Teoría de los números

La distribución de números primos es un punto central de estudio en la teoría de números. Este espiral Ulam sirve para ilustrarlo, insinuando, en particular, la independencia condicional entre ser primo y ser un valor de ciertos polinomios cuadráticos.

Teoría de números (o aritmética o aritmética superior en el uso antiguo) es una rama de las matemáticas puras dedicada principalmente al estudio de los números enteros y funciones con valores enteros. El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) dijo: "Las matemáticas son la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas". Los teóricos de números estudian los números primos, así como las propiedades de los objetos matemáticos construidos a partir de números enteros (por ejemplo, números racionales), o definidos como generalizaciones de los números enteros (por ejemplo, números enteros algebraicos).

Los números enteros pueden considerarse en sí mismos o como soluciones de ecuaciones (geometría diofántica). Las preguntas de la teoría de números a menudo se entienden mejor a través del estudio de objetos analíticos (por ejemplo, la función zeta de Riemann) que codifican propiedades de los números enteros, primos u otros objetos de teoría de números de alguna manera (teoría analítica de números). También se pueden estudiar los números reales en relación con los números racionales, por ejemplo, aproximados por estos últimos (aproximación diofántica).

El término más antiguo para la teoría de números es aritmética. A principios del siglo XX, había sido reemplazada por la "teoría de números". (La palabra "aritmética" es utilizada por el público en general para referirse a "cálculos elementales"; también ha adquirido otros significados en lógica matemática, como en aritmética de Peano, y ciencias de la computación, como en aritmética de punto flotante.) El uso del término aritmética para teoría de números recuperó algo de terreno en la segunda mitad del siglo XX, posiblemente en parte debido a la influencia francesa. En particular, aritmética se suele preferir como adjetivo a teórica de números.

Historia

Orígenes

El amanecer de la aritmética

La tableta Plimpton 322

El hallazgo histórico más antiguo de una naturaleza aritmética es un fragmento de una tabla: la tableta de arcilla rota Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, ca. 1800 BC) contiene una lista de "Triples pitagóricos", es decir, enteros ${displaystyle (a,b,c)}$ tales que ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Los triples son demasiados y demasiado grandes para ser obtenidos por la fuerza bruta. El título sobre la primera columna dice: "La takiltum de la diagonal que se ha restado tal que el ancho..."

La disposición de la mesa sugiere que fue construida por medio de lo que equivale, en lenguaje moderno, a la identidad

${displaystyle left({frac {1}{2}}left(x-{1}{x}right)}{2}+1=left({frac {1}{2}left(x+{frac {1}{x}{x}right)}{2}}}}}}} {2}}}}}}}}} {2}}}}}}}{2}}}}}}}}}}}{2}{2}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}{2}}{2}}}}}}}{2}}}}}}}}}}{2}}{2}}}}}}}{2}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{2}{2}{2}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{2}}{2}{2}}}}{2}}}}$

lo que es implícito en los ejercicios rutinarios del viejo Babilonia. Si se utilizó algún otro método, los triples fueron construidos primero y luego reordenados por ${displaystyle c/a}$, presumiblemente para uso real como una "tabla", por ejemplo, con vistas a las aplicaciones.

No se sabe cuáles pueden haber sido estas aplicaciones, o si pudo haber alguna; La astronomía babilónica, por ejemplo, realmente se hizo realidad solo más tarde. En cambio, se ha sugerido que la tabla era una fuente de ejemplos numéricos para problemas escolares.

Mientras que la teoría de números babilónica, o lo que sobrevive de las matemáticas babilónicas que pueden llamarse así, consta de este fragmento único y sorprendente, el álgebra babilónica (en el sentido de la escuela secundaria de 'álgebra') fue excepcionalmente bien desarrollado. Fuentes neoplatónicas tardías afirman que Pitágoras aprendió matemáticas de los babilonios. Fuentes mucho más antiguas afirman que Tales y Pitágoras viajaron y estudiaron en Egipto.

Euclido IX 21–34 es muy probablemente pitagórico; es material muy simple ("tiempos falsos incluso es incluso", "si un número impar mide [= divide] un número uniforme, entonces también mide [= divide] la mitad de él"), pero es todo lo que se necesita para probar que ${displaystyle {sqrt {2}}$es irracional. Los místicos pitagóricos dieron gran importancia a lo extraño y a lo incluso. El descubrimiento de que ${displaystyle {sqrt {2}}$ es irracional se acredita a los primeros Pitagóricos (pre-Theodorus). Al revelar (en términos modernos) que los números podrían ser irracionales, este descubrimiento parece haber provocado la primera crisis fundamental en la historia matemática; su prueba o su divulgación son a veces acreditados a Hippasus, que fue expulsado o separado de la secta pitagórica. Esto forzó una distinción entre números (los enteros y los racionales, los sujetos de la aritmética), por un lado, y longitudes y proporcionales (que identificaríamos con números reales, racionales o no), por otro lado.

La tradición pitagórica hablaba también de los llamados números poligonales o figurados. Si bien los números cuadrados, los números cúbicos, etc., se consideran ahora más naturales que los números triangulares, los números pentagonales, etc., el estudio de las sumas de los números triangulares y pentagonales resultaría fructífero a principios del período moderno (siglo XVII a principios del XIX).).

