Teoría de la perturbación (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica, la teoría de la perturbación es un conjunto de esquemas de aproximación directamente relacionados con la perturbación matemática para describir un sistema cuántico complicado en términos de uno más simple. La idea es comenzar con un sistema simple para el cual se conoce una solución matemática y agregar una solución adicional "perturbadora" Hamiltoniano que representa una perturbación débil del sistema. Si la perturbación no es demasiado grande, las diversas cantidades físicas asociadas con el sistema perturbado (por ejemplo, sus niveles de energía y estados propios) se pueden expresar como "correcciones" a los del sistema simple. Estas correcciones, al ser pequeñas en comparación con el tamaño de las propias cantidades, se pueden calcular utilizando métodos aproximados como las series asintóticas. Por lo tanto, el sistema complicado se puede estudiar en base al conocimiento del más simple. En efecto, está describiendo un sistema complicado sin resolver utilizando un sistema simple y solucionable.

Hamiltonianas aproximadas

(feminine)

La teoría de perturbaciones es una herramienta importante para describir sistemas cuánticos reales, ya que resulta muy difícil encontrar soluciones exactas a la ecuación de Schrödinger para hamiltonianos incluso de complejidad moderada. Los hamiltonianos para los que conocemos soluciones exactas, como el átomo de hidrógeno, el oscilador armónico cuántico y la partícula en una caja, están demasiado idealizados para describir adecuadamente la mayoría de los sistemas. Usando la teoría de la perturbación, podemos usar las soluciones conocidas de estos hamiltonianos simples para generar soluciones para una gama de sistemas más complicados.

Aplicación de la teoría de perturbaciones

La teoría de la perturbación es aplicable si el problema en cuestión no se puede resolver exactamente, pero se puede formular agregando un "pequeño" término a la descripción matemática del problema exactamente solucionable.

Por ejemplo, al agregar un potencial eléctrico perturbador al modelo mecánico cuántico del átomo de hidrógeno, se pueden calcular pequeños cambios en las líneas espectrales del hidrógeno causados por la presencia de un campo eléctrico (el efecto Stark). Esto es solo aproximado porque la suma de un potencial de Coulomb con un potencial lineal es inestable (no tiene estados límite verdaderos) aunque el tiempo de tunelización (tasa de decaimiento) es muy largo. Esta inestabilidad se muestra como una ampliación de las líneas del espectro de energía, que la teoría de la perturbación no logra reproducir por completo.

Las expresiones producidas por la teoría de la perturbación no son exactas, pero pueden generar resultados precisos siempre que el parámetro de expansión, digamos α, es muy pequeño. Por lo general, los resultados se expresan en términos de series de potencias finitas en α que parecen converger a los valores exactos cuando se suman a un orden superior. Después de cierto orden n ~ 1/α sin embargo, los resultados empeoran cada vez más ya que las series suelen ser divergentes (siendo serie asintótica). Existen formas de convertirlos en series convergentes, que pueden evaluarse para parámetros de gran expansión, de manera más eficiente mediante el método variacional. Incluso las perturbaciones convergentes pueden converger en la respuesta incorrecta y las expansiones de perturbaciones divergentes a veces pueden dar buenos resultados en orden inferior.

En la teoría de la electrodinámica cuántica (QED), en la que la interacción electrón-fotón se trata perturbativamente, se ha descubierto que el cálculo del momento magnético del electrón concuerda con el experimento hasta once decimales. En QED y otras teorías cuánticas de campo, se utilizan técnicas de cálculo especiales conocidas como diagramas de Feynman para sumar sistemáticamente los términos de la serie de potencias.

Limitaciones

Grandes perturbaciones

Bajo algunas circunstancias, la teoría de la perturbación es un enfoque inválido. Esto sucede cuando el sistema que queremos describir no puede ser descrito por una pequeña perturbación impuesta a algún sistema simple. En cromodinámica cuántica, por ejemplo, la interacción de los quarks con el campo de gluones no puede tratarse perturbativamente a bajas energías porque la constante de acoplamiento (el parámetro de expansión) se vuelve demasiado grande, violando el requisito de que las correcciones deben ser pequeñas.

Estados no adiabáticos

La teoría de la perturbación tampoco describe estados que no se generan adiabáticamente a partir del "modelo libre", incluidos los estados ligados y varios fenómenos colectivos como los solitones. Imagine, por ejemplo, que tenemos un sistema de partículas libres (es decir, que no interactúan), en las que se introduce una interacción atractiva. Dependiendo de la forma de la interacción, esto puede crear un conjunto completamente nuevo de estados propios correspondientes a grupos de partículas unidas entre sí. Un ejemplo de este fenómeno se puede encontrar en la superconductividad convencional, en la que la atracción mediada por fonones entre los electrones de conducción conduce a la formación de pares de electrones correlacionados conocidos como pares de Cooper. Cuando nos enfrentamos a este tipo de sistemas, normalmente se recurre a otros esquemas de aproximación, como el método variacional y la aproximación WKB. Esto se debe a que no existe un análogo de una partícula ligada en el modelo no perturbado y la energía de un solitón suele ser la inversa del parámetro de expansión. Sin embargo, si "integramos" sobre los fenómenos solitónicos, las correcciones no perturbativas en este caso serán minúsculas; del orden de exp(−1/g) o exp(−1/g²) en el parámetro de perturbación g. La teoría de la perturbación solo puede detectar soluciones "cerradas" a la solución no perturbada, incluso si hay otras soluciones para las que la expansión perturbativa no es válida.

Cálculos difíciles

El problema de los sistemas no perturbativos se ha aliviado un poco con la llegada de las computadoras modernas. Se ha vuelto práctico obtener soluciones numéricas no perturbativas para ciertos problemas, utilizando métodos como la teoría funcional de la densidad. Estos avances han sido de particular beneficio para el campo de la química cuántica. También se han utilizado computadoras para realizar cálculos de la teoría de la perturbación con niveles de precisión extraordinariamente altos, lo que ha demostrado ser importante en la física de partículas para generar resultados teóricos que se pueden comparar con experimentos.

Teoría de la perturbación independiente del tiempo

La teoría de la perturbación independiente del tiempo es una de las dos categorías de la teoría de la perturbación, la otra es la perturbación dependiente del tiempo (consulte la siguiente sección). En la teoría de la perturbación independiente del tiempo, la perturbación hamiltoniana es estática (es decir, no depende del tiempo). La teoría de la perturbación independiente del tiempo fue presentada por Erwin Schrödinger en un artículo de 1926, poco después de que produjera sus teorías sobre la mecánica ondulatoria. En este artículo, Schrödinger se refirió al trabajo anterior de Lord Rayleigh, quien investigó las vibraciones armónicas de una cuerda perturbada por pequeñas faltas de homogeneidad. Esta es la razón por la cual esta teoría de la perturbación a menudo se denomina teoría de la perturbación de Rayleigh-Schrödinger.

Correcciones de primer orden

El proceso comienza con un H₀ hamiltoniano no perturbado, que se supone que no depende del tiempo. Tiene niveles de energía y estados propios conocidos, que surgen de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

H0Silencion()0).=En()0)Silencion()0).,n=1,2,3,⋯ ⋯ {displaystyle ¿Qué? - ¿Qué?

Para simplificar, se supone que las energías son discretas. Los superíndices (0) denotan que estas cantidades están asociadas con el sistema no perturbado. Tenga en cuenta el uso de la notación bra-ket.

Luego se introduce una perturbación en el hamiltoniano. Sea V un hamiltoniano que representa una perturbación física débil, como una energía potencial producida por un campo externo. Por lo tanto, V es formalmente un operador hermitiano. Sea λ un parámetro adimensional que puede tomar valores que van desde 0 (sin perturbación) hasta 1 (la perturbación total). El hamiltoniano perturbado es:

H=H0+λ λ V{displaystyle H=H_{0}+lambda V.

Los niveles de energía y los estados propios del hamiltoniano perturbado vienen nuevamente dados por la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo,

()H0+λ λ V)Silencion.. =EnSilencion.. .{displaystyle left(H_{0}+lambda Vright)

El objetivo es expresar E_n y Silencion.. {displaystyle Silencioso en términos de los niveles de energía y eigentales del viejo Hamiltonian. Si la perturbación es suficientemente débil, pueden ser escritos como una serie de potencia (Maclaurin) λ,

En=En()0)+λ λ En()1)+λ λ 2En()2)+⋯ ⋯ Silencion.. =Silencion()0).+λ λ Silencion()1).+λ λ 2Silencion()2).+⋯ ⋯ {displaystyle {begin{aligned}E_{n}duc=E_{n}}+lambda E_{n}{(1)}+lambda ^{2}E_{n}{(2)}+cdots \persnrangle >left habitn^{(0)}rightrangle +lambda left perpetuan^{(1)}rightrangle +lambda ^{2}left habitn^{(2)}rightrangle #

dónde

En()k)=1k!dkEndλ λ kSilencioλ λ =0Silencion()k).=1k!dkSilencion.. dλ λ kSilencioλ λ =0.{displaystyle {begin{aligned}E_{n}{(k)} {0} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fnKfn}} {fn}}}} {f}}}}}} {f}fn}}}}fn}}fnf}fn}fn}fn}}f}fnfnfnfnfnfn}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}fnfnfnfnfnfn}}fnfn}fn}fnfn}}fnKfn}fn}}}}}}fn ¿Qué? " {frac {1}{k} {frac {k} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}end{aligned}}

Cuando k = 0, estos se reducen a los valores no perturbados, que son el primer término de cada serie. Dado que la perturbación es débil, los niveles de energía y los estados propios no deberían desviarse demasiado de sus valores no perturbados, y los términos deberían volverse más pequeños rápidamente a medida que aumenta el orden.

Sustituyendo la expansión de la serie de potencias en la ecuación de Schrödinger se obtiene:

Expandir esta ecuación y comparar los coeficientes de cada potencia de λ da como resultado una serie infinita de ecuaciones simultáneas. La ecuación de orden cero es simplemente la ecuación de Schrödinger para el sistema no perturbado,

H0Silencion()0).=En()0)Silencion()0)..{displaystyle ¿Qué? Está bien.

La ecuación de primer orden es

H0Silencion()1).+VSilencion()0).=En()0)Silencion()1).+En()1)Silencion()0)..{displaystyle ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué?

