Teoría de la perturbación

En matemáticas y matemáticas aplicadas, teoría de la perturbación comprende métodos para encontrar una solución aproximada a un problema, empezando por la solución exacta de un problema relacionado y más simple. Una característica crítica de la técnica es un paso intermedio que rompe el problema en partes "solvable" y "perturbativas". En la teoría de la perturbación, la solución se expresa como una serie de energía en un pequeño parámetro ε ε {displaystyle varepsilon }. El primer término es la solución conocida al problema solvable. Términos exitosos en la serie a mayores poderes de ε ε {displaystyle varepsilon } Normalmente se vuelven más pequeños. Una solución de perturbación aproximada se obtiene al truncar la serie, generalmente manteniendo sólo los dos primeros términos, la solución al problema conocido y la corrección de perturbación de 'primera orden'.

La teoría de la perturbación se utiliza en una amplia gama de campos y alcanza sus formas más sofisticadas y avanzadas en la teoría cuántica de campos. La teoría de la perturbación (mecánica cuántica) describe el uso de este método en la mecánica cuántica. El campo en general permanece activo y fuertemente investigado en múltiples disciplinas.

Descripción

La teoría de la perturbación desarrolla una expresión para la solución deseada en términos de una serie de potencias formal conocida como serie de perturbaciones en algunas "pequeñas" parámetro, que cuantifica la desviación del problema exactamente solucionable. El término principal en esta serie de potencias es la solución del problema exactamente solucionable, mientras que otros términos describen la desviación en la solución, debido a la desviación del problema inicial. Formalmente, tenemos para la aproximación a la solución completa A, una serie en el parámetro pequeño (aquí llamado ε), como la siguiente:

A=A0+ε ε 1A1+ε ε 2A2+⋯ ⋯ {displaystyle A=A_{0}+varepsilon ^{1}A_{1}+varepsilon ^{2}A_{2}+cdots }

En este ejemplo, A₀ sería la solución conocida al problema inicial exactamente solucionable y A₁, A₂,... representan el términos de primer orden, segundo orden y términos de orden superior, que se pueden encontrar iterativamente mediante un procedimiento mecánico. Para ε pequeños, estos términos de orden superior en la serie generalmente (pero no siempre) se vuelven sucesivamente más pequeños. Una "solución perturbativa" aproximada se obtiene truncando la serie, a menudo manteniendo solo los dos primeros términos, expresando la solución final como una suma de la solución inicial (exacta) y la solución de "primer orden" corrección perturbativa

A.. A0+ε ε A1()ε ε → → 0){displaystyle Aapprox A_{0}+varepsilon A_{1}quad left(varepsilon to 0right)}

Algunos autores utilizan gran notación O para indicar el orden del error en la solución aproximada: A=A0+ε ε A1+O()ε ε 2){displaystyle A=A_{0}+varepsilon A_{1}+Oleft(varepsilon ^{2}right)}.

Si la serie de energía en ε converge con un radio no cero de convergencia, el problema de perturbación se llama ordinario problema de perturbación. En problemas regulares de perturbación, la solución asintotica se acerca sin problemas a la solución exacta. Sin embargo, la serie de perturbaciones también puede divergir, y la serie truncada todavía puede ser una buena aproximación a la verdadera solución si se trunca en un punto en el que sus elementos son mínimos. Esto se llama serie asintotica. Si la serie de perturbación es divergente o no una serie de energía (por ejemplo, la expansión asintotica tiene poderes no enteros ε ε 1/2{displaystyle varepsilon ^{1/2} o poderes negativos ε ε − − 2{displaystyle varepsilon ^{-2}) entonces el problema de perturbación se llama un problema de perturbación singular. Muchas técnicas especiales en la teoría de la perturbación han sido desarrolladas para analizar problemas singulares de perturbación.

Ejemplo prototípico

El primer uso de lo que ahora se llamaría teoría de la perturbación fue para tratar los problemas matemáticos de la mecánica celeste que de otro modo no podrían resolverse: por ejemplo, la órbita de la Luna, que se mueve de manera notablemente diferente a un Kepleriano simple. elipse debido a la gravitación en competencia de la Tierra y el Sol.