No conocemos ningún material claramente aritmético en las fuentes egipcias o védicas antiguas, aunque hay algo de álgebra en cada una. El teorema del resto chino aparece como un ejercicio en Sunzi Suanjing (siglos III, IV o V d.C.). (Hay un paso importante que se pasa por alto en la solución de Sunzi: es el problema que luego resolvió el Kuṭṭaka de Āryabhaṭa; ver más abajo).

También hay algo de misticismo numérico en las matemáticas chinas, pero, a diferencia de los pitagóricos, parece no haber llevado a ninguna parte. Como los pitagóricos' números perfectos, los cuadrados mágicos han pasado de la superstición a la recreación.

Grecia clásica y el período helenístico temprano

Aparte de unos pocos fragmentos, conocemos las matemáticas de la Grecia clásica a través de informes de no matemáticos contemporáneos o a través de trabajos matemáticos del período helenístico temprano. En el caso de la teoría de números, esto significa, en general, Platón y Euclides, respectivamente.

Si bien las matemáticas asiáticas influyeron en el aprendizaje griego y helenístico, parece ser que las matemáticas griegas también son una tradición indígena.

Eusebio, PE X, capítulo 4 menciona a Pitágoras:

"De hecho, los citados Pitágoras, mientras estudiaban la sabiduría de cada nación, visitaron Babilonia, y Egipto, y toda Persia, siendo instruido por los Magos y los sacerdotes; y además de éstos está relacionado con haber estudiado bajo los Brahmanes (estos son filósofos indios); y de algunos recogió astrología, de otros geometría, y aritmética y música de otros, y cosas diferentes de sí mismos

Aristóteles afirmó que la filosofía de Platón siguió de cerca las enseñanzas de los pitagóricos, y Cicerón repite esta afirmación: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Dicen que Platón aprendió todas las cosas pitagóricas").

Platón tenía un gran interés en las matemáticas, y distinguió claramente entre aritmética y cálculo. (By aritmética significaba, en parte, teorizar en número, en lugar de lo que aritmética o teoría del número han llegado a significar.) Es a través de uno de los diálogos de Platón, llamado Theaetetus, que sabemos que Theodorus había demostrado que ${fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif}$ son irracionales. Theaetetus era, como Platón, discípulo de Theodorus; trabajaba en distinguir diferentes tipos de incommensurables, y por lo tanto era un pionero en el estudio de sistemas de números. (El Libro X de los Elementos de Euclides es descrito por Pappus como basado en gran parte en el trabajo de Theaetetus.)

Euclides dedicó parte de sus Elementos a los números primos y la divisibilidad, temas que pertenecen inequívocamente a la teoría de números y son básicos para ella (Libros VII a IX de los Elementos de Euclides). En particular, dio un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números (el algoritmo de Euclides; Elementos, Prop. VII.2) y la primera prueba conocida de la infinitud de los números primos ( Elementos, Prop. IX.20).

En 1773, Lessing publicó un epigrama que había encontrado en un manuscrito durante su trabajo como bibliotecario; afirmaba ser una carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes. El epigrama proponía lo que se conoce como el problema del ganado de Arquímedes; su solución (ausente en el manuscrito) requiere resolver una ecuación cuadrática indeterminada (que se reduce a lo que más tarde sería mal llamada ecuación de Pell). Por lo que sabemos, tales ecuaciones fueron tratadas con éxito por primera vez por la escuela india. No se sabe si el propio Arquímedes tenía un método de solución.

Diofanto

Título de la edición 1621 de Diophantus Arithmetica, traducido al latín por Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Muy poco se sabe acerca de Diófanto de Alejandría; probablemente vivió en el siglo III dC, es decir, unos quinientos años después de Euclides. Seis de los trece libros de Diophantus Arithmetica sobrevivir en el griego original y cuatro más sobrevivir en una traducción al árabe. El Arithmetica es una colección de problemas de trabajo donde la tarea es invariablemente para encontrar soluciones racionales a un sistema de ecuaciones polinómicas, generalmente de la forma ${displaystyle f(x,y)=z^{2}$ o ${displaystyle f(x,y,z)=w^{2}$. Así, hoy hablamos de Ecuaciones de diofantina cuando hablamos de ecuaciones polinómicas a las que se deben encontrar soluciones racionales o inteligentes.