Operando a través de .. n()0)Silencio{displaystyle langle n^{(0)}, el primer término en el lado izquierdo cancela el primer término en el lado derecho. (Recall, el Hamiltonian no perturbado es Hermitian). Esto conduce al cambio energético de primer orden,

En()1)=.n()0)SilencioVSilencion()0)..{displaystyle E_{n}{(1)}=leftlangle n^{(0)}right tuvleft habitn^{(0)}rightrangle.}

Este es simplemente el valor esperado de la perturbación hamiltoniana mientras el sistema está en el estado propio no perturbado.

Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: suponiendo que se aplica la perturbación, pero el sistema se mantiene en el estado cuántico Silencion()0).. {displaystyle Silencio}rangle }, que es un estado cuántico válido aunque ya no sea un eigenstat de energía. La perturbación hace que la energía promedio de este estado aumente .. n()0)SilencioVSilencion()0).. {displaystyle langle n^{(0)}. Sin embargo, el verdadero cambio de energía es ligeramente diferente, porque el eigenstat perturbio no es exactamente el mismo que el Silencion()0).. {displaystyle Silencio}rangle }. Estos cambios adicionales son dados por las correcciones de orden segundo y superior a la energía.

Antes de que se calculen las correcciones al estado propio de energía, se debe abordar el problema de la normalización. Suponiendo eso

.n()0)Silencion()0).=1,{displaystyle leftlangle n^{(0)}right sobre la vidaleft.n^{(0)}rightrangle =1,}

pero la teoría de la perturbación también asume que .. nSilencion.. =1{displaystyle langle n WordPressnrangle =1}.

Luego, en primer orden en λ, lo siguiente debe ser cierto:

().n()0)Silencio+λ λ .n()1)Silencio)()Silencion()0).+λ λ Silencion()1).)=1{displaystyle left(leftlangle n^{(0)}right WordPress+lambda leftlangle n^{(1)}right)left(left perpetuan^{(0)}rightrangle +lambda left sometidan^{(1)}rightrangle right)=1}

.n()0)Silencion()0).+λ λ .n()0)Silencion()1).+λ λ .n()1)Silencion()0).+λ λ 2.n()1)Silencion()1).=1{leplaystyle leftlangle n^{(0)}justo sobre la vidaleft.n^{(0)}rightrangle +lambda leftlangle n^{(0)}right sobre la vidaleft.n^{(1)}rightrangle +lambda ^{2}leftlangle n^{(1)}rightSobrevivirleft.n^{(1)}rightrangle }=1}

.n()0)Silencion()1).+.n()1)Silencion()0).=0.{displaystyle leftlangle n^{(0)}derecha para siempreleft.n^{(1)}derecharangle +leftlangle n^{(1)}derecha para siempreleft.n^{(0)}derecharangle =0.}

Puesto que la fase general no se determina en la mecánica cuántica, sin pérdida de generalidad, en teoría dependiente del tiempo se puede suponer que .. n()0)Silencion()1).. {displaystyle langle n^{(0)} es puramente real. Por lo tanto,

.n()0)Silencion()1).=.n()1)Silencion()0).=− − .n()1)Silencion()0).,{displaystyle leftlangle n^{(0)}right imperdibleleft.n^{(1)}rightrangle =leftlangle n^{(1)}right perpetualeft.n^{(0)}rightrangle =-leftlangle n^{(1)}left.n^{(0)}rightrangle

que lleva a

.n()0)Silencion()1).=0.{displaystyle leftlangle n^{(0)}justo en la vidaleft.n^{(1)}rightrangle =0.}

Para obtener la corrección de primer orden del estado propio de energía, la expresión de la corrección de energía de primer orden se vuelve a insertar en el resultado que se muestra arriba, igualando los coeficientes de primer orden de λ. Luego, usando la resolución de la identidad:

VSilencion()0).=().. kل ل nSilenciok()0)..k()0)Silencio)VSilencion()0).+()Silencion()0)..n()0)Silencio)VSilencion()0).=.. kل ل nSilenciok()0)..k()0)SilencioVSilencion()0).+En()1)Silencion()0).,{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cHFF}cHFF}}ranglerangle}ranglerangle}cH0}b9}cH0} - ¿Qué?

Donde Silenciok()0).. {displaystyle Silencio {}rangle } están en el complemento ortogonal de Silencion()0).. {displaystyle Silencio}rangle }Los otros eigenvectores.

La ecuación de primer orden se puede expresar como

()En()0)− − H0)Silencion()1).=.. kل ل nSilenciok()0)..k()0)SilencioVSilencion()0)..{displaystyle left(E_{n}{(0)}-H_{0}left sometidan^{(1)}rightrangle =sum _{kneq n}left sometidak^{(0)}rightrangle leftlangle k^{(0)}right sobre la palabra.

Suponiendo que el nivel de energía cero no sea degenerado, es decir, que no hay eigenstat H₀ en el complemento ortogonal Silencion()0).. {displaystyle Silencio}rangle } con la energía En()0){displaystyle E_{n} {}}}}. Después de renombrar el índice de somadura superior k.{displaystyle k'}, cualquier kل ل n{displaystyle kneq n} puede ser elegido y multiplicar la ecuación de primer orden a través de .. k()0)Silencio{displaystyle langle k^{(0)} da

()En()0)− − Ek()0)).k()0)Silencion()1).=.k()0)SilencioVSilencion()0)..{displaystyle left(E_{n} {(0)}-E_{k}{(0)}right)leftlangle k^{(0)}right.left perpetuan^{(1)}rightrangle =leftlangle k^{(0)}}rightrangle.

Lo anterior .. k()0)Silencion()1).. {displaystyle langle k^{(0)} también nos da el componente de la corrección de primer orden a lo largo de Silenciok()0).. {displaystyle Silencio {}rangle }.

Por lo tanto, en total, el resultado es,

Silencion()1).=.. kل ل n.k()0)SilencioVSilencion()0).En()0)− − Ek()0)Silenciok()0)..{displaystyle left habitn^{(1)}rightrangle =sum _{kneq n}{leftlangle k^{(0)}right sometidaVleft habitn^{(0)}rightrangle Está bien.

El cambio de primer orden en el n- el eigenket energético tiene una contribución de cada uno de los eigentales energéticos k ل n. Cada término es proporcional al elemento matriz .. k()0)SilencioVSilencion()0).. {displaystyle langle k^{(0)}, que es una medida de cuánto la perturbación mezcla eigenstate n con eigenstate k; también es inversamente proporcional a la diferencia energética entre los eigentales k y n, lo que significa que la perturbación deforma el eigenstat en mayor medida si hay más eigentales en energías cercanas. La expresión es singular si alguno de estos estados tiene la misma energía que el estado n, por eso se suponía que no había degeneración. La fórmula anterior para los eigenstates perturbados implica también que la teoría de la perturbación puede ser usada legítimamente sólo cuando la magnitud absoluta de los elementos de matriz de la perturbación es pequeña en comparación con las diferencias correspondientes en los niveles de energía no perturbios, es decir, Silencio.. k()0)Silencioλ λ VSilencion()0).. Silencio≪ ≪ SilencioEn()0)− − Ek()0)Silencio.{displaystyle Silenciolangle k^{(0)} Anteriorlambda V suffern^{(0)}rangle Silencioll SilencioE_{n} {(0)}-E_{k}{(0)}Sobrevivir.}

Correcciones de segundo y orden superior

Podemos encontrar las desviaciones de orden superior mediante un procedimiento similar, aunque los cálculos se vuelven bastante tediosos con nuestra formulación actual. Nuestra receta de normalización da que

2.n()0)Silencion()2).+.n()1)Silencion()1).=0.{displaystyle 2leftlangle n^{(0)}right foreverleft.n^{(2)}rightrangle +leftlangle n^{(1)}right perpetualeft.n^{(1)}rightrangle =0.}

Hasta segundo orden, las expresiones para las energías y los estados propios (normalizados) son:

En()λ λ )=En()0)+λ λ .n()0)SilencioVSilencion()0).+λ λ 2.. kل ل nSilencio.k()0)SilencioVSilencion()0).Silencio2En()0)− − Ek()0)+O()λ λ 3){displaystyle E_{n}(lambda)=E_{n}+lambda leftlangle n^{(0)}right perpetuaVleft perpetuan^{(0)}rightrangle {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}}fn}}rangle right}{2} {fn} {fn} {fn}} {fn0}}}cH00}cH00}}}}cH00}}}}}}}cH00}}}}}cH00}}}}}}}}ccH00}cccH00}cH00} {cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cccH00}} {ccH00}}}}}}}cccH00}ccH00}}}}}}}}}}cH00}}}ccccH00}}}}}}}}}}}}}}}

Silencion()λ λ ).. =Silencion()0).+λ λ .. kل ل nSilenciok()0)..k()0)SilencioVSilencion()0).En()0)− − Ek()0)+λ λ 2.. kل ل n.. l l ل ل nSilenciok()0)..k()0)SilencioVSilenciol l ()0)..l l ()0)SilencioVSilencion()0).()En()0)− − Ek()0))()En()0)− − El l ()0))− − λ λ 2.. kل ل nSilenciok()0)..k()0)SilencioVSilencion()0)..n()0)SilencioVSilencion()0).()En()0)− − Ek()0))2− − 12λ λ 2Silencion()0)... kل ل nSilencio.k()0)SilencioVSilencion()0).Silencio2()En()0)− − Ek()0))2+O()λ λ 3).{displaystyle {begin{aligned}Prince {lambda)rangle =left habitn^{(0)}rightrangle "+lambda sum _{kneq n}left sometidak^{(0)}rightrangle {frac {leftlangle k^{(0)}right sobre la vida actual ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?

Si se toma una normalización intermedia (es decir, si lo requirimos .. n()0)Silencion()λ λ ).. =1{displaystyle langle n^{(0)} =1}), obtenemos la misma expresión para la corrección de segundo orden a la función de onda, excepto para el último término.

