 2 i$ y $-2 + i$ están asociados porque el último es el producto del primero por i, pero no hay forma de señalar uno como más canónico que el otro. Esto conduce a ecuaciones como

{displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),}

lo que prueba que en $Z [i]$ , no es cierto que las factorizaciones sean únicas hasta el orden de los factores Por esta razón, se adopta la definición de factorización única utilizada en los dominios de factorización única (UFD). En un UFD, solo se espera que los elementos primos que aparecen en una factorización sean únicos hasta las unidades y su orden.

Sin embargo, incluso con esta definición más débil, muchos anillos de números enteros en campos numéricos algebraicos no admiten factorización única. Hay una obstrucción algebraica llamada grupo de clase ideal. Cuando el grupo de clase ideal es trivial, el anillo es un UFD. Cuando no lo es, hay una distinción entre un elemento primo y un elemento irreducible. Un elemento irreducible $x$ es un elemento tal que si $x = yz$ , luego $y$ o $z$ es una unidad. Estos son los elementos que no se pueden factorizar más. Cada elemento en O admite una factorización en elementos irreducibles, pero puede admitir más de uno. Esto se debe a que, si bien todos los elementos primos son irreducibles, es posible que algunos elementos irreducibles no sean primos. Por ejemplo, considere el anillo $Z [\sqrt -5]$ . En este anillo, los números $3$ , $2 + \sqrt -5$ y $2 - \sqrt -5$ son irreducibles. Esto significa que el número $9$ tiene dos factorizaciones en elementos irreducibles,

{displaystyle 9=3^{2}=(2+{sqrt {-5})(2-{sqrt {-5}}).}

Esta ecuación muestra que $3$ divide el producto $(2 + \sqrt -5)(2 - \sqrt -5) = 9$ . Si $3$ fuera un elemento principal, entonces dividiría $2 + \sqrt -5 o 2 - \sqrt -5, pero no, porque todos los elementos divisibles por 3 son de la forma 3 a + 3 b \sqrt -5 . Del mismo modo, 2 + \sqrt -5 y 2 - \sqrt -5 divide el producto 32, pero ninguno de estos elementos divide 3 a sí mismo, por lo que ninguno de ellos es primo. Como no tiene sentido que los elementos 3, 2 + \sqrt -5 y 2 - \sqrt -5 pueden hacerse equivalentes, la factorización única falla en Z [\sqrt -5] . A diferencia de la situación con las unidades, donde la unicidad podría repararse debilitando la definición, superar esta falla requiere una nueva perspectiva.$

Factorización en ideales primos

Si $I$ es un ideal en $O$ , entonces siempre hay una factorización

{displaystyle I={mathfrak {p}_{1}cdots {fnMicrok} {fnMicrosoft Sans Serif}

donde cada ${displaystyle {Mathfrak {}_{i}$ es un ideal primario, y donde esta expresión es única hasta el orden de los factores. En particular, esto es cierto si $I$ es el ideal principal generado por un solo elemento. Este es el sentido más fuerte en el que el anillo de enteros de un campo número general admite la factorización única. En el lenguaje de la teoría del anillo, dice que los anillos de enteros son dominios de Dedekind.

Cuando $O$ es un UFD, cada ideal primo es generado por un elemento primo. De lo contrario, hay ideales primos que no son generados por elementos primos. En $Z [\sqrt -5]$ , por ejemplo, el ideal (2, 1 + √-5) es un ideal principal que no puede ser generado por un solo elemento.

Históricamente, la idea de factorizar ideales en ideales primos fue precedida por la introducción de los números ideales por parte de Ernst Kummer. Estos son números que se encuentran en un campo de extensión $E$ de $K$ . Este campo de extensión ahora se conoce como el campo de clase de Hilbert. Por el teorema del ideal principal, todo ideal primo de $O$ genera un ideal principal del anillo de enteros de $E$ . Un generador de este ideal principal se llama número ideal. Kummer los usó como sustituto de la falla de la factorización única en campos ciclotómicos. Estos finalmente llevaron a Richard Dedekind a introducir un precursor de los ideales y probar la factorización única de los ideales.