Se puede decir que Diophantus estaba estudiando puntos racionales, es decir, puntos cuyas coordenadas son racionales, sobre curvas y variedades algebraicas; sin embargo, a diferencia de los griegos del período clásico, que hizo lo que ahora llamaríamos álgebra básica en términos geométricos, Diophantus hizo lo que ahora llamaríamos geometría algebraica básica en términos puramente algebraicos. En el lenguaje moderno, lo que Diophantus hizo fue encontrar parametrizaciones racionales de variedades; es decir, dada una ecuación de la forma (por ejemplo) ${displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3}=0}$, su objetivo era encontrar (en esencia) tres funciones racionales ${displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}$ tal que, para todos los valores ${displaystyle r}$ y ${displaystyle s}$, ajuste ${displaystyle x_{i}=g_{i}(r,s)}$ para ${displaystyle i=1,2,3}$ da una solución ${displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0. }$

Diophantus también estudió las ecuaciones de algunas curvas no racionales, para las cuales no es posible una parametrización racional. Se las arregló para encontrar algunos puntos racionales en estas curvas (curvas elípticas, por cierto, en lo que parece ser su primera ocurrencia conocida) por medio de lo que equivale a una construcción tangente: traducida a geometría de coordenadas (que no existía en la época de Diofanto), su método se visualizaría dibujando una tangente a una curva en un punto racional conocido y luego encontrando el otro punto de intersección de la tangente con la curva; ese otro punto es un nuevo punto racional. (Diofanto también recurrió a lo que podría llamarse un caso especial de construcción secante).

Si bien Diofanto se preocupó en gran medida por las soluciones racionales, asumió algunos resultados sobre números enteros, en particular, que todo número entero es la suma de cuatro cuadrados (aunque nunca lo declaró tan explícitamente).

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Si bien la astronomía griega probablemente influyó en el aprendizaje indio, hasta el punto de introducir la trigonometría, parece ser que las matemáticas indias son, por lo demás, una tradición indígena; en particular, no hay evidencia de que los Elementos de Euclides llegaran a la India antes del siglo XVIII.

Àryabhaijka (476–550 dC) mostró que pares de congruencias simultáneas ${displaystyle nequiv a_{1}{bmod {m}_{1}$, ${displaystyle nequiv a_{2}{bmod {m}_{2}$ podría ser resuelto por un método que llamó kuijkaka, o pulverizador; este es un procedimiento cercano a (una generalización de) el algoritmo de Euclidean, que probablemente fue descubierto independientemente en la India. Àryabhaijka parece haber tenido en mente aplicaciones a cálculos astronómicos.

Brahmagupta (628 d. C.) inició el estudio sistemático de las ecuaciones cuadráticas indefinidas, en particular, la mal llamada ecuación de Pell, en la que Arquímedes pudo haber estado interesado por primera vez, y que no comenzó a resolverse en Occidente hasta la época de Fermat. y Euler. Los autores sánscritos posteriores seguirían, utilizando la terminología técnica de Brahmagupta. Un procedimiento general (el chakravala, o 'método cíclico') para resolver la ecuación de Pell fue finalmente encontrado por Jayadeva (citado en el siglo XI; por lo demás, su trabajo se ha perdido); la exposición más antigua que se conserva aparece en la Bīja-gaṇita de Bhāskara II (siglo XII).

Las matemáticas indias permanecieron en gran medida desconocidas en Europa hasta finales del siglo XVIII; El trabajo de Brahmagupta y Bhāskara fue traducido al inglés en 1817 por Henry Colebrooke.

La aritmética en la edad de oro islámica

Al-Haytham como se ve en Occidente: en la primera pieza de Selenographia Alhasensic] representa el conocimiento a través de la razón y el conocimiento Galileo a través de los sentidos.

A principios del siglo IX, el califa Al-Ma'mun ordenó la traducción de muchas obras matemáticas griegas y al menos una obra sánscrita (el sinhind, que puede o no ser el Brāhmasphutasiddhānta de Brahmagupta). La obra principal de Diofanto, la Arithmetica, fue traducida al árabe por Qusta ibn Luqa (820–912). Parte del tratado al-Fakhri (de al-Karajī, 953 - ca. 1029) se basa en él hasta cierto punto. Según Rashed Roshdi, el contemporáneo de Al-Karajī, Ibn al-Haytham, conocía lo que más tarde se llamaría el teorema de Wilson.

Europa Occidental en la Edad Media

Aparte de un tratado sobre cuadrados en progresión aritmética de Fibonacci, que viajó y estudió en el norte de África y Constantinopla, no se hizo ninguna teoría de números en Europa occidental durante la Edad Media. Las cosas empezaron a cambiar en Europa a finales del Renacimiento, gracias a un renovado estudio de las obras de la antigüedad griega. Un catalizador fue la enmienda textual y la traducción al latín de Diofanto' Aritmética.

Teoría de números moderna temprana

Fermat

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1607–1665) nunca publicó sus escritos; en particular, su trabajo sobre teoría de números está contenido casi en su totalidad en cartas a matemáticos y en notas marginales privadas. En sus notas y cartas apenas escribió pruebas, no tenía modelos en la zona.