Los métodos de perturbación comienzan con una forma simplificada del problema original, que es suficientemente simple para ser resuelto exactamente. En mecánica celeste, suele ser una elipse kepleriana. Bajo la gravedad newtoniana, una elipse es exactamente correcta cuando solo hay dos cuerpos gravitando (por ejemplo, la Tierra y la Luna), pero no del todo correcta cuando hay tres o más objetos (por ejemplo, la Tierra, la Luna, el Sol y el resto de la Tierra). el Sistema Solar) y no del todo correcto cuando la interacción gravitacional se establece utilizando formulaciones de la relatividad general.

Expansión perturbativa

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, uno sigue una receta general para obtener la serie de perturbaciones. El expansión perturbadora se crea mediante la adición de correcciones sucesivas al problema simplificado. Las correcciones se obtienen forzando la consistencia entre la solución no perturbada, y las ecuaciones que describen el sistema en su totalidad. Escriba D{displaystyle D} para esta colección de ecuaciones; es decir, deja el símbolo D{displaystyle D} defender el problema para ser resuelto. Muy a menudo, estas son ecuaciones diferenciales, por lo tanto, la letra "D".

El proceso es generalmente mecánico, si laborioso. Uno comienza escribiendo las ecuaciones D{displaystyle D} para que se dividan en dos partes: algunas colecciones de ecuaciones D0{displaystyle D_{0} que se puede resolver exactamente, y alguna parte restante adicional ε ε D1{displaystyle varepsilon D_{1} para algunos pequeños ε ε ≪ ≪ 1{displaystyle varepsilon ll 1}. La solución A0{displaystyle A_{0} (to D0{displaystyle D_{0}) es conocido, y uno busca la solución general A{displaystyle A} a D=D0+ε ε D1{displaystyle D=D_{0}+varepsilon D_{1}.

Siguiente la aproximación A.. A0+ε ε A1{displaystyle Aapprox A_{0}+varepsilon A_{1} se inserta en ε ε D1{displaystyle varepsilon D_{1}. Esto resulta en una ecuación para A1{displaystyle A_{1}, que, en el caso general, puede ser escrito en forma cerrada como una suma sobre las integrales sobre A0{displaystyle A_{0}. Así, uno ha obtenido el corrección de primera orden A1{displaystyle A_{1} y así A.. A0+ε ε A1{displaystyle Aapprox A_{0}+varepsilon A_{1} es una buena aproximación a A{displaystyle A}. Es una buena aproximación, precisamente porque las partes ignoradas eran de tamaño ε ε 2{displaystyle varepsilon ^{2}. El proceso se puede repetir, para obtener correcciones A2{displaystyle A_{2}, y así sucesivamente.

En la práctica, este proceso se convierte rápidamente en una profusión de términos, que se vuelven extremadamente difíciles de manejar a mano. Se informa que Isaac Newton dijo, con respecto al problema de la órbita de la Luna, que 'Me duele la cabeza'. Esta falta de control ha obligado a la teoría de la perturbación a convertirse en un gran arte de administrar y escribir estos términos de orden superior. Uno de los avances fundamentales para controlar la expansión son los diagramas de Feynman, que permiten escribir esquemáticamente series de perturbaciones.

Ejemplos

La teoría de la perturbación se ha utilizado en un gran número de diferentes configuraciones en física y matemáticas aplicadas. Ejemplos de la "colección de ecuaciones" D{displaystyle D} incluyen ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales (por ejemplo, las ecuaciones de movimiento y comúnmente ecuaciones de onda), energía libre termodinámica en mecánica estadística, transferencia radiativa, y operadores Hamiltonianos en mecánica cuántica.

Ejemplos de los tipos de soluciones que se encuentran perturbativamente incluyen la solución de la ecuación de movimiento (por ejemplo,, la trayectoria de una partícula), el promedio estadístico de alguna cantidad física (por ejemplo, , magnetización promedio), la energía del estado fundamental de un problema de mecánica cuántica.

