Teoría de Nevanlinna

En el campo matemático del análisis complejo, la teoría de Nevanlinna es parte de la Teoría de funciones meromórficas. Fue ideado en 1925 por Rolf Nevanlinna. Hermann Weyl lo llamó "uno de los pocos grandes acontecimientos matemáticos del siglo (XX)". La teoría describe la distribución asintótica de las soluciones de la ecuación f(z) = a, a medida que a varía. Una herramienta fundamental es la característica de Nevanlinna T(r, f) que mide la tasa de crecimiento de una función meromórfica.

Otros contribuyentes principales en la primera mitad del siglo XX fueron Lars Ahlfors, André Bloch, Henri Cartan, Edward Collingwood, Otto Frostman, Frithiof Nevanlinna, Henrik Selberg, Tatsujiro Shimizu, Oswald Teichmüller, y Georges Valiron. En su forma original, la teoría de Nevanlinna trata de funciones meromórficas de una variable compleja definida en un disco |z| ≤ R o en todo el plano complejo (R = ∞). Las generalizaciones posteriores extendieron la teoría de Nevanlinna a funciones algebroides, curvas holomorfas, mapas holomórficos entre variedades complejas de dimensión arbitraria, mapas cuasiregulares y superficies mínimas.

Este artículo describe principalmente la versión clásica para funciones meromorfas de una variable, con énfasis en funciones meromorfas en el plano complejo. Las referencias generales para esta teoría son Goldberg & Ostrovskii, Hayman y Lang (1987).

Característica de Nevanlinna

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Nevanlinna 's original definition

Sea f una función meromórfica. Para cada r ≥ 0, sea n(r,f) el número de polos, contando la multiplicidad, de la función meromorfa f en el disco |z| ≤ r. Luego defina la función de conteo de Nevanlinna mediante

N()r,f)=∫ ∫ 0r()n()t,f)− − n()0,f))dtt+n()0,f)log⁡ ⁡ r.{displaystyle N(r,f)=int limits _{0}left(n(t,f)-n(0,f)right){dfrac {dt}}+n(0,f)log r.,}

Esta cantidad mide el crecimiento del número de polos en los discos |z| ≤ r, como r aumenta. Explícitamente, sea a₁, a₂,..., a_n sean los polos de ƒ en el disco perforado 0 < |z| ≤ r repetido según multiplicidad. Entonces n = n(r,f) - n(0,f), y

N()r,f)=.. k=1nlog⁡ ⁡ ()rSilencioakSilencio)+n()0,f)log⁡ ⁡ r.{displaystyle N(r,f)=sum _{k=1}logleft({frac] {R} {fnK}right)+n(0,f)log r.}

Dejemos que log⁺x = max(log x, 0). Entonces la función de proximidad está definida por

m()r,f)=12π π ∫ ∫ 02π π log+⁡ ⁡ Silenciof()reiSilencio Silencio )SilenciodSilencio Silencio .{displaystyle m(r,f)={1}{2pi }int _{0}^{2pi }log ^{+}left imperf(re^{itheta)rightdtheta.

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Finally, define the Nevanlinna characteristic by (c. Jensen 's formula for meromorphic functions)

T()r,f)=m()r,f)+N()r,f).{displaystyle T(r,f)=m(r,f)+N(r,f).,}

Versión Ahlfors-Shimizu

Un segundo método para definir la característica de Nevanlinna se basa en la fórmula

∫ ∫ 0rdtt()1π π ∫ ∫ SilenciozSilencio≤ ≤ tSilenciof.Silencio2()1+SilenciofSilencio2)2dm)=T()r,f)+O()1),{displaystyle int ¿Qué? {dt}left({frac} {1}{pi }}int _{f't}{frac {f' habitf' habit^{2}{(1+Principi:i)}{2}dmright)=T(r,f)+O(1),,}

donde dm es el elemento de área en el plano. La expresión del lado izquierdo se llama Característica de Ahlfors-Shimizu. El término acotado O(1) no es importante en la mayoría de las preguntas.

El significado geométrico de la característica Ahlfors-Shimizu es el siguiente. La integral interna dm es el área esférica de la imagen del disco |z| ≤ t, contando la multiplicidad (es decir, las partes de la esfera de Riemann cubiertas k veces se cuentan k veces). Esta área está dividida por π que es el área de toda la esfera de Riemann. El resultado puede interpretarse como el número medio de láminas que cubren la esfera de Riemann mediante el disco |z| ≤ t. Luego este número de cobertura promedio se integra con respecto a t con peso 1/t.