Un ideal que es primo en el anillo de los enteros en un campo numérico puede no ser primo cuando se extiende a un campo numérico más grande. Consideremos, por ejemplo, los números primos. Los ideales correspondientes $p Z$ son ideales primos del anillo $Z$ . Sin embargo, cuando este ideal se extiende a los enteros gaussianos para obtener $p Z [i]$ , puede o no ser primo. Por ejemplo, la factorización $2 = (1 + i)(1 - i)$ implica que

{displaystyle 2mathbf {Z} [i]=(1+i)mathbf {Z} [i]cdot (1-i)mathbf {Z} [i]=(1+i)mathbf {Z} [i]^{2};}

tenga en cuenta que debido a que $1 + i = (1 - i) \cdot i$ , los ideales generados por $1 + i$ y $1 - i$ son lo mismo. El teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados proporciona una respuesta completa a la pregunta de qué ideales siguen siendo primos en los enteros gaussianos. Implica que para un número primo impar $p$ , $p Z [i]$ es un ideal primo si $p \equiv 3 (mod 4)$ y es no es un ideal primo si $p \equiv 1 (mod 4)$ . Esto, junto con la observación de que el ideal $(1 + i) Z [i]$ es primo, proporciona una descripción completa de los ideales primos en los enteros gaussianos. La generalización de este resultado simple a anillos más generales de números enteros es un problema básico en la teoría algebraica de números. La teoría del campo de clases logra este objetivo cuando K es una extensión abeliana de Q (es decir, una extensión de Galois con un grupo abeliano de Galois).

Grupo de clase ideal

La factorización única falla si y solo si hay ideales primos que no llegan a ser principales. El objeto que mide el fracaso de los ideales primos para ser principales se llama grupo de clase ideal. Definir el grupo de clase ideal requiere ampliar el conjunto de ideales en un anillo de números enteros algebraicos para que admitan una estructura de grupo. Esto se hace generalizando ideales a ideales fraccionarios. Un ideal fraccionario es un subgrupo aditivo $J$ de $K$ que es cerrado bajo la multiplicación por elementos de $O$ , lo que significa que $xJ \subseteq J$ si $x \in O$ . Todos los ideales de $O$ también son ideales fraccionarios. Si $I$ y $J$ son ideales fraccionarios, entonces el conjunto IJ de todos los productos de un elemento en $I$ y un elemento en $J$ también es un ideal fraccionario. Esta operación convierte el conjunto de ideales fraccionarios distintos de cero en un grupo. La identidad del grupo es la ideal $(1) = O$ , y la inversa de $J$ es un cociente ideal (generalizado):

{displaystyle J^{-1}=(O:J)={xin K:xJsubseteq O}

Los principales ideales fraccionarios, es decir, los de la forma $Ox$ donde $x \in K \times$ , forman un subgrupo del grupo de todos los ideales fraccionarios distintos de cero. El cociente del grupo de ideales fraccionarios distintos de cero por este subgrupo es el grupo de clase ideal. Dos ideales fraccionarios $I$ y $J$ representan el mismo elemento del grupo de clase ideal si y solo si existe un elemento $x \in K$ tal que $xI = J$ . Por lo tanto, el grupo de clase ideal hace que dos ideales fraccionarios sean equivalentes si uno está tan cerca de ser principal como el otro. El grupo de clase ideal generalmente se denota $Cl K$ , $Cl O$ , o $Pic O$ (con la última notación identificándolo con el grupo Picard en geometría algebraica).

El número de elementos en el grupo de clase se denomina número de clase de K. El número de clase de $Q (\sqrt -5)$ es 2. Este significa que solo hay dos clases ideales, la clase de los ideales fraccionarios principales y la clase de un ideal fraccionario no principal como $(2, 1 + \sqrt -5)$ .