Durante su vida, Fermat hizo las siguientes contribuciones al campo:

• Uno de los primeros intereses de Fermat fue números perfectos (que aparecen en Euclid, Elementos IX) y números amistosos; estos temas lo llevaron a trabajar en divisores enteros, que eran desde el principio entre los temas de la correspondencia (1636 en adelante) que lo pusieron en contacto con la comunidad matemática del día.
• En 1638, Fermat afirmó, sin pruebas, que todo el número puede ser expresado como la suma de cuatro plazas o menos.
• Teorema de Fermat (1640): si a no es divisible por un primo p, entonces ${displaystyle a^{p-1}equiv 1{bmod {p}}$
• Si a y b son coprime, entonces ${displaystyle a^{2}+b^{2}$ no es divisible por cualquier congruente principal a −1 modulo 4; y cada congruente principal a 1 modulo 4 puede ser escrito en la forma ${displaystyle a^{2}+b^{2}$. Estas dos declaraciones también datan de 1640; en 1659, Fermat declaró a Huygens que había probado la última declaración por el método de ascendencia infinita.
• En 1657, Fermat planteó el problema de la solución ${displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ como un desafío para los matemáticos ingleses. El problema fue resuelto en unos meses por Wallis y Brouncker. Fermat consideró válida su solución, pero señaló que habían proporcionado un algoritmo sin prueba (como lo habían hecho Jayadeva y Bhaskara, aunque Fermat no era consciente de ello). Afirmó que una prueba podría ser encontrada por un descenso infinito.
• Fermat declaró y probó (por ascendencia infinita) en el apéndice a Observaciones sobre Diophantus (Obs. XLV) que ${displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ no tiene soluciones no-triviales en los enteros. Fermat también mencionó a sus corresponsales que ${displaystyle ¿Qué?$ no tiene soluciones no-triviales, y que esto también podría ser probado por ascendencia infinita. La primera prueba conocida se debe a Euler (1753; de hecho por ascendencia infinita).
• Fermat afirmó (el último teorema de Fermat) haber demostrado que no hay soluciones ${displaystyle ¿Qué?$ para todos ${displaystyle ngeq 3}$; esta reclamación aparece en sus anotaciones en los márgenes de su copia de Diophantus.

Euler

Leonhard Euler

El interés de Leonhard Euler (1707–1783) por la teoría de los números se estimuló por primera vez en 1729, cuando un amigo suyo, el aficionado Goldbach, le indicó algunos de los trabajos de Fermat sobre el tema. A esto se le ha llamado el "renacimiento" de la teoría de números moderna, después de la relativa falta de éxito de Fermat en lograr que sus contemporáneos atención por el tema. El trabajo de Euler sobre teoría de números incluye lo siguiente:

• Pruebas de las declaraciones de Fermat. Esto incluye el pequeño teorema de Fermat (generado por Euler a moduli no-prime); el hecho de que ${displaystyle p=x^{2}+y^{2}$ si ${displaystyle pequiv 1{bmod {4}}$; trabajo inicial para una prueba de que cada entero es la suma de cuatro plazas (la primera prueba completa es por Joseph-Louis Lagrange (1770), pronto mejorada por Euler mismo; la falta de soluciones no-cero entero a ${displaystyle ¿Qué?$ (implanteando el caso n=4 del último teorema de Fermat, el caso n=3 de los cuales Euler también demostró por un método relacionado).
• Ecuación de Pell, primero apodado por Euler. Escribió en el enlace entre fracciones continuas y la ecuación de Pell.
• Primeros pasos hacia la teoría de números analíticos. En su trabajo de sumas de cuatro plazas, particiones, números pentagonales y la distribución de números primos, Euler pionero en el uso de lo que se puede ver como análisis (en particular, series infinitas) en la teoría de números. Desde que vivió antes del desarrollo de un análisis complejo, la mayor parte de su trabajo se limita a la manipulación formal de la serie de poder. Sin embargo, hizo un trabajo muy notable (aunque no totalmente riguroso) temprano sobre lo que más tarde se llamaría la función Riemann zeta.
• Formas cuadráticas. Siguiendo el liderazgo de Fermat, Euler hizo más investigación sobre la cuestión de qué principios se pueden expresar en la forma ${displaystyle x^{2}+Ny^{2}$, algunos de ellos prefigurando la reciprocidad cuadrática.
• Ecuaciones de diofantina. Euler trabajó en algunas ecuaciones de Diofantina del género 0 y 1. En particular, estudió el trabajo de Diophantus; trató de sistematizarlo, pero el tiempo aún no estaba maduro para tal empeño: la geometría algebraica todavía estaba en su infancia. Se dio cuenta de que había una conexión entre los problemas de Diofantina y los integrales elípticos, cuyo estudio se había iniciado.

"Aquí había un problema, que yo, de 10 años, podía entender, y sabía desde ese momento que nunca lo dejaría ir. Tuve que resolverlo." – Sir Andrew Wiles sobre su prueba del último teorema de Fermat.

Lagrange, Legendre y Gauss

Disquisas de Carl Friedrich Gauss Arithmeticae, primera edición

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fue el primero en dar pruebas completas de algunos de los trabajos y observaciones de Fermat y Euler, por ejemplo, el teorema de cuatro cuadras y la teoría básica de la ecuación errónea de "Pell" (para la cual una solución algorítmica fue encontrada por Fermat y sus contemporáneos, y también por Jayadeva y Bhaskara II ante ellos). También estudió formas cuadráticas en plena generalidad (a diferencia de ${displaystyle mX^{2}+nY^{2}$) - Definición de su relación de equivalencia, mostrando cómo ponerlos en forma reducida, etc.