Extendiendo el proceso aún más, se puede demostrar que la corrección de energía de tercer orden es

En()3)=.. kل ل n.. mل ل n.. n()0)SilencioVSilenciom()0).. .. m()0)SilencioVSilenciok()0).. .. k()0)SilencioVSilencion()0).. ()En()0)− − Em()0))()En()0)− − Ek()0))− − .. n()0)SilencioVSilencion()0).. .. mل ل nSilencio.. n()0)SilencioVSilenciom()0).. Silencio2()En()0)− − Em()0))2.{displaystyle E_{n}}=sum - No. {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF}}cHFF}cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF}} {cHFF} {cHFF}} {cHFF}}} {cHFF}}} {cH0}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}} {cc}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {cc}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}} {ccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}} {langlelangle n^{(0)}rangle Н^{2}{left(E_{n}{(0)}-E_{m}{(0)}derecha)}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {m}} {}}}}} {m}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Es posible relacionar el k-th order correction to the energy E_n a la k- función de correlación conectada de punto de la perturbación V en el estado Silencion()0).. {displaystyle Silencio}rangle }. Para k=2{displaystyle k=2}, uno tiene que considerar la transformación inversa de Laplace *** *** n,2()s){displaystyle rho _{n,2}(s)} del correlator de dos puntos:

.. n()0)SilencioV()τ τ )V()0)Silencion()0).. − − .. n()0)SilencioVSilencion()0).. 2=:∫ ∫ Rds*** *** n,2()s)e− − ()s− − En()0))τ τ {displaystyle langle n^{(0)}tuvoV(tau)V(0) habitn^{(0)}rangle -langle n^{(0)} sobre la vida útil para la vida {(0)}rangle ^{2}=mathrel {mathop {:} }int {R}fn} {fn,2}(s),e^{-(s-E_{n}}}tau }

Donde V()τ τ )=eH0τ τ Ve− − H0τ τ {displaystyle V(tau)=e^{H_{0}tau }Ve. es el operador perturbador V en el cuadro de interacción, evolucionando en el tiempo Euclideano. Entonces...

En()2)=− − ∫ ∫ Rdss− − En()0)*** *** n,2()s).{displaystyle E_{}{(2)}=-int _{mthbb {R}fn},rho _{n,2}(s). }

Existen fórmulas similares a todas las órdenes en la teoría de la perturbación, permitiendo a uno expresar En()k){displaystyle E_{n} {cHFF}} en términos de la transformación inversa de Laplace *** *** n,k{displaystyle rho _{n,k} de la función de correlación conectada

.. n()0)SilencioV()τ τ 1+...... +τ τ k− − 1)⋯ ⋯ V()τ τ 1+τ τ 2)V()τ τ 1)V()0)Silencion()0).. conn=.. n()0)SilencioV()τ τ 1+...... +τ τ k− − 1)⋯ ⋯ V()τ τ 1+τ τ 2)V()τ τ 1)V()0)Silencion()0).. − − subtracciones.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {0} {}} {0} {} {} {} {}} {} {}}}} {} {}}}}}}}}}}} {

Para ser precisos, si escribimos

.. n()0)SilencioV()τ τ 1+...... +τ τ k− − 1)⋯ ⋯ V()τ τ 1+τ τ 2)V()τ τ 1)V()0)Silencion()0).. conn=∫ ∫ R∏ ∏ i=1k− − 1dsie− − ()si− − En()0))τ τ i*** *** n,k()s1,...... ,sk− − 1){tau _{1}+ldotau _{1})V(0)}dotsm V(tau _{1}+tau _{2})V(0))}rangle _{0}text{conn} {f}=0} ¿Qué? {R} }, prod ¿Por qué?

entonces el cambio de energía de orden k-ésimo está dado por

En()k)=()− − 1)k− − 1∫ ∫ R∏ ∏ i=1k− − 1dsisi− − En()0)*** *** n,k()s1,...... ,sk− − 1).{displaystyle E_{n}=(-1)^{k-1}int ¿Qué? {R} }, prod - ¿Qué? {ds_{i}},rho _{n,k}(s_{1},ldotss_{k-1}). }

Efectos de la degeneración

Suponga que dos o más estados propios de energía del hamiltoniano no perturbado son degenerados. El cambio de energía de primer orden no está bien definido, ya que no existe una forma única de elegir una base de estados propios para el sistema no perturbado. Los diversos estados propios para una energía dada se perturbarán con diferentes energías, o es posible que no posean ninguna familia continua de perturbaciones.

Esto se manifiesta en el cálculo del estado propio perturbado mediante el hecho de que el operador

En()0)− − H0{fnMicrosoft Sans Serif}

no tiene una inversa bien definida.

Sea D el subespacio abarcado por estos estados propios degenerados. No importa cuán pequeña sea la perturbación, en el subespacio degenerado D las diferencias de energía entre los estados propios de H son distintos de cero, por lo que se asegura la mezcla completa de al menos algunos de estos estados. Por lo general, los valores propios se dividirán y los espacios propios se volverán simples (unidimensionales), o al menos de menor dimensión que D.

Las perturbaciones exitosas no serán "pequeñas" en relación con una base mal elegida de D. En su lugar, consideramos la perturbación "pequeña" si el nuevo estado propio está cerca del subespacio D. El nuevo hamiltoniano debe estar diagonalizado en D, o una ligera variación de D, por así decirlo. Estos estados propios perturbados en D son ahora la base para la expansión de la perturbación,

Silencion.. =.. k▪ ▪ Dα α nkSilenciok()0).. +λ λ Silencion()1).. .{displaystyle Нанихrangle =sum _{kin D}alpha ¿Qué?

Para la perturbación de primer orden, necesitamos resolver el hamiltoniano perturbado restringido al subespacio degenerado D,

VSilenciok()0).. =ε ε kSilenciok()0).. +pequeñoО О Silenciok()0).. ▪ ▪ D,{displaystyle V preservek^{(0)}rangle =epsilon _{k}Sobrevivk^{(0)}rangle +{text{small}}qquad forall Нk^{(0)}rangle in D,}

simultáneamente para todos los eigentales degenerados, donde ε ε k{displaystyle epsilon _{k} son correcciones de primer orden a los niveles de energía degenerados, y "pequeña" es un vector de O()λ λ ){displaystyle O(lambda)} ortogonal a D. Esto equivale a diagonalizar la matriz

.. k()0)SilencioVSilenciol()0).. =VklО О Silenciok()0).. ,Silenciol()0).. ▪ ▪ D.{displaystyle langle k^{(0)} sobrevivirla^{(0)}rangle =V_{kl}qquad forall ; pacienciak^{(0)}rangle perpetual^{(0)}rangle in D.}

Este procedimiento es aproximado, ya que descuidamos estados fuera del D subespacio ("pequeña"). La división de las energías degeneradas ε ε k{displaystyle epsilon _{k} se observa generalmente. Aunque la división puede ser pequeña, O()λ λ ){displaystyle O(lambda)}, en comparación con la gama de energías encontradas en el sistema, es crucial en la comprensión de ciertos detalles, como líneas espectrales en los experimentos Electron Spin Resonance.

Las correcciones de orden superior debidas a otros estados propios fuera de D se pueden encontrar de la misma manera que para el caso no degenerado,

()En()0)− − H0)Silencion()1).. =.. k∉D().. k()0)SilencioVSilencion()0).. )Silenciok()0).. .{displaystyle left(E_{n}{(0)}-H_{0}right) eternan^{(1)}rangle =sum _{knot in D}left(langle k^{(0)}Sobreviviren^{(0)}rangle right)

Did you mean:

The operator on the left-hand side is not singular when applied to eigenstates outside D, so we can write

Silencion()1).. =.. k∉D.. k()0)SilencioVSilencion()0).. En()0)− − Ek()0)Silenciok()0).. ,{displaystyle ¦n^{(1)}rangle =sum _{knot in D}{frac {langle k^{(0)} - Hola.

pero el efecto en los estados degenerados es de O()λ λ ){displaystyle O(lambda)}.

Los estados casi degenerados también deben tratarse de manera similar, cuando las divisiones hamiltonianas originales no son más grandes que la perturbación en el subespacio casi degenerado. Se encuentra una aplicación en el modelo de electrones casi libres, donde la degeneración cercana, tratada adecuadamente, da lugar a una brecha de energía incluso para pequeñas perturbaciones. Otros estados propios solo cambiarán la energía absoluta de todos los estados casi degenerados simultáneamente.

Degeneración elevada a primer orden

Consideremos estados propios de energía degenerados y una perturbación que eleva completamente la degeneración al primer orden de corrección.

El hamiltoniano perturbado se denota como

H^ ^ =H^ ^ 0+λ λ V^ ^ ,{displaystyle {hat {fnh}={hat} {H}_{0}+lambda {fnMicrosoft Sans Serif}

Donde H^ ^ 0{displaystyle {hat {}_{0}} es el Hamiltonian no perturbado, V^ ^ {displaystyle {hat {fn}} es el operador de perturbación, y <math alttext="{displaystyle 0<lambda 0.λ λ .1{displaystyle 0 realizadaslambda.<img alt="0<lambda es el parámetro de la perturbación.

Centrémonos en la degeneración de la n{displaystyle n}- la energía no perturbada En()0){displaystyle E_{n} {}}}}. Denotaremos los estados no perturbados en este subespacio degenerado Silencio↑ ↑ nk()0).{fnMicrosoft Sans Serif} y los otros estados no perturbados Silencio↑ ↑ m()0).{displaystyle left durablepsi _{(0)}rightrangle }, donde k{displaystyle k} es el índice del estado no perturbado en el subespacio degenerado y mل ل n{displaystyle mneq n} representa todas las otras energías eigentales con energías diferentes de En()0){displaystyle E_{n} {}}}}. La eventual degeneración entre los demás estados О О mل ل n{displaystyle forall mneq n} no cambia nuestros argumentos. Todos los estados Silencio↑ ↑ nk()0).{fnMicrosoft Sans Serif} con diversos valores k{displaystyle k} compartir la misma energía En()0){displaystyle E_{n} {}}}} cuando no hay perturbación, es decir, cuando λ λ =0{displaystyle lambda =0}. Las energías Em()0){displaystyle E_{m} {}}} de los demás estados Silencio↑ ↑ m()0).{displaystyle left durablepsi _{(0)}rightrangle } con mل ل n{displaystyle mneq n} son todos diferentes En()0){displaystyle E_{n} {}}}}, pero no necesariamente único, es decir, no necesariamente siempre diferente entre ellos.