El grupo de clase ideal tiene otra descripción en términos de divisores. Estos son objetos formales que representan posibles factorizaciones de números. El grupo divisor $Div K$ se define como el grupo abeliano libre generado por los ideales primos de $O$ . Hay un homomorfismo de grupo de $K \times$ , los elementos distintos de cero de $K$ hasta la multiplicación, hasta $Div K$ . Supongamos que $x \in K$ satisface

{displaystyle (x)={mathfrak {p}_{1}cdots {fnMicrok} {fnMicrosoft Sans Serif}

Entonces $div x$ se define como el divisor

{displaystyle operatorname {div} x=sum ¿Qué? {p}_{i}.}

El kernel de $div$ es el grupo de unidades en $O$ , mientras que el cokernel es el grupo de clase ideal. En el lenguaje del álgebra homológica, esto dice que hay una secuencia exacta de grupos abelianos (escritos multiplicativamente),

{displaystyle 1to O^{times}to K^{times ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Div} Kto operatorname {Cl} Kto 1.}

Incrustaciones reales y complejas

Algunos campos numéricos, como $Q (\sqrt 2)$ , se pueden especificar como subcampos de los números reales. Otros, como $Q (\sqrt -1)$ , no pueden. De manera abstracta, tal especificación corresponde a un homomorfismo de campo $K \to R$ o $K \to C$ . Estos se denominan incrustaciones reales e incrustaciones complejas, respectivamente.

Un campo cuadrático real $Q (\sqrt a)$ , con $a \in Q, a > 0$ , y $a$ no es un cuadrado perfecto, se llama así porque admite dos incrustaciones reales pero no incrustaciones complejas. Estos son los homomorfismos de campo que envían $\sqrt a$ a $\sqrt a$ y a $-\sqrt a$ , respectivamente. Dualmente, un campo cuadrático imaginario $Q (\sqrt - a)$ no admite incrustaciones reales pero admite un par conjugado de incrustaciones complejas. Una de estas incorporaciones envía $\sqrt - a$ a $\sqrt - a$ , mientras que el otro lo envía a su complejo conjugado, $-\sqrt - a$ .

Convencionalmente, el número de incorporaciones reales de $K$ se denota $r 1$ , mientras que el número de pares conjugados de incrustaciones complejas se denota $r 2$ . La firma de K es el par $(r 1, r 2)$ . Es un teorema que $r 1 + 2 r 2 = d$ , donde $d$ es el grado de $K$ .

Considerando todas las incrustaciones a la vez determina una función ${displaystyle Mcolon Kto mathbf {R} {R} {R}}oplus mathbf {C} {r_{2}}}$ , o equivalente ${displaystyle Mcolon Kto mathbf {R} ^{r_{1}oplus mathbf {R} ^{2r_{2}}}$ Esto se llama Minkowski embedding.

El subespacio del codominio fijado por conjugación compleja es un espacio vectorial real de dimensión $d$ llamado espacio Minkowski. Debido a que la incrustación de Minkowski se define por los homomorfismos de campo, multiplicación de elementos de $K$ por un elemento $x ▪ K$ corresponde a la multiplicación por una matriz diagonal en la incrustación de Minkowski. El producto de punto en el espacio de Minkowski corresponde al formulario de traza ${displaystyle langle x,yrangle =operatorname {Tr} (xy)}$ .

La imagen de $O$ bajo el embedding de Minkowski es un $d$ - Lattiza dimensional. Si $B$ es una base para esta celosa, entonces $Det B T B$ es discriminación de $O$ . El discriminante está denotado $Δ$ o $D$ . El covolumen de la imagen $O$ es ${displaystyle {sqrt {Delta Silencio}}$ .