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fue el primero en declarar la ley de la reciprocidad cuadrática. Él también conjetura lo que equivale al teorema del número primo y el teorema de Dirichlet en progresiones aritméticas. Él dio un tratamiento completo de la ecuación ${displaystyle Ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ y trabajó en formas cuadráticas a lo largo de las líneas desarrolladas más tarde por Gauss. En su vejez, fue el primero en probar el último teorema de Fermat ${displaystyle n=5}$ (completo trabajo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet, y acreditando tanto él como Sophie Germain).

Carl Friedrich Gauss

En sus Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) demostró la ley de reciprocidad cuadrática y desarrolló la teoría de las formas cuadráticas (en particular, definiendo su composición). También introdujo algo de notación básica (congruencias) y dedicó una sección a cuestiones computacionales, incluidas las pruebas de primalidad. La última sección de las Disquisitiones estableció un vínculo entre las raíces de la unidad y la teoría de números:

La teoría de la división del círculo... que se trata en el sec. 7 no pertenece por sí mismo aritmética, pero sus principios sólo pueden ser extraídos de aritmética superior.

De esta manera, se podría decir que Gauss hizo una primera incursión tanto en el trabajo de Évariste Galois como en la teoría algebraica de números.

Madurez y división en subcampos

Ernst Kummer

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

A partir de principios del siglo XIX, se produjeron gradualmente los siguientes desarrollos:

• El surgimiento de la autoconsciencia de la teoría de números (o aritmética superior) como un campo de estudio.
• El desarrollo de gran parte de las matemáticas modernas necesarias para la teoría básica de números modernos: análisis complejo, teoría de grupo, teoría de Galois — acompañado por mayor rigor en el análisis y abstracción en el álgebra.
• La subdivisión áspera de la teoría del número en sus subcampos modernos, en particular, la teoría analítica y algebraica del número.

Puede decirse que la teoría algebraica de números comenzó con el estudio de la reciprocidad y la ciclotomía, pero realmente se hizo realidad con el desarrollo del álgebra abstracta y las primeras teorías ideales y de valoración; vea abajo. Un punto de partida convencional para la teoría analítica de números es el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (1837), cuya prueba introdujo funciones L e involucró un análisis asintótico y un proceso de limitación en una variable real. El primer uso de ideas analíticas en la teoría de números en realidad se remonta a Euler (década de 1730), quien utilizó series de potencias formales y argumentos limitantes no rigurosos (o implícitos). El uso del análisis complejo en teoría de números viene más tarde: el trabajo de Bernhard Riemann (1859) sobre la función zeta es el punto de partida canónico; El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi (1839), que lo antecede, pertenece a una vertiente inicialmente diferente que ahora ha tomado un papel principal en la teoría analítica de números (formas modulares).

La historia de cada subcampo se aborda brevemente en su propia sección a continuación; consulte el artículo principal de cada subcampo para tratamientos más completos. Muchas de las preguntas más interesantes en cada área permanecen abiertas y se están trabajando activamente.

Subdivisiones principales

Teoría elemental de números

El término elemental generalmente denota un método que no utiliza un análisis complejo. Por ejemplo, el teorema de los números primos se demostró por primera vez mediante un análisis complejo en 1896, pero Erdős y Selberg no encontraron una prueba elemental hasta 1949. El término es algo ambiguo: por ejemplo, las demostraciones basadas en teoremas tauberianos complejos (por ejemplo, Wiener-Ikehara) a menudo se consideran bastante ilustrativas pero no elementales, a pesar de utilizar el análisis de Fourier, en lugar del análisis complejo como tal. Aquí como en otros lugares, una prueba elemental puede ser más larga y más difícil para la mayoría de los lectores que una prueba no elemental.

Número de teóricos Paul Erdős y Terence Tao en 1985, cuando Erdős tenía 72 años y Tao tenía 10.

La teoría de números tiene la reputación de ser un campo en el que muchos de sus resultados pueden ser comunicados al profano. Al mismo tiempo, las pruebas de estos resultados no son particularmente accesibles, en parte porque la gama de herramientas que utilizan es, en todo caso, inusualmente amplia dentro de las matemáticas.

Teoría analítica de números

Función Riemann zetas) en el plano complejo. El color de un punto s da el valor de s): Colores oscuros denotan valores cercanos a cero y hue da el argumento del valor.

La acción del grupo modular en el medio plano superior. La región en gris es el dominio fundamental estándar.

Teoría analítica de números puede definirse

• en términos de sus herramientas, como el estudio de los enteros por medio de herramientas de análisis real y complejo; o
• en términos de sus preocupaciones, como el estudio dentro de la teoría de números de estimaciones sobre tamaño y densidad, en lugar de identidades.

Algunos temas generalmente considerados como parte de la teoría analítica de números, por ejemplo, la teoría de tamices, están mejor cubiertos por la segunda definición que por la primera: parte de la teoría de tamices, por ejemplo, usa poco análisis, pero pertenece a teoría analítica de números.

Los siguientes son ejemplos de problemas en la teoría analítica de números: el teorema de los números primos, la conjetura de Goldbach (o la conjetura de los primos gemelos, o las conjeturas de Hardy-Littlewood), el problema de Waring y la hipótesis de Riemann. Algunas de las herramientas más importantes de la teoría analítica de números son el método del círculo, los métodos de criba y las funciones L (o, más bien, el estudio de sus propiedades). La teoría de las formas modulares (y, más generalmente, las formas automórficas) también ocupa un lugar cada vez más central en la caja de herramientas de la teoría analítica de números.