Propiedades

El papel de la función característica en la teoría de funciones meromórficas en el plano es similar al de

log⁡ ⁡ M()r,f)=log⁡ ⁡ maxSilenciozSilencio≤ ≤ rSilenciof()z)Silencio{displaystyle log M(r,f)=log max _{ imperz arrestleq r} arrestf(z) tolera,}

en la teoría de funciones enteras. De hecho, es posible comparar directamente T(r,f) y M(r ,f) para una función completa:

T()r,f)≤ ≤ log+⁡ ⁡ M()r,f){displaystyle T(r,f)leq log ^{+}M(r,f),}

y

log⁡ ⁡ M()r,f)≤ ≤ ()R+rR− − r)T()R,f),{displaystyle log M(r,f)leq left({dfrac {R+r}{R-r}right)T(R,f),,}

para cualquier R > r.

Si f es una función racional de grado d, entonces T(r,f ) ~ d log r; de hecho, T(r,f) = O(log r) si y sólo si f es una función racional.

El orden de una función meromórfica está definido por

*** *** ()f)=lim supr→ → JUEGO JUEGO log+⁡ ⁡ T()r,f)log⁡ ⁡ r.{displaystyle rho (f)=limsup ¿Por qué?

Las funciones de orden finito constituyen una subclase importante que fue muy estudiada.

Cuando el radio R del disco |z| ≤ R, en el que se define la función meromorfa, es finita, la característica de Nevanlinna puede estar acotada. Las funciones en un disco con característica acotada, también conocidas como funciones de tipo acotado, son exactamente aquellas funciones que son razones de funciones analíticas acotadas. Las funciones de tipo acotado también pueden definirse así para otro dominio, como el semiplano superior.

Primer teorema fundamental

Sea a ∈ C y defina

N()r,a,f)=N()r,1f− − a),m()r,a,f)=m()r,1f− − a).{displaystyle quad N(r,a,f)=Nleft(r,{dfrac {1}{f-a}right),quad m(r,a,f)=mleft(r,{dfrac {1}{f-a}}right).,}}}

Para a = ∞, configuramos N(r,∞,f) = N(r,f), m(r,∞,f) = m(r,f).

El Primer Teorema Fundamental de la teoría de Nevanlinna establece que para cada a en la esfera de Riemann,

T()r,f)=N()r,a,f)+m()r,a,f)+O()1),{displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),,}

donde el término acotado O(1) puede depender de f y a. Para funciones meromórficas no constantes en el plano, T(r, f) tiende al infinito cuando r tiende hasta el infinito, entonces el Primer Teorema Fundamental dice que la suma N(r,a,f) + m (r,a,f), tiende al infinito a una velocidad que es independiente de a >. El primer teorema fundamental es una consecuencia simple. de la fórmula de Jensen.

La función característica tiene las siguientes propiedades del grado:

T()r,fg)≤ ≤ T()r,f)+T()r,g)+O()1),T()r,f+g)≤ ≤ T()r,f)+T()r,g)+O()1),T()r,1/f)=T()r,f)+O()1),T()r,fm)=mT()r,f)+O()1),{displaystyle {begin{array}{lcl}T(r,fg) sensibleleq >T(r,f)+T(r,g)+O(1),T(r,f+g) sensibleleq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),T(r,1/f) adult=T(r,f=

donde m es un número natural. El término acotado O(1) es insignificante cuando T(r,f) tiende al infinito. Estas propiedades algebraicas se obtienen fácilmente a partir de la definición de Nevanlinna y la fórmula de Jensen.

Segundo teorema fundamental

Definimos N(r, f) en de la misma manera que N(r,f) pero sin tener en cuenta la multiplicidad (es decir, solo contamos el número de polos distintos). Entonces N₁(r,f) se define como la función de conteo de Nevanlinna de puntos críticos de f, es decir

N1()r,f)=2N()r,f)− − N()r,f.)+N()r,1f.)=N()r,f)+N̄ ̄ ()r,f)+N()r,1f.).{displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+Nleft(r,{dfrac {1}{f'}right)=N(r,f)+{overline {N}(r,f)+Nleft(r,{dfrac {1}{f'}right).

El segundo teorema fundamental dice que para cada k valores distintos a_j en la esfera de Riemann, tenemos tener

.. j=1km()r,aj,f)≤ ≤ 2T()r,f)− − N1()r,f)+S()r,f).{displaystyle sum _{j=1}{k}m(r,a_{j},f)leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f).,}

Esto implica

()k− − 2)T()r,f)≤ ≤ .. j=1kN̄ ̄ ()r,aj,f)+S()r,f),{displaystyle (k-2)T(r,f)leq sum _{j=1}{k}{overline {N}(r,a_{j},f)+S(r,f),,}

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where S(r,f) is a "small error term ".

Para funciones meromórficas en el plano, S(r,f) = o(T(r,f)), fuera de un conjunto de longitud finita, es decir, el término de error es pequeño en comparación con la característica para "la mayoría" valores de r. estimaciones mucho mejores de Se conocen los términos de error, pero André Bloch hizo conjeturas y Hayman demostró que no se puede disponer de un conjunto excepcional.