Ejemplos de problemas que se pueden resolver exactamente que se pueden usar como puntos de partida incluyen ecuaciones lineales, incluidas ecuaciones de movimiento lineales (oscilador armónico, ecuación de onda lineal), sistemas estadísticos o mecánicos cuánticos de partículas que no interactúan (o, en general, hamiltonianos o energías libres que contienen solo términos cuadráticos en todos los grados de libertad).

Ejemplos de sistemas que se pueden resolver con perturbaciones incluyen sistemas con contribuciones no lineales a las ecuaciones de movimiento, interacciones entre partículas, términos de potencias más altas en el hamiltoniano/energía libre.

Para problemas físicos que involucran interacciones entre partículas, los términos de la serie de perturbaciones se pueden mostrar (y manipular) usando diagramas de Feynman.

Historia

La teoría de la perturbación se ideó por primera vez para resolver problemas intratables en el cálculo de los movimientos de los planetas del sistema solar. Por ejemplo, la ley de gravitación universal de Newton explicaba la gravitación entre dos cuerpos astronómicos, pero cuando se agrega un tercer cuerpo, el problema era: "¿Cómo atrae cada cuerpo a cada uno?" La ecuación de Newton solo permitía analizar la masa de dos cuerpos. El aumento gradual de la precisión de las observaciones astronómicas condujo a demandas crecientes en la precisión de las soluciones de las ecuaciones gravitatorias de Newton, lo que llevó a varios matemáticos notables de los siglos XVIII y XIX, como Lagrange y Laplace, a extender y generalizar los métodos de la teoría de perturbaciones..

Estos métodos de perturbación bien desarrollados se adoptaron y adaptaron para resolver nuevos problemas que surgieron durante el desarrollo de la mecánica cuántica en la física atómica y subatómica del siglo XX. Paul Dirac desarrolló la teoría de la perturbación cuántica en 1927 para evaluar cuándo se emitiría una partícula en elementos radiactivos. Esto más tarde se llamó la regla de oro de Fermi. La teoría de la perturbación en la mecánica cuántica es bastante accesible, ya que la notación cuántica permite que las expresiones se escriban en forma bastante compacta, lo que las hace más fáciles de comprender. Esto resultó en una explosión de aplicaciones, que van desde el efecto Zeeman hasta la división hiperfina en el átomo de hidrógeno.

A pesar de la notación más simple, la teoría de la perturbación aplicada a la teoría cuántica de campos aún se sale de control con facilidad. Richard Feynman desarrolló los célebres diagramas de Feynman al observar que muchos términos se repiten de manera regular. Estos términos se pueden reemplazar por puntos, líneas, garabatos y marcas similares, cada uno de los cuales representa un término, un denominador, una integral, etc. por lo tanto, las integrales complejas se pueden escribir como diagramas simples, sin ninguna ambigüedad en cuanto a lo que significan. La correspondencia uno a uno entre los diagramas y las integrales específicas es lo que les da su poder. Aunque originalmente se desarrolló para la teoría cuántica de campos, resulta que la técnica de diagramas es ampliamente aplicable a todas las series perturbativas (aunque, quizás, no siempre sea tan útil).

En la segunda mitad del siglo XX, a medida que se desarrollaba la teoría del caos, quedó claro que los sistemas imperturbados eran en general sistemas completamente integrables, mientras que los sistemas perturbados no lo eran. Esto condujo rápidamente al estudio de "sistemas casi integrables", de los cuales el toro KAM es el ejemplo canónico. Al mismo tiempo, también se descubrió que muchos sistemas no lineales (bastante especiales), a los que antes solo se podía acceder a través de la teoría de perturbaciones, son de hecho completamente integrables. Este descubrimiento fue bastante dramático, ya que permitió dar soluciones exactas. Esto, a su vez, ayudó a aclarar el significado de la serie perturbativa, ya que ahora se podían comparar los resultados de la serie con las soluciones exactas.