Uno puede hacer preguntas analíticas sobre números algebraicos y usar medios analíticos para responder tales preguntas; es así como se cruzan la teoría algebraica y la analítica de números. Por ejemplo, uno puede definir ideales primos (generalizaciones de números primos en el campo de los números algebraicos) y preguntar cuántos ideales primos hay hasta cierto tamaño. Esta pregunta puede responderse mediante un examen de las funciones zeta de Dedekind, que son generalizaciones de la función zeta de Riemann, un objeto analítico clave en las raíces del tema. Este es un ejemplo de un procedimiento general en la teoría analítica de números: derivar información sobre la distribución de una secuencia (aquí, ideales primos o números primos) a partir del comportamiento analítico de una función de valores complejos construida adecuadamente.

Teoría algebraica de números

An número algebraico es cualquier número complejo que es una solución a alguna ecuación polinomial ${displaystyle f(x)=0}$ con coeficientes racionales; por ejemplo, cada solución ${displaystyle x}$ de ${displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$ (es decir) es un número algebraico. Campos de números algebraicos también se llaman campos de número álgebraico, o en breve Número de campos. La teoría del número algebraico estudia los campos número algebraico. Así, la teoría analítica y algebraica del número puede y hace superposición: el primero se define por sus métodos, el último por sus objetos de estudio.

Podría argumentarse que el tipo más simple de campos de números (viz., campos cuadráticos) ya fueron estudiados por Gauss, como la discusión de formas cuadráticas en Disquisición arithmeticae se puede reposar en términos de ideales y normas en campos cuadráticos. (A campo cuadrático consta de todo números de la forma ${displaystyle a+b{sqrt {d}}$, donde ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son números racionales y ${displaystyle d}$es un número racional fijo cuya raíz cuadrada no es racional.) Para ello, el método chakravala del siglo XI equivale, en términos modernos, a un algoritmo para encontrar las unidades de un campo número quadrático real. Sin embargo, ni Bhāskara ni Gauss sabían de campos numéricos como tales.

Los motivos del tema como sabemos se establecieron a finales del siglo XIX, cuando números ideales, el teoría de los ideales y teoría de la valoración fueron desarrollados; estas son tres maneras complementarias de tratar con la falta de una factorización única en los campos de número algebraico. (Por ejemplo, en el campo generado por los racionales y ${displaystyle {sqrt {-5}}$, el número ${displaystyle 6}$ puede ser factorizado tanto como ${displaystyle 6=2cdot 3}$ y ${displaystyle 6=(1+{sqrt {-5})(1-{sqrt {-5}}}$; todos ${displaystyle 2}$, ${displaystyle 3}$, ${displaystyle 1+{sqrt {-5}}$ y ${displaystyle 1-{sqrt {-5}}$son irreducibles, y por lo tanto, en un sentido ingenuo, análogo a los primos entre los enteros.) El impulso inicial para el desarrollo de números ideales (por Kummer) parece haber venido del estudio de leyes de reciprocidad superior, es decir, generalizaciones de reciprocidad cuadrática.

Los campos numéricos a menudo se estudian como extensiones de campos numéricos más pequeños: un campo L se dice que es una extensión de un campo K si L contiene K. (Por ejemplo, los números complejos C son una extensión de los reales R, y los reales R son una extensión de los racionales P.) Clasificar las posibles extensiones de un campo numérico dado es un problema difícil y parcialmente abierto. Extensiones abelianas, es decir, extensiones L de K tales que el grupo de Galois Gal(L/K) de L sobre K es un grupo abeliano, se entienden relativamente bien. Su clasificación fue el objeto del programa de la teoría del campo de clases, que se inició a fines del siglo XIX (en parte por Kronecker y Eisenstein) y se llevó a cabo en gran parte entre 1900 y 1950.

Un ejemplo de un área activa de investigación en teoría algebraica de números es la teoría de Iwasawa. El programa Langlands, uno de los principales planes actuales de investigación a gran escala en matemáticas, a veces se describe como un intento de generalizar la teoría de campos de clase a extensiones no abelianas de campos numéricos.

Geometría diofántica

El problema central de la geometría diofántica es determinar cuándo una ecuación diofántica tiene soluciones y, si las tiene, cuántas. El enfoque adoptado es pensar en las soluciones de una ecuación como un objeto geométrico.

Por ejemplo, una ecuación en dos variables define una curva en el plano. Más generalmente, una ecuación, o sistema de ecuaciones, en dos o más variables define una curva, una superficie o algún otro objeto similar en un espacio n-dimensional. En geometría diofántica, uno se pregunta si hay puntos racionales (puntos cuyas coordenadas son todas racionales) o puntos integrales (puntos cuyas coordenadas son números enteros) en la curva o superficie. Si existen tales puntos, el siguiente paso es preguntar cuántos hay y cómo se distribuyen. Una pregunta básica en esta dirección es si hay finitamente o infinitos puntos racionales en una curva dada (o superficie).