Por Vnl,nk{displaystyle V_{nl,nk} y Vm,nk{displaystyle V_{m,nk}, denotamos los elementos de matriz del operador de perturbación V^ ^ {displaystyle {hat {fn}} en la base de los eigentales no perturbados. Asumimos que los vectores base Silencio↑ ↑ nk()0).{fnMicrosoft Sans Serif} en el subespacio degenerado se elige tal que los elementos de matriz Vnl,nk↑ ↑ .↑ ↑ nl()0)SilencioV^ ^ Silencio↑ ↑ nk()0).{displaystyle ¿Qué? son diagonales. Suponiendo también que la degeneración se levante completamente a la primera orden, es decir, que Enl()1)ل ل Enk()1){displaystyle E_{nl}{(1)}neq E_{nk}{(1)}} si lل ل k{displaystyle lneq k}, tenemos las siguientes fórmulas para la corrección de energía a la segunda orden λ λ {displaystyle lambda }

Enk=En0+λ λ Vnk,nk+λ λ 2.. mل ل nSilencioVm,nkSilencio2En()0)− − Em()0)+O()λ λ 3),{displaystyle E_{nk}=E_{n} {0}+lambda ¿Qué?

y para la corrección estatal a la primera orden λ λ {displaystyle lambda }

Silencio↑ ↑ nk.=Silencio↑ ↑ nk()0).+λ λ .. mل ل nVm,nkEm()0)− − En()0)()− − Silencio↑ ↑ m()0).+.. lل ل kVnl,mEnl()1)− − Enk()1)Silencio↑ ↑ nl()0).)+O()λ λ 2).{displaystyle left durablepsi ¿Qué? +lambda sum limits ¿Por qué? ¿Qué? +sum limits ¿Por qué? {V_{nl,m}{nl}{(1)}-E_{{(1)}}left WordPresspsi _{nl}}}rightrangle right)+{mathcal {cH}(lambda ^{2})color {gray}{}}}}} {cH0} {cH00}} {cH0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Observe que aquí la corrección de primer orden al estado es ortogonal al estado no perturbado,

.↑ ↑ nk()0)Silencio↑ ↑ nk()1).=0.{displaystyle leftlangle psi _{(0)}Sobrevivirpsi _{nk}^{(1)}rightrangle =0color {gray}{}}

Generalización al caso multiparámetro

La generalización de la teoría de la perturbación independiente del tiempo al caso donde hay varios parámetros pequeños xμ μ =()x1,x2,⋯ ⋯ ){displaystyle x^{mu }=(x^{1},x^{2},cdots)} en lugar de λ se puede formular más sistemáticamente utilizando el lenguaje de la geometría diferencial, que básicamente define los derivados de los estados cuánticos y calcula las correcciones perturbadoras tomando derivados iterativamente en el punto no perturbado.

Hamiltoniana y operador de fuerza

(feminine)

Desde el punto de vista geométrico diferencial, un Hamiltonian parametrado es considerado como una función definida en el conjunto del parámetro que mapea cada conjunto particular de parámetros ()x1,x2,⋯ ⋯ ){displaystyle (x^{1},x^{2},cdots)} a un operador Hermitiano H()x^μ) que actúa en el espacio de Hilbert. Los parámetros aquí pueden ser campo externo, fuerza de interacción o parámetros de conducción en la transición de fase cuántica. Vamos E_n()x^μ) y Silencion()xμ μ ).. {displaystyle Silenciosamente* ser el n- el eigenenergy y el eigenstate de H()x^μ) respectivamente. En el lenguaje de la geometría diferencial, los estados Silencion()xμ μ ).. {displaystyle Silenciosamente* forma un paquete vectorial sobre el eje del parámetro, en el que se pueden definir derivados de estos estados. La teoría de la perturbación es responder a la siguiente pregunta: En()x0μ μ ){displaystyle ¿Qué? y Silencion()x0μ μ ).. {displaystyle Silencion(x_{0} {mu })rangle } en un punto de referencia no perturbado x0μ μ {displaystyle #, cómo estimar el E_n()x^μ) y Silencion()xμ μ ).. {displaystyle Silenciosamente* a x^μ cerca de ese punto de referencia.

Sin pérdida de generalidad, se puede cambiar el sistema de coordenadas, de tal manera que el punto de referencia x0μ μ =0{displaystyle x_{0}{mu }=0} es el origen. Con frecuencia se utiliza el Hamiltonian linealmente parametrizado siguiente

H()xμ μ )=H()0)+xμ μ Fμ μ .{displaystyle H(x^{mu })=H(0)+x^{mu }F_{mu }

Si los parámetros x^μ se consideran coordenadas generalizadas, entonces F_μ debe identificarse como los operadores de fuerza generalizados relacionados con esas coordenadas. Diferentes índices μ etiquetan las diferentes fuerzas a lo largo de diferentes direcciones en la variedad de parámetros. Por ejemplo, si x^μ denota el campo magnético externo en el μ-direction, entonces F_μ debería ser la magnetización en la misma dirección.

Teoría de la perturbación como expansión en serie de potencias

La validez de la teoría de la perturbación se basa en la suposición adiabática, que supone que las energías propias y los estados propios del hamiltoniano son funciones uniformes de los parámetros, de modo que sus valores en la región vecina se pueden calcular en series de potencias (como la expansión de Taylor) de los parámetros:

En()xμ μ )=En+xμ μ ∂ ∂ μ μ En+12!xμ μ x.. ∂ ∂ μ μ ∂ ∂ .. En+⋯ ⋯ Silencion()xμ μ ).=Silencion.. +xμ μ Silencio∂ ∂ μ μ n.. +12!xμ μ x.. Silencio∂ ∂ μ μ ∂ ∂ .. n.. +⋯ ⋯ {displaystyle {begin{aligned}E_{n}(x^{mu }) {m}=E_{n}+x^{mu }partial _{mu} E_{n}+{frac ### {2}x^{mu }x^{nu }partial _{mu ##partial _{nu }E_{n}+cdots \left sometidan(x^{mu })rightrangle < < > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > - ¿Por qué? }nrangle +{frac ¡Oh!.... ##partial _{nu }nrangle +cdots end{aligned}}

Aquí. ∂_μ denota el derivado con respecto a x^μ. Cuando se aplica al estado Silencio∂ ∂ μ μ n.. {displaystyle Silenciopartial _{mu }nrangle }, debe entenderse como el derivado covariante si el paquete vectorial está equipado con conexión no-vanishing. Todos los términos en el lado derecho de la serie se evalúan en x^μ = 0, por ejemplo. E_n ↑ E_n(0) y Silencion.. ↑ ↑ Silencion()0).. {displaystyle TENEDENrangle equiv TENEDEN(0)rangle }. Esta convención se aprobará a lo largo de esta subsección, que se asume que todas las funciones sin la dependencia del parámetro explícitamente indicadas se evalúan en el origen. La serie de energía puede converger lentamente o incluso no converger cuando los niveles de energía están cerca unos de otros. La suposición adiabática se descompone cuando hay degeneración del nivel de energía, y por lo tanto la teoría de la perturbación no es aplicable en ese caso.

Did you mean:

Hellmann–Feynman theorem

La expansión de la serie de potencias anterior se puede evaluar fácilmente si existe un enfoque sistemático para calcular las derivadas en cualquier orden. Usando la regla de la cadena, las derivadas se pueden descomponer en una única derivada de la energía o del estado. Los teoremas de Hellmann-Feynman se utilizan para calcular estas derivadas simples. El primer teorema de Hellmann-Feynman da la derivada de la energía,

∂ ∂ μ μ En=.. nSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. {displaystyle partial _{mu ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?

El segundo teorema de Hellmann-Feynman da la derivada del estado (resuelta por la base completa con m ≠ n),

.. mSilencio∂ ∂ μ μ n.. =.. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. En− − Em,.. ∂ ∂ μ μ mSilencion.. =.. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. Em− − En.{displaystyle langle m durablepartial _{mu }nrangle ={frac ################################################################################################################################################################################################################################################################ }H habitnrangle } {E_{n}-E_{m}}qquad langle partial _{mu Estoy en peligro. ################################################################################################################################################################################################################################################################ }H habitnrangle - Sí.

Para el hamiltoniano linealmente parametrizado, ∂_μH simplemente representa el generalizado operador de fuerza F_μ.

Los teoremas pueden derivarse simplemente aplicando el operador diferencial ∂_μ a ambos lados de la ecuación Schrödinger HSilencion.. =EnSilencion.. ,{displaystyle ¿Qué? que dice

∂ ∂ μ μ HSilencion.. +HSilencio∂ ∂ μ μ n.. =∂ ∂ μ μ EnSilencion.. +EnSilencio∂ ∂ μ μ n.. .{displaystyle partial _{mu }H sometidanrangle +H sometidapartial _{mu }nrangle =partial _{mu }E_{n} - Hola.

Luego se superpone con el estado .. mSilencio{displaystyle langle m habit} de izquierda y hacer uso de la ecuación Schrödinger .. mSilencioH=.. mSilencioEm{displaystyle langle m habitH=langle m habitE_{m} otra vez,

.. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. +Em.. mSilencio∂ ∂ μ μ n.. =∂ ∂ μ μ En.. mSilencion.. +En.. mSilencio∂ ∂ μ μ n.. .{displaystyle langle m durablepartial _{mu }H habitnrangle ### E_{m}langle mi vidapartial _{mu }nrangle =partial _{mu }E_{n}langle ################################################################################################################################################################################################################################################################ mi vidapartial _{mu }nrangle.}

Dado que los eigentales de los Hamiltonianos siempre forman una base ortonormal .. mSilencion.. =δ δ mn{displaystyle langle m impernrangle =delta _{mn}, los casos de m = n y m ل n se puede discutir por separado. El primer caso llevará al primer teorema y el segundo caso al segundo teorema, que se puede mostrar inmediatamente reorganizando los términos. Con las reglas diferenciales dadas por los teoremas Hellmann-Feynman, la corrección perturbadora a las energías y estados se puede calcular sistemáticamente.