Lugares

Las incorporaciones reales y complejas se pueden poner en pie de igualdad con los ideales primordiales adoptando una perspectiva basada en valoraciones. Consideremos, por ejemplo, los números enteros. Además de la habitual función de valor absoluto |·|: Q → R, existen funciones p-ádicas de valor absoluto |·|_p: Q → R, definidas para cada número primo p, que miden la divisibilidad por p. El teorema de Ostrowski establece que todas estas son posibles funciones de valor absoluto en Q (hasta la equivalencia). Por lo tanto, los valores absolutos son un lenguaje común para describir tanto la incrustación real de Q como los números primos.

A lugar de un campo número algebraico es una clase de equivalencia de funciones de valor absoluto en K. Hay dos tipos de lugares. Hay un ${displaystyle {Mathfrak}}$ - valor absoluto adictivo para cada ideal principal ${displaystyle {Mathfrak}}$ de O, y, como el p- valores absolutos adictivos, mide divisibilidad. Estos se llaman lugares finitos. El otro tipo de lugar se especifica utilizando una incrustación real o compleja de K y la función de valor absoluto estándar en R o C. Estos son Lugares infinitos. Debido a que los valores absolutos no pueden distinguir entre una compleja incrustación y su conjugado, una compleja incrustación y su conjugado determinan el mismo lugar. Por lo tanto, hay $r 1$ lugares reales y $r 2$ lugares complejos. Debido a que los lugares abarcan los principales, los lugares a veces se denominan primos. Cuando esto se hace, los lugares finitos se llaman finitos primos y lugares infinitos se llaman Primos infinitos. Si $v$ es una valoración correspondiente a un valor absoluto, luego se escribe con frecuencia ${displaystyle vmid infty}$ para significar que $v$ es un lugar infinito y ${displaystyle vnmid infty}$ significar que es un lugar finito.

Considerando todos los lugares del campo juntos produce el anillo adele del campo numérico. El anillo adele permite rastrear simultáneamente todos los datos disponibles utilizando valores absolutos. Esto produce ventajas significativas en situaciones donde el comportamiento en un lugar puede afectar el comportamiento en otros lugares, como en la ley de reciprocidad de Artin.

Lugares en el infinito geométricamente

Hay una analogía geométrica para los lugares en la infinidad que sostiene en los campos de función de las curvas. Por ejemplo, vamos ${displaystyle k=mathbb {F} _{q}$ y ${displaystyle X/k}$ ser una curva suave, proyectiva, algebraica. El campo de función ${displaystyle F=k(X)}$ tiene muchos valores absolutos, o lugares, y cada uno corresponde a un punto en la curva. Si ${displaystyle X}$ es la terminación proyectada de una curva de afine ${displaystyle {hat {X}subset mathbb {fn}$ entonces los puntos en ${displaystyle X-{hat {X}}$ corresponden a los lugares en el infinito. Entonces, la terminación de ${displaystyle F}$ en uno de estos puntos da una analogía del ${displaystyle p}$ - médicos.

Por ejemplo, si ${displaystyle X=mathbb {} {}}}$ entonces su campo de función es isomorfo ${displaystyle k(t)}$ Donde ${displaystyle t}$ es un indeterminante y el campo ${displaystyle F}$ es el campo de fracciones de polinomios en ${displaystyle t}$ . Entonces, un lugar ${displaystyle V_{p}$ en un momento ${displaystyle pin X}$ mide el orden de desaparición o el orden de un polo de una fracción de polinomios ${displaystyle p(x)/q(x)}$ en el punto ${displaystyle p}$ . Por ejemplo, si ${displaystyle p=[2:1]$ , así que en el gráfico de afin ${displaystyle x_{1}neq 0}$ esto corresponde al punto ${displaystyle 2in mathbb {A} }$ , la valoración ${displaystyle v_{2}$ medidas el orden de desvanecerse ${displaystyle p(x)}$ menos el orden de desaparecer ${displaystyle q(x)}$ a ${displaystyle 2}$ . El campo de función de la terminación en el lugar ${displaystyle v_{2}$ entonces ${displaystyle k(t-2)}$ que es el campo de la serie de potencia en la variable ${displaystyle t-2}$ , por lo que un elemento es de la forma