En la ecuación pitagórica ${displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$nos gustaría estudiar sus soluciones racionales, es decir, sus soluciones ${displaystyle (x,y)}$ tales que x y Sí. ambos son racionales. Esto es lo mismo que pedir todas las soluciones de enteros a ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$; cualquier solución a la última ecuación da una solución ${displaystyle x=a/c}$, ${displaystyle Y=b/c}$ al primero. Es también el igual que pedir todos los puntos con coordenadas racionales en la curva descritas ${displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. (Esta curva es un círculo de radio 1 alrededor del origen.)

Dos ejemplos de una curva elíptica, es decir, una curva del género 1 que tiene al menos un punto racional. (El gráfico Either se puede ver como una rebanada de un toro en el espacio cuatridimensional.)

El replanteamiento de preguntas sobre ecuaciones en términos de puntos en curvas resulta ser felícito. La finicidad o no del número de puntos racionales o enteros en una curva algebraica —es decir, soluciones racionales o enteros a una ecuación ${displaystyle f(x,y)=0}$, donde ${displaystyle f}$ es un polinomio en dos variables – resulta depender crucialmente de la género de la curva. El género puede definirse como sigue: permitir las variables en ${displaystyle f(x,y)=0}$ ser números complejos; entonces ${displaystyle f(x,y)=0}$ define una superficie 2-dimensional en (proyecto) espacio 4-dimensional (ya que dos variables complejas se pueden descomponer en cuatro variables reales, es decir, cuatro dimensiones). Si contamos el número de agujeros (doughnut) en la superficie; llamamos a este número el género de ${displaystyle f(x,y)=0}$. Otras nociones geométricas resultan ser tan cruciales.

Hay también el área estrechamente vinculada de aproximaciones de Diofantina: dado un número ${displaystyle x}$, entonces encontrando lo bien que puede ser aproximado por los racionales. (Estamos buscando aproximaciones que son buenas relativas a la cantidad de espacio que se necesita para escribir el racional: llamada ${displaystyle a/q}$ (con ${displaystyle gcd(a,q)=1}$) una buena aproximación a ${displaystyle x}$ si ${displaystyle - ¿Qué?$, donde ${displaystyle c}$ es grande.) Esta cuestión es de interés especial si ${displaystyle x}$ es un número algebraico. Si ${displaystyle x}$ no puede ser bien aproximado, entonces algunas ecuaciones no tienen soluciones inteligentes o racionales. Además, varios conceptos (especialmente el de la altura) resultan críticos tanto en la geometría de Diofantina como en el estudio de aproximaciones de Diofantina. Esta pregunta es también de interés especial en la teoría del número trascendental: si un número puede ser mejor aproximado que cualquier número algebraico, entonces es un número trascendental. Es por este argumento que π y e han demostrado ser trascendental.

La geometría diofántica no debe confundirse con la geometría de los números, que es una colección de métodos gráficos para responder ciertas preguntas en la teoría algebraica de números. Geometría aritmética, sin embargo, es un término contemporáneo por mucho el mismo dominio que el cubierto por el término geometría diofántica. Podría decirse que el término geometría aritmética se usa más a menudo cuando se desea enfatizar las conexiones con la geometría algebraica moderna (como en, por ejemplo, el teorema de Faltings) en lugar de técnicas en aproximaciones diofánticas.

Otros subcampos

Las áreas a continuación datan de no antes de mediados del siglo XX, incluso si se basan en material más antiguo. Por ejemplo, como se explica más adelante, el tema de los algoritmos en teoría de números es muy antiguo, en cierto sentido más antiguo que el concepto de prueba; al mismo tiempo, el estudio moderno de la computabilidad data solo de las décadas de 1930 y 1940, y la teoría de la complejidad computacional de la década de 1970.

Teoría de números probabilísticos

Gran parte de la teoría de números probabilísticos puede verse como un caso especial importante del estudio de variables que son casi, pero no del todo, independientes entre sí. Por ejemplo, el evento de que un entero aleatorio entre uno y un millón sea divisible por dos y el evento de que sea divisible por tres son casi independientes, pero no del todo.

A veces se dice que la combinatoria probabilista utiliza el hecho de que cualquier cosa sucede con probabilidad mayor que ${displaystyle 0}$ debe suceder a veces; se puede decir con la misma justicia que muchas aplicaciones de la teoría probabilística de números se mueven sobre el hecho de que lo que sea inusual debe ser raro. Si ciertos objetos algebraicos (por ejemplo, soluciones racionales o inteligentes a ciertas ecuaciones) pueden mostrarse en la cola de ciertas distribuciones definidas por la fuerza, sigue que hay pocos de ellos; esta es una afirmación no probabilística muy concreta, siguiendo una declaración probabilística.

A veces, un enfoque probabilístico no riguroso conduce a una serie de algoritmos heurísticos y problemas abiertos, en particular, la conjetura de Cramér.

Combinatoria aritmética

Si comenzamos de un conjunto infinito bastante "pequeño" ${displaystyle A}$, contiene muchos elementos en progresión aritmética: ${displaystyle a}$, ${displaystyle a+b,a+2b,a+3b,ldotsa+10b}$¿Dijiste? Si es posible escribir números enteros grandes como sumas de elementos de ${displaystyle A}$?