Corrección de energía y estado

Al segundo orden, la corrección de energía dice

En()xμ μ )=.. nSilencioHSilencion.. +.. nSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. xμ μ +R R .. mل ل n.. nSilencio∂ ∂ .. HSilenciom.. .. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. En− − Emxμ μ x.. +⋯ ⋯ ,{displaystyle E_{n}(x^{mu })=langle n detainedH ################################################################################################################################################################################################################################################################ }H habitnrangle x^{mu }+ Re sum _{mneq n}{langle n durablepartial _{nu }H habitmrangle langle m durablepartial _{mu }H sometidanrangle } {E_{n}-E_{m}}x^{mu} }x^{nu }+cdots}

Donde R R {displaystyle Re } denota la función de la parte real. El derivado de primer orden ∂_μE_n es dado por el primer teorema Hellmann-Feynman directamente. Para obtener la segunda orden derivada ∂_μ∂_.E_n, simplemente aplicando el operador diferencial ∂_μ al resultado del derivado de primer orden .. nSilencio∂ ∂ .. HSilencion.. {displaystyle langle n durablepartial _{nu - ¿Qué?, que lee

∂ ∂ μ μ ∂ ∂ .. En=.. ∂ ∂ μ μ nSilencio∂ ∂ .. HSilencion.. +.. nSilencio∂ ∂ μ μ ∂ ∂ .. HSilencion.. +.. nSilencio∂ ∂ .. HSilencio∂ ∂ μ μ n.. .{displaystyle partial _{mu ##partial _{nu }E_{n}=langle partial _{mu }en la vidapartial _{nu }H habitnrangle +langle n imperantepartial _{mu ##partial _{nu }H habitnrangle +langle n durablepartial _{nu }H detainedpartial _{mu }nrangle.}

Tenga en cuenta que para el hamiltoniano con parámetros lineales, no hay una segunda derivada ∂_μ∂_νH = 0 en el nivel del operador. Resolver la derivada de estado insertando el conjunto completo de bases,

∂ ∂ μ μ ∂ ∂ .. En=.. m().. ∂ ∂ μ μ nSilenciom.. .. mSilencio∂ ∂ .. HSilencion.. +.. nSilencio∂ ∂ .. HSilenciom.. .. mSilencio∂ ∂ μ μ n.. ),{displaystyle partial _{mu ##partial _{nu E_{n}=sum _{m}left(langle partial _{mu }en tu vidamrangle langle m durablepartial _{nu }H +langle n sobrevivirpartial _{nu }H habitmrangle langle m durablepartial _{mu }nrangle right),}

entonces todas las partes se pueden calcular utilizando los teoremas Hellmann-Feynman. En términos de derivados de Lie, .. ∂ ∂ μ μ nSilencion.. =.. nSilencio∂ ∂ μ μ n.. =0{displaystyle langle partial _{mu }n sometidanrangle ################################################################################################################################################################################################################################################################ }nrangle =0} según la definición de la conexión para el paquete vectorial. Por consiguiente, el caso m = n puede ser excluido de la suma, que evita la singularidad del denominador energético. El mismo procedimiento se puede llevar a cabo para derivados de orden superior, de los cuales se obtienen correcciones de orden superior.

El mismo esquema computacional es aplicable para la corrección de estados. El resultado de segundo orden es el siguiente

Silencion()xμ μ ).=Silencion.. +.. mل ل n.. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. En− − EmSilenciom.. xμ μ +().. mل ل n.. lل ل n.. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilenciol.. .. lSilencio∂ ∂ .. HSilencion.. ()En− − Em)()En− − El)Silenciom.. − − .. mل ل n.. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. .. nSilencio∂ ∂ .. HSilencion.. ()En− − Em)2Silenciom.. − − 12.. mل ل n.. nSilencio∂ ∂ μ μ HSilenciom.. .. mSilencio∂ ∂ .. HSilencion.. ()En− − Em)2Silencion.. )xμ μ x.. +⋯ ⋯ .{displaystyle {begin{aligned}left uponleft(x^{mu }right)rightrangle = subidarangle > ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ }H habitnrangle }{E_{n} {m} {fn} {fn}\\fn}\\fn}mneq n}sum ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ }H habitlrangle langle l durablepartial _{nu }H durablenrangle - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ }H habitnrangle langle n sobrevivirpartial _{nu }H ################################################################################################################################################################################################################################################################ - {fnMicroc} {2}sum} ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ }H habitmrangle langle m durablepartial _{nu }H durablenrangle } {rangle right)x^{nu} }+cdots.

Tanto los derivados de energía como los derivados de estado estarán involucrados en la deducción. Siempre que se encuentre una derivada de estado, resuélvala insertando el conjunto completo de bases, luego se aplica el teorema de Hellmann-Feynman. Debido a que la diferenciación se puede calcular sistemáticamente, el enfoque de expansión en serie para las correcciones perturbativas se puede codificar en computadoras con software de procesamiento simbólico como Mathematica.

Efectiva hamiltoniana

(feminine)

Vamos H(0) ser el Hamiltonian completamente restringido ya sea en el subespacial de baja energía HL{fnMicrosoft Sans Serif} o en el subespacio de alta energía HH{fnMicrosoft Sans Serif}, tal que no hay elemento matriz en H(0) conectando los subespacios bajos y de alta energía, es decir, .. mSilencioH()0)Silenciol.. =0{displaystyle langle m WordPressH(0) =0} si m▪ ▪ HL,l▪ ▪ HH{displaystyle min {fnMitcal {H}_{L},lin {cH} {H}_{H}. Vamos F_μ ==_μH ser los términos de acoplamiento que conectan los subespacios. Luego, cuando se integran los altos grados de energía de las libertades, el efectivo Hamiltonian en el subespacio de baja energía lee

Hmneff()xμ μ )=.. mSilencioHSilencion.. +δ δ nm.. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. xμ μ +12!.. l▪ ▪ HH().. mSilencio∂ ∂ μ μ HSilenciol.. .. lSilencio∂ ∂ .. HSilencion.. Em− − El+.. mSilencio∂ ∂ .. HSilenciol.. .. lSilencio∂ ∂ μ μ HSilencion.. En− − El)xμ μ x.. +⋯ ⋯ .{displaystyle ¿Qué? m habitH habitnrangle +delta # {nm}langle mi vidapartial _{mu }H habitnrangle x^{mu ¿Qué? {H}_{H}left({frac} ################################################################################################################################################################################################################################################################ }H habitlrangle langle l durablepartial _{nu }H durablenrangle {fnK}} {fnMicroc} ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{E_{n}}right)x^{mu}. }+cdotas.}

Aquí. m,n▪ ▪ HL{displaystyle m,nin {fnMithcal {H}_{L} están restringidos en el subespacio de baja energía. El resultado anterior puede derivarse por la expansión de la serie de energía .. mSilencioH()xμ μ )Silencion.. {displaystyle langle m habitH(x^{mu }.

De manera formal, es posible definir un hamiltoniano efectivo que proporcione exactamente los estados de energía y funciones de onda más bajos. En la práctica, generalmente se requiere algún tipo de aproximación (teoría de la perturbación).

Teoría de la perturbación dependiente del tiempo

Método de variación de constantes

La teoría de la perturbación dependiente del tiempo, desarrollada por Paul Dirac, estudia el efecto de una perturbación dependiente del tiempo V(t) aplicado a un hamiltoniano independiente del tiempo H₀.

Dado que el hamiltoniano perturbado depende del tiempo, también lo son sus niveles de energía y estados propios. Por lo tanto, los objetivos de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo son ligeramente diferentes de los de la teoría de la perturbación independiente del tiempo. Uno está interesado en las siguientes cantidades:

• El valor de expectativa dependiente del tiempo de algunos observables A, para un estado inicial dado.
• Los coeficientes de expansión dependientes del tiempo (w.r.t. a given time- dependent state) de aquellos estados de base que son eigenkets energéticos (eigenvectores) en el sistema no resistente.

La primera cantidad es importante porque da lugar al resultado clásico de una medición A realizada en un número macroscópico de copias del sistema perturbado. Por ejemplo, podríamos tomar A como el desplazamiento en el x-dirección del electrón en un átomo de hidrógeno, en cuyo caso el valor esperado, cuando se multiplica por un coeficiente apropiado, da la polarización dieléctrica dependiente del tiempo de un gas de hidrógeno. Con una elección apropiada de perturbación (es decir, un potencial eléctrico oscilante), esto permite calcular la permitividad AC del gas.

La segunda cantidad analiza la probabilidad de ocupación dependiente del tiempo para cada estado propio. Esto es particularmente útil en física láser, donde uno está interesado en las poblaciones de diferentes estados atómicos en un gas cuando se aplica un campo eléctrico dependiente del tiempo. Estas probabilidades también son útiles para calcular la "ampliación cuántica" de líneas espectrales (ver ensanchamiento de líneas) y decaimiento de partículas en física de partículas y física nuclear.

Examinaremos brevemente el método detrás de la formulación de la teoría de perturbación dependiente del tiempo de Dirac. Elija una base energética Silencion.. {displaystyle {nrangle } para el sistema no robusto. (Bajamos los superscriptos (0) para los eigentales, porque no es útil hablar de niveles de energía y eigentales para el sistema perturbado.)

Si el sistema no robusto es un eigenstat (del Hamiltonian) Silencioj.. {displaystyle ← } a la vez t = 0, su estado en tiempos posteriores varía sólo por una fase (en la imagen de Schrödinger, donde los vectores estatales evolucionan en el tiempo y los operadores son constantes),

Silencioj()t).. =e− − iEjt/▪ ▪ Silencioj.. .{displaystyle TENJ(t)rangle =e^{-iE_{j}t/hbar - Hola.

Ahora, introduzca un hamiltoniano perturbador dependiente del tiempo V(t). El hamiltoniano del sistema perturbado es

H=H0+V()t).{displaystyle H=H_{0}+V(t)~.}

Vamos Silencio↑ ↑ ()t).. {displaystyle Нованыхpsi (t)rangle } denota el estado cuántico del sistema perturbado a tiempo t. Obedece la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,

HSilencio↑ ↑ ()t).. =i▪ ▪ ∂ ∂ ∂ ∂ tSilencio↑ ↑ ()t).. .{displaystyle H tuberculosispsi (t)rangle =ihbar {frac {partial }{partial t} Anteriorpsi (t)rangle ~.}

El estado cuántico en cada instante se puede expresar como una combinación lineal de la eigenbasis completa Silencion.. {displaystyle Silencioso:

Silencio↑ ↑ ()t).. =.. ncn()t)e− − iEnt/▪ ▪ Silencion.. ,{displaystyle Нpsi (t)rangle =sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/hbar - ¿Qué?

()1)

donde las c_n(t)s se van a determinar como funciones complejas de t a las que nos referiremos como amplitudes (en rigor, son las amplitudes en el Dirac imagen).

Hemos extraído explícitamente los factores de fase exponencial exp⁡ ⁡ ()− − iEnt/▪ ▪ ){displaystyle exp(-iE_{n}t/hbar)} en el lado derecho. Esto es sólo una cuestión de convención, y puede hacerse sin pérdida de generalidad. La razón por la que vamos a este problema es que cuando el sistema comienza en el estado Silencioj.. {displaystyle ← } y ninguna perturbación está presente, las amplitudes tienen la propiedad conveniente que, para todos t, c_j()t) = 1 y c_n()t) = 0 si n ل j.