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} +a_{-1}(t-1)^{-1}+a_{0}+a_{1}(t-2)+a_{2}(t-2)^{2}+cdots \cl=sum ¿Por qué?$

para algunos ${displaystyle kin mathbb {N}$ . Para el lugar en el infinito, esto corresponde al campo de función ${displaystyle k(1/t)}$ que son la serie de potencia de la forma

${displaystyle sum ¿Qué?$

Unidades

Los enteros tienen solo dos unidades, $1$ y $-1$ . Otros anillos de números enteros pueden admitir más unidades. Los enteros gaussianos tienen cuatro unidades, las dos anteriores así como $\pm i$ . Los enteros de Eisenstein $Z [exp(2π i / 3)]$ tienen seis unidades. Los números enteros en campos de números cuadráticos reales tienen infinitas unidades. Por ejemplo, en $Z [\sqrt 3]$ , cada potencia de 2 + √3 es una unidad, y todos estos poderes son distintos.

En general, el grupo de unidades de $O$ , denotado $O \times$ , es un grupo abeliano finitamente generado. El teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente implica que es una suma directa de una parte de torsión y una parte libre. Reinterpretando esto en el contexto de un campo numérico, la parte de torsión consta de las raíces de la unidad que se encuentran en $O$ . Este grupo es cíclico. La parte libre se describe mediante el teorema de la unidad de Dirichlet. Este teorema dice que el rango de la parte libre es $r 1 + r 2 - 1$ . Así, por ejemplo, los únicos campos para los que el rango de la parte libre es cero son $Q$ y los campos cuadráticos imaginarios. Una declaración más precisa que da la estructura de O^× ⊗_Z Q como También es posible el módulo Galois para el grupo Galois de K/Q.

La parte libre del grupo unidad se puede estudiar usando los infinitos lugares de $K$ . Considere la función

{displaystyle {begin{cases}L:K^{times }to mathbf {R} ^{1}+r_{2}\L(x)=(log Нени некованый наниковы)_{v}end{cases}}

Donde $v$ varía sobre los lugares infinitos $K$ y confidencialidad_v es el valor absoluto asociado con $v$ . La función $L$ es un homomorfismo de $K \times$ a un espacio vectorial real. Se puede demostrar que la imagen de $O \times$ es una celosa que abarca el hiperplano definido por ${displaystyle x_{1}+cdots - Sí.$ El covolumen de esta celosa es el regulador del campo número. Una de las simplificaciones que se hacen posibles al trabajar con el anillo de adele es que hay un solo objeto, el grupo de clase idele, que describe tanto el cociente por esta celosa como el grupo de clase ideal.

Función zeta

La función zeta de Dedekind de un campo numérico, análoga a la función zeta de Riemann, es un objeto analítico que describe el comportamiento de los ideales primos en $K$ . Cuando $K$ es una extensión abeliana de $Q$ , las funciones zeta de Dedekind son productos de las funciones L de Dirichlet, con un factor para cada carácter de Dirichlet. El carácter trivial corresponde a la función zeta de Riemann. Cuando $K$ es una extensión de Galois, la función zeta de Dedekind es la función L de Artin de la representación regular del grupo de Galois de $K$ , y tiene una factorización en términos de representaciones irreducibles de Artin del grupo de Galois.

La función zeta está relacionada con las otras invariantes descritas anteriormente por la fórmula del número de clase.