La mejor comprensión de los sistemas dinámicos provenientes de la teoría del caos ayudó a arrojar luz sobre lo que se denominaba pequeño problema denominador o pequeño problema de divisor. Se observó en el siglo XIX (por Poincaré, y tal vez antes), que a veces los términos de orden segundo y superior en la serie perturbadora tienen "pequeños denominadores". Es decir, tienen la forma general ↑ ↑ nVφ φ m/()⋅ ⋅ n− − ⋅ ⋅ m){displaystyle psi _{n}Vphi _{m}/(omega _{n}-omega - Sí. Donde ↑ ↑ n{displaystyle psi _{n}, V{displaystyle V} y φ φ m{displaystyle phi _{m} son algunas expresiones complicadas pertinentes al problema a resolver, y ⋅ ⋅ n{displaystyle omega _{n} y ⋅ ⋅ m{displaystyle omega ¿Qué? son números reales; muy a menudo son la energía de los modos normales. El pequeño problema del divisor surge cuando la diferencia ⋅ ⋅ n− − ⋅ ⋅ m{displaystyle omega ### {n}-omega ¿Qué? es pequeño, causando que la corrección perturbadora sopla, convirtiéndose en tan grande o tal vez más grande que el término de cero orden. Esta situación indica un desglose de la teoría de la perturbación: deja de funcionar en este punto, y no puede ser expandido o resumido más. En términos formales, la serie perturbadora es una serie asintotica: una aproximación útil para algunos términos, pero en última instancia inexacta. El avance de la teoría del caos fue una explicación de por qué esto sucedió: los pequeños divisores ocurren cada vez que la teoría de la perturbación se aplica a un sistema caótico. El que indica la presencia del otro.

Inicios en el estudio del movimiento planetario

Dado que los planetas están muy alejados entre sí, y dado que su masa es pequeña en comparación con la masa del Sol, las fuerzas gravitatorias entre los planetas pueden despreciarse y el movimiento planetario se considera, en una primera aproximación, como teniendo lugar a lo largo de las órbitas de Kepler, que están definidas por las ecuaciones del problema de los dos cuerpos, siendo los dos cuerpos el planeta y el Sol.

Dado que los datos astronómicos llegaron a conocerse con mucha mayor precisión, se hizo necesario considerar cómo el movimiento de un planeta alrededor del Sol se ve afectado por otros planetas. Este fue el origen del problema de los tres cuerpos; por lo tanto, al estudiar el sistema Luna-Tierra-Sol, se eligió como parámetro pequeño la relación de masas entre la Luna y la Tierra. Lagrange y Laplace fueron los primeros en proponer la opinión de que las constantes que describen el movimiento de un planeta alrededor del Sol están "perturbadas", por así decirlo, por el movimiento de otros planetas y varían en función del tiempo.; de ahí el nombre de "teoría de la perturbación".

La teoría de la perturbación fue investigada por los eruditos clásicos (Laplace, Poisson, Gauss) como resultado de lo cual los cálculos se podían realizar con una precisión muy alta. El descubrimiento del planeta Neptuno en 1848 por Urbain Le Verrier, basado en las desviaciones del movimiento del planeta Urano (envió las coordenadas a Johann Gottfried Galle, quien observó con éxito a Neptuno a través de su telescopio), representó un triunfo de la teoría de la perturbación.

Órdenes de perturbación

La exposición estándar de la teoría de la perturbación se da en términos del orden en que se lleva a cabo la perturbación: teoría de la perturbación de primer orden o teoría de la perturbación de segundo orden, y si los estados perturbados son degenerados, lo que requiere una perturbación singular. En el caso singular, se debe tener especial cuidado, y la teoría es un poco más elaborada.

En química

Muchos de los métodos de química cuántica ab initio usan la teoría de perturbaciones directamente o son métodos estrechamente relacionados. La teoría de la perturbación implícita funciona con el hamiltoniano completo desde el principio y nunca especifica un operador de perturbación como tal. La teoría de la perturbación de Møller-Plesset utiliza la diferencia entre el hamiltoniano de Hartree-Fock y el hamiltoniano no relativista exacto como perturbación. La energía de orden cero es la suma de las energías orbitales. La energía de primer orden es la energía de Hartree-Fock y la correlación electrónica se incluye en el segundo orden o superior. Los cálculos de segundo, tercer o cuarto orden son muy comunes y el código se incluye en la mayoría de los programas de química cuántica ab initio. Un método relacionado pero más preciso es el método de conglomerados acoplados.