El cuadrado de la amplitud absoluta c_n(t) es la probabilidad que el sistema está en el estado n en el momento t, ya que

Silenciocn()t)Silencio2=Silencio.. nSilencio↑ ↑ ()t).. Silencio2.{displaystyle left WordPressc_{n}(t)right sometida^{2}=left arrestlangle n eternapsi (t)rangle right WordPress^{2}~.}

Conectando a la ecuación de Schrödinger y usando el hecho de que ∂/∂t actúa por una regla del producto, se obtiene

.. n()i▪ ▪ dcndt− − cn()t)V()t))e− − iEnt/▪ ▪ Silencion.. =0.{displaystyle sum _{n}left(ihbar {frac {mathrm {d} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {m}}} {m}}}} {fn}} t}-c_{n}(t)V(t)right)e^{-iE_{n}t/hbar - ¿Qué?

Resolviendo la identidad frente a V y multiplicarse por el sujetador .. nSilencio{displaystyle langle n sometida} a la izquierda, esto se puede reducir a un conjunto de ecuaciones diferenciales unidas para las amplitudes,

dcndt=− − i▪ ▪ .. k.. nSilencioV()t)Silenciok.. ck()t)e− − i()Ek− − En)t/▪ ▪ .{displaystyle {frac {mathrm} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {m}} {m}}}}} {fn}} {fn}}}}}}}}} {fn}}} {m}}}} {m}}}}}} {m}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}} {m}}}}}} {m}}}}}}}}}}} {m} {m}}}}}} {m}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}} {m} {m} {m}}} {m}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}} {m}}}} t}={frac {-i}{hbar }}sum _{k}langle n sometidaV(t) sometidakrangle ,c_{k}(t),e^{-i(E_{k}-E_{n}t/hbar }~}

donde hemos usado la ecuación (1) para evaluar la suma en n en el segundo término, entonces utilizó el hecho de que .. kSilencioΨ Ψ ()t).. =ck()t)e− − iEkt/▪ ▪ {displaystyle langle k WordPressPsi (t)rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/hbar }.

Los elementos de la matriz de V juegan un papel similar al de la teoría de perturbaciones independiente del tiempo, siendo proporcionales a la velocidad a la que las amplitudes se desplazan entre estados. Tenga en cuenta, sin embargo, que la dirección del cambio se modifica por el factor de fase exponencial. En tiempos mucho más largos que la diferencia de energía E_k − E_n, la fase gira alrededor de 0 varias veces. Si la dependencia del tiempo de V es lo suficientemente lenta, esto puede causar que las amplitudes del estado oscilen. (Por ejemplo, tales oscilaciones son útiles para gestionar las transiciones radiativas en un láser).

Hasta este punto, no hemos hecho aproximaciones, por lo que este conjunto de ecuaciones diferenciales es exacto. Al proporcionar valores iniciales apropiados c_n(t), en principio podríamos encontrar un solución exacta (es decir, no perturbativa). Esto se hace fácilmente cuando solo hay dos niveles de energía (n = 1, 2), y esta solución es útil para modelar sistemas como la molécula de amoníaco.

Sin embargo, las soluciones exactas son difíciles de encontrar cuando hay muchos niveles de energía y, en cambio, se buscan soluciones perturbativas. Estos se pueden obtener expresando las ecuaciones en forma integral,

cn()t)=cn()0)− − i▪ ▪ .. k∫ ∫ 0tdt... nSilencioV()t.)Silenciok.. ck()t.)e− − i()Ek− − En)t./▪ ▪ .{displaystyle c_{n}(t)=c_{n}(0)-{frac {} {hbar} }sum _{k}int _{0} {t}dt';langle n sometidaV(t')prehensikrangle ,c_{k}(t'),e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/hbar }~}

Sustituir repetidamente esta expresión por c_n en el lado derecho, produce una solución iterativa,

cn()t)=cn()0)+cn()1)+cn()2)+⋯ ⋯ [displaystyle c_{n}(t)=c_{n}{(0)}+c_{}{(1)}+c_{n}{(2)}+cdots }

donde, por ejemplo, el término de primer orden es

cn()1)()t)=− − i▪ ▪ .. k∫ ∫ 0tdt... nSilencioV()t.)Silenciok.. ck()0)e− − i()Ek− − En)t./▪ ▪ .{displaystyle c_{n}{(1)}(t)={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} _{0} {t}dt';langle n eternaV(t')prehensikrangle ,c_{k}^{(0)},e^{-i(E_{k}-E_{n}t'/hbar }~}

A la misma aproximación, se puede eliminar la summación en la expresión anterior, ya que en el estado no perturbado ck()0)=δ δ kn{displaystyle c_{k}}=delta ¿Qué? para que tengamos

cn()1)()t)=− − i▪ ▪ ∫ ∫ 0tdt... nSilencioV()t.)Silenciok.. e− − i()Ek− − En)t./▪ ▪ .{displaystyle c_{n}{(1)}(t)={frac {-i}{-i}}int _{0}{t}dt';langle n habitV(t') habitkrangle ,e^{-i(E_{k}-E_{n}t'/hbar }~}

Varios resultados adicionales se derivan de esto, como la regla de oro de Fermi, que relaciona la tasa de transiciones entre estados cuánticos con la densidad de estados en energías particulares; o la serie de Dyson, obtenida aplicando el método iterativo al operador de evolución temporal, que es uno de los puntos de partida del método de los diagramas de Feynman.

Método de la serie Dyson

Las perturbaciones dependientes del tiempo se pueden reorganizar mediante la técnica de la serie de Dyson. La ecuación de Schrödinger

H()t)Silencio↑ ↑ ()t).. =i▪ ▪ ∂ ∂ Silencio↑ ↑ ()t).. ∂ ∂ t{displaystyle H(t) foreverpsi (t)rangle =ihbar {frac {partial TENSIpsi (t)rangle }{partial t}}

tiene la solución formal

Silencio↑ ↑ ()t).. =Texp⁡ ⁡ [− − i▪ ▪ ∫ ∫ t0tdt.H()t.)]Silencio↑ ↑ ()t0).. ,{fnMicrosoft Sans Serif}rangle =Texp {left[-{frac] {i}{hbar }int} - ¿Por qué?

donde T es el operador de ordenamiento temporal,

t_{2}\A(t_{2})A(t_{1})&t_{2}>t_{1}end{cases}}~.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">TA()t1)A()t2)={}A()t1)A()t2)t1■t2A()t2)A()t1)t2■t1.{displaystyle TA(t_{1})A(t_{2}={begin{cases}A(t_{1})A(t_{2}) limitt_{1} {2}A(t_{2})A(t_{1})d_{2}} {1}end{cases}}~}~}}}~}}}}} {}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {t_{2}\A(t_{2})A(t_{1})&t_{2}>t_{1}end{cases}}~." aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375b301a643c43a31d469461320b934920d63814" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.451ex; height:6.176ex;"/>

Por lo tanto, la exponencial representa la siguiente serie de Dyson,

Silencio↑ ↑ ()t).. =[1− − i▪ ▪ ∫ ∫ t0tdt1H()t1)− − 1▪ ▪ 2∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2H()t1)H()t2)+...... ]Silencio↑ ↑ ()t0).. .{displaystyle TENEDpsi (t)rangle =left[1-{frac {}{hbar }int} ¿Qué? {1}{hbar ^{2}int} ¿Qué? ¿Por qué?

Tenga en cuenta que en el segundo término, el 1/2! el factor cancela exactamente la doble contribución debida al operador de ordenación temporal, etc.

Considere el siguiente problema de perturbación

[H0+λ λ V()t)]Silencio↑ ↑ ()t).. =i▪ ▪ ∂ ∂ Silencio↑ ↑ ()t).. ∂ ∂ t,{displaystyle [H_{0}+lambda V(t) ] _psi (t)rangle =ihbar {frac {partial psi (t)rangle }{partial t}~,}

suponiendo que el parámetro λ es pequeño y que el problema H0Silencion.. =EnSilencion.. {displaystyle H_{0} - Hola. ha sido resuelto.

Realice la siguiente transformación unitaria a la imagen de interacción (o imagen de Dirac),

Silencio↑ ↑ ()t).. =e− − i▪ ▪ H0()t− − t0)Silencio↑ ↑ I()t).. .{displaystyle Нpsi (t)rangle =e^{-{frac {}{hbar} }H_{0} (t-t_{0})}?

En consecuencia, la ecuación de Schrödinger se simplifica a

λ λ ei▪ ▪ H0()t− − t0)V()t)e− − i▪ ▪ H0()t− − t0)Silencio↑ ↑ I()t).. =i▪ ▪ ∂ ∂ Silencio↑ ↑ I()t).. ∂ ∂ t,{displaystyle lambda e^{frac {}{hbar} - Sí. {}{hbar} ¿Qué? =ihbar {frac {partial ← _{I}(t)rangle }{partial t}}~}

así que se resuelve a través de la serie Dyson anterior,

Silencio↑ ↑ I()t).. =[1− − iλ λ ▪ ▪ ∫ ∫ t0tdt1ei▪ ▪ H0()t1− − t0)V()t1)e− − i▪ ▪ H0()t1− − t0)− − λ λ 2▪ ▪ 2∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2ei▪ ▪ H0()t1− − t0)V()t1)e− − i▪ ▪ H0()t1− − t0)ei▪ ▪ H0()t2− − t0)V()t2)e− − i▪ ▪ H0()t2− − t0)+...... ]Silencio↑ ↑ ()t0).. ,{displaystyle ← _{I}(t)rangle =left[1-{frac {iiiifnfnfnfn\fn\fn\\fn\\fn\\\fn\\\\fn\\\\fn\\\\\fn\\\\\\\\\\fn\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\ } {hbar }int ¿Qué? {}{hbar} ¿Qué? {}{hbar} {fnMicrosoft Sans Serif} ^{2}{hbar ^{2}int ¿Qué? ¿Qué? {}{hbar} ¿Qué? {}{hbar} - Sí. {}{hbar} ¿Qué? {}{hbar} [Risas]

como una serie de perturbaciones con λ pequeños.