Estas preguntas son características de aritmética combinatoria. Este es un campo actualmente coalescing; subsumes teoría de números aditivos (que se refiere a ciertos conjuntos muy específicos ${displaystyle A}$ de significación aritmética, como los primos o los cuadrados) y, posiblemente, algunos de los geometría de números, junto con algunos rápido desarrollo de material nuevo. Su enfoque en temas de crecimiento y distribución representa en parte sus vínculos de desarrollo con teoría ergondica, teoría de grupos finitos, teoría modelo y otros campos. El término combinatoria aditiva se utiliza también; sin embargo, los conjuntos ${displaystyle A}$ ser estudiado no necesita ser conjuntos de enteros, sino subconjuntos de grupos no conmutativos, para los cuales el símbolo de multiplicación, no el símbolo de adición, se utiliza tradicionalmente; también pueden ser subconjuntos de anillos, en cuyo caso el crecimiento de ${displaystyle A+A.$ y ${displaystyle A}$·${displaystyle A}$ puede ser comparado.

Teoría computacional de números

Un sieve Lehmer, un ordenador digital primitivo utilizado para encontrar primos y resolver simples ecuaciones Diophantine.

Mientras que la palabra algoritmo se remonta solo a ciertos lectores de al-Khwārizmī, las descripciones cuidadosas de los métodos de solución son más antiguas que las pruebas: tales métodos (es decir, algoritmos) son tan antiguos como cualquiera reconocible. las matemáticas —egipcias antiguas, babilónicas, védicas, chinas— mientras que las demostraciones aparecieron sólo con los griegos del período clásico.

Un caso temprano es el de lo que ahora llamamos el algoritmo de Euclidean. En su forma básica (denominado, como un algoritmo para computar el mayor divisor común) aparece como Proposición 2 del Libro VII en Elementos, junto con una prueba de corrección. Sin embargo, en la forma que se utiliza a menudo en la teoría de números (nombre, como un algoritmo para encontrar soluciones enteros a una ecuación ${displaystyle ax+by=c}$, o, lo que es lo mismo, para encontrar las cantidades cuya existencia está asegurada por el teorema de los restos chinos) aparece primero en las obras de Àryabhaåa (5th–6th century CE) como un algoritmo llamado kuijkaka ("pulverizador"), sin una prueba de corrección.

Hay dos preguntas principales: "¿Podemos calcular esto?" y "¿Podemos calcularlo rápidamente?" Cualquiera puede probar si un número es primo o, si no lo es, dividirlo en factores primos; hacerlo rápidamente es otro asunto. Ahora conocemos algoritmos rápidos para probar la primalidad, pero, a pesar de mucho trabajo (tanto teórico como práctico), no existe un algoritmo realmente rápido para la factorización.

La dificultad de un cálculo puede ser útil: los protocolos modernos para cifrar mensajes (por ejemplo, RSA) dependen de funciones que todos conocen, pero cuyas inversas solo conocen unos pocos elegidos, y tomaría demasiado tiempo. hora de averiguarlo por uno mismo. Por ejemplo, estas funciones pueden ser tales que sus inversas solo se pueden calcular si se factorizan ciertos números enteros grandes. Si bien se conocen muchos problemas computacionales difíciles fuera de la teoría de números, la mayoría de los protocolos de cifrado que funcionan hoy en día se basan en la dificultad de algunos problemas de teoría de números.

Algunas cosas pueden no ser computables en absoluto; de hecho, esto se puede probar en algunos casos. Por ejemplo, en 1970 se demostró, como solución al décimo problema de Hilbert, que no existe una máquina de Turing que pueda resolver todas las ecuaciones diofánticas. En particular, esto significa que, dado un conjunto de axiomas enumerables computablemente, hay ecuaciones diofánticas para las que no hay demostración, a partir de los axiomas, de si el conjunto de ecuaciones tiene o no soluciones enteras. (Estaríamos hablando necesariamente de ecuaciones diofánticas para las que no existen soluciones enteras, ya que, dada una ecuación diofántica con al menos una solución, la propia solución proporciona una prueba de que existe una solución. No podemos demostrar que una ecuación diofántica particular ecuación es de este tipo, ya que esto implicaría que no tiene soluciones.)

Aplicaciones

El teórico de números Leonard Dickson (1874–1954) dijo: "Gracias a Dios que la teoría de números no se ve afectada por ninguna aplicación". Tal punto de vista ya no es aplicable a la teoría de números. En 1974, Donald Knuth dijo: "...prácticamente todos los teoremas de la teoría elemental de números surgen de forma natural y motivada en relación con el problema de hacer que las computadoras realicen cálculos numéricos de alta velocidad". La teoría elemental de números se enseña en cursos de matemáticas discretas para informáticos; por otro lado, la teoría de números también tiene aplicaciones al continuo en el análisis numérico. Además de las conocidas aplicaciones a la criptografía, también existen aplicaciones a muchas otras áreas de las matemáticas.

Premios

La American Mathematical Society otorga el Premio Cole en Teoría de Números. Además, la teoría de números es una de las tres subdisciplinas matemáticas premiadas por el Premio Fermat.