El Segundo Teorema Fundamental permite dar un límite superior para la función característica en términos de N(r,a). Por ejemplo, si f es una función entera trascendental, usando el segundo teorema fundamental con k = 3 y a₃ = ∞, obtenemos que f toma cada valor infinitamente veces, con como máximo dos excepciones, demostrando el teorema de Picard.

La demostración original de Nevanlinna del Segundo Teorema Fundamental se basó en el llamado Lema de la derivada logarítmica, que dice que m(r,f'/f) = S(r,f). Una prueba similar se aplica también a muchas generalizaciones multidimensionales. También hay pruebas de geometría diferencial que lo relacionan con el teorema de Gauss-Bonnet. El Segundo Teorema Fundamental también puede derivarse de la teoría métrico-topológica de Ahlfors, que puede considerarse como una extensión de la fórmula de Riemann-Hurwitz a las coberturas de grado infinito.

Las demostraciones de Nevanlinna y Ahlfors indican que la constante 2 en el Segundo Teorema Fundamental está relacionada con la característica de Euler de la esfera de Riemann. Sin embargo, hay explicaciones muy diferentes de esto 2, basadas en una profunda analogía con la teoría de números descubierta por Charles Osgood y Paul Vojta. Según esta analogía, 2 es el exponente del teorema de Thue-Siegel-Roth. Sobre esta analogía con la teoría de números nos remitimos al estudio de Lang (1987) y al libro de Ru (2001).

Relación de defectos

La relación de defectos es uno de los principales corolarios del Segundo Teorema Fundamental. El defecto de una función meromorfa en el punto a está definido por la fórmula

δ δ ()a,f)=lim infr→ → JUEGO JUEGO m()r,a,f)T()r,f)=1− − lim supr→ → JUEGO JUEGO N()r,a,f)T()r,f).{displaystyle delta (a,f)=liminf _{rrightarrow infty }{frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}=1-limsup _{rrightarrow infty }{dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}},,

Según el primer teorema fundamental, 0 ≤ δ(a,f) ≤ 1, si T (r,f) tiende al infinito (que siempre es el caso de funciones meromórficas no constantes en el plano). Los puntos a para los cuales δ(a,f) > 0 se denominan valores deficientes. El Segundo Teorema Fundamental implica que el conjunto de valores deficientes de una función meromorfa en el plano es como mucho contable y se cumple la siguiente relación:

.. aδ δ ()a,f)≤ ≤ 2,{displaystyle sum _{a}delta (a,f)leq 2,,}

donde la suma es sobre todos los valores deficientes. Esto puede considerarse como una generalización del teorema de Picard. Muchos otros teoremas de tipo Picard pueden derivarse del Segundo Teorema Fundamental.

Como otro corolario del Segundo Teorema Fundamental, se puede obtener que

T()r,f.)≤ ≤ 2T()r,f)+S()r,f),{displaystyle T(r,f')leq 2T(r,f)+S(r,f),,}

que generaliza el hecho de que una función racional de grado d tiene 2d − 2 < 2d puntos críticos.

Aplicaciones

La teoría de Nevanlinna es útil en todas las cuestiones donde surgen funciones meromórficas trascendentales, como teoría analítica de ecuaciones diferenciales y funcionales, dinámica holomorfa, superficies mínimas y geometría hiperbólica compleja, que trata de generalizaciones del teorema de Picard a niveles superiores dimensiones.

Mayor desarrollo

Una parte sustancial de la investigación en funciones de una variable compleja en el siglo XX se centró en Teoría de Nevanlinna. Una dirección de esta investigación fue descubrir si las principales conclusiones de Nevanlinna La teoría es la mejor posible. Por ejemplo, el Problema Inverso de la teoría de Nevanlinna consiste en construir funciones meromórficas con deficiencias preasignadas en puntos dados. esto fue resuelto por David Drasin en 1976. Otra dirección se concentró en el estudio de varias subclases de la clase. de todas las funciones meromórficas en el plano. La subclase más importante consta de funciones de orden finito. Resulta que para esta clase las deficiencias están sujetas a varias restricciones, además a la relación de defecto (Norair Arakelyan, David Drasin, Albert Edrei, Alexandre Eremenko, Wolfgang Fuchs, Anatolii Goldberg, Walter Hayman, Joseph Miles, Daniel Shea, Oswald Teichmüller, Alan Weitsman y otros).

Henri Cartan, Joachim y Hermann Weyl y Lars Ahlfors extendieron la teoría de Nevanlinna a las curvas holomorfas. Esta extensión es la herramienta principal de Geometría Hiperbólica Compleja. Henrik Selberg y Georges Valiron renuevan Teoría de Nevanlinna a funciones algebroides. Aún continúa la investigación intensiva sobre la teoría unidimensional clásica.