Usando la solución del problema no perturbado H0Silencion.. =EnSilencion.. {displaystyle H_{0} - Hola. y .. nSilencion.. .. nSilencio=1{displaystyle sum _{n} sobrevivirnrangle langle n sometida=1} (por el bien de la simplicidad asumen un espectro puro discreto), rendimientos, a primer orden,

Silencio↑ ↑ I()t).. =[1− − iλ λ ▪ ▪ .. m.. n∫ ∫ t0tdt1.. mSilencioV()t1)Silencion.. e− − i▪ ▪ ()En− − Em)()t1− − t0)Silenciom.. .. nSilencio+...... ]Silencio↑ ↑ ()t0).. .{displaystyle ← _{I}(t)rangle =left[1-{frac {iiiifnfnfnfn\fn\fn\\fn\\fn\\fn\\\\fn\\\\\fn\\fn\\\\\\fn\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\ } {hbar }sum _{m}sum _{n}int ¿Qué? m durableV(t_{1}) {} {hbar} } (E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})justo de la palabra 'rangle langle n eterna+ldots right]

Así, el sistema, inicialmente en el estado no perturbado Silencioα α .. =Silencio↑ ↑ ()t0).. {displaystyle tenciónalpha rangle = pacienciapsi (t_{0}rangle }, por la fuerza de la perturbación puede entrar en el estado Silencioβ β .. {displaystyle ← }. La correspondiente amplitud de probabilidad de transición a primer orden es

Aα α β β =− − iλ λ ▪ ▪ ∫ ∫ t0tdt1.. β β SilencioV()t1)Silencioα α .. e− − i▪ ▪ ()Eα α − − Eβ β )()t1− − t0),{displaystyle A_{alpha beta }=-{frac {ilambda } {hbar }int ################################################################################################################################################################################################################################################################ {}{hbar}. - ¿Qué?

Did you mean:

as detailed in the previous section——while the corresponding transition probability to a continuum is furnished by Fermi 's golden rule.

Aparte, tenga en cuenta que la teoría de la perturbación independiente del tiempo también está organizada dentro de esta serie Dyson de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo. Para ver esto, escriba el operador de evolución unitaria, obtenido de la serie de Dyson anterior, como

U()t)=1− − iλ λ ▪ ▪ ∫ ∫ t0tdt1ei▪ ▪ H0()t1− − t0)V()t1)e− − i▪ ▪ H0()t1− − t0)− − λ λ 2▪ ▪ 2∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2ei▪ ▪ H0()t1− − t0)V()t1)e− − i▪ ▪ H0()t1− − t0)ei▪ ▪ H0()t2− − t0)V()t2)e− − i▪ ▪ H0()t2− − t0)+⋯ ⋯ {displaystyle U(t)=1-{frac {iiiifnfnfnfn\fn\fn\\fn\\fn\\\fn\\\\fn\\\\fn\\\\\fn\\\\\\\\\\fn\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\ } {hbar }int ¿Qué? {}{hbar} ¿Qué? {}{hbar} {fnMicrosoft Sans Serif} ^{2}{hbar ^{2}int ¿Qué? ¿Qué? {}{hbar} ¿Qué? {}{hbar} - Sí. {}{hbar} ¿Qué? {}{hbar} ¿Qué?

y tome la perturbación V como independiente del tiempo.

Uso de la resolución de identidad

.. nSilencion.. .. nSilencio=1{displaystyle sum _{n} sobrevivirnrangle langle n sometida=1}

con H0Silencion.. =EnSilencion.. {displaystyle H_{0} - Hola. para un espectro discreto puro, escriba

U()t)=1− − {}iλ λ ▪ ▪ ∫ ∫ t0tdt1.. m.. n.. mSilencioVSilencion.. e− − i▪ ▪ ()En− − Em)()t1− − t0)Silenciom.. .. nSilencio}− − {}λ λ 2▪ ▪ 2∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2.. m.. n.. qe− − i▪ ▪ ()En− − Em)()t1− − t0).. mSilencioVSilencion.. .. nSilencioVSilencioq.. e− − i▪ ▪ ()Eq− − En)()t2− − t0)Silenciom.. .. qSilencio}+⋯ ⋯ {displaystyle {begin{aligned}U(t)=1 golpe-left{frac {iiiifnfnfnfn\fn\fn\\fn\\fn\\fn\\\\fn\\\\\fn\\fn\\\\\\fn\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\ } {hbar }int ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ {} {hbar} [E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0}? {lambda ^{2} {hbar ^{2}int} ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? {} {hbar} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {} {hbar} [E_{q}-E_{n})(t_{2}-t_{0}?

Es evidente que, en segundo orden, se debe resumir en todos los estados intermedios. Assume t0=0{displaystyle T_{0}=0} y el límite asintotico de tiempos más grandes. Esto significa que, en cada contribución de la serie de perturbaciones, hay que añadir un factor multiplicativo e− − ε ε t{displaystyle e^{-epsilon t} en los componentes para ε arbitrariamente pequeño. Así el límite t → devuelve el estado final del sistema eliminando todos los términos oscilantes, pero manteniendo los seculares. Las integrales son entonces computables, y, separando los términos diagonales de los otros rendimientos

U()t)=1− − iλ λ ▪ ▪ .. n.. nSilencioVSilencion.. t− − iλ λ 2▪ ▪ .. mل ل n.. nSilencioVSilenciom.. .. mSilencioVSilencion.. En− − Emt− − 12λ λ 2▪ ▪ 2.. m,n.. nSilencioVSilenciom.. .. mSilencioVSilencion.. t2+...... +λ λ .. mل ل n.. mSilencioVSilencion.. En− − EmSilenciom.. .. nSilencio+λ λ 2.. mل ل n.. qل ل n.. n.. mSilencioVSilencion.. .. nSilencioVSilencioq.. ()En− − Em)()Eq− − En)Silenciom.. .. qSilencio+...... {displaystyle {begin{aligned}U(t)=1 {iiiifnfnfnfn\fn\fn\\fn\\fn\\\fn\\\\fn\\\\fn\\\\\fn\\\\\\\\\\fn\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ^{2}{hbar }}sum _{mneq n}{frac {langle n imperanteV habitmrangle langle m impertinenrangle No... {1}{2}{frac {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicroc} {f}} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fn}}} {fn}} {f}}} {f}}}} {fnMicroc}} {f}f}f}} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}f}fnfnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}f}fn ¿Qué? n WordPressV sobrevivirmrangle langle m durableV sometidanrangle t^{2}+ldots \Lambda sum _{mneq n}{frac ################################################################################################################################################################################################################################################################ - Hola. ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? V habitnrangle langle n sobrevivir [E_{n}-E_{m}) (E_{q}-E_{n} mrangle langle q arrest+ldots end{aligned}}

donde la serie secular de tiempo produce los eigenvalues del problema perturbado especificado anteriormente, recursivamente; mientras que la parte restante de tiempo-constant rinde las correcciones a las eigenfunctions estacionarias también dadas anteriormente (Silencion()λ λ ).. =U()0;λ λ )Silencion.. ){displaystyle ¦n(lambda)rangle =U(0;lambda).)

El operador de evolución unitaria es aplicable a estados propios arbitrarios del problema no perturbado y, en este caso, produce una serie secular que se cumple en tiempos pequeños.

Teoría de la perturbación fuerte

De manera similar a las pequeñas perturbaciones, es posible desarrollar una teoría de perturbaciones fuerte. Considere como de costumbre la ecuación de Schrödinger

H()t)Silencio↑ ↑ ()t).. =i▪ ▪ ∂ ∂ Silencio↑ ↑ ()t).. ∂ ∂ t{displaystyle H(t) foreverpsi (t)rangle =ihbar {frac {partial TENSIpsi (t)rangle }{partial t}}

y nos planteamos la cuestión de si existe una serie dual de Dyson que se aplique en el límite de una perturbación cada vez más grande. Esta pregunta se puede responder afirmativamente y la serie es la conocida serie adiabática. Este enfoque es bastante general y se puede mostrar de la siguiente manera. Considere el problema de la perturbación

[H0+λ λ V()t)]Silencio↑ ↑ ()t).. =i▪ ▪ ∂ ∂ Silencio↑ ↑ ()t).. ∂ ∂ t{displaystyle [H_{0}+lambda V(t)] sufrimientopsi (t)rangle =ihbar {frac {partial psi (t)rangle }{partial t}}}}

Did you mean:

being → ∞. Our aim is to find a solution in the form

Silencio↑ ↑ .. =Silencio↑ ↑ 0.. +1λ λ Silencio↑ ↑ 1.. +1λ λ 2Silencio↑ ↑ 2.. +...... {displaystyle Нpsi rangle = pacienciapsi _{0}rangle +{frac {1}{lambda - ¿Qué? +{frac {1}{lambda - ¿Qué?

pero una sustitución directa en la ecuación anterior no produce resultados útiles. Esta situación se puede ajustar haciendo un cambio de la variable de tiempo como τ τ =λ λ t{displaystyle tau =lambda t} produciendo las siguientes ecuaciones significativas

V()t)Silencio↑ ↑ 0.. =i▪ ▪ ∂ ∂ Silencio↑ ↑ 0.. ∂ ∂ τ τ {displaystyle V(t) ♪♪ =ihbar {frac {partial TEN _{0}rangle }{partial tau }}

V()t)Silencio↑ ↑ 1.. +H0Silencio↑ ↑ 0.. =i▪ ▪ ∂ ∂ Silencio↑ ↑ 1.. ∂ ∂ τ τ {displaystyle V(t) ♪♪ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ♪♪ =ihbar {frac {partial Нpsi _{1}rangle }{partial tau }}

⋮ ⋮ {displaystyle vdots }

que se puede resolver una vez que conozcamos la solución de la ecuación de orden líder. Pero sabemos que en este caso podemos usar la aproximación adiabática. Cuando V()t){displaystyle V(t)} no depende del tiempo que uno consiga la serie Wigner-Kirkwood que se utiliza a menudo en la mecánica estadística. De hecho, en este caso presentamos la transformación unitaria

Silencio↑ ↑ ()t).. =e− − i▪ ▪ λ λ V()t− − t0)Silencio↑ ↑ F()t).. {displaystyle Нpsi (t)rangle =e^{-{frac {i}{hbar }lambda ¿Qué?

que define una imagen libre ya que estamos tratando de eliminar el término de interacción. Ahora, de manera dual con respecto a las pequeñas perturbaciones, tenemos que resolver la ecuación de Schrödinger

ei▪ ▪ λ λ V()t− − t0)H0e− − i▪ ▪ λ λ V()t− − t0)Silencio↑ ↑ F()t).. =i▪ ▪ ∂ ∂ Silencio↑ ↑ F()t).. ∂ ∂ t{displaystyle e^{frac {i}{hbar }lambda ¿Qué? {i}{hbar }lambda V(t-t-t_{0}? =ihbar {frac {partial ← _{F}(t)rangle }{partial t}

y vemos que el parámetro de expansión λ aparece solo en la exponencial y así, la correspondiente serie Dyson, a serie Dyson dual, es significativo en grandes λs y es