Campos locales

Completar un campo número K en un lugar w da un campo completo. Si la valoración es Archimedean, se obtiene R o C, si es no-Arquimedean y miente sobre un primo p de los racionales, uno obtiene una extensión finita ${displaystyle K_{w}/mathbf {T}$ un campo completo de valor discreto con campo de residuos finitos. Este proceso simplifica la aritmética del campo y permite el estudio local de los problemas. Por ejemplo, el teorema Kronecker-Weber se puede deducir fácilmente de la declaración local análoga. La filosofía detrás del estudio de campos locales está motivada en gran medida por métodos geométricos. En geometría algebraica, es común estudiar variedades localmente en un punto localizando a un ideal máximo. La información global puede ser recuperada al unir datos locales. Este espíritu es adoptado en la teoría del número algebraico. Dado un primo en el anillo de los enteros algebraicos en un campo número, es deseable estudiar el campo localmente en ese principio. Por lo tanto, uno localiza el anillo de los enteros algebraicos a ese primo y luego completa el campo de la fracción mucho en el espíritu de la geometría.

Resultados principales

Finitud del grupo de clase

Uno de los resultados clásicos en la teoría algebraica de números es que el grupo de clases ideal de un campo numérico algebraico K es finito. Esta es una consecuencia del teorema de Minkowski ya que solo hay un número finito de ideales integrales con norma menor que un número entero positivo fijo ^{página 78}. El orden del grupo de clase se denomina número de clase y, a menudo, se indica con la letra h.

Teorema de la unidad de Dirichlet

El teorema de la unidad de Dirichlet proporciona una descripción de la estructura del grupo multiplicativo de unidades O^× del anillo de números enteros O. Específicamente, establece que O^× es isomorfo a G × Z^r, donde G es el grupo cíclico finito formado por todas las raíces de unidad en O, y r = r₁ + r₂ − 1 (donde r₁ (respectivamente, r₂) indica el número de incrustaciones reales (respectivamente, pares de incrustaciones no reales conjugadas) de K). En otras palabras, O^× es un grupo abeliano finitamente generado de rango r₁ + r₂ − 1 cuya torsión consiste en las raíces de unidad en O.

Leyes de reciprocidad

En términos del símbolo de Legendre, la ley de reciprocidad cuadrática para los estados primos impares positivos

{displaystyle left({frac {fnK}right)left({frac} {q}p}right)=(-1)^{frac {p-1}{2}{frac} {q-1}{2}}}}

Una ley de reciprocidad es una generalización de la ley de reciprocidad cuadrática.

Hay varias formas diferentes de expresar las leyes de reciprocidad. Las primeras leyes de reciprocidad encontradas en el siglo XIX generalmente se expresaban en términos de un símbolo de residuo de potencia (p/q) que generalizaba el símbolo de reciprocidad cuadrática, que describe cuando un número primo es un nésimo residuo de potencia módulo otro primo, y dio una relación entre (p/q) y (q/p). Hilbert reformuló las leyes de reciprocidad diciendo que un producto sobre p de los símbolos de Hilbert (a,b/p), tomando valores en raíces de unidad, es igual a 1. La ley de reciprocidad reformulada de Artin establece que el símbolo de Artin de los ideales (o ideles) a los elementos de un grupo de Galois es trivial en un determinado subgrupo. Varias generalizaciones más recientes expresan leyes de reciprocidad usando cohomología de grupos o representaciones de grupos adélicos o grupos K algebraicos, y su relación con la ley de reciprocidad cuadrática original puede ser difícil de ver.

Fórmula del número de clase

La fórmula del número de clase relaciona muchas invariantes importantes de un campo numérico con un valor especial de su función zeta de Dedekind.

Áreas relacionadas

La teoría algebraica de números interactúa con muchas otras disciplinas matemáticas. Utiliza herramientas del álgebra homológica. A través de la analogía de los campos de funciones frente a los campos numéricos, se basa en técnicas e ideas de la geometría algebraica. Además, el estudio de esquemas de dimensiones superiores sobre Z en lugar de anillos numéricos se conoce como geometría aritmética. La teoría algebraica de números también se utiliza en el estudio de las 3 variedades hiperbólicas aritméticas.

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