Silencio↑ ↑ F()t).. =[1− − i▪ ▪ ∫ ∫ t0tdt1ei▪ ▪ λ λ V()t1− − t0)H0e− − i▪ ▪ λ λ V()t1− − t0)− − 1▪ ▪ 2∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2ei▪ ▪ λ λ V()t1− − t0)H0e− − i▪ ▪ λ λ V()t1− − t0)ei▪ ▪ λ λ V()t2− − t0)H0e− − i▪ ▪ λ λ V()t2− − t0)+...... ]Silencio↑ ↑ ()t0).. .{displaystyle ← _{F}(t)rangle =left[1-{frac {i}{hbar }int} ¿Qué? {i}{hbar }lambda ¿Qué? {i}{hbar }lambda ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? {i}{hbar }lambda ¿Qué? {i}{hbar }lambda ¿Qué? {i}{hbar }lambda ¿Qué? {i}{hbar }lambda V(t_{2}-t_{0})}+ldots right] WordPresspsi (t_{0})rangle.}

Después de la escalada en el tiempo τ τ =λ λ t{displaystyle tau =lambda t} podemos ver que esto es una serie 1/λ λ {displaystyle 1/lambda } justificando así el nombre de Serie Dyson dual. La razón es que hemos obtenido esta serie simplemente intercambiando H₀ y V y podemos ir de uno a otro aplicando este intercambio. Esto se llama principio de dualidad en la teoría de la perturbación. La elección H0=p2/2m{displaystyle H_{0}=p^{2}/2m} cede, como ya se ha dicho, una serie Wigner-Kirkwood que es una expansión gradiente. La serie Wigner-Kirkwood es una serie semiclásica con eigenvalues dados exactamente como para la aproximación WKB.

Ejemplos

Ejemplo de teoría de perturbaciones de primer orden: energía del estado fundamental del oscilador cuártico

Considere el oscilador armónico cuántico con la perturbación del potencial cuartico y el hamiltoniano

H=− − ▪ ▪ 22m∂ ∂ 2∂ ∂ x2+m⋅ ⋅ 2x22+λ λ x4.{displaystyle ¿Qué? ### {2}}+{frac {momega ^{2}x^{2} {2}+lambda x^{4}

El estado fundamental del oscilador armónico es

↑ ↑ 0=()α α π π )14e− − α α x2/2{displaystyle psi _{0}=left({frac {alpha }{pi}right)^{frac {1}{4}}e^{-alpha x^{2}/2}

()α α =m⋅ ⋅ /▪ ▪ {displaystyle alpha =momega /hbar }), y la energía de estado de tierra no perturbado es

E0()0)=12▪ ▪ ⋅ ⋅ {displaystyle ¿Qué?

Usando la fórmula de corrección de primer orden, obtenemos

E0()1)=λ λ ()α α π π )12∫ ∫ e− − α α x2/2x4e− − α α x2/2dx=λ λ ()α α π π )12∂ ∂ 2∂ ∂ α α 2∫ ∫ e− − α α x2dx,{displaystyle E_{0}{(1)}=lambda left({frac {alpha }{pi}}right)}{frac {1}{2}int e^{-alpha x^{2}/2}x^{4}e^{-alpha x^{2}/2}dx=lambda left({frac {alpha }{pi }right)^{frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}{2}{partial alpha ^{2}}}int e^{-alpha x}dx,}} {}}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

o

E0()1)=λ λ ()α α π π )12∂ ∂ 2∂ ∂ α α 2()π π α α )12=λ λ 341α α 2=34▪ ▪ 2λ λ m2⋅ ⋅ 2.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicroc {f}{}}right)}{frac {1}{2}{frac {partial ^{2}{f}{f} {f} {f}}f}}}}}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnKfnKf}fnKf}f}f}f}}fn {1}{2}=lambda {fnMicroc {3}{4} {frac {1}{2}}={frac} {f} {f}} {f}} {f}}} {fn}}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f} {f} {fnK}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f} {f}} {f} {f}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}} {3}{4}{frac {hbar} ^{2}lambda } {m^{2}omega ^{2}}}

Ejemplo de teoría de perturbaciones de primer y segundo orden: péndulo cuántico

Considere el péndulo cuántico-matemático con el hamiltoniano

H=− − ▪ ▪ 22ma2∂ ∂ 2∂ ∂ φ φ 2− − λ λ #⁡ ⁡ φ φ {displaystyle ¿Qué?

con la energía potencial − − λ λ #⁡ ⁡ φ φ {displaystyle -lambda cos phi } tomada como la perturbación.

V=− − #⁡ ⁡ φ φ .{displaystyle V=-cos phi.}

Las funciones de onda cuántica normalizadas no perturbadas son las del rotor rígido y están dadas por

↑ ↑ n()φ φ )=einφ φ 2π π ,{displaystyle psi _{n}(phi)={frac {e^{inphi } {sqrt {2pi}}} {fnK}}

y las energías

En()0)=▪ ▪ 2n22ma2.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn0} {fn0} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fn0} {fnMicrosoft Sans Serif}

La corrección de energía de primer orden al rotor debido a la energía potencial es

En()1)=− − 12π π ∫ ∫ e− − inφ φ #⁡ ⁡ φ φ einφ φ =− − 12π π ∫ ∫ #⁡ ⁡ φ φ =0.{displaystyle E_{}{(1)}=-{frac {1}{2pi}int e^{-inphi }cos phi e^{inphi }=-{frac {1} {2pi}int cos phi =0}

Usando la fórmula para la corrección de segundo orden, se obtiene

En()2)=ma22π π 2▪ ▪ 2.. kSilencio∫ ∫ e− − ikφ φ #⁡ ⁡ φ φ einφ φ Silencio2n2− − k2,{displaystyle E_{}{(2)}={frac {f}{2}{2pi} {f}} {f}}} {f}}}}}} {f}}} {fn}}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}} {f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}} ¿Por qué? }cos phi e^{inphi ¿Qué?

o

En()2)=ma22▪ ▪ 2.. kSilencio()δ δ n,1− − k+δ δ n,− − 1− − k)Silencio2n2− − k2,{displaystyle E_{}{(2)}={frac {2}{2hbar ^{2}}sum _{k}{frac {left _{n,1-k}+delta ¿Qué?

o

En()2)=ma22▪ ▪ 2()12n− − 1+1− − 2n− − 1)=ma2▪ ▪ 214n2− − 1.{displaystyle E_{}{(2)}={frac {2}{2hbar ^{2}}}left({frac} {frac} {f}} {f}} {fnK}} {fn}}}}}}m} {f}fnfnKf}} {fnKf}}}f}}}}}}}fnfnfnfnfnfnf}f}f}fnfnf}fnf}fnfnfnfnf}fnf}}fnfnKfnKfnKfnfn}fnfn}fnfnKfnf}fnfnfnKfnKfnKfnKfnKfnfn}}}}}fn {1}{2n-1}+{frac {1}{-2n-1}right)={frac {fnK} {f} {fnK}} {fnK}}} {f}}} {f}}} {f}} {fn}} {f}}}}}} {f}}} {f}}} {f} {f}}} {f}}}}}}}}}} {f}} {f} {f}}}}} {f}}}} {f}f}}}}}}}} {f} {f} {f}} {f}f}} {f}} {f}f}}}}}}}} {f}}} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}}}}f}f}f}f}f}f}}f}}f}f}f}f}f}}}}}}}}}}}}}} {1}{4n^{2}}}

Energía potencial como perturbación

Cuando el estado no perturbado es un movimiento libre de una partícula con energía cinética E{displaystyle E}, la solución de la ecuación Schrödinger

Silencio Silencio 2↑ ↑ ()0)+k2↑ ↑ ()0)=0{displaystyle nabla ^{2}psi ^{(0)}+k^{2}psi ^{(0)}=0}

corresponde a ondas de avión con número de onda k=2mE/▪ ▪ 2{displaystyle k={sqrt {2mE/hbar ^{2}}}. Si hay una energía potencial débil U()x,Sí.,z){displaystyle U(x,y,z)} presente en el espacio, en la primera aproximación, el estado perturbado es descrito por la ecuación

Silencio Silencio 2↑ ↑ ()1)+k2↑ ↑ ()1)=2mU▪ ▪ 2↑ ↑ ()0),{displaystyle nabla ^{2}psi ^{(1)}+k^{2}psi ^{(1)}={frac {2mU}{hbar ^{2}}psi ^{(0)}}

cuya integral particular es

↑ ↑ ()1)()x,Sí.,z)=− − m2π π ▪ ▪ 2∫ ∫ ↑ ↑ ()0)U()x.,Sí..,z.)eikrrdx.dSí..dz.,{displaystyle psi ^{(1)}(x,y,z)=-{frac {m}{2pi hbar ^{2}}}int psi ^{(0)}U(x',y',z'){frac {e^{ikr}}{r}}}},dx'dy'dz',}}

Donde r2=()x− − x.)2+()Sí.− − Sí..)2+()z− − z.)2{displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}. En el caso bidimensional, la solución es

↑ ↑ ()1)()x,Sí.)=− − im2▪ ▪ 2∫ ∫ ↑ ↑ ()0)U()x.,Sí..)H0()1)()kr)dx.dSí..,{displaystyle psi ^{(1)}(x,y)=-{frac {im}{2hbar ^{2}}int psi ^{(0)}U(x',y')H_{0}{(1)}(kr),dx'dy'}

Donde r2=()x− − x.)2+()Sí.− − Sí..)2{displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2} y H0()1){displaystyle H_{0}{(1)} es la función Hankel del primer tipo. En el caso unidimensional, la solución es

↑ ↑ ()1)()x)=− − im▪ ▪ 2∫ ∫ ↑ ↑ ()0)U()x.)eikrkdx.,[displaystyle psi ^{(1)}(x)=-{frac {im}{hbar ^{2}}int psi ^{(0)}U(x'){frac {e^{ikr}{k},dx',}

Donde r=Silenciox− − x.Silencio{displaystyle r= habitx-x}.

Aplicaciones

• Ciclo de Rabi
• La regla de oro de Fermi
• Muon spin spectroscopy
• Correlación angular perturbida